Phương pháp nhân liên hợp nhằm giúp học sinh giải nhanh một số phương trình vô tỉ phức tạp ở lớp 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP ‘‘NHÂN LIÊN HỢP” NHẰM GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ PHỨC TẠP Ở LỚP 10 Người thực hiện: Nguyễn Thị Hà Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực mơn : Tốn THANH HOÁ NĂM 2017 MỤC LỤC A.MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 2 Muc đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cưu……………………………… ……… Phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP Cơ sở lí luận Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 3.Bài tập vận dụng phương pháp nhân liên hợợ̣p 17 4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 17 a) Đánh giá định tính 17 b) Đánh giá định lượng 18 C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ… …………… ………………………… 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO A MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, phương trình vơ tỷ nội dung quan trọng, thường có đề thi chuyên đề, kỳ thi khảo sát, thi học sinh giỏi sở tổ chức đặc biệt kỳ thi THPT Quốc Gia hàng năm để xét công nhận tốt nghiệp lấy kết để tuyển sinh vào trường Đại học, Cao đẳng Phương trình vơ tỷ có nhiều dạng khác với số lượng tập phong phú nhiều cách giải kỹ thuật giải khác nên có gây khó khăn nhiều cho giáo viên học sinh Chính lý nội dung địi hỏi giáo viên học sinh phải có tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp hợp lí để tìm lời giải tốt Trong thời đại ngày với phát triển vũ bão công nghệ thơng tin nhà sản xuất máy tính cầm tay không ngừng nâng cấp cho đời hệ máy tính với tốc độ tính tốn cực nhanh nhiều chức có chức tìm nghiệm Kết hợp với chức tơi đưa “PHƯƠNG PHÁP “ NHÂN LIÊN HỢP” NHẰM GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ PHỨC TẠP ” Hy vọng với đề tài giúp cho độc giả có cách nhìn tổng qt cách nhân liên hợp giải phương trình vơ tỷ đặc biệt em học sinh có kỹ giải phương trình vơ tỷ để bước vào kì thi đạt kết tốt MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tơi nghiên cứu đề tài nhằm giúp học sinh giải số phương trình vơ tỉ với hỗ trợ máy tính cầm tay phương pháp nhân lên hợp ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Học sinh lớp 10A5, 10A6 khóa học 2015-2016, lớp 10A4, 10A3, 10A5 khóa học 2016-2017 trường THPT Đông Sơn PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết - Kiểm tra, khảo sát để đánh giá hiệu đề tài B NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP “NHÂN LIÊN HỢP” CƠ SỞ LÍ LUẬợ̣N CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM a Phương trình ẩn Cho hàm số y f x hàm số y g x có tập xác định D f D g Mệnh DD D đề chứa biến “ f x g x ” gọi phương trình ẩn ( x ẩn) Tập f g gọi điều kiện xác định phương trình, Số x0 D cho f x0 g x0 mệnh đề x0 gọi nghiệm phương trình Tập T x0 D : f x0 g x0 gọi tập nghiệm phương trình Giải phương trình tìm tập nghiệm T Nếu tập nghiệm T ta nói phương trình vơ nghiệm b Hai phương trình tương đương Hai phương trình ẩn gọi tương đương chúng có tập nghiệm ( rỗng) Nếu phương trình f x g x tương đương với phương trình f1 x g1 x ta viết f x g xf1 x g1 x Hai phương trình có điều kiện xác định D tương đương với