Tổng hợp bài tập nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN (TỰ LUẬN) Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số Kiến thức liên quan 1.1 Công thức nguyên hàm Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm mở rộng  dx  x  C  a.dx  ax  C, a  x 1  x dx     C,   1 (ax  b) 1  (ax  b) dx  a    C dx  x  ln x  C, x  dx   ax  b a ln ax  b  C  e dx  e e  x x  a dx  x C ax C ln a  ax b dx  eax b  C a  x   a dx  a x   C  ln a  cos xdx  sin x  C  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C  sin xdx   cos x  C sin( ax  b ) dx   cos(ax  b)  C  a  cos x dx  tan x  C  sin x dx  cotx  C 1  cos (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C 1 dx   cot (ax  b)  C  sin (ax  b) a 1.2 Cơng thức tích phân F(x) nguyên hàm hàm số f(x) đoạn [a;b] Group Nhóm Tốn | Trắc nghiệm 2016-2017 b  f ( x)dx  F ( x) b a  F (b)  F (a) a 1.3 Phương pháp đổi biến số b 1.3.1 Dạng : Tính I =  f  ( x) ( x)dx ' a + Đặt t =  ( x)  dt   ' ( x).dx + Đổi cận :  I= x a b t  (a)  (b)  (b )   (a) f (t ).dt  F (t )  (b)  (a) b 1.3.2 Dạng : Tính I =  f ( x)dx cách đặt x =  (t ) a Dạng chứa    a  x : Đặt x = asint, t    ;  (a>0)  2 1.4 Phương pháp tích phân phần b * Cơng thức tính : b  f ( x)dx   udv  uv  vdu a a  u  a a du  dx   Đặt   dv  v   b b  (lay (lay dao ham) nguyen ham) Ta thường gặp hai loại tích phân sau: * Loại 1: Group Nhóm Tốn | Trắc nghiệm 2016-2017 b   P( x).sin f ( x).dx a  b   P( x).cos f ( x).dx a b   P( x).e f ( x ) dx  a  u  P( x) , P( x) đa thức bậc n b *Loại 2:  P( x).ln f ( x).dx  u  ln f ( x) a 1.5 Tính chất tích phân Tính chất 2: b a a b b b a a a   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx b Tính chất 3: b  kf ( x)dx  k  f ( x)dx , k: số Tính chất 1:  a c b f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a ( a  c  b) c 1.6 Diện tích hình phẳng 1.6.1 Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục [a; b] diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a x = b là: b S   f ( x) dx (*) a Lưu ý:  f ( x)  vơ nghiệm (a;b) b S   f ( x) dx  a b  f ( x)dx a  f ( x)  có nghiệm c  (a; b) b S   f ( x) dx  a c b a c  f ( x)dx   f ( x)dx Group Nhóm Tốn | Trắc nghiệm 2016-2017 1.6.2 Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) y = f2(x) liên tục [a; b] Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) hai đường thẳng x = a, x = b là: b S   f1 ( x)  f ( x) dx (**) a Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối công thức (**) thực tương tự công thức (*) 1.7 Thể tích vật thể trịn xoay Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đường y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: b V    f ( x)dx a Lưu ý: Diện tích, thể tích giá trị dương Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính tích phân sau  / B    e  3 dx / A   (2x+e )dx x x / C    sinx+ cos x  dx x  x2  x   / D   dx x 1   / E    x  sin x  dx Lời giải 1 0 1/ A    x  e  dx   xdx   e x dx  x  e x    e   e x 1 / B    e  3 dx    2e  dx 3 x x x 1 0  2e  x dx  x 1 2x  2e   3   ln 2e ln  ln 2e  ln 0    0 / C    sinx  cos x  dx   sinxdx   cos xdx   cos x  sin x    Group Nhóm Tốn | Trắc nghiệm 2016-2017 4 1  1 x 3  32 2 3  / D       dx     x  3x  dx  ln x  x  x  x x x x   1 1       2 / E    x  sin x  dx   xdx   sin xdx  x  cos x  2 0 0 Ví dụ Tính tích phân sau / I   x x  3dx 2x  dx  x  1 2/ J    2ln x   / K     dx x x  ln x  1  1 e ln 4/ L     x  2e x   dx 1 Lời giải 1/ I   x x  3dx   Đặt x   t ta x   t  dx  2tdt Đổi cận: x   t  2; x   t  3 232 2   Khi I    2t  6t  dt   