TỔNG hợp CÔNG THỨC NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG

c o m / Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia môn Toán Chuyên đề 3: “Nguyên hàm, tích phân” NGUYÊN HÀM.. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG PHẦN 1.. Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều

Trang 1

h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o m /

Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia môn Toán Chuyên đề 3: “Nguyên hàm, tích phân”

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

PHẦN 1 CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ

1

1 1

2

1

C 1 1

1

C

C 1

x

x dx

ax b

ax b dx

u du

du

















  











2) 1dx ln x C 1 dx 1.lnax b C

x     ax b  a  



3)

C

x x

ax b ax b

e dx e a

a dx

a







4) cosxdx sinx C cos ax b dx sinax b C

a



sinxdx cosx C sin ax b dx ax b C

a



6)

tan

ax b



7)

cot

ax b



x a



9)

2 2

1

10) Phương pháp tích phân từng phần Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân với nhau (mũ nhân lượng giác, lôgarit nhân đa thức, )

Các bước làm:

+ Bước 1: Viết tích phân dưới dạng (nếu đề bài chưa cho):    

b

a

f x g x dx

+ Bước 2: Đặt  

 

du f x dx

u f x

dv g x dx v g x dx









+ Bước 3: Tính    

b

a

f x g x dx

b udv u v vdu

a

+ Bước 4: Kết luận

Cách chọn: Thứ tự ưu tiên đặt u là “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” và dv là phần còn lại

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Trang 2

PHẦN 2 SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN

PHẦN 3 TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG GẶP

Trong phần này ta xét một số loại tích phân sau:

+ Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

+ Tích phân hàm hữu tỉ

+ Tích phân hàm vô tỉ

+ Tích phân hàm lượng giác

A TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài toán: Tính tích phân b  

a

f x dx



 Bước 1: Xét dấu f x trên đoạn    a b Giả sử trên đoạn ,  a b , phương trình , f x   0 có nghiệm c  a b, Khi đó, ta có bảng xét dấu như sau:

x a c b

 

f x + 0 

 Bước 2: Dựa vào công thức phân đoạn và dấu của f x trên    a c và ,  c b , ta được: ,

f x dx f x dx f x dx f x dx   f x dx

Trang 3

Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia môn Toán Chuyên đề 3: “Nguyên hàm, tích phân”

B TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ Bài toán: Tính tích phân  

 

P Q

q

p

x dx x

 với P x và   Q x là các đa thức không chứa căn. 

Trường hợp 1: Bậc của tử P x   bậc của mẫu Q x và   Q x có dạng nhiều nhân tử thì ta phân tích    

 

P Q

x

x thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp

hệ số bất định)

ax m bx1 n an bm ax1 a m bx b n

x a1x b  x aA x bB

Q

n n

n

x

x a mxx b n  x aA x bB



        

2

Q

Q x

x x a x b x c

x x a x b x c x c

        

Q

x

2

 

P

Q

q

p

x

dx

x



Trang 4

Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia môn Toán Chuyên đề 3: “Nguyên hàm, tích phân”

0 I

2 2

q

p

q b

p

b

a x

a

  

1

q

x x

p

a x x x x a x x x x x x a x x x x

2

0 I

q

p

dx

x



    

b

  

2

ax bx c a x x x x

Tổng quát: Đặt  

A

B

2

m

ax b

mb

ax bx c ax bx c ax bx c

n a

 







Trường hợp 2: Nếu bậc của tử P x   bậc của mẫu Q x  

  1

I  h x dx: Tích phân cơ bản.

 

P

chi

x

 

  2

I Q

r x dx x

  : Quay về trường hợp 1

1

I

q

p

dx

ax bx c



2

mx n

ax bx c a x x x x

I

a ax bx c a ax bx c

Đặt t ax2bx c I1

I

q

p

dx







Trang 5

C TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ HƯỚNG 1: BIẾN ĐỔI VỀ TÍCH PHÂN VÔ TỈ CƠ BẢN

dx ax b ax c dx

b c



+

2 2 22 2 21 2

2

2 2

t x a 2 2

a a

HƯỚNG 2: ĐỔI BIẾN LÀM MẤT CĂN

 I 1   R x;n f x  dx với  

x

ax b

f x

cx d

a b







  I 1 R   ;   

n





  : Tích phân cơ bản



2

1

x a x b





PP: Đặt

x a x b

t x a x b

Khi đó: I2 2dt 2 ln t C 2 ln x a x b C

t

 3

2 2

1





PP: Đặt 2 2

2 2

x a



2 2

x x a

t

3

1

t

4

I   x a dx

PP:

2 2

4

3

1

I

2I x x a a I

Trang 6



1

mx n ax bx c



ax bx c k mxn PP: Đặt 2

1

t ax bx c t

mx n



 





1

x a ax bx c



 PP: Đặt x a 1

t

 

HƯỚNG 3: ĐỔI BIẾN ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

2 2

a x Đặt

 

2 2 sin ,

cos , 0;

t t

x a t

 



  









 



2 2

x a Đặt

 

 

2 2 0

, si

2

n

c os , ; \

a x

t a t t

t

x

 



  

 

 













2 2

x a Đặt

2 2 tan ,

cot , 0;

t t

x a t

 



  



 



 



2 2

1

x a Đặt x a tant, t 2 2;

 

 





a x



 hoặc

a x





Đặt xacos 2t

x a b  x Đặt   2

sin

x  a b a t

HƯỚNG 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

3

2 0

I

1

x x x

dx x





D TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC HƯỚNG 1: SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN

 Tích bậc nhất của các hàm lượng giác PP dùng công thức biến đổi tích thành tổng:

1

2 1

2

 Nếu gặp bậc chẵn của sin x và cos x PP dùng công thức hạ bậc:

2

1 cos 2 sin

1 cos 2 cos









Trang 7

2 2







 Đặc biệt:

2

sin

2

tan

1

2

2 cos 2

x t

x

dt t

x t dt



HƯỚNG 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

PP

I  f cosx sinxdx   t cosx

PP

I  f sinx cosxdx   t sinx

2 3

1

PP



  



2 4

1

PP



  



sin PP

I sin , cos sin 2

cos

 





6

PP

R sin , cos R sin , cos cos

tan PP

I R sin , cos R sin , cos R sin , cos

cot PP

R sin , cos R sin , cos

sin







Đặc biệt:  sinm xcosn xdx

+ m chẵn, n lẻ PP t sinx

+ m lẻ, n chẵn PP t cosx

+ Nếu m , n cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì dùng công thức nhân đôi, sau đó hạ bậc,

Trang 8

HƯỚNG 3: HỮU TỈ HÓA TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

sin cos dx

a x b x





dx





x

2 2

2

.

dx





tan

2

cos

2

x t

x

t

x











a x b x c





2 2

2



Sử dụng: sin 2 2

1

t x t



 và

2 2

1 cos

1

t x t





 + Khi đó:

2 I

c b t at b c



 I9 sin cos

sin cos

a x b x

dx

c x d x









+ Đặt sin cos A  sin cos  B  cos sin  B  cos sin 

A

a x b x

Sử dụng phương pháp đồng nhất thức A

B





  

9

I a



Tính I9a: Đặt tcsinx d cosxdt ccosx d sinx dx 9

1

I a dt lnt C ln sinc x dcosx C

t

 I10 sin cos

sin cos

a x b x c

dx

m x n x p





+ Đặt asinx b cosx c  A msinx n cosx p  B mcosx n sinx  C

Sử dụng phương pháp đồng nhất thức

A

B

C







 

 

 + Khi đó: 10

8

m x n x

m x n





Trang 9

a x b x x c x d





2 2

2

11

2

1 cos

cos

1

cos

d

x

dx x

x





HƯỚNG 4: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

1)

2 2 0

.cos



1 2 0

tan

0

.cos sin



2 3 4

.cos sin

dx x



 

HƯỚNG 5: SỬ DỤNG NGUYÊN HÀM PHỤ

Ví dụ 1: Cho

2 6

0

sin I

s in + 3 cos

x dx



2 6

0

cos J

s in + 3 cos

x dx



 

a) Tính I 3J  và I J  b) Đặt

6 0

cos2 K

s in + 3 cos

x dx



  Tính I, J, K

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

1) 2 0

s in

s in cos

x dx





2

0

cos cos 2x xdx



6 2

0

sin sin cos

x dx







PHẦN 4 CÁC LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT

Phương pháp giải chung:

Đặt x  a b t và biến đổi tạo ra tích phân luân hồi (tạo ra I) rồi giải phương trình bậc nhất ân I

Chú ý: Phép lấy tích phân không phụ thuộc vào biến số, tức là: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể

chọn bất kì một chữ khác thay cho x hay:       F     F

f x dx f t dt  f u du  b  a

Bài toán 1: Nếu hàm số f x liên tục và lẻ trên    a a,  thì I   0

a

f x dx



Bài toán 2: Nếu hàm số f x liên tục và chẵn trên    a a,  thì    

0

a

f x dx f x dx



Bài toán 3: Nếu hàm số f x liên tục và chẵn trên   thì:

0

1 I

x

f x

dx f x dx f x dx b



a 

 



 



Trang 10

Bài toán 4: Nếu hàm số f x liên tục trên   0;

2



  thì: 2   2  

I f sinx dx f cosx dx

Bài toán 5: Nếu hàm số f x liên tục và   f a b  x  f x  thì: I    

2

a b

xf x dx  f x dx

Hệ quả:

+ Nếu hàm số f x liên tục trên     0;1 thì: I  sin   sin 

2

xf x dx f x dx



+ Nếu hàm số f x liên tục trên     0;1 thì: I 2 xf  cosx dx 2 f  cosx dx



Bài toán 6: Nếu hàm số f x liên tục và   f a b  x  f x  thì: I   0

b

a

f x dx

Bài toán 7: Nếu hàm số f x liên tục trên   0; 2a với  a 0 thì:

2

f x dx f x f a x dx

Bài toán 8: Nếu hàm số f x liên tục trên   và tuần hoàn với chu kì T thì:

0 I

a

f x dx f x dx



PHẦN 5 TÍCH PHÂN LIÊN KẾT

Tính tích phân: I  

b

a

f x dx

+ Bước 1: Tìm thêm tích phân: J  

b

a

g x dx

  sao cho tính được I + J và I  J

+ Bước 2: Giải hệ phương trình: I J I

I J J



PHẦN 6 TÍCH PHÂN TRUY HỒI

Tính tích phân: I   ,

b

n a

f x n dx

+ Bước 1: Biến đổi I

b

n a udv

  với n + Bước 2: Dùng công thức tính tích phân từng phần, ta được:

b udv uv vdu

a

+ Bước 3: Tính I n theo In1, In2, (hay theo In1, In2, )

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	1,03 MB