ta nói hai phương trình tương đương với D với điều kiện D hai phương trình tương đương với c Phép biến đổi tương đương Phép biến đổi phương trình mà khơng làm thay đổi tập nghiệm gọi phép biến đổi tương đương Định lý: Cho phương trình f x g x xác định D;h x hàm số xác định D Khi D phương trình cho tương đương với phương trình sau: + f x hx g x hx + f x h x g x h x h x x D d Phương trình hệ Phương trình f1 x g1 x gọi phương trình hệ phương trình f x g x tập nghiệm chứa tập nghiệm phương trình f x g x f1 x g1 x Khi ta viết f x g x Định lý: Khi bình phương hai vế phương trình, ta phương x g xf x g x trình hệ phương trình cho f e Phương trình vơ tỷ phương trình chứa ẩn dấu f Phương trình vơ tỷ dạng g x Dạng f x Dạng f x g x f x f f x g x g x x x g g Các biểu thức liên hợp Biểu thức Biểu thức liên hợợ̣p A B A B A B A B 3 3 A B A AB 3B2 3 3 A B A AB 3B2 Tích A B A B A B A B GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Sau tơi đưa số ví dụ giải phương trình vơ tỷ cách nhân liên hợp, có phân tích giải thích chi tiết lời giải ví dụ sau số ví dụ tơi có đánh giá ưu nhược điểm phương pháp nhằm giúp độc giả hiểu sâu sắc kỹ thuật nhân liên hợp để giải phương trình vơ tỷ Ví dụ 1: Giải phương trình: x 4x 8x 3x Lời giải: Điều kiện: x Chú ý: Dùng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x 1 ta có Tại x 14 x 8x 2x 2x 1 2 3 nên 3x x 3x x 3x x 3x 2x 2x 2x 3x 2x 2x x 3x x x x 2x 3x 1.1 x 20 Do 1.1 3x x Vậy phương trình có nghiệm x Vì x nên 2x vơ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: x 2x 9x x Lời giải : Điều kiện: x Chú ý: Dùng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x Tại x ta có nên x 15 x 2x 9x x x x x x x x 2x 1 5x 2x 1 x 1 x 2x (2.1) x x 1 1 2.1.1 x3 Vì x nên 2x 2.1.2 2x 5 x Từ (2.1.1) (2.1.2) suy (2.1) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x Nhận xét: Trong ví dụ ta thấy 2 x 2 3 Do đó, ta khơng phải thêm bớt mà nhân liên hợp ln Nhưng ví dụ x ta có 1, theo nên ta phải thêm bớt cách làm nhân liên hợp Ví dụ 3: Giải phương trình: 6x 2x 12 x 28x Lời giải: Điều kiện: 1 x Tương tự hai ví dụ dùng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm phương trình x Tại x ta có 4, nên 2 2 36x 2x 12x 2x 2x 28x 2x 2x 2x 6x 6x 6x 2x x 6x Vì 6x 3.1 6x 2x 1 x nên 6x 2x Vậy phương trình có nghiệm x Ví dụ 4: Giải phương trình 2x x 6x 03.1 vơ nghệm x 2x 3 x Lời giải: Điều kiện x Chú ý: Dùng máy tính ta tìm phương trình có ba nghiệm x 1, x 3, x Tại x ta c 2x 3, 2x x 0; ó x 2x 0, x 3và phương Do ta có 42x x x x 2x x x x 2x x 2x x 2x x ta có x 2x 3 x x 2x 3 2x 3 2x 2x 3 x ta có x khơng 2x 3 x x x x 2x x x 2x 2x 3 x 2x 3 2x x x 2x 2x x 0 x x x Vậy phương trình có ba nghiệm x 1, x 3, x Nhận xét: Trong ví dụ dùng máy tính cầm tay ta tìm ba nghiệm Nhưng xác định biểu thức nhân liên hợp ta nhân nghiệm mà thay vào ta số hữu tỷ trước ( tìm nghiệm x x trước) Nếu tìm nghiệm mà thay vào ta số vơ tỷ trước ( tìm nghiệm x ví dụ trên) tốn trở nên phức tạp Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 x x 3x2 2x Lời giải: Điều kiện: x * Cách Chú ý: Dùng máy tính ta tìm phương trình có nghiệm x x 1, x 2 Tại x ta có x 2, x 1, x ta có Do ta có: x 3x 2x 53 x x x x x 3x x x x 3x x21 x 3x 5.1 x x Ta coi 5.1 phương