CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

CƠNG THỨC NGUN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Hàm đa thức + Phân thức Hàm chứa dx dx 1 x  a dx  a.x  C  ax  b  a ln ax  b  C  x  x C  x x  a dx  a arccos a  C dx  1  ln x  C dx  a.x  b    1 a  a2  x2 x  ax  b  a ax  b  C dx   ln C   ax  b  dx  a      C  x a2  x2 a x dx du  x2   x  C x 1  1  u  u C  x dx     C;    1  dx   a  x  C  du 2 a x x a x  u  ln u  C u a2 1 x 2 2 2 u  a du  u  a  ln u  u  a  C dx  arctan  C 1  2  x2  a2 2 a a  x x  a dx  a x x  a  C 1 ax 2  x  a dx  ln x  x  a  C  a  x dx  2a ln a  x  C 1 a  x2  a2 dx   ln C u  a2 a  u  a2 u 1 2   x x2  a2 C a x  u du     C;    1   u du  u  a  a.ln u x2  a2 du a  b.u 2 2 dx   C u  a u  a  ln  C 2  x2 x2  a2  u  a  b.u  a a x u  u du   u  a.ln a  u  a  C x2 x a2 dx  x  a  ln x  x  a  C 2  2 dx  ln x  x  a  C u.du 2  x2  a2 x a  a  b.u  b2  a  b.u  a.ln a  b.u   C x x dx  C  u du dx  arcsin  C 2 2 a x2  a2 x a  a  a  b.u  2b3   a  b.u   4a  a  b.u   2a ln a  b.u   C  a  x x2 x a2 x x a  x a x 2 u.du a 2 dx   a  x  arcsin  C a  x dx   arcsin  C    ln a  bu  C 2  2 a   a  b.u 2 b2  a  bu  b2 a x 2 a x2 x a2 x a  x a 2 2 2 du 1 a  b.u dx  x  a  ln x  x  a  C x  a dx   ln x  a  x  C   2  u. a  b.u 2  a. a  bu   a2 ln u  C x2  a2 2 x a4 x u2 2 2 2 2 2 x a  x dx  x  a a  x  arcsin  C   Hàm mũ + Logarit du  a  b u  abu a  bu  C     8 a 15 b a  bu x x  e dx  e  C a px  q dx  a px  q  C du u x2  a2 a  p.ln a    C dx  x  a  a.cos  C u u   2 2 2 e du  e  C x x a u a  u  a  u  a  ln au du  u ln au  u  C      au x2  a2 x2  a2 u dx    ln x  x  a  C u a  bu du   bu  2a   a  bu 3  C ln  au  du  a du  ln a  C  2  x x 15 b  u   ln  au    C ax  b u ax  b  e dx  a e  C  a  bu du  3b2  bu  2a  a  bu  C u 2 2  ln  u  a  du  u.ln  u  a   2a.arctan a  2u  C LỚP TOÁN THẦY THÀNH ua 2 2  ln  u  a  du  u.ln  u  a   a.arctan u  a  2u  C NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN b  0975.705.122  ln  ax  b  dx   x  a  ln  ax  b   x  C     CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Hàm lượng giác Hàm dùng tích phân phần PP tích phân phần: Cho hai hàm số u v có đạo hàm liên tục đoạn  a, b  1  cos x.dx  sin x  C  cos2  ax  b  dx  a tan  ax  b   C b b b ,thì ta có:  udv   uv  a   vdu  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C a a  sin x dx   cot x  C *ưu tiên 1: Nếu có hàm ln hay logarit phải đặt u  ln x hay u  log a x  sin x.dx   cos x  C 1 tiên 2: Đặt u  ?? mà hạ bậc  sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   C *ưu sin ax  b dx   cos ax  b  C     Nguyên tắc: NHẤT LỐC , NHÌ ĐÀ , TAM LƯỢNG , TỨ MŨ  a eax  a.sin bx  b.cos bx  ax e sin bx dx  C du  tan u  C cos u du  sin u  C   cos2 u  a  b2 eax  a.sin bx  b.cos bx  ax  sin u.du   cos u  C du   cot u  C e sin bx dx  C  sin u  a  b2 1 ax  b  cos2 x dx  tan x  C eax  a.cos bx  b.sin bx  C  sin  ax  b  dx  a ln tan  C  eax cos bx.dx  a  b2  tan  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   C bu  b  u ln au  b du   u   u   ln  au  b   C   sin u du  u  sin u  C     2a 2 a  cot ax  b dx  ln sin ax  b  C      u n e au n n 1 au a u u n au cos2 u.du   u  sin 2u   C u e du    u e du  C u e du  u  e  C      a a x x 2 arcsin dx  x arcsin  a  x  C  u 1 2 a a  tan u.du  tan u  u  C u.e au du     e au  C u.e