TỔNG hợp CÔNG THỨC NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân” 3/ w w w t a i l i e u p r o c o thttptNGUYÊN :p/://w w w t a i l i e u p r o c o m HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG h t t p PHẦN : / /1.w w w t a i l i e u p r o c o CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ h t t p : / / w w w  t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o c o    h t t p : / / w w w  t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w  t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http : / / w w w t a i l i e u p r o c o  h t t p : / / w w w t a  i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c   w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w      h t t p : / / w w w  t a i l i e u p r o c  w  t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : / / w w w t a i l i e  u p r o c h t t p : / / w  w w   t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o c        http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c CHUYÊN ĐỀ u 1  C   1    1   x 1 x dx  C   1    1 ax  b    ax  b dx  a    C   u du   u  C  1   du   C   u 1  u 1) u du  2) 1 dx  ln x  C   dx  ln ax  b  C x ax  b a 3)  e x dx  e x  C a  a x dx   C   ax b ax  b ln a C  e dx  e a  x 4) 5) 6) sin ax  b C a cos ax  b sin xdx   cos x  C   sin ax  b dx   C a tan ax  b 1 dx  tan x  C   dx  C 2 cos x cos ax  b a cos xdx  sin x  C   cos ax  b dx  7) cot ax  b 1 dx   cot x  C   dx   C 2 sin x sin ax  b a 8) 1  1  xa dx   ln C   dx  x a 2a  x  a x  a  2a x  a 9) u  x2  a2 x  a dx  I  dv  dx x2  a2 t  x  x2  a2 dx  I  x  x  a  C 10) Phƣơng pháp tích phân phần Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân với (mũ nhân lượng giác, lôgarit nhân đa thức, ) Các bƣớc làm: b + Bước 1: Viết tích phân dạng (nếu đề chưa cho): f x g x dx a du  f  x dx  u  f x  + Bước 2: Đặt   v  g x dx dv  g x dx    b b b b f x g x dx theo công thức: udv  u.v  vdu a a a a + Bước 4: Kết luận Cách chọn: Thứ tự ưu tiên đặt u “Nhất lơ, nhì đa, tam lƣợng, tứ mũ” dv phần cịn lại + Bước 3: Tính Cao Văn Tuấn – 0975306275 tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để Trang có thêm nhiều Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân” SƠ ĐỒ PHÂN w w t iaBÀI eTÍCH u rp o thttpt :p/:PHẦN //w/ 2.w w wCHUNG t.aGIẢI l ii lTOÁN ei u p or oc oc m http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http : / / w w w t a i l i e u p r o c PHẦN TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM THƢỜNG GẶP http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p A.: TÍCH //w wHÀMwCHỨA t DẤU a iTRỊl iTUYỆT e uĐỐIp r o c PHÂN   w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w  h t t p : / /  w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : /  / w w w  t a  i l i e  u p r o c      http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Trong phần ta xét số loại tích phân sau: + Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối + Tích phân hàm hữu tỉ + Tích phân hàm vơ tỉ + Tích phân hàm lượng giác b Bài tốn: Tính tích phân f x dx a  Bước 1: Xét dấu f x đoạn a, b Giả sử đoạn a, b , phương trình f x  có nghiệm c  a, b Khi đó, ta có bảng xét dấu sau: x a c + f x b   Bước 2: Dựa vào công thức phân đoạn dấu f x a, c c, b , ta được: b c f x dx  a b f x dx  a c b f x dx  f x dx   f x  dx c a c Cao Văn Tuấn – 0975306275 tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để Trang có thêm nhiều ep u rpor oc oc m om h thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u / / h t t p : / / wB TÍCH w wPHÂN t aHÀM i l HỮU i e uTỈ p r o c o m /      h t Pt x p :Q /x  / w w w t a i l i e u p r o c o m / h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o m /     h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o m / h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o m / http://www.tailieupro.com/ h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o m / h t t p :  / / w w w t a i l i e u p r o c o m /   h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o m / h t t p : / / w w w t a i l i eu p r o c o m / http://www.tailieupro.com/     h  t  t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o m /     http://www.tailieupro.com/ h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o m /    / w  w a i. lt ia h t t ph :t /t /pw: /w tw ei ul iperuop cr oo mc /o m / http://www.tailieupro.com/              h t t p  : / / w w w t a i l i e u p r o  c o m / http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân” q Bài tốn: Tính tích phân P x dx với Q x p đa thức không chứa Trƣờng hợp 1: Bậc tử P x  bậc mẫu Q x Q x có dạng nhiều nhân tử ta phân tích hệ số bất định) ax  m bx  n P x thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp Q x   a b     an  bm  ax  m bx  n  x a x b Q  x   x  a1 x  a2 x  an  A B  x a x b P x An A1 A2     Q x x  a1 x  a2 x  an mx  n A B   x a x b x a x b P  x p Q  x  dx q Q  x  x  a x  b x  c Q  x  x  a x b P x A B C D     Q x x a x b x c xc P x A B   Q x xa xa Q  x   x  m ax  bx  c Cao Văn Tuấn – 0975306275 2  C D  x b x b 2 P x A Bx  C Dx  E    Q x x  m ax  bx  c ax  bx  c Q x  x  m ax  bx  c Trang hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu P x A Bx  C   Q x x  m ax  bx  c ep u rpor oc oc m om h thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u / / h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o m / http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ h t t p :/ / w w w  t a i l i e u p r o c o m / http://www.tailieupro.com/ h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o m / http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ h t t p : / /  w w w t a i l i e u p r o c o m / http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/  mb  http://w w w t a i l i e uI pm r o2ax. bcdxo  nm  /  dx 2a ax  bx  c 2a  ax  bx  c  http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ h tP tx ph :t /t /pw tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc /o m / Q: x /w / ww   a h t t p : / / w w w t ilieupro.com/           h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o m / h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o m / http://www.tailieupro.com/ Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn q 0 q I1   dx ax  bx  c p I1  1 b q dx    x   a 2a  p b   p a x   2a   I1  p 0 I1  1 a x  x1 dx  x  x2 a x2  x1 mx  n dx ax  bx  c p q  x  x2 q   ln   dx  x  x2 x  x1  a x2  x1 x  x1 p p q q 1 b   dx Đặt x   2a  4a a p b     x    2a   4a   mx  n mx  n  ax  bx  c a x  x1 x  x2 I2   Chuyên đề 3: “Nguyên hàm, tích phân” q 0 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;)   tan t  mx  n 1 A B      ax  bx  c a  x  x1 x  x2  m  A  A 2ax  b mx  n B  2a    Tổng quát: Đặt ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c B  n  mb  2a q q p Đặt t  ax2  bx  c Trƣờng hợp 2: Nếu bậc tử bậc mẫu I1  h x dx : Tích phân  r x  r x P  x   I   h x  dx  I1  I2  dx  h x dx  chia Q  x  Q x Q x   I2  Cao Văn Tuấn – 0975306275 r x dx : Quay trƣờng hợp Q x Trang hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu p I1 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân” C TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈ h t t p : / / w w ep u rpor oc oc m o t t p : / / w w ww t.at ial ii lei u h t t p : / / w w  w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i  