Giải phương trình, bất phương trình (phương pháp nhân liên hợp kết hợp máy tính)

Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 LỜI NÓI ĐẦU Phương pháp nhân liên hợp phương pháp quan trọng giúp học sinh giải tốn phương trình, bất phương trình vơ tỷ nhanh gọn, xác Tuy nhiên, nhân liên hợp cho chuẩn lại điều đơn giản Phương pháp nhân liên hợp có chất làm xuất nhân tử phương trình, bất phương trình Chính để xuất xác nhân tử đòi hỏi học sinh phải nắm tốn có nghiệm nghiệm có tính chất nào, để từ định phương thức liên hợp phương trình Hy vọng qua tác phẩm này, em học sinh có tài liệu bổ ích để tự tin đối mặt với tốn phương trình, bất phương trình Mọi ý kiến đóng góp, xin vui lịng liên hệ: Facebook: http://facebook.com/toanthaydung Email: dungdoan.math@gmail.com Đồn Trí Dũng – CASIO MAN PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 KIẾN THỨC CƠ BẢN Các dạng liên hợp A B  Căn bậc 2: A  B  A B A B  Căn bậc 2: A  B  A B  Căn bậc 3: A3B   A  Căn bậc 3: A3B   A  Căn bậc 3: A  B  A B  A3B A B  A3B  B  B 2 A3  B  Căn bậc 3: A  B  A2  A B    B A B A2  A B    B  Chú ý 1: Liên hợp với bậc mẫu số đại lượng không âm  Chú ý 2: Khi có nhân tử chung liên hợp, phải rút nhân tử chung ngoài, chẳng hạn: x x4 x42 x4  x4 x4 2  x4 2 x  x  1 x2  x  x x   x  x 1 Điều kiện xác định điều kiện khác  A  B  A  0,B   A  B C  C  0,AB   A  C,B  D  A B  CD    A  C,B  D      A  C  D  A  C,D  PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 PHÂN BIỆT GIỮA NGHIỆM HỮU TỶ VÀ NGHIỆM VÔ TỶ Việc biết phương trình có nghiệm, nghiệm nghiệm vơ tỷ hay hữu tỷ vô quan trọng Để biết rõ ta tham khảo phương trình sau: x  2x3  x   4x2  2x  Sử dụng máy tính cầm tay, truy cập vào chức TABLE (MODE 7) nhập hàm số: F  X   X4  2X3  X   4X2  2X  Ấn dấu = chọn giá trị START = 2 START giá trị bắt đầu, thường đối chiếu từ điều kiện xác định Ấn dấu = chọn giá trị END = END giá trị kết thúc, thường đối chiếu từ điều kiện xác định Ấn dấu = chọn giá trị STEP = 0.5 STEP bước nhảy, hay gọi khoảng cách giá trị biến số Khi nhận bảng giá trị hàm số ta thấy có nghiệm hữu tỷ x  PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 Bên cạnh đó, hàm số đổi dấu x từ đến 2.5, có nghiệm vơ tỷ khoảng x  Nếu khảo sát kỹ hơn, chọn START = 1, END = 0, STEP = 0.1, ta nhận thấy cịn có nghiệm  0.5; 0.4  Vì có nghiệm x   2;2.5  SHIFT CALC x  2.2 ta nghiệm vơ tỷ x  2.414213562 Tuương tự SHIFT CALC x  0.45 ta thu nghiệm vơ tỷ x  0.414213562 Như qua Bảng giá trị TABLE ta nhận thấy:  Phương trình có nghiệm phân biệt x  0, x  2.414213562 x  0.414213562  Việc sử dụng START, END, STEP nghệ thuật người sử dụng TABLE cách uyển chuyển khám phá vơ vàn điều bí ẩn phương trình, bất phương trình vơ tỷ PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 PHÂN BIỆT GIỮA NGHIỆM ĐƠN VÀ NGHIỆM BỘI HỮU TỶ NGHIỆM ĐƠN Nghiệm đơn x  a nghiệm mà trình f  x   phân tích thành dạng  x  a  g  x   Trong bảng giá trị TABLE, nghiệm đơn nghiệm mà qua trục hồnh hàm số có đổi dấu Trong ảnh bên nghiệm đơn x  NGHIỆM KÉP Nghiệm kép x  a nghiệm mà trình f  x   phân tích thành phương nhân tử có phương nhân tử có dạng  x  a  g  x   Trong bảng giá trị TABLE, nghiệm kép nghiệm mà qua trục hoành hàm số quay trở lại dấu ban đầu Trong ảnh bên nghiệm kép x  NGHIỆM BỘI BA Nghiệm bội x  a nghiệm mà phương trình f  x   phân tích thành nhân tử có