au du   e  au  C   a a a   x x 2  cot u.du   cot u  u  C  arccos a dx  x.arccos a  a  x  C  u.sin u.du  sin u  u.cos u  C  u.cos u.du  cos u  u.sin u  C x x a sin u.du     sin u  cos u  C 2  n n n   arctan a dx  x.arctan a  ln  x  a   C  u sin u.du  u cos u  n u cos u.du  C x x a cos u.du    cos u  sin u  C u n cos u.du  u n sin u  n u n 1.sin u.du  C 2   arc cot dx  x arc cot  ln x  a  C    a a 1 n 1 n 1 tan u.du  tan u  ln cos u  C GIÁO VIÊN: NGUYỄN CHÍ THÀNH n n2  sin u.du   n sin u.cos u  n  sin u.du  C  0975.705.122 n 1 cot u.du   cot u  ln sin u  C n n 1 n2  cos u.du  n cos u.sin u  n  cos u.du  C  Phương pháp biến đổi số thuận t  v ( x ) Phương pháp biến đổi số nghịch x  u (t ) n n 1 n2 b b tan u du  tan u  tan u du  C x  u (t ), t    ;   cho u (t ) có đạo hàm liên Bước 1: Đặt   n 1 Tính tích phân I   f ( x)dx   g  v  x  v '  x  dx tục đoạn   ;   , f (u (t )) xác định đoạn a a n n 1 n2 cot u du   cot u  cot u du  C     ;   u ( )  a, u (  )  b n 1 Bước 1: Đặt t  v ( x ), v ( x ) có đạo hàm liên tục đổi cận  sin au.sin bu.du   sin au.cos bu.du  sin  a  b  u sin  a  b  u  C 2 a  b  2 a  b  cos  a  b  u cos  a  n  u  C 2 a  b  2 a  b  Bước 2: Biểu thị f ( x)dx theo t dt : f ( x)dx  g (t )dt Tính I   Bước 2: Biểu thị f ( x)dx theo t dt : f ( x )dx  g (t )dt  v (b ) g (t )dt Nếu phân tích ta áp dụng Tính I   g (t )dt  v(a) b b a a trực tiếp I   f ( x)dx  g (v( x))v ' ( x)dx   g (v( x))d (v( x)) CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Phương pháp tính tính phân Đổi biến số  1 Dạng 1: I   f (ln x) dx đặt u  ln x  du  dx x x   Dạng 2: I   f  ln  ln x    dx đặt x ln x Dạng 3: I   f  e  e x x đặt u  e  du  e dx x Nếu hàm số dấu tích phân có dạng theo hướng đặt t  a.e x  b x  f  cos x  sin xdx đặt u  cos x  du   sin xdx   f  sin x  cos xdx đặt u  sin x  du  cos xdx  a.sin x  b.sin x dx ta biến đổi c  d cos x c  d cos x Để tính tích phân dạng cách đặt t    Dạng 6: I   f  sin x  cos x  sin x  cos x  dx đặt  u  sin x  cos x  du    sin x  cos x  dx   sin x  f   cos2 x  sin xdx đặt   sin x  du  sin xdx u   du  sin xdx  cos x Dạng 7: I   Dạng 8: I    f  tan  ax  b   dx đặt cos  ax  b  u  tan  ax  b   du  dx cos  ax  b   Hoặc: I   f  tan  ax  b     tan  ax  b   dx đặt  u  tan  ax  b   du  dx cos  ax  b  dx sin  ax  b  đặt: x  Hoặc: I   f  cot  ax  b     cot  ax  b   dx đặt  u  cot  ax  b   du  dx sin  ax  b  a  b x  a cos t t  a2  b2 x2 a b x  a hay ta đặt: x  b sin t b2 x  a Dạng 12: Dạng  Dạng 10: Tính I   a  x  dx,  a   2a a  x2  dx,  a   x Đặt x  a  t    Đặt x  a sin t  dx  a cos t , với t    ;   2 x2  a2  xdx  x  a  dt  tdt (Biến đổi để đưa bậc hai dạng A2 tức a2  a2 sin x  a2 cos x  a cos x  dx  tdt t      ;    2  x   Đổi cận :  x   t       ;    2  Chú ý :vì     t    ;    ,      ;   cos t   2  2    a2  x  dx    a cos t a  a sin t   I  dx,  a   a u  x Tương tự: Đặt u  x   a sint  2 t  a2 t  a2 a   a t  a dx    a dt t  a2  Dạng 15: Tính tích phân: I   f  dt   dt  Tổng quát: Tính I   a  u  x dx,  a    t  a  a dt  t dt u  x n 1  du   n   x n dx Đến ta hạ bậc tính bình thường  a I  dx  dt Dạng 14: Tính tích phân: I   f  x n 1  x n dx đặt   x  a  dx  a      t  a2 a  I   a  a sin t  a cos tdt  a  cos2 tdt Hoặc: I    a   x  a  b  x dx Ví dụ: Tính tích phân sau: I       Hoặc: I   a  b2 x a a   sin t với t    ;  dx  cos tdt b b  2 Dạng 13: I  a  b x hay a.e  b ta giải  Dạng 5: I  Dạng 11:  x  Dạng 4: I   dx đặt sin x  ax  b  u  cot  ax  b   du   1 u  ln x  du  dx u  ln(ln x)  du  dx x ln x x   Dạng 9: I   f  cot  ax  b   u x  du   x dx đặt x dx x Dạng 16: Tính tích phân: I   f  ax  b dx đặt u  ax  b  du  adx Dạng 17: Nếu hàm số dấu tích phân có dạng: f  x  với n  1, 2,3 ta đặt  a  b2  x2  x a   tan t với t    ;  b  2 GIÁO VIÊN: NGUYỄN CHÍ THÀNH CƠNG THỨC NGUN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122   a dx Đặt x  a tan t x  a  bx  ta đặt x  sin t I   a  x  dx,  a   I   b a  x2   Dạng 18: Dạng ax 3 x 3 x x  8tdt  x  t  dx Đặt t  Ví dụ: Tính tích phân sau: I   Đổi cận   t2  x   dx   2  x ax  x x  t 1 x 1 t   t  1 u   t   8t dt t dt      8 Đặt t  tan u, u    ;   dt   tan u   du Đổi cận  Khi đó: I    2 2 2    t   t  1  t  1 u        3 3 tan u  tan u   du 3 x tan udu   u  2sin u    I  dx, đặt t   x tính nhanh   sin udu   cos u du nên I  8 Chú ý: Tích phân     2     tan u  tan u     x     4 4 Tách dạng tích Dạng 19: I   I   f  x n 1  x n dx đặt t  x n 1  dt   n   x n dx Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I   x5   x3  dx   Suy I  dt Đặt t   x3  dt  3x dx  dx  168 3x 1 t t  t   t dt    t  t dt      0 30   168 1 Ví dụ 2.Tính tích phân I   x  1  x dx Cách 1: Đặt t   x  I   t   t  dt   t  t   15  0 2 2  Cách : Đặt x  cos t  I   sin t cos tdt 2   Cách 6: Đặt I   sin t   sin t d  sin t  Cách 5: Đặt sin t  u  cos tdt  du  I   u (1  u )du 2 0   12 2  cos 4t 12 12 sin 2t cos tdt   cos tdt   cos tdt    cos 4t cos tdt  40 40 80 80 Cách : I  1 x2    dx đặt t  x   dt   1  dx Ví dụ : Tính tích phân sau: I  dx  Tích phân: I       x x x  x      1 1 1 1  x 1 1   2 x2  1 x2  t      dx Đổi cận  x dx  dx  dx  t  x   dt  Ta có:  Đặt    2    x x   1 t  t x  x 1 x2     x   x  x  1 x2     1 u  4 t  dt  tan u  dt    I   du  du  Khi I   Đặt: Đổi cận Khi đó: t  tan u  dt  t  tan u du      2     t  tan u t  0 1 t  u  1 f  x   x  x   1 1 1  x2    x2 d   x2      x2 2 d   x2      x2 d   x2    20 20 20 Phương pháp chia  Cách 3: Đặt t  x  Cách 7: Đặt I  Cách 2: Đặt t   x CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Phương pháp nhân thêm Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I  x Ta có: x dx 1 x  11 dx Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I   x3 x 1 x I 2tdt  t  x 1 Đổi cận:   x   t  x 1 x  x dx x x3  x 1  x 1 x  3 dx  1 x    dx  dt  1  2 t   2  t   t  dt x 1  x x2   x4 dx  x 1  x  x  dx  1 0 x5 1   x x   xdx  0 J 0 t   1 t  2 2 32 12 52 2 32  t dt  t dt  t  t dt    1 1  22 22 2 2 2         5 3 15 15 15 Biến đối tử số thành đạo hàm mẫu số Kĩ thuật chống nhị thức  x  99 dx 101  2x  1 1 x3 x3 x3 dx   dx dx Ta có:  8 1 x 1  x  1 x Ví dụ: Tính tích phân sau: I   Ví dụ: Tính tích phân sau: I   7x   dx Phân tích: I     x    x  2 0 Đặt: x  tan t  x3 dt  99 t    x     tan t  dt với t    ;  Đổi cận:     2 x 1  t     x3 x3  tan t 14  dx   dx   dt   dt   Khi đó: I   2 4 4 16  x  tan t 0 1  x  0 Tích phân hàm giá trị tuyệt đối – Max - Min b Muốn tính I   f  x  dx ta xét dấu f  x  đoạn  a, b  , khử trị tuyệt đối a b  1  Khi đó: J    t   t  dt    t  t 2 21 1 99 100  7x    x     x    2100  d         0  x   100  x   900  2x   x2   x x Đặt t  x2   dt  xdx Đổi cận :  x 1 1  1 1   ln  ln  