l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p  : / / w  w  w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w   t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w  w w  t a  i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c  http://www.tailieupro.c    http://www.tailieupro.c    h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c  : / / w w w t a i l i e u p r o c http h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c HƢỚNG 1: BIẾN ĐỔI VỀ TÍCH PHÂN VƠ TỈ CƠ BẢN n n 1 + dx  ax  b  ax  c dx bc m ax  b  ax  c m n + m xa xa 2x dx  dx  dx 2 2 xa x  a x  a m m n n t  x2  a2 n  a m x2  a2 t  x  x2  a2 dx x a sin t x a cos t HƢỚNG 2: ĐỔI BIẾN LÀM MẤT CĂN ax  b  I1  R x; n f x dx với f x  ax  b cx  d a x  b tn f x x  t  f x  t n  I1  R  t ; t   t dt : Tích phân PP:  dx    t dt  I2  xa xb dx 1 xa  xb    dx PP: Đặt t  x  a  x  b  dt    dx  dt  xa xb  xa xb   dt  t Khi đó: I2   I3  dt  2ln t  C  2ln t x  a2 I4  xa xb dx xa  xb C dx  x PP: Đặt t  x  x  a  dt  1  x2  a2  Khi đó: I3  dt  ln t  C  ln x  x  a t   x  x2  a2 dx  dt  dx  dt   t x2  a2  x2  a2 C x  a dx PP: I  u  x2  a2 x  a dx  I  x x  a  dv  dx x  a dx  a I4 2I4  x x  a  a I3 Cao Văn Tuấn – 0975306275 tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để Trang có thêm nhiều x2  a2 I3 dx dx Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn Chun đề 3: “Nguyên hàm, tích phân” t  ax  bx  c  dx với  ax  bx  c   k  mx  n  PP: Đặt  t  ax  bx  c  mx  n ep u rpor oc oc m o thttpt :p/:/ /w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p :  / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c   http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w  t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c  h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c TÍCH h t t p : / /D.w wPHÂN wHÀM t LƢỢNG a i l GIÁC ieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c  I5   I6  mx  n xa dx PP: Đặt x  a  t ax  bx  c n HƢỚNG 3: ĐỔI BIẾN ĐƢA VỀ TÍCH PHÂN LƢỢNG GIÁC Cách đặt ẩn phụ      x  a sin t , t    ;  Đặt     x  a cos t , t  0;   a    , t   ;  \ x  sin t  2 Đặt   a   , t  0;  \   x  cos t 2  Dấu hiệu a2  x2 x2  a2 x a      x  a tan t , t    ;  Đặt     x  a cot t , t  0;     Đặt x  a tan t , t    ;   2 Đặt x  a cos 2t x  a2 ax ax ax ax Đặt x  a  b  a sin t xa b x HƢỚNG 4: SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ví dụ: I  x ln x  x  x2  dx HƢỚNG 1: SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI LƢỢNG GIÁC ĐƢA VỀ CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN PP  Tích bậc hàm lượng giác   dùng công thức biến đổi tích thành tổng: cos  cos   cos     cos     sin  sin   cos     cos     sin  cos   sin     sin     cos 2  sin     PP  2  Nếu gặp bậc chẵn sin x cos x   dùng công thức hạ bậc:  cos    cos 2  2 Cao Văn Tuấn – 0975306275 tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để Trang có thêm nhiều Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân”   cos 2  1 2 sin    sin         cos 2  cos 2  2 4     2  cos 2  1  cos   cos      cos   cos 2        4 2  ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : / / w  w w  t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co  http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o  http://www.tailieupro.co    http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p :  / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w  w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w ww.tailieupro.c  http://www.tailieupro.c h t t p  : / / w w w  t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c  1 1 dx  dx  dx x x x x sin x 2sin cos tan 2cos 2 2 x t  tan  dt  ln