dạng  x  a  g  x   Ví dụ: x3  x   3x  3x  Sử dụng TABLE với F  X   X3  X   3X2  3X  ta thấy nghiệm đơn x  PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 Thật nghiệm bội ban đầu gần giống nghiệm đơn, nhiên điểm khác lớn hai nghiệm nằm chỗ nghiệm bội nghiệm kép phương trình f '  x   Sử dụng TABLE với F  X   3X2  2X   3X2  3X    ta có nghiệm kép x  Đây khác biệt nghiệm đơn nnghiệm bội Thực chất cách kiểm tra khơng hồn tồn khẳng định 100% nghiệm bội 3, nghiệm bội 5, bội có tính chất trên, nhiên với chương trình phổ thơng nghiệm bội tác giả tạm thời thừa nhận không tồn Chú ý: Việc sử dụng START, END, STEP vô quan trọng học sinh dễ nhầm dễ mắc sai lầm việc đánh giá nghiệm có chất đơn hay bội, bội bội kép hay bội Chính vậy, dù máy tính hỗ trợ việc định hướng phương trình tư người yếu tố hàng đầu để đưa định đắn PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 PHÂN BIỆT GIỮA NGHIỆM ĐƠN VÀ NGHIỆM KÉP VƠ TỶ NGHIỆM ĐƠN VƠ TỶ Nghiệm đơn vơ tỷ x  a nghiệm vô tỷ đa thức P  x  (thông thường dạng bâc 2) phương trình f  x   phân tích nhân tử dạng P  x  g  x   Ví dụ xét phương trình: x2   x   Sử dụng TABLE với F  x   x2   x  ta thấy phương trình có nghiệm nằm khoảng 1.5;2 Để tìm xác nghiệm này, ta SHIFT CALC với x  1.6 giá trị khoảng 1.5;2 thu x  1.61803398 Thông thường nghiệm vô tỷ ta muốn tìm liên hợp thay vào thức được: x   1.618033989 Như ta đánh giá: x  x  liên hợp   x  x  NGHIỆM KÉP VƠ TỶ Nghiệm kép vơ tỷ x  a nghiệm vô tỷ đa thức P  x  (thông thường dạng bâc 2) phương trình f  x   phân tích nhân tử dạng P  x  g  x   PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 Ví dụ xét phương trình: x2  3x   x x    x  1 3x  Sử dụng TABLE với F  x   x  3x  x x    x  1 3x   Ta thấy phương trình khơng có giá trị đổi dấu (ta có cảm giác gần vơ nghiệm) Nhưng thực không hẳn vậy, nghiệm vô tỷ hàm số tiếp xúc với trục hồnh (nghiệm kép) TABLE khơng thể thể nghiệm, thay vào ta nhận thấy điểm thấp bảng giá trị x  1.5 , ta dự đốn: Phương trình có nghiệm kép vô tỷ với giá trị gần với x  1.5 SHIFT CALC với giá trị x  1.5 ta có nghiệm: x  1.618033961 Thay vào thức   x   1.61803398    3x   2.61893397 Vậy đánh giá:  x   x   3x   x  Vậy liên hợp cần tạo là:    x  x  , x   3x   Chú ý: Vì nghiệm kép nên liên hợp phải có chứa bình phương PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 CHỦ ĐỀ 1: NHÂN LIÊN HỢP NGHIỆM HỮU TỶ ĐƠN Bài 1: Giải phương trình: x   2x2  3x  5x   (*) (Trích đề thi HSG Thành phố Hà Nội 2013) Phân tích: Xét F  x   x   2x2  3x  5x   Sử dụng TABLE với hàm số F  x  ta thấy phương trình có nghiệm đơn x  3   x   2   x9 2 Vậy  liên hợp cần tìm  5x   5x       Bài giải: Điều kiện: x  Ta có: (*)      x9 2   5x    2x  3x    x  1 x 1    x  1 2x    a 5x   2 (Với a  x   x      x  1   0) 1    x  1    2x    (**) 5x   a  Tại để chứng minh vô nghiệm, ta cần tìm   giá trị b cho  b    Tất nhiên, 5x     bạn học tốt nhìn thấy ln giá trị cần tìm b  , nhiên viết này, tác giả hướng dẫn học sinh cách tổng quát cách tìm giá trị b Trước hết nguyên tắc vàng cho việc lựa chọn biểu thức quy đồng sau: PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 A A , ta tìm Max    a , sau B B A  nhóm thành biểu thức:  a   B  A A  Nếu có  , ta tìm Min    a , sau nhóm B B A  thành biểu thức:   a  B  Như toán trên, mấu chốt vấn   đề tìm Max    5x    Sử dụng TABLE với Fx  