BAI 3 HE PHUONG TRINH DANG CAP CO BAN

CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10 Vấn đề 3: HỆ ĐẲNG CẬP BẬC HAI Định nghĩa Hệ đẳng cấp bậc có dạng:  a1 x + b1 xy + c1 y = d1  2  a2 x + b2 xy + c2 y = d 2 Phương pháp giải * Cách 1: Khử số hạng tự để dẫn tới phương trình cho y ( y ≠ 0) Đặt sau chia hai vế * Cách 2: Khử số hạng tự để dẫn tới phương trình x = ty Ax + Bxy + Cy = ( 1) ⇔ y ( At + Bt + C ) = * Cách 3: Từ hệ khử số hạng x2 ( y2 Ax + Bxy + Cy = ( 1) ) để dẫn tới phương trình khuyết x2 Rút x theo y vào hai phương trình hệ ta phương trình trùng phương theo ẩn y Áp dụng Câu Giải hệ phương trình 2 x + xy + y = 15  2  x + xy + y = ( 1) ( 2) Lời giải Cách 1:  x + xy + y = 15 16 x + 24 xy + y = 120 ⇔  2  x + xy + y = 15 x + 15 xy + 30 y = 120 Khử số hạng tự từ hệ ta phương trình Với y=0 khơng thỏa mãn hệ nên x y =2 x x  ÷ + − 22 = ⇔  y x  y  y = −11  ta được: x=0 x + xy − 22 y = ( 3) y≠0⇒ chia hai vế phương trình ( 3) cho y2 Với Với x = ⇔ x = 2y y thay vào x = −11 ⇔ x = −11 y y ( 2) ta được: thay vào Vậy hệ phương trình có tập nghiệm Cách 2: ( 2) y =1 x = y2 = ⇔ y2 = ⇔  ⇔  y = −1  x = −2 ta được: + Với + Với phương trình y=0 thay vào hệ ta có t = ⇒ x = 2y x + xy − 22 y = ( 3) Cách 3: Nhận thấy Khử số hạng Thay x2 vào ( 3) trở thành 2 x = 15   x = ⇒ vô nghiệm y=0 (giải tiếp cách 1) x=0 nên ta có (0; 0) xy − y = −1 ⇔ x = từ hệ ta ( 2) ta được: 14 y − 15 y + = t = 14t − 15t + = ⇔  t =  14 + Với y = y ( t + 9t − 22 ) = ⇔ t = t = −11 (giải tiếp cách 1) t = −11 ⇒ x = −11 y ( 4)  x + xy + y = 15 16 x + 24 xy + y = 120 ⇔  2  x + xy + y = 15 x + 15 xy + 30 y = 120 x = ty + Với  x = 14 ⇔ −   x = 14   −11   11 −1   S = ( 2;1) , ( −2, − 1) ,  , , ÷,  ÷  14 14   14 14    Khử số hạng tự từ hệ ta phương trình Đặt  y = 2 112 y = ⇔ y = ⇔  14   y = t = ⇒ y2 = (giải tiếp cách 1) khơng nghiệm hệ phương trình y2 −1 y Đặt ( 4) t = y2 ( t ≥ 0) ta phương trình: −11 14 11 14 t= + Với 1 ⇔ y2 = 14 14 (giải tiếp cách 1) Gv: Nguyễn Thị Duyên, FB:Nguyễn Duyên Câu Tìm m để hệ phương trình: ( 1) ( 2)  x − xy =  2  x + xy − y = m có nghiệm Lời giải Gv: Nguyễn Thị Duyên, FB:Nguyễn Duyên Nhận thấy Thay ( *) x=0 Đặt (1) vô nghiệm Từ ( 1) suy x2 − ( *) x vào phương trình thứ hai hệ, ta được: 2x + ( x − 2) − y= t = x2 ( t ≥ 0) ( x2 − ) x2 , = m ⇔ x − mx − = ( 3) ( 3) ⇔ 4t − mt − = ( ) Để hệ có nghiệm phương trình a.c = −32 < nên phương trình ln có nghiệm Câu Giải hệ phương trình ( 4) ( 4) phải có nghiệm khơng âm Điều ln ln có hai nghiệm trái dấu Vậy với 3  x − x y + y =  2  x − x y + xy + y = Lời giải Ta có hệ tương đương với Lấy (1) - (2) ta phương trình Dễ thấy với Với y≠0 y=0 ( 1) ( 2) 2 x − x y + y = ⇔ 2  x − x y − xy + y = hệ trở thành , chia hai vế cho x3 − x y + xy − y =  x =   x = y3 Do hệ vơ nghiệm ta được: m hệ cho x x x x  ÷ − 3 ÷ + − = ⇔ = y ⇔x= y y  y  y Thay vào ( 2) ta y3 = ⇔ y = Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu Giải hệ phương trình ( x, y ) = ( 1,1) ( x + y ) ( x + xy − y ) − =    x ( x − y ) + ( y + 1) − xy ( x + y ) = Lời giải FB: Hung Tran Hệ phương trình tương đương với Cộng vế với vế hai phương trình ta được: ⇔ ( 2x − y ) ( x2 − y ) Với Với Với y = 2x y=x , thay vào , thay vào y = −x  y = 2x ⇔  y = x =0  y = − x ( 1) , thay vào ta ta ( 1) 2 ⇒ y = −2 3 x3 = ⇔ x = ⇒ y = ta 0=2 (vô lý)  Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm Câu Giải hệ phương trình: x + y − x y − xy = −3 x3 = ⇔ x = − ( 1) ( 1) ( 2)  x + x y − y − =  2  x − 3x y − xy + y + = ( x, y ) = ( 1,1) ( x, y ) =  −  2 , −2 ÷ 3÷   x + y + 3xy = 11 2( x + y ) − y = 14  Lời giải  x + y + xy = 11  x + y + xy = 11  2( x + y )2 − y = 14 ⇔ 2 x + xy + y = 14   Với x=0 không thỏa mãn hệ phương trình, với x≠0 đặt y = tx hệ phương trình trở thành:  x + t x + 3tx = 11  x (1 + t + 3t ) =11 14 x (1 + t + 3t ) = 154 (1) ⇔ ⇔  x + 4tx + t x = 14  x (2 + 4t + t ) = 14 11x (2 + 4t + t ) = 154 (2)    Thế (1) vào (2) ta phương trình: 14 x (1 + t + 3t ) = 11x (2 + 4t + t ) ⇔ 14(1 + t + 3t ) = 11(2 + 4t + t ) t = ⇔ 3t − 2t − = ⇔  t = − Với t=2 vào phương trình (1) ta t=− Với x2 = ⇔  x = ⇒ y =  x = −1 ⇒ y = −2 vào phương trình (1) ta Vậy tập nghiệm hệ phương trình là: Câu Giải hệ phương trình: x = −9 (vơ nghiệm) S = {(1; 2);( −1; −2)} 2 ( y + 1) x = (5 xy + y − 2) y   xy + y = Lời giải Cách 1: Điều kiện: { xy ≥≥ 00 2(2 y + 1) x = (5 xy + y − 2) y 4 y x + x = xy y + y y − y ⇔   2  xy + y =  xy + y = 2  ⇔ 5 xy y2 + y y − y x = x + y (1) (2)  xy + y = Do y=0 khơng thỏa mãn hệ phương trình, nên với y>0 (1) ⇔ xy + y − y xy = 2( xy + y ) (3) Thế Đặt = xy + y x = ty ( ĐK: vào (3) ta được: t >0 xy + y − y xy = ( xy + y )( xy + y ) (4) (3) trở thành: 5ty + y − y ty = (ty + y )( ty + y ) ⇔ y (5t + − t ) = y (t + 1)( t + 1) ⇔ 5t + − t = (t + 1)( t + 1) ⇔ t t − 4t + t − = ⇔ ( t) Với Với Với −4 ( t)  −5 t −2 = ⇔  t =  t =1    t =2  ⇒  t =1     x =2 y ⇔ x = y  x = y x =1 y x= y (2) ⇔ y = ⇒ y = ⇒ x = vào x = 4y vào (2) ⇔ y2 = ⇒ y = 10 10 ⇒x= 2 Kết luận: so với điều kiện hệ phương trình, tập nghiệm hệ là: 10 10   S = (1;1), ( ; ) 5   Cách Điều kiện: { xy ≥≥ 00 2(2 y + 1) x = (5 xy + y − 2) y 4 y x + x = xy y + y y − y ⇔   2  xy + y =  xy + y = 2  ⇔ 5 xy y2 + y y − y x = x + y (1) (2)  xy + y = Do y=0 không thỏa mãn hệ phương trình, nên với (1) ⇔ xy + y − y Thế = xy + y : xy = 2( xy + y ) (3) vào (3) ta được: Chia vế (4) cho y>0 y3 xy + y − y xy = ( xy + y )( xy + y ) (4) :  x x  x  x (4) ⇔ + − =  + 1÷ + 1÷ ÷ y y  y  y  x x x ⇔ + − = y y y x x x x x + ⇔ + − = y y y y y x x + y y  x  x x x − + − = ⇔  −  ÷ ÷ y y y  y  x ⇔ y Với Với   ⇔ x x  + −2=0 ÷  ÷ y y  x= y vào x = 4y x =2 y ⇔ x = 4y  x = y x =1 y (2) ⇔ y = ⇔ y = ⇒ x = vào (2) ⇔ y2 = ⇔ y = 10 10 ⇒ x= 2 Kết luận: so với điều kiện hệ phương trình, tập nghiệm hệ là: Câu Giải hệ phương trình : 3  x + y = y + 16 x  2  y + = 5(1 + x )  10 10  S = (1;1), ( ; ) 5   (I) Lời giải Ta có:  x3 − y + ( y − x ) = I ⇔ ( )  2  −5 x + y = Thay (2) vào (1) ta được: Dễ thấy Đặt ( x; y ) = (0;0) x = ty ( t ≠ 0, y ≠ ) + Với + Với 4 ⇔ x= y 7 x − y + ( −5 x + y ) ( y − x ) = ⇔ 21x − x y − xy = (3) không nghiệm hệ phương trình , 1 t=− ⇔ x=− y 3 t= ( 1) ( 2)  t = ( l )  3 ( 3) ⇔ − y ( 21t − 5t − 4t ) = ⇔ 21t − 5t − 4t = ⇔ t = −  t =  Thay vào (2), ta  y = ⇒ x = −1 y2 = ⇔   y = −3 ⇒ x = y2 = − Thay vào (2), ta Vậy nghiệm hệ phương trình cho 196 31 nên hệ phương trình vơ nghiệm S = { ( 1; −3) ; ( −1;3 ) } 8 x y − 13 xy − y = ( x y − x )  2  x y − x + = Câu Giải hệ phương trình: Lời giải Ta có : Xét ( x; y ) = (0;0) x≠0 không nghiệm hệ phương trình , chia hai vế hai phương trình cho  y2 y 1  y − 13 − = 4 y − ÷  x x x    y2 − + =  x2 z= Đặt x , ta có: x2 , ta hệ phương trình: (I) 8 y − 13 y z − yz = ( y − z ) ( I) ⇔  2  y + z = 8 y − 13 y z − yz = ( y + z ) ( y − z ) ⇔ 2  y + z = ( 1) ( 2) y = tz Khi đó, phương trình (1) trở thành phương trình đẳng cấp bậc ba, đặt , ta được: ( 1) ⇔ 6t z − 11t z − 3tz + z = ⇔ z ( 6t − 11t − 3t + ) = ⇔ 6t − 11t − 3t + = t= + Trường hợp 1: (vì z =0⇒ y =0 không nghiệm hệ) 1 ⇔ y= z= 3 3x x2 y − x2 + = ⇔ Theo đề, ta có: 5 − x2 + = ⇔ x2 = ⇔ x = ± 9 Suy hệ phương trình cho có nghiệm t = ⇔ y = 2z = + Trường hợp 2:  t =  ⇔ t =  t = −  x  5   5   S1 =  − ;− ; ÷;  ÷ ÷ ÷      x2 = , tương tự 10 ⇔x=± 2  10 10   10 10   S2 =  − ;− ; ÷;  ÷ ÷ ÷      Suy hệ phương trình cho có nghiệm t=− + Trường hợp 3: 1 ⇔ y=− z=− 2 2x x2 = , tương tự 10 ⇔ x=±  10 10   10 10   S3 =  − ; ; ; − ÷  ÷  ÷ ÷    Suy hệ phương trình cho có nghiệm Vậy nghiệm hệ phương trình cho  5   5   10 10   10 10   10 10   10 10   S =  − ;− ; ; ; − ; − ; ; ; − ; ; ; − ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷    ÷ ÷ ÷ ÷ ÷              Câu Giải hệ phương trình ( 1) ( 2)  x − x = y + y  2  x − = 3( y + 1) Lời giải Ta có Do 3 3  x − x = y + y  x − y = x + y ⇔  2  x − y =  x − = 3( y + 1) x = 0, y = nghiệm hệ nên ta đặt Khi phương trình hệ trở thành Từ ta suy + Với + Với x = ty, t ≠ 3  y (t − 1) = y (8t + 2)  2  y (t − 3) = 6(t − 1) = (8t + 2)(t − 3) ⇔ t + t − 12t = ⇔ t = 3, t = −4, t = x = 3y  x = ±3 t =3⇒  2 ⇔  y (t − 3) =  y = ±1  78 x=m   x = −4 y  13 t = −4 ⇒  2 ⇔  y (t − 3) =  y = ± 78  13  78 78   78 − 78  ; ; ÷,  ÷ 13 ÷ 13 ÷  13   13 ( 