t  C  ln tan x  C  x t dt  cos 2 Đặc biệt: HƢỚNG 2: SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ PP  I1  f cos x sin xdx   t  cos x    PP I2  f sin x cos xdx   t  sin x dx cos x I3  f tan x I3  f tan x  tan x dx I4  f cot x PP   t  tan x dx sin x PP   t  cot x I4  f cot x  cot x dx PP t  sin x I5  f sin x, cos x sin xdx   t  cos x  2 PP R  sin x, cos x  R sin x, cos x   t  cos x  I6  R sin x, cos x dx PP t  tan x R  sin x,  cos x  R sin x, cos x   t  cot x PP R sin x,  cos x  R sin x, cos x   t  sin x Đặc biệt: sin m x cosn xdx + PP m chẵn, n lẻ   t  sin x + PP m lẻ, n chẵn   t  cos x + Nếu m , n chẵn lẻ dùng cơng thức nhân đơi, sau hạ bậc, Cao Văn Tuấn – 0975306275 tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để Trang có thêm nhiều Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân” HƢỚNG 3: HỮU TỈ HĨA TÍCH PHÂN LƢỢNG GIÁC 1  I7   dx dx   a b a sin x  b cos x a  b2 sin x  cos x a  b2 a  b2 1 1  dx  dx   a  b sin  x    a  b2 sin  x    cos  x            1  dx 2  a  b tan  x    cos  x             x   t  tan   1 1  x       dt  ln t  C  ln tan   C  2 2 2 1 t   a  b a  b a  b dt  dx  x   cos      I8   dx a sin x  b cos x  c ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c   http://www.tailieupro.c  h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w  t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w  t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w w t a i l i e u p r o c o m / w w t a i l i e u p r o c  h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c  i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c  http://www.tailieupro.c x 1 x   dt  dx  2dt  1  tan  dx  dt  dx x 2 cos2 2 1 t2  1 t2 2t Sử dụng: sin x  cos x  1 t2 1 t2 dt + Khi đó: I8  c  b t  2at  b  c + Đặt t  tan  I9  a sin x  b cos x dx c sin x  d cos x B c cos x  d sin x a sin x  b cos x A c sin x  d cos x  B c cos x  d sin x   A c sin x  d cos x c sin x  d cos x c sin x  d cos x A  Sử dụng phương pháp đồng thức   B  B c cos x  d sin x   c cos x  d sin x + Khi đó: I9   A  dx  dx  Ax  B c sin x  d cos x  c sin x  d cos x  I9 a + Đặt Tính I9 a : Đặt t  c sin x  d cos x  dt  c cos x  d sin x dx dt  ln t  C  ln c sin x  d cos x  C t a sin x  b cos x  c I10  dx m sin x  n cos x  p  I9 a   + Đặt a sin x  b cos x  c  A m sin x  n cos x  p  B m cos x  n sin x  C A   Sử dụng phương pháp đồng thức  B  C   m cos x  n sin x dx  C dx + Khi đó: I10  A dx  B m sin x  n cos x  p m sin x  n cos x  p đat t  m sin x  n cos x  p I8 Cao Văn Tuấn – 0975306275 tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để Trang có thêm nhiều Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn  I11   dx a sin x  b sin x cos x  c cos x  d cos x  dx d a tan x  b tan x  c  cos x 1  dx 2 a tan x  b tan x  c  d 1  tan x  cos x Chuyên đề 3: “Nguyên hàm, tích phân” ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co     http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co     http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c  h t t p : / / w w w tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : PHẦN //w wLỚP wTÍCH t PHÂN a i ĐẶC l i BIỆT eupro.c CÁC http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w t w a i. ltiae i ul iper u o p  c r oo mc h t t p : / /  w w w  t a i  l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e  u p r o c h t t p : / / w ww.tailieupro.c          http://www.tailieupro.c 1 t  tan x dx   I11  a  d tan x  b tan x  c  d cos x dt  dx cos x  dt a  d t  bt  c  d 2 HƢỚNG 4: PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ví dụ: Tính tích phân sau:   1)  2 2) x.cos xdx x.tan xdx 3) x.cos x.sin xdx 4)  0 x.cos x dx sin x HƢỚNG 5: SỬ DỤNG NGUYÊN HÀM PHỤ   sin x cos x dx J  dx s inx + cos x s inx + cos x a) Tính I  3J I  J Ví dụ 1: Cho I   cos2x dx Tính I, J, K s inx + cos x Ví dụ 2: Tính tích phân sau: b) Đặt K  1)   2 s inx dx s inx  cos x  sin x dx sin x  cos6 x 2) cos x.cos 2 xdx 3) Phương pháp giải chung: Đặt x  a  b  t biến đổi tạo tích phân luân hồi (tạo I) giải phương trình bậc ân I Chú ý: Phép lấy tích phân khơng phụ thuộc vào biến số, tức là: Đối với biến số lấy tích phân, ta b b b f x dx  f t dt  f u du   F b  F a chọn chữ khác thay cho x hay: a a a a Bài toán 1: Nếu hàm số f x liên tục lẻ a, a I  f x dx  a a Bài toán 2: Nếu hàm số f x liên tục chẵn a, a I  a f x dx  f x dx a Bài toán 3: Nếu hàm số f x liên tục chẵn thì: a a 0  b  f x dx  f x dx  f x dx với  x  1 b a a  a a I Cao Văn Tuấn – 0975306275 tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để Trang có thêm nhiều Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia môn Tốn Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân”   2 e p u rp r oc oc m o  o thttpt :p/://w/ w w  w ww t.at ialii lei u h t t p : / / w  w w t a i l i e u p  r o c o http://www.tailieupro.co   u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e h t t p : / / w w  w t a i l i e u p r o c o http://w   w w  t a i  l i e  u p r o c o http://w w w  t a i l i e u p r o c o   h t t p : / / w w  w   t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c  t a   i l i e u p r o c   http://www http://w w w t a i l i e u p r o c PHẦN TÍCH PHÂN LIÊN KẾT h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/PHẦN ww TÍCH tw aPHÂN i lt iTRUY aei ulHỒIiperuop cr oo mc    http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c   Bài toán 4: Nếu hàm số f x liên tục 0;  thì: I   2 f sin x dx  f cos x dx b ab f x dx a b Bài toán 5: Nếu hàm số f x liên tục f a  b  x  f x thì: I  xf x dx  a Hệ quả:   + Nếu hàm số f x liên tục 0;1 thì: I  xf sin x dx   2  + Nếu hàm số f x liên tục 0;1 thì: I     xf cos x dx   f sin x dx  2  f cos x dx   b Bài toán 6: Nếu hàm số f x liên tục f a  b  x   f x thì: I  f x dx  a Bài toán 7: Nếu hàm số f x liên tục 0; 2a với a  thì: 2a I a f x dx   f x  f 2a  x  dx 0 Bài toán 8: Nếu hàm số f x liên tục tuần hoàn với chu kì T thì: aT I T f x dx  f x dx a b Tính tích phân: I  f x dx a b + Bước 1: Tìm thêm tích phân: J  g x dx cho tính I + J I  J a I  J  I  + Bước 2: Giải hệ phương trình:   I  J  J  b Tính tích phân: In  f x, n dx a b + Bước 1: Biến đổi I n  udv với n  a b + Bước 2: Dùng cơng thức tính tích phân phần, ta được: b b udv  uv  vdu a a a + Bước 3: Tính I n theo In1 , In2 , (hay theo In1 , In , ) Cao Văn Tuấn – 0975306275 10 tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để Trang có thêm nhiều Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân” w aDỤNG t ialTÍCH ii leiPHÂN ep u rpor oc oc m o PHẦN 7.w ỨNG thttpt :p/://w/ w w w t u ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG http://www.tailieupro.co   w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w     http://www.tailieupro.co   w  t a i l i e u p r o c o http://ww h t t p : / / w w w  t a  i l i e u p r o c o h t t p : / / w  w w t a i l i e u p r o c o h t t p  : /  / w w  w  t a i l i e u p r o c o    http://www.tailieupro.c  h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o c   h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c       http://www.tailieupro.c   h t t p : / / w w w  t a i l  i e u p r o c h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w  w   t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc   h t t p : / / w  w  w t a i l i e u p ro.c          h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w  w  w t a i l i e u p r o c   w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w  w           http://www.tailieupro.c Bài tốn 1: Hình phẳng H giới hạn đường: + Đồ thị C hàm số y  f x liên tục đoạn a, b + Trục hoành Ox: y  + Hai đường thẳng x  a x  b b Giải: Diện tích S hình phẳng H là: S  f x dx a Chú ý: b b f x dx   Nếu f x khơng đổi dấu a, b a f x dx a  Nếu phương trình f x  có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , , xk a, b khoảng a, x1 , x1 , x2 , , xk , b biểu thức f x không đổi dấu Khi đó: S  x1 f x dx  a x2 b f x dx   x1 f x dx xk Bài tốn 2: Hình phẳng H giới hạn đường: + Đồ thị hàm số y  f x y  g x liên tục đoạn a, b + Hai đường thẳng x  a x  b b Giải: Diện tích S hình phẳng H là: S  f x  g x dx a Bài tốn (Diện tích hình phẳng giới hạn hai đƣờng cong tự cắt khép kín): Hình phẳng H giới hạn đồ thị hàm số y  f x y  g x liên tục đoạn a, b Giải:  Diện tích S hình phẳng H là: S  f x  g x dx , với  ,  nghiệm  nhỏ lớn phương trình f x  g x , a      b Bài tốn (Diện tích hình phẳng giới hạn ba đƣờng cong tự cắt khép kín): Hình phẳng H giới hạn đồ thị hàm số C1 : y  f x , C2 : y  g x C3 : y  h x liên tục đoạn a, b Giải: A  C1  C2  Bước 1: Tìm giao điểm: B  C2  C3  C  C3  C1 c b Bước 2: Sử dụng: S   f x  h x  dx   g x  h x  dx a c Cao Văn Tuấn – 0975306275 11 tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để Trang có thêm nhiều Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân” Bài tốn 5: Nếu hình Hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số x  f  y  x  g  y  liên tục ep u rpor oc oc m o thttpt :p/ ://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : / / w w  w   t a  i l i e u p r o c o  h t t p : / / w  w w  t a i l i e u p r o c o w ỨNG.DỤNG TÍCH PHÂN h t t p : /ĐỂ/ TÍNH wPHẦN w t a i l ieupro.co THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÕN XOAY http://www.tailieupro.co     http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co   w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c   w   w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w h t t p  : / /  w w w t a i l i e u p r o c  h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /p w: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c đoạn a, b  Giải: Diện tích S hình phẳng H là: S  f y  g y dy với  ,  nghiệm nhỏ lớn  phương trình f y  g y , a      b Bài tốn 1: Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng  C :y f x  Truc Ox : y  H:  quanh trục Ox x  a  x  b  b VOx   f x dx a Bài toán 2: Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng  C1 : y  f x   C2 : y  g x  H:  f x g x  0, x  a, b quanh trục Ox x  a  x  b  VOx   b f x  g x dx a Bài tốn 3: Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng  C :y f x xg y  Truc Oy : x  H:  quanh trục Oy y  f a y  f b  VOy   f b g y dx f a Cao Văn Tuấn – 0975306275 12 tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để Trang có thêm nhiều ... phần ta xét số loại tích phân sau: + Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối + Tích phân hàm hữu tỉ + Tích phân hàm vơ tỉ + Tích phân hàm lượng giác b Bài tốn: Tính tích phân f x dx a  Bước... 4: SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ví dụ: I  x ln x  x  x2  dx HƢỚNG 1: SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI LƢỢNG GIÁC ĐƢA VỀ CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN PP  Tích bậc hàm lượng giác   dùng công thức biến... Tốn Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân? ?? q Bài tốn: Tính tích phân P x dx với Q x p đa thức không chứa Trƣờng hợp 1: Bậc tử P x  bậc mẫu Q x Q x có dạng nhiều nhân tử ta phân tích hệ số bất định)