5x   START = 0.2, END = 3, STEP = 0.2 Ta thấy giá trị cao F(x) 2.5 = 5  Như ta cần nhóm biểu thức:    5x     Quay trở lại tốn, ta có: 1  5 5  (**)   x  1      2x     2 5x    a   Nếu có    5x    x  1    2x     a 5x   2   5x  Chú ý rằng:   2x   0x  a 5x   2     Vậy x  nghiệm phương trình PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG 10 Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 Bài 2: Giải phương trình: 5x3  22x2  22x   4x   (*) Phân tích: Xét F  x   5x3  22x2  22x   4x  TABLE với hàm số F  x  ta thấy phương trình có hai nghiệm đơn phân biệt x  x  Do nhân tử  x  1 x   nhân tử bậc liên hợp có dạng: ax  b  4x  Thay x  1, x  ta có: a  b   3a  b  Giải hệ ta có a  1,b   Vậy ta có: x  4x   Ta có: (*)   x  4x    5x    x  4x   Bài giải: Điều kiện: x    x  4x    x  4x    5x    0 x  4x      x  4x    5x     (**) x  4x    Sử dụng TABLE với F x  x  4x  START = 0.75, END = 5, STEP = 0.25 Giá trị lớn Do đó: x  4x  PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG 11 Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202  10   (**)   x  4x    5x    0  x  4x       4x   4x    0   x  4x     x      3 x  4x      4x   4x  3  Vì  x     0x  ta 3  x  4x      có x  1,x  hai nghiệm BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: x2  x   x   x  1  Đáp số: x  Bài 2: 2x2  x   21x  17  x  x2 17  Đáp số: x   ;1  2;    21  Bài 3: x  x2   x  20x2   7x Đáp số: x  1,x  Bài 4: 5x3  30x  54x  30  5x   Đáp số: x  2,x  Bài 5: 6x3  19x  14x   3x   5x   Đáp số: x  1,x  Bài 6: 3x2  10x  3x   x3  26   2x Đáp số: x  Bài 7: x2  15  3x   x2  Đáp số: x  Bài 8: x    x  2x   2x  5x Đáp số: x  Bài 9: x    x  1 x   4x  13x  13 Đáp số: x  3,x  Bài 10:  x2  x  4x   6x   16x  16  Đáp số: PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG 12 Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 CHỦ ĐỀ 2: NHÂN LIÊN HỢP NGHIỆM VÔ TỶ ĐƠN Bài 1: Giải phương trình: x2  4x    x  1 8x   6x  (*) Phân tích: Xét F  x   x  4x    x  1 8x   6x  Sử dụng TABLE với hàm số F  x  ta thấy có nghiệm  4;4.5  SHIFT CALC x  4.3 ta có x  4.236067977 Thay vào căn:   8x   6.236067977    6x   5.236067977 Do đánh giá:  8x   x    6x   x  1 Bài giải: Điều kiện: x   Ta có: (*)   x  1 x   8x   x   6x       x2  4x  x  4x    x  1  0 x   8x  x   6x  x 1     x  4x  1   0  x   8x  x   6x   x 1 1  0 Vì x   nên x   8x  x   6x  Vậy x2  4x    x   PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG 13 Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 Bài 2: Giải bất phương trình: x3  x   x   x 1  (*) x  x2  x  Phân tích: Xét F  x   x3  x   x   x 1 Sử dụng TABLE với hàm số F  x  ta thấy có nghiệm  1; 0.5  SHIFT CALC x  0.7 ta có x  0.618033988 Thay vào căn: x   0.6180339887 Do đánh giá: x   x  x  1   x  1 Bài giải: Điều kiện:    x  x   x Với: x  1  x  x2  x   x  x  x  x2  x   x  x  x  x  Do đó: x  x2  x   0x  1 3  x  x   x x  0  Ta có: (*)     x  1  x  x    x  x  x      x  1     2   x  x  x  x    x   x  1      x  1 PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG 14 Sách giáo dục trực tuyến tin cậy  Hotline: 0976266202       x  x  x  x   x  x  x  x      x  1   x  x 1 x  x 1     x  1     1   x2  x    x   x    x   1;   x  1 0  x  1    Bài 3: Giải phương trình: 1  1 x   2x  2x   x   x x (*) Bài giải: Điều kiện: x  Ta có:  (*)    x    2x  2x   x   1 1 x  Vì  x   ta có: 2x  2x   