3;1) , ( −3; −1) ,  − Vậy hệ cho có nghiệm ( Loại t =0 ) Câu 10 Giải hệ phương trình 3  x + y − xy =  4  x + y = x + y Lời giải Ta có x = 0, y = nghiệm hệ nên ta đặt Khi phương trình hệ trở thành Từ ta suy + Với + Với x = ty, t ≠  y (t + − t ) =  4  y (4 t + 1) = y (4t + 1) (t − t + 1)(4 t + 1) = 4t + ⇔ t − 4t + t = ⇔ t = 3, t = 1, t = 0(l )  x=±  x = y   t =3⇒  ⇔  y (t − t + 1) =  y = ±  x = y  x = ±1 t =1⇒  ⇔  y (t − t + 1) =  y = ±1 Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 11 Giải hệ phương trình 3 1  1  ; ÷,  − ; − ÷; ( 1;1) , ( −1; −1) 5 5  5  x − y + 32 =  2 3 ( x − y ) = ( x + xy ) Lời giải x = − y x − y = x + xy ⇔ x − xy − y = ⇔ ( x + y ) ( x − y ) = ⇔  x = 3y ( Ta có: + Với x = −y ) ( ) vào phương trình Do có hai nghiệm hệ x = 3y + Với nghiệm x − y + 32 =  x = −2  y = vào phương trình ta được: x =   y = −2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x − y + 32 =  x = −2  y = y = ⇔ y = ±2 y = −32 ta được: x =   y = −2 , phương trình vơ Câu 12 Giải hệ phương trình: 14 x − 21y + 22 x − 39 y =   2  35 x + 28 y + 111x − 10 y = Lời giải ● Với Suy ● Với x = 0; y = ( x; y ) = (0; 0) x≠0 hệ phương trình trở thành nghiệm hệ phương trình x = ty đặt 0 =  0 = (1) hệ phương trình cho tương đương với hệ: 2  14 x − 21t x + 22 x − 39tx =  2  35 x + 28t x + 111x − 10tx = (14 − 21t ) x = (39t − 22) x  ⇔ 2  (35 + 28t ) x = (10t − 111) x 39t − 22   x = 14 − 21t ⇔  x = 10t − 111  35 + 28t Suy ra: (2) 39t − 22 10t − 111 = 14 − 21t 35 + 28t 186t − 421t + 175t + 112 = ⇔ t = − t=− Thay Thay x = −3 x= vào (2) suy vào (1) suy 39t − 22 = −3 14 − 21t y =1 Vậy nghiệm hệ phương trình Câu 13 Giải hệ phương trình sau: x =  y =  x = −3  y =1  x y + − xy − x =   x − x − xy = Lời giải Điều kiện y ≥ −1 Ta viết lại hệ thành:  x y + − x( y + 1) =   x − 3x ( y + 1) = Ta thấy phương trình hệ phương trình đẳng cấp bậc y = −1 Dễ thấy nghiệm hệ phương trình x = t y +1 y > −1 Xét Đặt thay vào hệ ta có:  ( y + 1) t − 2t  = t =    ⇔ t − 3t − 6(t − 2t ) = ⇔   t =  ( y + 1) t − 3t  =    + Nếu t=0 x=0 t = ⇔ 27 Không thỏa mãn hệ ( y + 1) −9 ( y + 1) =6⇔ y = + Nếu Vậy hệ có nghiệm   ( x; y ) =  9; − ÷   −1 ⇒ x = 9 x, y + ... 3  y (t − 1) = y (8t + 2)  2  y (t − 3) = 6(t − 1) = (8t + 2)(t − 3) ⇔ t + t − 12t = ⇔ t = 3, t = −4, t = x = 3y  x = ? ?3 t =3? ??  2 ⇔  y (t − 3) =  y = ±1  78 x=m   x = −4 y  13. .. ⇔  y (t − 3) =  y = ± 78  13  78 78   78 − 78  ; ; ÷,  ÷ 13 ÷ 13 ÷  13   13 ( 3; 1) , ( ? ?3; −1) ,  − Vậy hệ cho có nghiệm ( Loại t =0 ) Câu 10 Giải hệ phương trình 3  x + y... x − 39 tx =  2  ? ?35 x + 28t x + 111x − 10tx = (14 − 21t ) x = (39 t − 22) x  ⇔ 2   (35 + 28t ) x = (10t − 111) x 39 t − 22   x = 14 − 21t ⇔  x = 10t − 111  35 + 28t Suy ra: (2) 39 t