Bài tập hệ phương trình vi phân có lời giải

Vậy nghiệm tổng quát là... Thay z bởi vế phải của phương trình sau,ta được y y y z Nhưng từ phương trình đầu suy ra z  y y 3 .Thế vào phương trình trên ,ta được Nghiệm tổng q

GIẢI TÍCH 3

Chuyên đề 3: Hệ Phương Trình Vi Phân

Bài 03.03.1.001.B337 Giải bài toán Cauchy :

1 2 2

Lời giải :

Đạo hàm phương trình đầu của (a) hai lần và thay z  từ phương trình cuối của y

(a) ,ta được (4)

và nghiệm tổng quát của (a) được xác đinh bởi (c) ,(d)

Bài 03.03.1.003.B338 Tìm nghiệm tổng quát của hệ :

x x

dy

dx dz

y z e dx

Với λ3  ta có nghiệm riêng thứ ba : 2

dy

y z dx

dy

y z dx

x x

dt dz

x y z dt

Hệ gồm 2 phương trình đầu của (c) cũng có các số đặc trưng là λ0

và λ1 như hệ (a) Giải hệ này ta có : 1 2

t t

dt dz

y 1, 1 (2)

t t

12

Tác giả: PGS.TS Lê Văn Hạp

( )

3 *( )

x x

1 2

( )

1

x x

x x

α e Y

α e

  

  Thế Y vào (*) ta có được 1phương trình α1  (1 3)α2 Chọn α =1 thì 2 α1  1 3và ta có :

3 1

3

(1 3) x

x

e Y

ix ix

α e Y

cos 2 sin 2 x(cos 2 2sin 2 ) (2sin 2 cos 2 )

dt dz

Giải các hệ này ta được α1  γ1 γ α2, 2 γ β2, 1 3 ,γ β2 2  ,trong đó 0 γ γ lấy các 1, 2giá trị tùy ý Chọn γ1 1,γ2  ta có nghiệm 0 2

101

Tương tự ta chon γ1 0,γ2  ta có nghiệm khác 1 3

Vì W[Y ,1 Y Y2, ]3   nên e t 0 Y , ,1 Y Y là ba nghiệm độc lập tuyến tính của hệ (*) và 2 3

nghiệm tổng quát của hệ (*) : Y c Y1 1 c Y2 2 c Y3 3 hay

t t

2 2

2 3

3 2

x x

x x

Phương trình đặc trưng là:

 Với   4, ta có phương trình vectơ riêng là

2 ( )

Giải hệ ta có:

2

1 1

' 2

2

1 2

t t

Chọn vectơ riêng là

(1 )11

i b

4 4

' 2

2

1 2

t t

Vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:

A I b

b b

 Với    1, ta có phương trình vectơ riêng là:

1 2 3 4

b b

b i

A I b

b i

b i

i i b

 

1 2 3 4

T : Toán Cao Cấp –Nguyễn Đình Trí

Bài03.03.1.021.T247Giải hệ phương trình sau

Lấy đạo hàm hai vế phương trình đầu ta được

y y z Thay z bởi vế phải của phương trình sau ,ta được

Nghiệm tổng quát của nó là yC e1 x C e2 9x

Tính y’ ,rồi thế vào phương trình đầu ,ta được 9

Lấy đạo hàm hai vế phương trình đầu ta được

y y z Thay z bởi vế phải của phương trình sau ,ta được

y   y y z x

Nhưng từ phương trình đầu suy ra y z y ,nên ta được y2y x

Nghiệm tổng quát của nó là

2 2

y y z

z y Thay y bởi vế phải của phương trình sau ,ta được

212

y z

2

dp

dz 

Nếu p≠ 0 ,ta được 2



Nếu p = 0 ,tức là z’ = 0 ,ta thấy z = C (≠0),y = 0 cũng là một nghiệm của hệ

Bài03.03.1.024.T250Giải hệ phương trình sau

2 2

Nó có hai nghiệm 1 5,2  1 ứng với 1 5 ,hệ phương trình để xác định vecto

3 1

5 5cos3 5sin 3(1 3 ) (cos3 3sin 3 ) (sin 3 3cos )

ix ix

Bài03.03.1.026.T254Giải hệ phương trình sau

x x

Cho a C b C 1,  2, C ,1 C2 tùy ý ,ta được c C d1,  (C1 C2)

Vậy nghiệm tổng quát là

Do đó, mình tìm nghiệm của hệ có dạng:

 

2 2

x x

1 2 1

dt dy

t t

Trừ vế với vế hai phương trình của hệ, mình thu được:

1 2

1 2

1212

C

t C

Lấy đạo hàm hai vế phương trình sau ta được

z y z

Thay y bởi vế phải của phương trình đầu,ta được

z y zz Nhưng từ phương trình sau suy ra y z z Thế vào phương trình trên ,ta được

Nghiệm tổng quát của nó là zC e1 2x C e2 3x

Lấy đạo hàm hai vế phương trình sau ta được

x x

Nhưng từ phương trình đầu suy ra 8 x

ze   Thế vào phương trình trên ,ta y y

Nghiệm tổng quát của nó là yC e1 5x C e2 3x

Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng Y  Axe3x Thế vào phương trình ấy,ta được A = -1 Vậy 3x

Y  xe Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là

Thay z bởi vế phải của phương trình sau,ta được

y y y z Nhưng từ phương trình đầu suy ra z  y y 3 Thế vào phương trình trên ,ta được

Nghiệm tổng quát của nó là y(C1cosxC2sinx)e2x

Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng Y  Thế vào A

phương trình ấy,ta được A = 2 Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là

( 2cos sinx) 2( cos 3sin ) 1

x x

Bài 03.03.1.033.DT334

Giải hệ phương trình sau : 2 3

y y

z z

Lời giải

Viết lại hệ như sau

2, z y

Vậy tích phân tổng quát của hệ là

(4 3 ) 4 1

(cos3 sin 3 ),(sin 3 cos3 )

x x

dy

x y z dt

dz

x y z dt

Vậy phương trình đặc trưng có một nghiệm đơn λ11 và một nghiệm kép λ2  2

Ta tìm nghiệm của hệ dưới dạng

dt dz

x z dt

(1 ) 2

(1 ) 2

TLC : TÀI LIỆU CŨ COPY ĐÁNH LẠI MÃ

Bài 03.03.1.040.TLC Giải hệ phương trình

dy4x y

dy

dtdz

x z dt

Lời giải :

dy3x y 0dt

x 2y 2sintdt

Vậy NTQ của hệ thuần nhất :

dy

x y z dt

dz

x y z dt

x y dt

Đưa phương trình đầu về : y   2(y 5cost)    y  y    y  2y   10cost

Đây là phương trình tuyến tính cấp 2,giải ra được nghiệm tổng quát :

y C e C e 3cost sint

Thay vào pt đầu :

2

1

cos 2sin 2

y* xe z* (x 1)e

z y dt

Bài 03.03.1.051.TLCGiải hệ phương trình

Bài 03.03.1.053.TLC Giải hệ phương trình

2 5sin

dx

x y dt

dx

x y dt

dy

x y e dt

Biến thiên hằng số để được nghiệm

( 1) 2

dy

y z dt

t t