x     1 x   1 x  x x  2x2  2x   x2  x  x   x  Phân tích: Xét F  x   2x  2x   x  x  x   x Sử dụng TABLE với hàm số F  x  ta thấy phương trình có nghiệm x  Tuy nhiên đánh hoàn toàn sai lầm khảo sát kỹ ta nhận thấy ngồi nghiệm x  , cịn có nghiệm nằm  0.3;0.4  PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG 15 Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 SHIFT CALC x  0.35 ta có x  0.3819660113 Thay vào căn:  x  0.6180339   2x  2x   0.72654   x  x  0.72654 Do đánh giá:   x  1 x  2   2x  2x   x  x Quay trở lại toán: 2x2  2x   x2  x  x   x  x  3x    x  1 x  2x  2x   x  x   x   x  x   x   x   x 0 2x  2x   x  x   x  1 x  x  1 x   0 2 2x  2x   x  x    x   x x   x  2x  2x   x  x       Trường hợp 1:  3 0  x  x  1 x    x 2  1  x   x Trường hợp 2: 2   x   x  2x  2x   x  x   2   2x  2x   x  x  x   x  Cộng hai vế hai phương trình ta được: PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG 16 Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 2x  2x   2x    2x  2x    x 2  x2  2x  2x   1  x    x0  x    0  x  2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: 2x  4x2  5x   8x   3x  2 Đáp số: x  2 Bài 2: 5x  5x   7x   4x  6x    17 Đáp số: x  Bài 3: 15x2  x  x2  x    13 1  29 Đáp số: x  ,x  10 Bài 4: x  x    x  x 3 Đáp số: x  2 Bài 5:  6x  12x   2x   x  22x  11x Đáp số: x   3,x   2,x  Bài 6: 3x2  x3  4x   13 Đáp số: x  Bài 7: 2x  x   3x x   1  17 Đáp số: x  ,x  Bài 8:  x   x   x2  2x  2x  Đáp số: x  2,x  2 Bài 9: 2x  5x   x  2 x   Đáp số: x  1,x  1  ,x   PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG 17 Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 CHỦ ĐỀ 3: NHÂN LIÊN HỢP NGHIỆM KÉP HỮU TỶ Bài 1: Giải phương trình: x2  x   x  (*) Phân tích: Xét F  x   x  x   x Sử dụng TABLE với hàm số F  x  ta thấy có nghiệm kép x  TÌM LIÊN HỢP NGHIỆM KÉP Đặt ax  b  x , ta có:    ax  b  x a  b  a  x        a  d a  b  x   dx x 1  Liên hợp cần tìm: x   x      2  Bài giải: Điều kiện: x  Ta có:   (*)   x  2x  1  x   x    x  1  x  1   4x 0 x  1 x 2    x  1   0 x  1 x   Vì x    0 x 1 x  1 x Bài 2: Giải phương trình: 2x   x  2x  (*) Phân tích: Xét F  x   2x   x  2x  PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG 18 Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 Sử dụng TABLE với hàm số F  x  ta thấy có nghiệm kép x  TÌM LIÊN HỢP NGHIỆM KÉP Đặt ax  b  x , ta có:    ax  b  x a  b  a  x        a  d a  b  x   dx x 1  Liên hợp cần tìm: x   x      2  Đặt ax  b  2x  , ta có:   ax  b  2x  x  a  b  a      a  d  b  a  2x   dx x 1  Liên hợp cần tìm: x  2x        Ta có: (*)  2x   x  2x   Bài giải: Điều kiện: x       x   x  x  2x   x  2x  x  2x    0 x   x x  2x  2 1    x  1   0  x   x x  2x   1   0 x 1 Vì x  x   x x  2x  PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG 19 Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 Bài 3: Giải phương trình: 3x  x 1  4 (*) x x2  x  Phân tích: Xét F  x   3x  x x 1 4 x2  x  Sử dụng TABLE với hàm số F  x  ta thấy có nghiệm kép x  TÌM LIÊN HỢP NGHIỆM KÉP Áp dụng kỹ thuật tìm liên hợp nghiệm kép, ta có liên hợp cần tìm:   x 1 x   x  x  hay   2  x  x 1  Bài giải: Điều kiện: x  Ta có: 3x  x 1 6  2 (*)  x x2  x   x  1 x  x  1 x2  x   3  x x2  x    x  2x  3x  6x  3  x x  1 x x2  x  x   x2  x        2 1   x  1     Trong đó: a b a  x x   x ,b  x  x  x   x  x    Vì x  đó:  x x  1 x      0  