trình bình thường tiếp tục dùng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x Tại x ta có 1; x Do ta có 5.1 x x x x 2 x x 2 3x 3x 0 x 21 2 x x x1 x 2 x x x 2 x 1 x x 10 x 2 x 2 x x Vì x x 2 vô nghiệm x 2 x Vậy phương trình có hai nghiệm x 1; x * Cách 2: Dùng máy tính ta tìm phương trình có hai nghiệm x 1,x Bây ta tìm đại lượng cần “thêm bớt” vào biểu thức chứa để sau nhân liên hợp lần ta hai nghiệm + Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào 3 x ta đặt y 3 x Ta có đồ thị hàm số y 3 x qua A 1; B 2; Ta có AB : y x + Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào x ta đặt y x Ta có đồ thị hàm số y x qua C 1;1 D 2; Ta có CD : y x x x 3x2 + Ta có 53 xx 52 + Vì x nên 3 x x 0,3 5.2 x2 x 2 x2 x 33 x x x x 3x x 33 x x + Vì x nên 3 x x 2,3 x x Do đó: x2 x + Do x 05.3 3x x x x 33 x x x 25.2 3x x 5.3x2 x x Vậy phương trình có nghiệm x 1, x Ví dụ 6: Giải phương trình: 5x 12x x2 Lời giải: Điều kiện: x * Cách 1: Chú ý: Dùng máy tính ta tìm phương trình có nghiệm x 5x 2, Tại x ta có 12x Do đó, 5x 12 x x2 5x 12 x 5x 12 x x 12 5x 5x x 12 x x 12 Ta coi 6.1 x2 6.1 x 12 x phương trình bình thường tiếp tục dùng máy tính x cầm tay ta tìm nghiệm Do đó, x Tại ta có 12x 3x x 5x 5x x 2 12x 0 12x 52 x 5x 5x 3x x 12x 2 3x x 5x 12 12 6.1 5x 1; 5x 5x 3x 12x x 5x 5x Ta thấy 5x 5x 1 12x 2 3x 12x 2 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x vơ nghiệm 3x 1; x * Cách 2: Dùng máy tính ta tìm phương trình có hai nghiệm x 1,x Bây ta tìm đại lượng cần “thêm bớt” vào biểu thức chứa để sau nhân liên hợp lần ta hai nghiệm trên: + Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào 5x ta đặt y 5x Ta có đồ thị hàm số y 5x qua A 1;2 B 2; Ta có AB : y x + Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào 12 x ta đặt y 12 x Ta có đồ thị hàm số y 12 x qua C 1; D 2; Ta có CD : y 2x + Do 65x x 112x x x x Vì x nên 5x x 0, x2 3x 5x x 12x 2x Do đó: x2 3x 12x x 1 x2 3x x2 3x 5x 1x 3x 1 12x x 5x x 1 x 12 x x x x Vì x nên 1 5x 1x 12x x 1 5x x 1 6.2 12x x 1 Vậy phương trình có nghiệm x 1, x Chú ý: Trong ví dụ ví dụ ta thấy cách đơn giản cách Nhưng có nhiều ví dụ mà thực cách phức tạp Khi ta buộc phải dùng cách chẳng hạn ví dụ ví dụ sau: Ví dụ 7: Giải phương trình: 2x 2x 2x 4x 27 Lời giải: Điều kiện x ;1 Tương tự ví dụ dùng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x x 74x 2 Nên ta có 2x 4x 2x 1 2x 2x 2x 2x 1 2x 1 2x 1 2x 2x 2x 1 2x 1 2x 2x 2x 2 2x 2 2x 2 2x 0 x 2 2x 2x 2x 2x 1 2x 2x 2x 2x 2x 2x 1 2x 2x 1 2x 2x 2x 1 2x 2 2x 1 2x 2x 2x 2x 1 2x 2 2x 2x 1 2x Ta thấy: 2x 1 2 2x 2x 1 2x vơ nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm x 0; x Nhận xét: Trong ví dụ ta dùng cách tốn tính tốn phức tạp thêm bớt để nhân liên hợp tìm nhân tử trung ta phải tính đến số vơ tỷ Ví dụ 8: Giải phương trình 2x Lời giải : 2x x x Điều kiện x 8 Tương tự ví dụ dùng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x x Nên ta có 82 x x x x x 4 x x 4 x 24 x x x x x x x x x x x x Phương trình 5x x 33 x x x 5 x 3 x 25 x x x 5 x x 25 x 8 x x 25 x x 49 x x x x x 16 x 94 x x 33 x x x 3 x 25 x x 5 x 16 x x x x x x x 5x x x 2x 4 x x 2x 4 x 33 x 4 x x x x 5x x x x 3 x x x x 2x x5 x x x 4 x x 3 x x x x x x x 33 x x 5x x 25 x x nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm x ;x Nhận xét: Trong ví dụ ta dùng cách tốn tính tốn phức tạp thêm bớt để nhân liên hợp tìm nhân tử trung ta phải tính đến biểu thức phức tạp vơ Ví dụ 9: Giải phương trình: 79 4x 2x 2 79 4x 2x2 Điều kiện 50 x Lời giải: 50 x 9 ;5 x * Chú ý: Dùng máy tính ta tìm phương trình có hai nghiệm x 1,x x Bây ta tìm đại lượng cần “thêm bớt” vào biểu thức chứa để sau nhân liên hợp lần ta ba nghiệm trên: 79 4x 2x2 ta đặt + Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào y 79 4x 2x 79 4x 2x2 Ta có đồ thị hàm số y qua A 1;9 ,B 5;7 C7;3 Ta có Parabol qua ba điểm 1x2 A,B,C : y x 33 4 50 x2 ta đặt y 50 x Ta có đồ ,E 5;5 E 7;1 Ta có Parabol + Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào thị hàm số y 50 x2 qua D 1; 1x2 x 25 79 4x 2x qua ba điểm D, E C có phương trình: y 79 4x 2x +Nếu 33 x x 33 1x x 79 4x 2x 8x 1x x 18x x 33 x2 x 4 33 200 x 175 2 37; x; 37 x x 1 Nếu 50 x x x x x x 0 25 4 2 16 50 x x 4x 25 2 29; x; 29 x x x x + Thay x vào x 2x 25 x không thỏa mãn 33 x 2x 79 x x x2 + Với x ta có 50 x 79 x x 79 x x x x x2 x x x 79 x x 4x 2x x x x 33 1x2 x 50 x 44 x2 x 25 25 x 1x x 33 25 x 50 x x x x 50 x2 x 50 x 50 x x x 79 x x 2 50 x2 x x 5x 79 4x 2x 2 x x x x ta có 25 33 x2 x 33 4 33 4 79 x x x 25 0 9.1 + Dùng máy tính cầm tay nhân liên hợp ta phương trình 9.1 có nghiệm x Nghiệm loại Vậy phương trình có tập nghiệm S 1; 5; * Nhận xét: Phương trình ta giải cách bình phương đưa phương trình bậc cao dùng máy tính cầm tay đưa tích phương trình bậc hai Tuy nhiên tác giả muốn đưa kỹ thuật nhân liện hợp, nhân lần ba nghiệm ví dụ 10 sau việc bình phương đưa phương trình bậc cao rất phức tạp Ví dụ 10: Giải phương trình 6x 30x 40 Lời giải : Điều kiện x 6x 18x 16 x 4x 3x 10 * Chú ý: Dùng máy tính ta tìm phương trình có hai nghiệm x 1,x x Bây ta tìm đại lượng cần “thêm bớt” vào biểu thức chứa để sau nhân liên hợp lần ta ba nghiệm trên: x 30 x 40 * Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào x 30 x 40 ta đặt y x 30 x 40 qua A 1; ,B 2; C 3; Ta Ta có đồ thị hàm số y có Parabol qua ba điểm A,B,C có phương trình y x x x 18 x 16 * Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào x 18 x 16 ta đặt y x 18 x 16 qua D 1; ,E 2; E 3; Ta Ta có đồ thị hàm số y có Parabol qua ba điểm D,E C có phương trình: y x + Với xta có x 30 x 40 x x x 18 x 16 x x x Do 106 x 30 x 40 x2 x 86 x 18 x 16 x x x 30 x 40 x x x 30 x 40 x2 x 18 x 16 x x 5x x 18 x 16 x 10 x 35 x 50 x 24 x 30 x 40 x x x3 6x 11x 6x 30x 40 x x 30 x 40 x x 11x 10.1 x 6x x 6x 2 5x x2 6x 18x 16 x x 11x 6 x 11x 3x x x x 11x 6x x x 18 x 16 x x x x x 11x 6x x 18 x 16 x 3x 10.2 3x x x2 10.1x 5x x 10.2 x x x 6x 30x 40 x 5x 6x 18x 16 x 3x x x Nếu x ta có1 2 6x 30x 40 x 5x 6x 18x 16 x 3x 6x 30x 40 x 2 x 0x 2 6x 30x 40 x 5x không nghiệm 10 Nếu x ta có 6x x 30x 40 x x 6x 6x 18x 16 x 3x 30x 40 x 5x 5x 6x x 18x 16 x x > 6x 18x 16 x 3x 3x 5 x2 x 5x 5x 19x 21 x 5x 6x x 18x 16 x 3x 6x 18x 16 x 3x 6x 18x 16 x 3x 0x không nghiệm 10 Do 10.2 vơ nghiệm Vậy phương trình 10 có ba nghiệm phân biệt Nhận xét: ví dụ việc tìm biểu thức nhân liên hợp để tìm ba nghiệm vấn đề khó đồi hỏi học sinh phải giỏi thực làm việc chứng minh phương trình cịn lại vơ nghiệm cịn khó địi hỏi học sinh phải có khả tư tốt làm làm BÀI TẬợ̣P VẬợ̣N DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP 1) 2x2 11x 21 33 4x 2) x x x 3) 4x 3x x 4) x x 2x2 7x 5) x2 9x 20 3x 10 6) 2x2 7) 6x 4x 2x 3x 6x 2x x 18 8) 23 x2 5x x x 9) 3x2 12x 10 4x x2 12 10) x x x2 5x 11) x 10 x30 7x x2 12) 2x x 3x 2x 5x 12 23 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường a) Đánh giá định tính Việc xử sáng kiến có tác dụng lớn việc bồi dưỡng tư cho hoc sinh, đăc biêt la ky tông hơp kiên thưc giup hoc sinh nâng cao hiêu qua hoc tâp Phương pháp giải toán tổng quát, nên cho trường hợp Học sinh giáo viên có thêm phương pháp làm nhanh câu hỏi khó b) Đánh giá định lượng Qua nhiều năm giảng dạy tơi thấy tốn giải phương trình vơ tỉ tốn khó học sinh kể em học tốt Bởi hướng dẫn cho em thực giải tốn tơi trình bày đây, cụ thể lớp 10A1, 10A5, 10A6 khóa học 2015-2016, lớp 10A4, 10A3, 10A5 khóa học 2016-2017 Qua kiểm tra, khảo sát lớp thu kết sau đây: Năm học 2015-2016 Lớp Số học sinh khảo sát Số học sinh giải toán trước áp dụng đề tài 10A1 40 học sinh hs = 15% 10A5 41 học sinh 10 hs = 26% 10A6 41 học sinh hs = 20% Năm học 2016-2017 Số học sinh giải toán sau áp dụng đề tài 30 hs = 75% 25 hs = 90% 32 hs = 78% Lớp Số học sinh khảo sát 10A4 10A3 10A5 37 học sinh 43 học sinh 42 học sinh Số học sinh giải toán sau áp dụng đề tài 29 hs =64 % 36 hs = 84% 30 hs = 89% Số học sinh giải toán trước áp dụng đề tài hs = 16% hs = 12% 11 hs = 24% Qua kết so sánh ta thấy học sinh có tiến bộ, với cách giải học sinh trung bình tiếp thu làm câu tương tự Từ năm học 2016-2017 học sinh thi trắc nghiệm mơn tốn nên đề tài phù hợp cho em có hỗ trợ máy tính cầm tay Như vậy, tơi giảng dạy dạng tốn đỡ vất vả hơn, em hứng thú học C KẾT LUẬợ̣N, KIẾN NGHỊ KẾT LUẬợ̣N Trên đưa phương pháp để giải phương trình vô tỉ Đối với giáo viên, việc áp dụng sáng kiến giúp giáo viên có phương pháp hiệu để giải phương trình vơ tỷ Đối với học sinh, hướng dẫn giáo viên, với máy tính cầm tay em có phương pháp hiệu để giải phương trình vơ tỷ KIẾN NGHỊ Đề nghị nhà trường bổ sung số đầu sách (ở phần “tài liệu tham khảo”) để học sinh tham khảo thực hành giải toán theo đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn! Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 25/3/2017 Cam kết không copy Tác giả NGUYỄN THỊ THU THỦY NGUYỄN THỊ HÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách tập Đại số lớp 10 NXB Giáo dục Đề thi tuyển sinh Đại học khối, năm Phương pháp giải toán Đại số Tác giả: Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí, NXB Hà Nội Các dạng toán luyện thi Đại học Tác giả: Phan Huy Khải, NXB Hà Nội ... 20% Năm học 2016-2017 Số học sinh giải toán sau áp dụng đề tài 30 hs = 75% 25 hs = 90% 32 hs = 78% Lớp Số học sinh khảo sát 10A4 10A3 10A5 37 học sinh 43 học sinh 42 học sinh Số học sinh giải toán... tốn giải phương trình vơ tỉ tốn khó học sinh kể em học tốt Bởi hướng dẫn cho em thực giải tốn tơi trình bày đây, cụ thể lớp 10A1, 10A5, 10A6 khóa học 2015-2016, lớp 10A4, 10A3, 10A5 khóa học. .. khảo sát lớp thu kết sau đây: Năm học 2015-2016 Lớp Số học sinh khảo sát Số học sinh giải toán trước áp dụng đề tài 10A1 40 học sinh hs = 15% 10A5 41 học sinh 10 hs = 26% 10A6 41 học sinh hs =