CƠNG THỨC NGUN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Hàm đa thức + Phân thức Hàm chứa dx dx 1 x a dx a.x C ax b a ln ax b C x x C x x a dx a arccos a C dx 1 ln x C dx a.x b 1 a a2 x2 x ax b a ax b C dx ln C ax b dx a C x a2 x2 a x dx du x2 x C x 1 1 u u C x dx C; 1 dx a x C du 2 a x x a x u ln u C u a2 1 x 2 2 2 u a du u a ln u u a C dx arctan C 1 2 x2 a2 2 a a x x a dx a x x a C 1 ax 2 x a dx ln x x a C a x dx 2a ln a x C 1 a x2 a2 dx ln C u a2 a u a2 u 1 2 x x2 a2 C a x u du C; 1 u du u a a.ln u x2 a2 du a b.u 2 2 dx C u a u a ln C 2 x2 x2 a2 u a b.u a a x u u du u a.ln a u a C x2 x a2 dx x a ln x x a C 2 2 dx ln x x a C u.du 2 x2 a2 x a a b.u b2 a b.u a.ln a b.u C x x dx C u du dx arcsin C 2 2 a x2 a2 x a a a b.u 2b3 a b.u 4a a b.u 2a ln a b.u C a x x2 x a2 x x a x a x 2 u.du a 2 dx a x arcsin C a x dx arcsin C ln a bu C 2 2 a a b.u 2 b2 a bu b2 a x 2 a x2 x a2 x a x a 2 2 2 du 1 a b.u dx x a ln x x a C x a dx ln x a x C 2 u. a b.u 2 a. a bu a2 ln u C x2 a2 2 x a4 x u2 2 2 2 2 2 x a x dx x a a x arcsin C Hàm mũ + Logarit du a b u abu a bu C 8 a 15 b a bu x x e dx e C a px q dx a px q C du u x2 a2 a p.ln a C dx x a a.cos C u u 2 2 2 e du e C x x a u a u a u a ln au du u ln au u C au x2 a2 x2 a2 u dx ln x x a C u a bu du bu 2a a bu 3 C ln au du a du ln a C 2 x x 15 b u ln au C ax b u ax b e dx a e C a bu du 3b2 bu 2a a bu C u 2 2 ln u a du u.ln u a 2a.arctan a 2u C LỚP TOÁN THẦY THÀNH ua 2 2 ln u a du u.ln u a a.arctan u a 2u C NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN b 0975.705.122 ln ax b dx x a ln ax b x C CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Hàm lượng giác Hàm dùng tích phân phần PP tích phân phần: Cho hai hàm số u v có đạo hàm liên tục đoạn a, b 1 cos x.dx sin x C cos2 ax b dx a tan ax b C b b b ,thì ta có: udv uv a vdu cos ax b dx a sin ax b C a a sin x dx cot x C *ưu tiên 1: Nếu có hàm ln hay logarit phải đặt u ln x hay u log a x sin x.dx cos x C 1 tiên 2: Đặt u ?? mà hạ bậc sin ax b dx a cot ax b C *ưu sin ax b dx cos ax b C Nguyên tắc: NHẤT LỐC , NHÌ ĐÀ , TAM LƯỢNG , TỨ MŨ a eax a.sin bx b.cos bx ax e sin bx dx C du tan u C cos u du sin u C cos2 u a b2 eax a.sin bx b.cos bx ax sin u.du cos u C du cot u C e sin bx dx C sin u a b2 1 ax b cos2 x dx tan x C eax a.cos bx b.sin bx C sin ax b dx a ln tan C eax cos bx.dx a b2 tan ax b dx a ln cos ax b C bu b u ln au b du u u ln au b C sin u du u sin u C 2a 2 a cot ax b dx ln sin ax b C u n e au n n 1 au a u u n au cos2 u.du u sin 2u C u e du u e du C u e du u e C a a x x 2 arcsin dx x arcsin a x C u 1 2 a a tan u.du tan u u C u.e au du e au C u.e au du e au C a a a x x 2 cot u.du cot u u C arccos a dx x.arccos a a x C u.sin u.du sin u u.cos