11 Công thức tích phân đổi biến đầy đủ, chi tiết nhất 1 Lý thuyết Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] và u(x) Giả sử có thể viết f (x[.]
11 Cơng thức tích phân đổi biến đầy đủ, chi tiết Lý thuyết Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục đoạn [a;b] u(x) Giả sử viết f (x) = g(u(x))u '(x), x [a;b], với g liên tục đoạn ; Khi đó, ta có: b u (b) a u (a ) I = f (x)dx = g(u)du Phương pháp giải: Bước 1: Đặt t = u ( x ) dt = u ' ( x ) dx Bước 2: Đổi cận: x = a = u ( a ) ; x = b = u ( b ) u (b) Bước 3: Tính tích phân: I = g(u)du u (a ) Một số dạng đổi biến thường gặp: Dạng hàm số f (ax + b) n xdx m xn n + ax + b dx f (ax + b) xdx f (x).f (x)dx n n f (ln x) dx x f (a + bln x) dx x f (e )e dx f (cos x).sin xdx x x Đặt t = ax + b dt = a.dx t = ax n +1 + b dt = a(n + 1)x n dx t = ax + b dt = 2ax.dx t = n f (x) t n = f ( x ) nt n −1dt = f ' ( x ) dx trừ một số trường hợp đổi biến dạng t = ln x dt = dx x b t = a + bln x dt = dx x t = e x dt = e x dx t = cos x dt = − sin xdx t = sin x dt = cos xdx f (sin x).cos xdx f (tan x) cos x f (cot x) sin f (sin 2 x d cos x dt = (1 + tan x)dx t = cot x dt = − dx sin x dt = −(1 + cot x)dx t = tan x dt = dx dx x;cos x).sin 2xdx f (sin x cos x)(sin x t = sin x dt = sin 2xdx t = cos x dt = − sin 2xdx cos x)dx t = sin x cos x dt = ( cos x sin x ) dx Ví dụ minh họa a) I = x (1 − x ) dx 19 b) I = sin x cos xdx ( ln x ) dx x c) I = Lời giải a) I = x (1 − x ) dx 19 Đặt t = − x dt = −dx Đổi cận: x = t = 1; x = t = Vậy I = (1 − t ) t 19 ( −dt ) = ( t19 − t 20 ) dt t 20 t 21 1 = − = − = 20 21 20 21 420 b) I = sin x cos xdx Đặt t = sin x dt = cos xdx Đổi cận: x = t = 0; x = t = 1 1 Vậy I = t dt = t = 3 ( ln x ) dx x c) I = Đặt t = ln x dt = dx x Đổi cận: x = t = 0; x = t = ln3 ln u3 Vậy I = t dt = ln ( ln3) = 3 Ví dụ 2: Tính tích phân a) I = x (x + )dx 2x + 1 b) I = −1 x2 + x + dx Lời giải a) I = x (x + )dx = x (x 2 + )xdx Đặt t = x + t = x + tdt = xdx Đổi cận x = t = 2; x = t = 3 Vậy I = ( t − ) t.tdt = ( t − 4t ) dt 2 t 4t 63 64 253 = − = + = 15 15 5 b) I = −1 2x + x2 + x + dx Đặt t = x + x + t = x + x + 2tdt = ( 2x + 1) dx Đổi cận: x = −1 u = 1; x = u = 3 I= 2tdt = t 2dt = 2t =2 ( ) −1 ... 3 ( ln x ) dx x c) I = Đặt t = ln x dt = dx x Đổi cận: x = t = 0; x = t = ln3 ln u3 Vậy I = t dt = ln ( ln3) = 3 Ví dụ 2: Tính tích phân a) I = x (x + )dx 2x + 1 b) I = −1 x2 + x... −dx Đổi cận: x = t = 1; x = t = Vậy I = (1 − t ) t 19 ( −dt ) = ( t19 − t 20 ) dt t 20 t 21 1 = − = − = 20 21 20 21 420 b) I = sin x cos xdx Đặt t = sin x dt = cos xdx Đổi. .. −1 x2 + x + dx Lời giải a) I = x (x + )dx = x (x 2 + )xdx Đặt t = x + t = x + tdt = xdx Đổi cận x = t = 2; x = t = 3 Vậy I = ( t − ) t.tdt = ( t − 4t ) dt 2 t 4t 63 64 253