x2  x  x   x2  x  Vậy  x  1   x  PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG 20 Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: x3  2x2  4x   4x   3x  Đáp số: x  Bài 2: x2   2x   3x  Đáp số: x  Bài 3: x3  2x   x  1 2x   2x  x 1  Đáp số: x   ;   \ 1 2  Bài 4: x2  x  10   2x  x    x Đáp số: x  1 Bài 5: x2   x  1 3x   2x  5x   8x  Đáp số: x  Bài 6: 4x  12  x   x 5x    5x   Đáp số: x  Bài 7: x  8x  10  81  x 1 x  x 1 Đáp số: x  Bài 8: x  16x3  31x  6x    x  1 x  Đáp số: x  1,x   Bài 9: 2x2  3x   3 4x   Đáp số: x  1   1 x Bài 10: x  x  x   1 x x2  x  Đáp số: x  PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG 21 Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 CHỦ ĐỀ 5: NHÂN LIÊN HỢP NGHIỆM TỔNG BỘI TỪ TRỞ LÊN Bài 1: Giải phương trình: x  2x3  2x  x   2x  2x  (*) Phân tích: Xét F  x   x  2x3  2x2  x   2x  2x  Sử dụng TABLE với hàm số F  x  ta thấy có nghiệm kép x  1, x  Như nhân tử có dạng x  x  1 đa thức bậc xét: ax2  bx  c  2x2  2x  Để tìm hệ số a, b, c ta xét hệ: ax  bx  c  2x  2x  1,x   ax  bx  c  2x  2x  1,x  a    2x   ax  bx  c  '  ,x   b  1  c  2x  2x    2x   ax  bx  c  '  ,x  2x  2x     Vậy liên hợp cần tìm là: x  x   2x  2x  Bài giải: Điều kiện: x  Ta có:   (*)   x  2x3  x   x  x   2x  2x    x  x  1  x  x  1 0 x  x   2x  2x   2  x  x  1   0 x  x   2x  2x    2 Do phương trình có nghiệm x  0,x  PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG 22 Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 Bài 2: Giải phương trình: 2x2   x3  2x2   x3  4x  (*) Phân tích: Xét F  x   2x2   x3  2x2   x3  4x2  Sử dụng TABLE với hàm số F  x  ta thấy có nghiệm đơn x  1, x  Để kiểm tra xem nghiệm đơn có nghiệm bội ba hay không ta xét đạo hàm hàm số trên: 3x  4x 3x  8x F  x   4x   x  2x  x  4x  Sử dụng TABLE với hàm số F  x  ta thấy x  nghiệm F  x  x  lại nghiệm Do x  nghiệm bội x  đơn nghiệm đơn Như nhân tử có dạng x3  x  1 đa thức bậc xét: ax2  bx  c  x3  2x2  Xét hệ: ax  bx  c  x  2x  1, x   a  ax  bx  c  x  2x  1, x     ax  bx  c '  x  2x  ', x   b    c     ax  bx  c  '  x  2x  ", x      PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG 23 Sách giáo dục trực tuyến tin cậy  Hotline: 0976266202   4 Do liên hợp cần tìm là: x   x3  2x   Tương tự ta có liên hợp: x   x3  4x Bài giải: Điều kiện: x  Ta có: (*)  x2   x3  2x2   x2   x3  4x2   x3  x  1 x  x  1   0 x   x3  2x  x   x  4x  Vì x2   x3  2x2   0,x2   x3  4x   Do phương trình có nghiệm: x  0,x  BÀI TẬP TỰ LUẬN: Bài 1: 2x2  2x   3x  2x   5x  4x  Bài 2: x  2x3  2x  x   x  x  Bài 3: x2 x    5x   2x3 Bài 4: x3  x2  x   3x2  2x  Bài 5: x3  2x2  x   2x3  2x  x2  x  Bài 6:  6x   x   3 Bài 7: 2 x    x  16 x   3x  11x  36  Bài 8: x3  x2   2x2   2x3 PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG 24 ... ĐẦU Phương pháp nhân liên hợp phương pháp quan trọng giúp học sinh giải tốn phương trình, bất phương trình vơ tỷ nhanh gọn, xác Tuy nhiên, nhân liên hợp cho chuẩn lại điều đơn giản Phương pháp nhân. .. 3x   x  Vậy liên hợp cần tạo là:    x  x  , x   3x   Chú ý: Vì nghiệm kép nên liên hợp phải có chứa bình phương PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ -... nghiệm phương trình PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - ĐỒN TRÍ DŨNG TRANG 10 Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: 0976266202 Bài 2: Giải phương trình: