BAI 6 hệ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN hợp

CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10 Vấn đề 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP Cách nhận dạng hệ giải phương pháp nhân liên hợp Hệ phương trình hai ẩn có phương trình chứa Cách giải tổng quát dạng toán Bằng phương pháp nhân liên hợp đưa phương trình chứa phương trình dạng tích Từ ghép với phương trình cịn lại để giải hệ phương trình Kiến thức sử dụng: ( ( ( A− B )( A mB ) ( )( A−B ) A + B = A− B ) A + B = A − B2 ) A2 ± B A + B = A − B 3 Bài tập áp dụng Dạng 6.1 Nhân liên hợp trực tiếp có sẵn phương trình Câu 1: Giải hệ phương trình  x + − y − = y − − x + ( 1)  2 ( 2)  x + y − xy = y − x + 12 Lời giải ĐKXĐ: +) Xét  x ≥ −2  y ≥  x = −2 y −3 + x + = ⇔  y = Thay vào phương trình (2) ta được: 19 = 20 (Vơ lí) y −3 + x + ≠ +) Xét Khi đó: x + − y −1 = ⇔ x− y+5 = x + + y −1 y−3 − x+ y− x−5 y −3 + x+  x − y + = ( 3) ⇔  x + + y −1 = −  ( 3) Từ ( ( 2) x = y −5 suy y −3 + x+ thay vào phương trình ta được: ) ( 4) y = ⇔ y2 − y + =  y = ( loai ) y = ⇒ x = −1 Với ( 4) ⇔ x + + y −1 + y − + x + = Phương trình    ⇔    x+4 =0  x = −4  x = −2 x+2 =0  ⇔ y −3 = y =  y = y −1 = Suy phương trình (4) vơ nghiệm ( x ; y ) = ( −1; ) Vậy hệ có nghiệm Câu 2: Giải hệ phương trình  x + 1− x − = y + 1− y − ( 1)  ( 2)  y + + x − = Lời giải ĐKXĐ: +) Xét x ≥  y ≥ x = y−7 + x−7 = ⇔  y = Thay vào phương trình (2) ta được: 2=4 (Vơ lí) y −7 + x−7 ≠ +) Xét Khi đó: ( 1) ⇔ ⇔ x + 1− y + = x − − y − x− y = x +1 + y +1 x− y x−7 + y−7 x = y ⇔  =  x + + y + ( 2) x= y Với thay vào x−7 + y −7 x +1 + x − = ta có ⇔ x − + x − x − = 16 ⇔ x − x − = 11 − x  7 ≤ x ≤ ⇔ 2   x − x − = 121 − 22 x + x ⇔ x =8⇒ y =8 = x +1 + y +1 ( 3) x−7 + y−7 Với ⇔ x +1 + y +1 = x − + y − Cách : x +1 + y +1 + x − + y − = Từ hệ phương trình ta có ⇒ x +1 + y +1 = ⇔ y +1 = − x +1 ⇔ x − = x +1 ( 2) thay vào ta có − x +1 + x − = ( vô lý) Cách Nhận thấy  x + > x − ∀x ≥   y + > y − ∀y ≥ x +1 + y +1 > x − + y − ∀x ≥ 7; y ≥ nên Do pt (3) vơ nghiệm ( x ; y ) = ( 8;8 ) Vậy hệ phương trình có nghiệm Tác giả:Lê Thị Như Thủy; Fb: Nhuthuy Le Câu 3: Giải hệ phương trình  x − y + y = x + y   y − + x + + y + y = 10 ( 1) ( 2) Lờigiải Sưu tầm,Tác giả:Bùi Hoàng Cường; Fb: cuongkhtn Điềukiện: ( 1)  y ≥ 1; x ≥ −1  2 x + y ≥ ⇔ ( x − y) + ⇔ ( x − y )(1 − y ≥1⇒ < y − 2x =0 y + 2x + y y + 2x + y ) = 0.(*) y + 2x + y ≤ 2 ⇒ 1− > 3 y + 2x + y Do ( 2) (*) ⇔ x = y Thay vào phương trình ta có: y − + y + + y + y = 10 ⇔ y −1 −1+ y + − + y2 + y − = ⇔ ( y − 2)( + + y + 3) = y −1 y +1 + ⇔ y = ⇒ x = ( x; y ) = (8; 2) Vậy hệ có nghiệm Câu 4: Giải hệ phương trình  x − y + x + y − y = y − x ( 1)   x − − y = y − ( ) Lời giải Tác giả: Nguyễn Phương; Fb: Nguyễn Phươngg ĐKXĐ: ( 1) ⇔ x≥ ,y≥0  x− y x− y + = y − x ⇔ ( x − y ) 1 +  x+ y x + y + 2y   1 + ÷= x+ y x + y + 2y ÷  ⇔x=y Thế vào phương trình (2) ta được: x −3 2x − − x = 2x − ⇔ 2x − + x = 2x −   ⇔ ( x − 3)  − ÷ = (3)  2x − + x  x≥ ⇒ 2x − + x ≥ >1⇒ Phương trình (3) có nghiệm 2x − + x ⇒ [ 0;+∞ ) f (t ) Hàmsố đồngbiến y ≥ (*) ⇔ y = − y ⇔   y + y −1 = ⇔y= −1 + 1+ ⇒x= 2 (thỏa mãn điều kiện)  + −1 +  ; ÷ ÷   ( 3;1) ,  Vậy hệ có nghiệm Dạng 6.2 Thêm bớt số để nhân liên hợp Câu 1: Giải hệ phương trình  x − y + x − = y +  2  x + y − 3xy = Lời giải Tác giả:Lưu Thị Minh Phượng; Fb: Jerry Kem  x − y + x − = y + ( 1)  2 ( 2)  x + y − 3xy = x≥ y Điều kiện: Từphương trình (1) ta có ⇔ ( ⇔ x− y + x−2= y+ ) x − y − + ( x − y − 2) = x− y−2 + ( x − y − 2) = x− y +     1 ⇔ ( x − y − 2)  + 1÷ =  +1 > ÷  x− y + ÷  ÷ x− y +     ⇔ x− y−2=0 ⇔ x = y + ( 3) ( ( 3) Thay ( 2) vào :  y =1  −4 + 2 y + ) + y − ( y + ) y = ⇔ y + y − y − = ⇔  y =  −4 −  y =  y = ⇒ x = 3(tm) + Với y= −4 + 2+ ⇒x= (tm) 3 y= −4 − 2− ⇒x= (tm) 3 +Với +Với  + − +   − −4 −  ; ÷ ÷ ÷;  ; ÷ 3     ( 3;1) ,  Vậy nghiệm hệ phương trình Câu 2: Giải hệ phương trình  x + y − + x + y + =   x + y + = xy Lời giải Tác giả:Lưu Thị Minh Phượng; Fb: Jerry Kem  x + y − + x + y + = ( 1)  ( 2)  x + y + = 3xy x + 3y −1 ≥ Điều kiện: Từ phương trình (1) ta có x + y − + 2x + y + = ⇔ ( ⇔ ) ( x + 3y −1 − + ) 2x + y + − = ( x + y − 10 ) x + y − 10 + =0 x + 3y −1 + 2x + y + +   ⇔ ( x + y − 10 )  + ÷=  x + 3y −1 + 2x + y + + ÷   ⇔ x + y − 10 = ⇔ x = 10 − y ( 3) ( 3) ( 2) Thay vào ( 10 − y ) y = + y + = ( 10 − y ) y ⇔ y − 44 y + 52 = ⇔   y = 26  y = ⇒ x = (tm) + Với y= +Với 26 ⇒ x = (tm) ( 4; ) ,  Vậy nghiệm hệ phương trình Câu 3: 26  ; ÷ 3  Giải hệ phương trình  x − y + x − y + =   x y − y x − = x − y ( 1) ( 2) Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Hường; Fb: Nguyen Huong ĐKXĐ : x − y ≥  y ≥ x ≥  ( 1) ⇔ ( ⇔ ) ( ) x − y −1 + x − 2y + − = x − y −1 x − y −1 + =0 x − y +1 x − 2y + +   1 ⇔ ( x − y − 1)  + ÷=  x − 2y +1 x − 2y + + ÷    x − y −1 = ( 3)  ⇔ 1 + =0 ( 4)  x − y +1 x − y + +  Nhận thấy phương trình (4) vơ nghiệm x = y +1 Từ (3) suy thay vào phương trình (2) ta phương trình : ( y + 1) ⇔ ( y + 1) y − y y = ( y + 1) − y y = ( y + 1) ⇔ 2y = y≥0 (vì ) ⇔ y =1 y =1⇒ x = Với ( x; y ) = ( 3;1) Vậy hệ cho có nghiệm ( Câu 4: Giải hệ phương trình )  x + y + + x − + xy + x + y =   x + y + + x + = ( 1) ( 2) Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Hường; Fb: Nguyen Huong ĐKXĐ : ( 1) ⇔ ⇔ (  2 x + y + ≥  9 x + y + ≥  x ≥ −  x + y + + x − + xy + x + y = ) x + y + − + x ( x + 3) + y ( x + ) = ⇔ ( ⇔ ) x + y + − + ( x + y ) ( x + 3) = 2x + y + ( x + y ) ( x + 3) = 2x + y + +   ⇔ ( 2x + y )  + x + ÷=  2x + y + + ÷   x≥− Do > −3 ⇒ x + > ( 3) + x+3> 2x + y + + nên ( ) ⇔ y = −2 x Khi thay vào phương trình (2) ta phương trình : 7x +1 + 7x + =  x ≥ − ⇔ 14 x + +  ( x + 1) ( x + ) ( ) ⇔ ( x + 1) ( x + ) = 25 ( 4) = 11 − x  11 x ≤ ⇔ ( x + 1) ( x + ) = ( 11 − x )  11  17 x ≤ ⇔ ⇔x= 25 175 x = 119 x= Với (Thỏa mãn ĐKXĐ) 17 34 ⇒ y=− 25 25 ( x; y ) =  Vậy hệ cho có nghiệm Câu 5: Giải hệ phương trình 17 34  ;− ÷  25 25  4 x + x + = ( y + 1) x + + x + y   x − y + x ( x − y ) = − y ( 1) ( 2) Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Hường; Fb: Nguyen Huong ĐKXĐ : ( 2) ⇔ ⇔ ⇔ ( ⇔ x + y ≥  x − y ≥  x ≥ −3  x − y + x − xy + y − = ( ) x − y −1 + ( x − y ) −1 = ) x − y − + ( x − y − 1) ( x − y + 1) = x − y −1 + ( x − y − 1) ( x − y + 1) = x − y +1   ⇔ ( x − y − 1)  + x − y + 1÷ =  x − y +1 ÷   + x − y +1 > x − y +1 x − y ≥ ⇒ x − y +1 > Do ( 3) nên ( 3) ⇔ y = x − Khi thay vào phương trình (1) ta pt : x + 3x + = x x + + 2 x − ( ⇔ ( 2x − ) ( ) ⇔ x2 − x x + + x + + 2x −1 − 2 x −1 + = x+3 ) +( ) 2x −1 −1 = 2 x − x + = ⇔  x − − = 2 x = x + ⇔ ⇔ x =1 x − =  x =1⇒ y = Với (thỏa mãn ĐKXĐ) ( x; y ) = ( 1;0 ) Vậy hệ cho có nghiệm y   x −x− y = x− y  2 x + y − x − = 11 )  ( ( 1) ( 2) Câu 6: Giải hệ phương trình: Tác giả:Lê Tiếp ; Fb:Lê Tiếp Lời giải Điều kiện:  x− y ≠0   x≥    x − x − y ≥ x −x− y =0 y=0 Nếu từ (1) suy x = x2 − x = ⇔   x =1 thay vào (2) thấy không thỏa mãn x2 − x − y > Nếu , viết lại (1) dạng: y x− y = ⇔ ( x2 − x − y x − y −1 x− y ) + x − y +1  ⇔ ( x − y − 1)    ( y ⇔ x − y −1 = x−y ) =− −1 ( x + y ) ( x − y − 1) x2 − x − y x2 − x − y + x − y +1 +  ÷= ( ) x −x− y ÷ ÷  x+ y y0 Vì ( ) x − − ( x − 1) x − + ( x − 1) + x − +  = 1  ⇔ x − − = 0,  ( x − 1) x − + ( x − 1) + x − + > , ∀x ≥ ÷ 2  ⇔ 2x −1 = ⇔ x = ⇒y= 2 ( x ; y ) =  Vậy hệ có nghiệm 3 ; ÷ 2 2 Dạng 6.3 Thêm bớt biểu thức để nhân liên hợp Câu 1: Giải hệ phương trình  3x + y − + y = x −  2  x − xy + ( y + ) = 17 Lời giải Tác giả: Phạm Quang Linh; Fb: Linh Phạm Quang  x + y − + y = x −  2  x − xy + ( y + ) = 17 ĐKXĐ: ( 1) ( 2) x −1 ≥ 3 x − ≥ ⇔ ⇒ 3x + y − ≥  y ≥ y ≥ x ≥ ⇒ y ≥ ( 1) ⇔    Xét 3x + y − − x − = x − − y ( 3)  3 x + y − =  3x + y − + x − = x = x −1 = ⇔ ⇔  x −1 = x −1 + y = y =    y = 0 + = 3.0  1 − + = 17 Thay vào hệ phương trình ta được: Xét (vơ lý)  x + y − + x − ≠ ( *)  x − + y ≠  ( 3) ⇔ x + y − − ( x − 1) 3x + y − + x − = x −1 − y x −1 + y Khi ⇔ 3x + y − − x + x − y −1 −x + y +1 x − y −1 = ⇔ = 3x + y − + x − x − + y 3x + y − + x − x − + y  x − y −1 = −1 ⇔  =  x + y − + x − x − + y x = y +1 −1 ⇔  =  x + y − + x − x − + y ( 4) −1   3x + y − + x − < x ≥  ⇒  y ≥  >0  x − + y ⇒ ( 4) Xét phương trình : Do Với ( y + 1) ( 2) x = y +1 thay vào ( 4) Phương trình vơ nghiệm − y ( y + 1) + ( y + ) = 17 ta có : ⇔ y + y + − y − y + y + y + = 17 ⇔ y + = 17 ⇔ y = ⇒ x = y +1 = x = ⇒ y = ( *) ( Thỏa mãn ĐK ) ( x; y ) = ( 3; ) Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 2: Giải hệ phương trình  x + x − + x = 3x + x + −   x − + xy + y + = Lời giải Tác giả: Phạm Quang Linh; Fb: Linh Phạm Quang  x + x − + x = x + x + − ( 1)  ( 2)  x − + xy + y + = ĐKXĐ ( 1) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x ≥1 x + x − − ( x + 1) = x + x + − ( x + 1) x + 3x − − ( x + 1) 2 x + x − + ( x + 1) = x + 3x − − x − x − x + x − + ( x + 1) x2 + x − 2 x + x − + ( x + 1) = x + x + − ( x + 1) x + x + + ( x + 1) = 3x + x + − x − x − 3x + x + + ( x + 1) − x2 − x + x + x + + ( x + 1) x2 + x − ⇔ x + x − + ( x + 1) − ( x2 + x − 2) = x + x + + ( x + 1)  x2 + x − = ( 3)  ⇔ −1 = ( 4) 2  x + x − + ( x + 1) x + x + + x + ( )  ( TM )  x = −2 ( L ) x =1 ( 3) ⇔   >0  2 x + x − + x + ( )  ⇒ −1  x = Th1: thỏa mãn y = 1− 2x ⇒ x + 1− 2x = ⇔ x = x + ⇔ x + 3x + = 0(VN ) Th2: Vậy hệ có nghiệm (x,y) = (0,4) Câu 5: Giải hệ phương trình:  x + xy + y + x + xy + y = ( x + y )   x + y + + x + 12 y + = xy + y + ( 1) ( 2) Tác giả:Lê Tiếp ; Fb:Lê Tiếp Lời giải x + xy + y + x + xy + y = x + y + ( x + y ) + ( x + y) 2 + x2 + y2 Ta có: Lại có  2 2  x + y + ( x + y ) ≥ y + ( 3x + y )    x + y + x2 + y ≥ x2 + x + y ) ( )  ( Mặt khác : 1 2 y + ( 3x + y ) + x + ( x + y ) ≥ 2 = x + y ≥ 3( x + y ) 2  3x + y + x + y  ( x + y) +  ÷ = 9( x + y)   x= y≥0 Dấu xảy khi: x= y Thay vào (2) ta được: x + + 19 x + = x + x + ⇔ x + − x + + x + − 19 x + + x − x = ( ⇔ x2 − x x3 + x2 − x + 2 x + + 3x + ( x + ) + ( x + ) 19 x + + ( 19 x + ) ) + ( x2 − x ) =  x+7 ⇔ ( x − x)  +  x + + 3x + ( x + ) + ( x + ) 19 x + +  ( 19 x +  x+7 ⇔ x − x = 0,  +  x + + 3x +  ( x + ) + ( x + ) 19 x + +  x =  y = ⇔ ⇒  x =1  y =1 ( thỏa mãn điều kiện) ( 0; ) , ( 1;1) Vậy hệ có hai nghiệm ( )  + 2 =   19 x + )  + > 0, ∀x ≥ ÷ ÷ ÷  ... 26  y = ⇒ x = (tm) + Với y= +Với 26 ⇒ x = (tm) ( 4; ) ,  Vậy nghiệm hệ phương trình Câu 3: 26  ; ÷ 3  Giải hệ phương trình  x − y + x − y + =   x y − y x − = x − y ( 1) ( 2) Lời giải. .. −1 +  ; ÷ ÷   ( 3;1) ,  Vậy hệ có nghiệm Dạng 6. 2 Thêm bớt số để nhân liên hợp Câu 1: Giải hệ phương trình  x − y + x − = y +  2  x + y − 3xy = Lời giải Tác giả:Lưu Thị Minh Phượng;... ≥ >1⇒ Phương trình (3) có nghiệm 2x − + x