u C u.cos u.du cos u u.sin u C x x a sin u.du sin u cos u C 2 n n n arctan a dx x.arctan a ln x a C u sin u.du u cos u n u cos u.du C x x a cos u.du cos u sin u C u n cos u.du u n sin u n u n 1.sin u.du C 2 arc cot dx x arc cot ln x a C a a 1 n 1 n 1 tan u.du tan u ln cos u C GIÁO VIÊN: NGUYỄN CHÍ THÀNH n n2 sin u.du n sin u.cos u n sin u.du C 0975.705.122 n 1 cot u.du cot u ln sin u C n n 1 n2 cos u.du n cos u.sin u n cos u.du C Phương pháp biến đổi số thuận t v ( x ) Phương pháp biến đổi số nghịch x u (t ) n n 1 n2 b b tan u du tan u tan u du C x u (t ), t ; cho u (t ) có đạo hàm liên Bước 1: Đặt n 1 Tính tích phân I f ( x)dx g v x v ' x dx tục đoạn ; , f (u (t )) xác định đoạn a a n n 1 n2 cot u du cot u cot u du C ; u ( ) a, u ( ) b n 1 Bước 1: Đặt t v ( x ), v ( x ) có đạo hàm liên tục đổi cận sin au.sin bu.du sin au.cos bu.du sin a b u sin a b u C 2 a b 2 a b cos a b u cos a n u C 2 a b 2 a b Bước 2: Biểu thị f ( x)dx theo t dt : f ( x)dx g (t )dt Tính I Bước 2: Biểu thị f ( x)dx theo t dt : f ( x )dx g (t )dt v (b ) g (t )dt Nếu phân tích ta áp dụng Tính I g (t )dt v(a) b b a a trực tiếp I f ( x)dx g (v( x))v ' ( x)dx g (v( x))d (v( x)) CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Phương pháp tính tính phân Đổi biến số 1 Dạng 1: I f (ln x) dx đặt u ln x du dx x x Dạng 2: I f ln ln x dx đặt x ln x Dạng 3: I f e e x x đặt u e du e dx x Nếu hàm số dấu tích phân có dạng theo hướng đặt t a.e x b x f cos x sin xdx đặt u cos x du sin xdx f sin x cos xdx đặt u sin x du cos xdx a.sin x b.sin x dx ta biến đổi c d cos x c d cos x Để tính tích phân dạng cách đặt t Dạng 6: I f sin x cos x sin x cos x dx đặt u sin x cos x du sin x cos x dx sin x f cos2 x sin xdx đặt sin x du sin xdx u du sin xdx cos x Dạng 7: I Dạng 8: I f tan ax b dx đặt cos ax b u tan ax b du dx cos ax b Hoặc: I f tan ax b tan ax b dx đặt u tan ax b du dx cos ax b dx sin ax b đặt: x Hoặc: I f cot ax b cot ax b dx đặt u cot ax b du dx sin ax b a b x a cos t t a2 b2 x2 a b x a hay ta đặt: x b sin t b2 x a Dạng 12: Dạng Dạng 10: Tính I a x dx, a 2a a x2 dx, a x Đặt x a t Đặt x a sin t dx a cos t , với t ; 2 x2 a2 xdx x a dt tdt (Biến đổi để đưa bậc hai dạng A2 tức a2 a2 sin x a2 cos x a cos x dx tdt t ; 2 x Đổi cận : x t ; 2 Chú ý :vì t ; , ; cos t 2 2 a2 x dx a cos t a a sin t I dx, a a u x Tương tự: Đặt u x a sint 2 t a2 t a2 a a t a dx a dt t a2 Dạng 15: Tính tích phân: I f dt dt Tổng quát: Tính I a u x dx, a t a a dt t dt u x n 1 du n x n dx Đến ta hạ bậc tính bình thường a I dx dt Dạng 14: Tính tích phân: I f x n 1 x n dx đặt x a dx a t a2 a I a a sin t a cos tdt a cos2 tdt Hoặc: I a x a b x dx Ví dụ: Tính tích phân sau: I Hoặc: I a b2 x a a sin t với t ; dx cos tdt b b 2 Dạng 13: I a b x hay a.e b ta giải Dạng 5: I Dạng 11: x Dạng 4: I dx đặt sin x ax b u cot ax b du 1 u ln x du dx u ln(ln x) du dx x ln x x Dạng 9: I f cot ax b u x du x dx đặt x dx x Dạng 16: Tính tích phân: I f ax b dx đặt u ax b du adx Dạng 17: Nếu hàm số dấu tích phân có dạng: f x với n 1, 2,3 ta đặt a b2 x2 x a tan t với t ; b 2 GIÁO VIÊN: NGUYỄN CHÍ THÀNH CƠNG THỨC NGUN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 a dx Đặt x a tan t x a bx ta đặt x sin t I a x dx, a I b a x2 Dạng 18: Dạng ax 3 x 3 x x 8tdt x t dx Đặt t Ví dụ: Tính tích phân sau: I Đổi cận t2 x dx 2 x ax x x t 1 x 1 t t 1 u t 8t dt t dt 8 Đặt t tan u, u ; dt tan u du Đổi cận Khi đó: I 2 2 2 t t 1 t 1 u 3 3 tan u tan u du 3 x tan udu u 2sin u I dx, đặt t x tính nhanh sin udu cos u du nên I 8 Chú ý: Tích phân 2 tan u tan u x 4 4 Tách dạng tích Dạng 19: I I f x n 1 x n dx đặt t x n 1 dt n x n dx Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I x5 x3 dx Suy I dt Đặt t x3 dt 3x dx dx 168 3x 1 t t t t dt t t dt 0 30 168 1 Ví dụ 2.Tính tích phân I x 1 x dx Cách 1: Đặt t x I t t dt t t 15 0 2 2 Cách : Đặt x cos t I sin t cos tdt 2 Cách 6: Đặt I sin t sin t d sin t Cách 5: Đặt sin t u cos tdt du I u (1 u )du 2 0 12 2 cos 4t 12 12 sin 2t cos tdt cos tdt cos tdt cos 4t cos tdt 40 40 80 80 Cách : I 1 x2 dx đặt t x dt 1 dx Ví dụ : Tính tích phân sau: I dx Tích phân: I x x x x 1 1 1 1 x 1 1 2 x2 1 x2 t dx Đổi cận x dx dx dx t x dt Ta có: Đặt 2 x x 1 t t x x 1 x2 x x x 1 x2 1 u 4 t dt tan u dt I du du Khi I Đặt: Đổi cận Khi đó: t tan u dt t tan u du 2 t tan u t 0 1 t u 1 f x x x 1 1 1 x2 x2 d x2 x2 2 d x2 x2 d x2 20 20 20 Phương pháp chia Cách 3: Đặt t x Cách 7: Đặt I Cách 2: Đặt t x CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Phương pháp nhân thêm Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I x Ta có: x dx 1 x 11 dx Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I x3 x 1 x I 2tdt t x 1 Đổi cận: x t x 1 x x dx x x3 x 1 x 1 x 3 dx 1 x dx dt 1 2 t 2 t t dt x 1 x x2 x4 dx x 1 x x dx 1 0 x5 1 x x xdx 0 J 0 t 1 t 2 2 32 12 52 2 32 t dt t dt t t dt 1 1 22 22 2 2 2 5 3 15 15 15 Biến đối tử số thành đạo hàm mẫu số Kĩ thuật chống nhị thức x 99 dx 101 2x 1 1 x3 x3 x3 dx dx dx Ta có: 8 1 x 1 x 1 x Ví dụ: Tính tích phân sau: I Ví dụ: Tính tích phân sau: I 7x dx Phân tích: I x x 2 0 Đặt: x tan t x3 dt 99 t x tan t dt với t ; Đổi cận: 2 x 1 t x3 x3 tan t 14 dx dx dt dt Khi đó: I 2 4 4 16 x tan t 0 1 x 0 Tích phân hàm giá trị tuyệt đối – Max - Min b Muốn tính I f x dx ta xét dấu f x đoạn a, b , khử trị tuyệt đối a b 1 Khi đó: J t t dt t t 2 21 1 99 100 7x x x 2100 d 0 x 100 x 900 2x x2 x x Đặt t x2 dt xdx Đổi cận : x 1 1 1 1 ln ln ln ln 3 2 2 x2 2 x x 1dx x