ln  ln  3 2        2  x2  2  x x  1dx   x dx   x x   xdx  1 t 1    ln t   ln t     ln   t 1   x2   x dx x x3 x3 Đặt: t   x3  t   x3  2tdt  3x dx  x dx  Khi đó: I   x3 x dx x Muốn tính I   max  f  x  , g  x   dx ta xét dấu f  x   g  x  đoạn  a, b  1 b Muốn tính I    f  x  , g  x  dx ta xét dấu f  x   g  x  đoạn  a, b  a Hoặc ta đưa dấu giá trị tuyệt đối (áp dụng cho khoảng nghiệm) a Ứng dụng tích phân tính thể tích a Tính thể tích: V   S  x  dx với S  x  diện tích thiết diện b a VOx     f12  x   f 22  x  dx b a VOx     f12  y   f 22  y  dy GIÁO VIÊN: NGUYỄN CHÍ THÀNH b Ứng dụng tích phân tính diện tích Diện tích giới hạn y  f  x  , trục Ox hai đường thẳng x  a, x  b là: S  b  f  x  dx a Cho hai hàm số y  f  x  y  g  x  liên tục đoạn  a; b  Diện tích hình phẳng giới hạn b đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  hai đường thẳng x  a, x  b là: S   f  x   g  x  dx a  R  x, Dạng 1: CƠNG THỨC NGUN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Hàm vơ tỉ Một số cách đặt thường gặp:     2ax  b  a  Dạng 3:   ax2  bx  c   1   2  4a        S  x, a  x  dx đặt x  a  cos t  t     ax  bx  c dx    2ax  b   a   ax2  bx  c  1             R  x,    ax  bx  c dx  t S t,  t ax  b    dt Đặt t   R  x,   ax  bx  c dx  ax  b t    Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I  0 Khi đó: I      Với t    S  x,  S t , t  dt ax  b    x     a  x dx đặt x  a  tan t ,   S  x, dx ax  bx  c   t   2 a   S  x, x  a dx đặt x  cos t , t   k sin u Dạng 4: S t ,  t dt Đặt t  sin u  t Đặt t  tan u    2ax  b   a  Dạng 2:   ax2  bx  c  1    4a          R x, ax  bx  c dx  dt  ax  bx  c dx đặt  ax  bx  c  xt  c ; c    ax  bx  c  t  x  x0  ; ax0  bx0  c    ax  bx  c   a  x  t ; a    t    x      S  x, m ax  b ax  b  ; ad  cb  đặt t  m  cx  b cx  d  Phương pháp tích phân liên kết x  t   sin x     dx Đặt: x   t  dx  dt Đổi cận:    sin x  cos x  x   t       sin   t   2 2 cos t cos x sin x  cos x   2  dt   dt   dx Vậy I  I  I   dx   dx  x   I    cos t  sin t cos x  sin x sin x  cos x 0 0 sin   t   cos x   t  2  2   x  t   sin x     dx Đặt Đổi cận: x   t  dx   dt    0 sin x  cos3 x x    t  2 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I    sin   t  cos3 t 2  I   dt   dt  3    cos3    t   sin  cos t  sin t  t 2  2      Ví dụ 3:Tính tích phân sau: I    GIÁO VIÊN: NGUYỄN CHÍ THÀNH   2 cos x sin x  cos3 x   dx I  I  I  dx  Vậy 0 cos3 x  sin x 0 sin x  cos3 x 0 dx  x   I  1 e x ex J  dx 0 e x  e x 0 e x  e x dx Ta có: I  J  0 dx  1 d  e x  e x  e2  1 e2   2e  e x  e x x x 1 ln e  e  ln e  e  ln  ln I   ln Từ suy : J    ln dx     0 e x  e x 0 e x  e x 2e  2e  2 e   IJ  Các hàm đặc biệt: m n  x   x  dx   x   x  dx n m ; f  x  hàm lẻ thì: I  a  a f  x dx  ; f  x  hàm số chẵn f  x  a a x  1dx  a a  f  x  dx ;   x  f  sin x dx    0 f  sin x dx ...CƠNG THỨC NGUN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Hàm lượng giác Hàm dùng tích phân phần PP tích phân phần: Cho hai hàm. .. ) g (t )dt Nếu phân tích ta áp dụng Tính I   g (t )dt  v(a) b b a a trực tiếp I   f ( x)dx  g (v( x))v ' ( x)dx   g (v( x))d (v( x)) CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn... Đặt t   x CƠNG THỨC NGUN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Phương pháp nhân thêm Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I  x