phuong trinh vi phan co loi giai

Học lại tất cả các kiến thức căn bản về toán từ lớp dưới. Phải thuộc những định nghĩa và định lý bằng cách làm nhiều bài tập. Gặp một bài toán lạ và khó, bình tĩnh và kiên nhẫn phân tích để đưa về những bài toán cơ bản và quen thuộc. Để có hiệu quả cao, cần phải có một chút yêu thích môn học. Phải học đều từ đầu năm chứ không phải đợi gần thi mới học. Chúc em thành công và luôn có một thể chất, tinh thần khỏe mạnh

2) Gia'i phu.o.ng trnh: √y.y” = y0

HD gia’i: D- a.t y0 = p ⇒ y” = pdp

dy (ham theo y) Phu.o.ng trnh tro.' thanh: √ypdp

Ngoai ra y = c: hang cu~ng la nghi^e.m

3) Gia'i phu.o.ng trnh: a(xy0+ 2y) = xyy0

HD gia’i: a(xy0+ 2y) = xyy0 ⇒ x(a − y)y 0 = −2ay

N^eu y 6= 0, ta co phu.o.ng trnh tu.o.ng du.o.ng vo.i a − y

y dy = −

2a

x dx ⇔ x

2a y a e−y = C

Ngoai ra y = 0 cu~ng la nghi^e.m

4) Gia'i phu.o.ng trnh: y” = y0ey

HD gia’i: D- a.t y0 = p ⇒ y” = pdp

dy thay vao phu.o.ng trnh: pdp

Ngoai ra y = C : hang la m^o.t nghi^e.m

5) Gia'i phu.o.ng trnh: xy0 = y(1 + ln y − ln x) vo.i y(1) = e

HD gia’i: D- u.a phu.o.ng trnh v^e: y0 = y

6) Gia'i phu.o.ng trnh: y”(1 + y) = y02+ y0

HD gia’i: D- a.t y0 = z(y) ⇒ z0 = zdz

dy thay vao phu.o.ng trnh: dz

Ngoai ra y = C la nghi^e.m

Tom la.i nghi^e.m t^o'ng quat: y = C, y = C − x; 1

C1 ln |C1y + C1− 1| = x + C2

7) Gia'i phu.o.ng trnh: y0 = y 2 − 2

x 2

HD gia’i: Bi^en d^o'i (3) v^e da.ng: x2y0 = (xy)2− 2 (∗)

D- a.t z = xy ⇒ z0 = y + xy0 thay vao (∗) suy ra:

8) Gia'i phu.o.ng trnh: yy” + y02 = 1

HD gia’i: D- a.t y0 = z(y) ⇒ y” = z.dz

Nghi^e.m t^o'ng quat: y 2 + C1 = (x + C2) 2

9) Gia'i phu.o.ng trnh: 2x(1 + x)y0 − (3x + 4)y + 2x√1 + x = 0

Cx2

√

x + 1

Bi^en thi^en hang s^o: C0 = − 1

y0(0) = 0

HD gia’i: D- a.t z = y0 → y” = z.dz

dy phu.o.ng trnh tro.' thanh z.dz

√

e 2y − 1 = x + ε d¯ˆo’i biˆe´n t =

√

e 2y − 1 arctg √

e 2y − 1 = x + ε y(0) = 0 ⇒ ε = 0. V^a.y nghi^e.m ri^eng thoa' di^eu ki^e.n d^e bai: y = 1

2ln(tg

2 x + 1).

11) Tm nghi^e.m ri^eng cu'a phu.o.ng trnh: xy0+ 2y = xyy0

thoa' ma~n di^eu ki^e.n d^au y(−1) = 1

HD gia’i: Vi^et phu.o.ng trnh la.i: x(1 − y)y0 = −2y; do y(−1) = 1 n^en y 6≡ 0 D- u.a v^ephu.o.ng trnh tach bi^en: 1 − y

y dy = −2

dx x

tch ph^an t^o'ng quat: x 2 ye−y = C Thay di^eu ki^e.n vao ta du.o c C = 1

e V^a.y tch ph^anri^eng c^an tm la: x 2 ye 1−y = 1

12) Bang cach da.t y = ux, ha~y gia'i phu.o.ng trnh: xdy − ydx − px 2 − y 2 dx = 0 (x > 0)

HD gia’i: D- a.t y = ux; du = udx + xdu thay vao phu.o.ng trnh va gia'n u.o.c x: xdu −

13) Tm nghi^e.m ri^eng cu'a phu.o.ng trnh: xy0 = px 2 − y 2 + y

thoa' ma~n di^eu ki^e.n d^au y(1) = 0

HD gia’i:

xy0 =px 2 − y 2 + y ⇐⇒ y0 =

r

1 − y2

x 2 + yx

⇐⇒ arcsin u = ln Cx

thoa' ma~n di^eu ki^e.n d^au y(1) = 0 khi C = 1 V^a.y nghi^e.m y = ±x

14) Tm nghi^e.m ri^eng cu'a phu.o.ng trnh: y0sin x = y ln y

thoa' ma~n di^eu ki^e.n d^au y(π

⇐⇒ ln y = C tanx

2 ⇐⇒ y = eC tan

x 2

thoa' ma~n di^eu ki^e.n d^au y(π

2) = e khi C = 1 V^a.y y = etan

x

2

15) Tm nghi^e.m ri^eng cu'a phu.o.ng trnh: (x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0

thoa' ma~n di^eu ki^e.n d^au y(0) = 1

HD gia’i: D- a.t x + y = z =⇒ dy = dz − dx

phu.o.ng trnh thanh: (2 − z)dx + (2z − 1)dz = 0; gia'i ra x − 2z − 3 ln |z − 2| = C V^a.y

x + 2y + 3 ln |x + y − 2| = C

thoa' ma~n di^eu ki^e.n d^au y(0) = 1 khi C = 2

16) Bang cach da.t y = 1

z r^oi da.t z = ux,ha~y gia'iphu.o.ng trnh: (x 2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0

HD gia’i: D- a.t y = 1

z du.o c: (z 2 − x 2 )dz + 2zxdx = 0; r^oi da.t z = ux, du.o c

(u 2 − 1)(udx + xdu) + 2udx = 0

18) Tm nghi^e.m t^o'ng quat cu'a cac phu.o.ng trnh sau: y0− y = y 2

HD gia’i: D- ^ay la phu.o.ng trnh tach bi^en va co nghi^e.m t^o'ng quat la

ln | y

y + 1 | = x + C.

19) Tm nghi^e.m cu'a cac phu.o.ng trnh sau: y0+ y

x = ex

HD gia’i:

D- ^ay la phu.o.ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 va co nghi^e.m t^o'ng quat la y = C

x + e

x −ex

x

20) Tm nghi^e.m cu'a cac phu.o.ng trnh sau: y0− y = y 3

HD gia’i: D- ^ay la phu.o.ng trnh tach bi^en va co nghi^e.m t^o'ng quat la

Xem phu.o.ng trnh b^a.c hai d^oi vo.i y0: 4 = (x 4 + y4)2 ⇒ y 0

1 = y2

24) Gia'i phu.o.ng trnh: y2+ x2y0 = xyy0

HD gia’i: Vi^et phu.o.ng trnh la.i y0 =

y 2

x 2

y

x − 1 d^ay la phu.o.ng trnh thu^an nh^at, gia'i

ra du.o c nghi^e.m t^o'ng quat: y2 = Cxeyx

25) Tm nghi^e.m ri^eng cu'a phu.o.ng trnh: (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0

thoa' ma~n di^eu ki^e.n d^au y(1) = 0

HD gia’i: D- a.t

(

x = u − 1

y = v + 3. thay vao phu.o.ng trnh du.o c:

(u + v)du + (u − v)dv = 0, d^ay la phu.o.ng trnh thu^an nh^at co tch ph^an t^o'ng quat la:

u 2 + 2uv − v 2 = C

V^a.y tch ph^an t^o'ng quat cu'a phu.o.ng trnh ban d^au la: x 2 + 2xy − y 2 − 4x + 8y = C

26) Gia'i phu.o.ng trnh (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0

27) Tm tch ph^an t^o'ng quat cu'a phu.o.ng trnh sau: b) y0 = 2xy

x 2 − y 2

HD gia’i: D- ^ay la phu.o.ng trnh da'ng c^ap, ta da.t z = y

z Khi do phu.o.ng trnh tr^entro.' thanh xz0 = z(1 + z

V^a.y nghi^e.m cu'a phu.o.ng trnh da~ cho la x 2 + y 2 = C1y, C1 6= 0.

28) Tm nghi^e.m t^o'ng quat cu'a cac phu.o.ng trnh sau: y0 = 2x + y − 1

4x + 2y + 5.

HD gia’i: D- a.t u = 2x + y phu.o.ng trnh du.a v^e da.ng

du

dx =5u + 9 2u + 5.

Gia'i phu.o.ng trnh nay ta du.o c nghi^e.m 10u + 7 ln |5u + 9| = 25x + C.

V^a.y nghi^e.m cu'a phu.o.ng trnh da~ cho la 10y + 7 ln |10x + 5y = 9| − 5x = C.

29) Tm tch ph^an t^o'ng quat cu'a cac phu.o.ng trnh sau:

V^a.y nghi^e.m cu'a phu.o.ng trnh da~ cho la y 2 − x 2 − 2xy − 8y + 4x = C1.

30) a) Tm mi^en ma trong do nghi^e.m cu'a bai toan Cauchy cu'a phu.o.ng trnh

sau d^ay t^on ta.i va duy nh^at y0 = √

x − y.

b) Tm tch ph^an t^o'ng quat cu'a cac phu.o.ng trnh sau: (x 2 − y 2 )dy − 2xydx = 0.

HD gia’i:

a) Bai toan Cauchy co duy nh^at nghi^e.m trong mi^en

D = {(x, y) ∈ R 2 |x − y ≥ δ} vo.i δ > 0 tuy y

b) D- u.a phu.o.ng trnh v^e da.ng dy

V^a.y nghi^e.m cu'a phu.o.ng trnh da~ cho la x 2 + y 2 = C1y, C1 6= 0.

31) a) Chu.ng minh rang h^e cac vecto.{e 2x , xe2x, x2} la h^e d^o.c l^a.p tuy^en tnh

b) Tm tch ph^an t^o'ng quat cu'a phu.o.ng trnh sau: (x − y)dy − (x + y)dx = 0;

HD gia’i:

a) Dung di.nh ngh~a ki^e'm tra h^e d^o.c l^a.p tuy^en tnh

b) D- u.a phu.o.ng trnh v^e da.ng y0 = x + y

x − y D- ^ay la phu.o.ng trnh da'ng c^ap, ta da.t

32) a) Chu.ng minh rang h^e cac vecto.{cos 2 2x, sin22x, 2} la h^e phu thu^o.c tuy^en tnh

Tnh di.nh thu.c Wronski cu'a chung

b) Tm tch ph^an t^o'ng quat cu'a phu.o.ng trnh sau: (x − 2y + 1)dy − (x + y)dx = 0.

HD gia’i:

a) H^e nay phu thu^o.c tuy^en tnh v 2 cos 2 2x + 2 sin22x − 2 = 0

b) Phu.o.ng trnh nay co th^e' du.a v^e da.ng da'ng c^ap, ta du.o c

33) Gia'i phu.o.ng trnh: y 2 + x 2 y0 = xyy0

HD gia’i: Phu.o.ng trnh thu^an nh^at: da.t y = zx → y0 = z0x + z

Phu.o.ng trnh tro.' thanh z − 1

34) Gia'i phu.o.ng trnh y 2 + x 2 y0 = xyy0

HD gia’i: Vi^et phu.o.ng trnh la.i y0 =

y 2

x 2

y

x − 1 d^ay la phu.o.ng trnh thu^an nh^at, gia'i

ra du.o c nghi^e.m t^o'ng quat: y 2 = Cxeyx

35) Gia'i phu.o.ng trnh: y” cos y + (y0) 2 sin y = y0

HD gia’i: y = C : hang la m^o.t nghi^e.m

y 6= C (hang) D- a.t y0 = p ⇒ y” = pdp

dy (ham theo y)thay vao (2): dp

dycos y + p sin y = 1: phu.o.ng trnh tuy^en tnh

Phu.o.ng trnh thu^an nh^at co nghi^e.m t^o'ng quat: p = C cos y.

bi^en thi^en hang s^o du.o c C = tgy + C1

tu do p = dy

dx = sin y + C1cos y ⇔

dy sin y + C1cos y = dx

tch ph^an di d^en: 1

pC 2

1 + 1ln

+ 1

C1

= x + C2

36) Gia'i phu.o.ng trnh: y0+ 1

2x − y 2 = 0

HD gia’i: Coi x = x(y) la ham cu'a y ta co: y0 = 1

x 0 thay vao phu.o.ng trnh:

x 0 + 1

2x − y 2 = 0 ⇔ x0+ 2x = y 2 : phu.o.ng trnh tuy^en tnh

Nghi^e.m t^o'ng quat cu'a phu.o.ng trnh thu^an nh^at: x = Ce−2y

Bi^en thi^en hang s^o: C0(y) = y 2 e 2y ⇒ C(y) = 1

V^a.y nghi^e.m t^o'ng quat cu'a phu.o.ng trnh: x = Ce−2y+1

2y

2 − 1

2y +

1 4

37) Gia'i phu.o.ng trnh: xy” = y0+ x 2

HD gia’i: D- a.t y0 = p, (1) tro.' thanh: xp0 − p = x 2 tuy^en tnh

Nghi^e.m t^o'ng quat cu'a phu.o.ng trnh thu^an nh^at: p = Cx

Bi^en thi^en hang s^o → C(x) = x + C1

38) Gia'i phu.o.ng trnh: y02+ yy” = yy0

HD gia’i: D- a.t p = y0(p 6= 0), phu.o.ng trnh tu.o.ng du.o.ng vo.i: p 2 + ypdp

y, bi^en thi^en hang s^o

dx =

y 2 + 2C12y ⇒ 2ydy

y 2 + 2C 1

= dx

⇒ y 2 = A1e x + A2.

Chu y: V^e trai (yy0)0 = yy0 ⇔ yy 0 = C1e x ⇔ ydy = C1e x dx ⇔ y 2 = 2C1e x + C2

39) Gia'i phu.o.ng trnh: ye y = y0(y 3 + 2xe y ) vo.i y(0) = −1

40) Gia'i phu.o.ng trnh: xy” = y0+ x

HD gia’i: D- a.t y0 = p; phu.o.ng trnh tro.' thanh: p0 − 1

xp = 1

Nghi^e.m t^o'ng quat: p = Cx bi^en thi^en hang s^o: C = ln |x| + C1

⇒ p = dy

dx = (ln |x| + C1)x ⇒ y =

Z (ln |x| + C1)xdx + C2

HD gia’i: Nghi^e.n t^o'ng quat cu'a phu.o.ng trnh thu^an nh^at y = Ce−x22

bi^en thi^en hang s^o: C(x) = (x 2 − 2)e − x2

2 + ε

V^a.y nghi^e.m t^o'ng quat: y = εe−x22 + x 2 − 2.

42) Gia'i phu.o.ng trnh: (x 2 − y)dx + xdy = 0

HD gia’i: Phu.o.ng trnh vi^et la.i: xy0− y = −x 2, phu.o.ng trnh thu^an nh^at: xy0− y = 0

co nghi^e.m t^o'ng quat: y = Cx bi^en thi^en hang s^o suy ra C = −x + ε

V^a.y nghi^e.m t^o'ng quat : y = −x 2 + εx

44) Gia'i phu.o.ng trnh: (x + 1)(y0+ y 2 ) = −y

HD gia’i: Xet y 6= 0, bi^en d^o'i phu.o.ng trnh v^e da.ng y0+ 1

ngoai ra y = 0 cu~ng la nghi^e.m

V^a.y nghi^e.m t^o'ng quat: y = 1

(x + 1)(ln |x + 1| + ε) va y = 0 nghi^e.m k di

45) Gia'i phu.o.ng trnh: 2xy0+ y = 1

1 − x

HD gia’i: D- u.a phu.o.ng trnh v^e da.ng y0 + 1

2xy =

1 2x(1 − x) phu.o.ng trnh tuy^entnh c^ap 1

Nghi^e.m t^o'ng quat: y = √C

x, bi^en thi^en hang s^o:

C0(x) =

√ x 2x(1 − x) ⇒ C = 1

Nghi^e.m t^o'ng quat: y = (C − cos x)x

47) Gia'i phu.o.ng trnh: y0cos 2 x + y = tgx thoa' y(0) = 0

HD gia’i: Phu.o.ng trnh tuy^en tnh → NTQ y = Ce−tgx; y = tgx − 1 (m^o.t nghi^e.mri^eng)

⇒ NTQ: y = Ce−tgx+ tgx − 1

y(0) = 0 ⇒ C = 1 V^a.y nghi^e.m ri^eng c^an tm: y = tgx − 1 + e−tgx.

48) Gia'i phu.o.ng trnh: y0√

1 − x 2 + y = arcsin x thoa' y(0) = 0

HD gia’i: Nghi^e.m t^o'ng quat cu'a phu.o.ng trnh tuy^en tnh thu^an nh^at: y = Ce−arcsinx

D^e~ th^ay nghi^e.m ri^eng: y = arcsinx − 1

⇒ NTQ: y = Ce−arcsinx+ arcsinx − 1

y(0) = 0 ⇒ C = 1 ⇒ nghi^e.m ri^eng c^an tm: y = e−arcsinx+ arcsinx − 1

49) Tm nghi^e.m ri^eng cu'a phu.o.ng trnh: y0 = 1

2x − y 2

thoa' ma~n di^eu ki^e.n d^au y(1) = 0

HD gia’i: Xem x la ^a'n ham, thay y0 = 1

x 0, phu.o.ng trnh thanh

1

x 0 = 12x − y 2 ⇐⇒ x0− 2x = −y 2

D- ^ay la phu.o.ng trnh tuy^en tnh c^ap m^o.t, nghi^e.m t^o'ng quat cu'a phu.o.ng trnh tuy^entnh thu^an nh^at tu.o.ng u.ng la x = Ce−2y Bi^en thi^en hang s^o du.o c NTQ:

thoa' ma~n di^eu ki^e.n d^au y(1) = 0 khi C = 3

4.V^a.y nghi^e.m tho'a ma~n di^eu ki^e.n d^au: x = 3

4

50) Gia'i phu.o.ng trnh sau d^ay, bi^et rang sau khi da.t y = z

x 2, ta nh^a.n du.o cm^o.t phu.o.ng trnh vi ph^an c^ap hai co m^o.t nghi^e.m ri^eng y∗ = 1

x

2 , NTQ cu'a phu.o.ng trnh thu^an nh^at:

z = C1cos x + C2sin x V^a.y NTQ cu'a phu.o.ng trnh ban d^au la:

51) Tm nghi^e.m ri^eng cu'a phu.o.ng trnh: ye y = y0(y 3 + 2xe y )

thoa' ma~n di^eu ki^e.n d^au y(0) = −1

HD gia’i: Xem x la ^a'n ham, thay y0 = 1

x 0, phu.o.ng trnh thanh x0 − 2

yx = y

2 e−y.NTQ cu'a phu.o.ng trnh tuy^en tnh thu^an nh^at tu.o.ng u.ng la x = C

y; bi^en thi^en hangs^o du.o c C(y) = −e−y+ C Nhu v^a.y NTQ la x = C

y − 1

ye y Thay di^eu ki^e.n d^au xac di.nhdu.o c C = 1

e Tu do KL

52) Tm nghi^e.m cu'a phu.o.ng trnh y0− y = cos x − sin x

tho'a di^eu ki^e.n y bi cha.n khi x → ∞

HD gia’i: Gia'i phu.o.ng trnh tuy^en tnh ra y = Ce x + sin x

tho'a di^eu ki^e.n y bi cha.n khi x → ∞ khi C = 0

53) Tm nghi^e.m ri^eng cu'a phu.o.ng trnh: y0+ sin y + x cos y + x = 0

thoa' ma~n di^eu ki^e.n d^au y(0) = π

, phu.o.ng trnh thanh phu.o.ng trnh tuy^en tnh

z0 + z = −x Gia'i ra: z = 1 − x + Ce−x

thoa' ma~n di^eu ki^e.n d^au y(0) = π

2 khi C = 0 V^a.y nghi^e.m ri^eng y = 2 arctan(1 − x)

54) Tm nghi^e.m t^o'ng quat cu'a cac phu.o.ng trnh sau: y0− x tan y = x

cos y

HD gia’i: D- a.t z = sin y, khi do phu.o.ng trnh da~ cho tro.' thanh z0− xz = x. D- ^ay laphu.o.ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 va co nghi^e.m t^o'ng quat la z = Cex22 − 1

V^a.y nghi^e.m cu'a phu.o.ng trnh da~ cho la sin y = z = Cex22 − 1

55) Tm nghi^e.m t^o'ng quat cu'a cac phu.o.ng trnh sau: y0− xy = x

HD gia’i: D- ^ay la phu.o.ng trnh Bernoulli va co nghi^e.m t^o'ng quat la

x − cos x.

60) Tm nghi^e.m cu'a cac phu.o.ng trnh sau: y0− y = x√y.

D- ^ay la phu.o.ng trnh vi ph^an tuy^en tnh c^ap 1

Nghi^e.m t^o'ng quat la y = (C + x

HD gia’i: D- ^ay la phu.o.ng trnh Bernoulli va co nghi^e.m la

√

y = 1

2ln x + Cx

2

63) a) Tm mi^en ma trong do nghi^e.m cu'a bai toan Cauchy cu'a phu.o.ng trnh sau

d^ay t^on ta.i va duy nh^at y0 = y + 3x.

b) Tm nghi^e.m cu'a bai toan Cauchy sau d^ay

D- ^ay la phu.o.ng trnh vi ph^an tuy^en tnh c^ap 1

Nghi^e.m t^o'ng quat la:

y = (C + x) cos x.

65) Tm nghi^e.m cu'a phu.o.ng trnh sau: y0+ y

66) Gia'i phu.o.ng trnh: (x + 1)y” + x(y0) 2 = y0

HD gia’i: D- a.t y0 = p, phu.o.ng trnh tro.' thanh phu.o.ng trnh Bernouili (vo.i x 6= −1)

D- a.t z = p−1 6= 0, du.a (∗) v^e phu.o.ng trnh tuy^en tnh c^ap m^o.t:

NTQ cu'a phu.o.ng trnh thu^an nh^at: z = Cx

bi^en thi^en hang s^o C: C(x) = ε − 1

HD gia’i: D- a.t y0 = p(y); y00 = p.p0y thay vao phu.o.ng trnh

= x + C2.

do y(0) = −1

2 ⇒ C 2 = 0.

V^a.y nghi^e.m ri^eng c^an tm thoa' : ln