dx x x xdx 1 t 1 ln t ln t ln t 1 x2 x dx x x3 x3 Đặt: t x3 t x3 2tdt 3x dx x dx Khi đó: I x3 x dx x Muốn tính I max f x , g x dx ta xét dấu f x g x đoạn a, b 1 b Muốn tính I f x , g x dx ta xét dấu f x g x đoạn a, b a Hoặc ta đưa dấu giá trị tuyệt đối (áp dụng cho khoảng nghiệm) a Ứng dụng tích phân tính thể tích a Tính thể tích: V S x dx với S x diện tích thiết diện b a VOx f12 x f 22 x dx b a VOx f12 y f 22 y dy GIÁO VIÊN: NGUYỄN CHÍ THÀNH b Ứng dụng tích phân tính diện tích Diện tích giới hạn y f x , trục Ox hai đường thẳng x a, x b là: S b f x dx a Cho hai hàm số y f x y g x liên tục đoạn a; b Diện tích hình phẳng giới hạn b đồ thị hàm số y f x , y g x hai đường thẳng x a, x b là: S f x g x dx a R x, Dạng 1: CƠNG THỨC NGUN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Hàm vơ tỉ Một số cách đặt thường gặp: 2ax b a Dạng 3: ax2 bx c 1 2 4a S x, a x dx đặt x a cos t t ax bx c dx 2ax b a ax2 bx c 1 R x, ax bx c dx t S t, t ax b dt Đặt t R x, ax bx c dx ax b t Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I 0 Khi đó: I Với t S x, S t , t dt ax b x a x dx đặt x a tan t , S x, dx ax bx c t 2 a S x, x a dx đặt x cos t , t k sin u Dạng 4: S t , t dt Đặt t sin u t Đặt t tan u 2ax b a Dạng 2: ax2 bx c 1 4a R x, ax bx c dx dt ax bx c dx đặt ax bx c xt c ; c ax bx c t x x0 ; ax0 bx0 c ax bx c a x t ; a t x S x, m ax b ax b ; ad cb đặt t m cx b cx d Phương pháp tích phân liên kết x t sin x dx Đặt: x t dx dt Đổi cận: sin x cos x x t sin t 2 2 cos t cos x sin x cos x 2 dt dt dx Vậy I I I dx dx x I cos t sin t cos x sin x sin x cos x 0 0 sin t cos x t 2 2 x t sin x dx Đặt Đổi cận: x t dx dt 0 sin x cos3 x x t 2 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I sin t cos3 t 2 I dt dt 3 cos3 t sin cos t sin t t 2 2 Ví dụ 3:Tính tích phân sau: I GIÁO VIÊN: NGUYỄN CHÍ THÀNH 2 cos x sin x cos3 x dx I I I dx Vậy 0 cos3 x sin x 0 sin x cos3 x 0 dx x I 1 e x ex J dx 0 e x e x 0 e x e x dx Ta có: I J 0 dx 1 d e x e x e2 1 e2 2e e x e x x x 1 ln e e ln e e ln ln I ln Từ suy : J ln dx 0 e x e x 0 e x e x 2e 2e 2 e IJ Các hàm đặc biệt: m n x x dx x x dx n m ; f x hàm lẻ thì: I a a f x dx ; f x hàm số chẵn f x a a x 1dx a a f x dx ; x f sin x dx 0 f sin x dx ...CƠNG THỨC NGUN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Hàm lượng giác Hàm dùng tích phân phần PP tích phân phần: Cho hai hàm. .. ) g (t )dt Nếu phân tích ta áp dụng Tính I g (t )dt v(a) b b a a trực tiếp I f ( x)dx g (v( x))v ' ( x)dx g (v( x))d (v( x)) CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn... Đặt t x CƠNG THỨC NGUN HÀM – TÍCH PHÂN – Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Phương pháp nhân thêm Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I x