7 Công thức nguyên hàm hữu tỉ đầy đủ, chi tiết nhất 1 Lý thuyết Bài toán tổng quát Tính nguyên hàm P(x) I dx, Q(x) = với P(x) và Q(x) là các đa thức Phương pháp giải Nếu bậc của tử[.]
7 Công thức nguyên hàm hữu tỉ đầy đủ, chi tiết Lý thuyết Bài toán tổng quát: Tính nguyên hàm I = P(x) dx, với P(x) và Q(x) là các đa Q(x) thức Phương pháp giải: Nếu bậc của tử số P(x) lớn bậc của mẫu sớ Q(x) chia đa thức Nếu bậc của tử số P(x) nhỏ bậc của mẫu sớ Q(x) xem xét mẫu sớ và đó: - Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng thức để đưa về dạng tổng của các phân số Một số trường hợp đồng thức thường gặp: mx + n A B = + (x − a) (x − b) x − a x − b A Bx + C = + , với = b − 4ac (x − m)(ax + bx + c) x − m ax + bx + c A B C D = + + + (x − a) (x − b) x − a (x − a) x − b (x − b) Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính nguyên hàm sau: a) I = x +1 dx x −1 b) I = 2x − dx 4x + 4x + c) I = dx x − 3x + 2 Lời giải a) I = x +1 dx = 1 + dx = x + 2ln x − + C x −1 x −1 b) I = 2x + 2x − = − dx ( 2x + 1)2 ( 2x + 1)2 dx 4x + 4x + 1 = − dx = ln 2x + + +C 2 2x + 2 2x + 2x + ( ) 1 = ln 2x + + + C 2x + c) I = 1 dx = − dx x − 3x + x − x −1 = ln x − − ln x − + C = ln x − + C x −1 Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau: a) I = b) I = 4x − dx x − 3x + 2x (1 − x ) dx Lời giải a) Ta có: 4x − A B = + x − 3x + x − x − A ( x − 1) + B ( x − ) 4x − = x − 3x + x − 3x + 4x − ( A + B) x + ( −A − 2B) = x − 3x + x − 3x + 2 A + B = A = Suy −A − 2B = −3 B = −1 I= 4x − dx = − dx x − 3x + x − x −1 = 5ln x − − ln x − + C b) I = 2x (1 − x ) dx = − (1 − x ) (1 − x ) dx 2 = − dx = + +C (1 − x )3 (1 − x )2 x − x − ( ) ... dx = − dx x − 3x + x − x −1 = ln x − − ln x − + C = ln x − + C x −1 Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau: a) I = b) I = 4x − dx x − 3x + 2x (1 − x ) dx Lời giải a) Ta có: 4x − A B = +