t  2t   5 2 2x  dx  3x  1 2/ J   t 1  dx  tdt 3  Đổi cận x   t  1; x   t   Đặt 3x   t ta x  2t  t   28  Khi J   dt    2t  2t    ln dt  1 t 1 t 1 27 2  2ln x   / K      dx x x  ln x  1  1 e e  Tính K1   1 dx ta kết K1  x   e 1 Group Nhóm Tốn | Trắc nghiệm 2016-2017 dx x  Đổi cận x   t  0; x  e  t  Đặt ln x  t ta dt   2t  dt   2t  ln  t  1    ln t 1  Khi K    Vậy ta K  K1  K  e  ln ln    x  2e 4/ L  x   dx 1 ln  Tính L1   xdx ta kết I  ln ln  Tính L2   2e   x 1 2 dx Đặt e x  t ta e x dx  dt Đổi cận x   t  1; x  ln  t  2 dt   ln t  ln  2t  1   ln  ln  ln t 2t  1   Khi L2    Vậy ta L  L1  L2  ln  ln Ví dụ Tính tích phân sau   1/ I   1  sin x  cos xdx 2/ J   dx  sin x cos x  / K    sinx  x  sin xdx Lời giải  1/ I   1  sin x  cos xdx  Đặt sin x  t  dt  cos xdx  Đổi cận x   t  0; x    t 1 Group Nhóm Tốn | Trắc nghiệm 2016-2017  t4   Khi I   1  t dt   t    0   2/ J    dx sin x cos x  Đặt cot x  t  dt   Đổi cận x   1 dx sin x  t  3; x  1   Khi J   1   dt  t     t 1 1    1 1  t  t dt   t  t  3t   27  3    0 / K    sinx  x  sin xdx   sin xdx   x sin xdx    cos x dx   2  Đặt K1   sin xdx     K   x sin xdx   u  x du  dx   dv  sin xdx v   cos x    K   x cos x   cos xdx    sinx   * Chú ý: Ta thường đặt t căn, mũ, mẫu - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa đặt t phần bên dấu ngoặc có luỹ thừa cao - Nếu hàm chứa mẫu số đặt t mẫu số - Nếu hàm số chứa thức đặt t = thức dx - Nếu tích phân chứa đặt t  ln x x - Nếu tích phân chứa e x đặt t  e x dx - Nếu tích phân chứa đặt t  x x Group Nhóm Tốn | Trắc nghiệm 2016-2017 dx đặt t  x x - Nếu tích phân chứa cos xdx đặt t  sin x - Nếu tích phân chứa sin xdx đặt t  cos x dx - Nếu tích phân chứa đặt t  tan x cos x dx - Nếu tích phân chứa đặt t  cot x sin x - Nếu tích phân chứa Ví dụ Tính tích phân  e a) I   x sin xdx b) J   x ln xdx 1 c) K   xe x dx Lời giải  a) I   x sin xdx u  x du  dx    dv  sin xdx v   cos x     I   x cos x 02   cos xdx    sinx 02  e b) J   x ln xdx 1  du  dx  u  ln x x    dv  xdx v  x  e e e x2 x x2 x2 e2   J  ln x   dx  ln x   2 4 1 1 e Group Nhóm Tốn | Trắc nghiệm 2016-2017 c) K   xe x dx u  x du  dx     x x dv  e dx v  e  K  xe x 1   e x dx  e  e x  1 0 Ví dụ Tính tích phân sau   x2  1/ I    x  dx  x  x  1 ln 2/ J    x  e  x dx e    3/ K   x2  ln xdx x2 Lời giải 2   x2   x2 1/ I    x  dx  x dx  dx    x  x x  x  1 1 2 Tính I1   x dx  x3  3 1 x dx   x  x3 1 I2   Vậy I  I1  I  ln 2/ J   1   x  d x 1    x dx    dx   ln   x   ln 1 x 1 x x x x  ln ln ln  x  x e  dx  e dx  dx     x x e 2 e 2  0 ln J1  2  e dx  e x x ln 3 Group Nhóm Tốn | Trắc nghiệm 2016-2017 ln J2  dx; t  e x  t  e x  2tdt  e x dx  dx  dt t ex   2  t   J2   dt  ln    ln t t  2  t  1  Vậy J  J1  J   ln x2  / K   ln xdx x  u  ln x du  dx  11      x Đặt    K  x  ln x  x   x 1     dx  x x dv  dx    x 1  v  x  x2   x  2 1 1    K   x   ln x   x    ln  x x 1 2   10 Group Nhóm Toán | Trắc nghiệm 2016-2017 ... tập, chuẩn bị kiểm tra III Nội dung kiểm tra: Kiến thức: Kiểm tra việc nắm bắt kiến thức Hs phần nguyên hàm, tích phân ứng dụng tích phân Kĩ năng: Rèn kỹ tính nguyên hàm, tích phân giải tốn ứng. .. Thông hiểu Vận dụng mức độ thấp Vận dụng mức độ cao Tổng Nội dung Nguyên hàm 2.0 1,2 Phương pháp tính tích phân 0,8 2,4 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng Tổng 13 0,8 2,0 5,2 2.0 0,8 12... sin x - Nếu tích phân chứa sin xdx đặt t  cos x dx - Nếu tích phân chứa đặt t  tan x cos x dx - Nếu tích phân chứa đặt t  cot x sin x - Nếu tích phân chứa Ví dụ Tính tích phân  e a) I