Đang tải... (xem toàn văn)
14 Công thức tính tích phân hàm vô tỉ đầy đủ, chi tiết nhất 1 Lý thuyết Một số cách đặt đổi biến số Dạng hàm số Đặt ( )2 2 2nf a x x dx− x a sin t dx a cos t dt= = ( )2 2 2nf a x x dx+ 2 adt x a t[.]
14 Cơng thức tính tích phân hàm vơ tỉ đầy đủ, chi tiết Lý thuyết Một số cách đặt đổi biến số a − x x 2n dx Đặt x = a.sin t dx = a.cos t.dt f ( a2 + x2 x = a.tan t dx = f ( x2 − a2 Dạng hàm số f ( (x − a) n ) )x )x 2n dx 2n dx adt cos t a a sin t x= dx = dt cos t cos t dt x − a = dx = − t t dx ax + bx + c R ax + b, , k ax + b dx n t n = ax + b với n = BCNN ( n1;n ; ;n k ) n x + a t = x + a + x + b x + b x + a t = − x − a + − x − b x + b dx (x + a)(x + b) Một số công thức nguyên hàm vô tỉ 1 − x2 dx = arcsin x + C dx = arcsin x + C (với a > 0) a a2 − x2 dx = ln x + x + C dx = ln x + x a + C x2 a2 x2 x x a2 x 2 − x dx = − x + arcsin x + C a − x dx = a − x + arcsin + C 2 2 a x x a2 x 1dx = x ln x +x xa2 2dx 1+ C = x a ln x + x a + C 2 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính tích phân sau 2x + dx 2x + 1+ a) I = Đặt t = 2x + t = 2x + 2tdt = 2dx dx = tdt Đổi cận: x = t = 1; x = t = t2 I= dt = t − + dt + t + t 1 3 t2 = − t + ln | t + 1| 2 1 9 1 = − + ln − − + ln 2 2 = + ln dx 4x + 2x + + b) I = Đặt t = 4x + t = 4x + 2tdt = 4dx dx = Đổi cận: x = t = 3; x = t = 5 tdt tdt tdt Vậy I = = = t + 2t + (t + 1) 2 t −1 +1+ t 1 = ln | t + 1| + = − dt t + (t + 1) t +1 3 1 1 = ln + − ln + = ln − 6 4 12 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: tdt a) I = − x dx dx b) I = − x2 Lời giải a) I = − x dx Đặt x = sin t dx = cos tdt Đổi cận: x = t = 0;x = t = 0 Vậy I = | cos t |cos tdt = cos tdt t 2 = (1 + cos 2t )dt = + cos 2t = 20 2 0 dx b) I = − x2 Đặt x=2sin t với t − ; dx = 2cos tdt 2 Đổi cận: x = t = 0; x = t = Vậy I = 2cos tdt − 4sin t 2cos tdt = dt = t 06 = 2cos t 0 = ... − dt t + (t + 1) t +1 3 1 1 = ln + − ln + = ln − 6 4 12 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: tdt a) I = − x dx dx b) I = − x2 Lời giải a) I = − x dx Đặt x = sin