Bài Tập Toán Cao Cấp Tập 3_Phép Tính Tích Phân_Lý Thuyết Chuỗi_Phương Trình Vi Phân

Phải biết kỹ năng tin học cơ bản: sử dụng tốt các phần mềm, xử lý tốt các sự cố thường găp của máy tính, sử dụng tốt tin học văn phòng. Sẽ có đôi lúc, bạn chẳng ở công ty mà nhờ bộ phận văn phòng hay bộ phận IT giúp đỡ. Nhất là những bạn thường xuyên đi công trình thì việc kiêm nhiệm đa năng như vậy càng nhiều, càng phải rành rẽ.

MATH-EDUCARE www.matheducare.com MATH-EDUCARE ˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA ˆ P BAI ´ CAO CA ˆ´P TOAN Tˆa.p Ph´ep t´ınh t´ıch phˆan L´ y thuyˆe´t chuˆo˜ i Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan ’ N DAI HOC QUO ` XUA ˆ´T BA ˆ´C GIA HA ` NO ˆ I NHA www.matheducare.com MATH-EDUCARE Mu.c lu.c 10 T´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 10.1.1 Nguyˆen h`am v`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh 10.1.2 Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n `an u.ng phˆ 10.1.3 Phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan t` 4 10.2 C´ac l´o.p h`am kha’ t´ıch l´o.p c´ac h`am so cˆa´p 10.2.1 T´ıch phˆan c´ac h`am h˜ u.u ty’ 10.2.2 T´ıch phˆan mˆo.t sˆo´ h`am vˆo ty’ do.n gia’n 10.2.3 T´ıch phˆan c´ac h`am lu.o ng gi´ac 12 21 11 T´ıch phˆ an x´ ac di.nh Riemann 11.1 H`am kha’ t´ıch Riemann v`a t´ıch phˆan x´ac di.nh - i.nh ngh˜ıa 11.1.1 D - iˆ `eu kiˆe.n dˆe’ h`am kha’ t´ıch 11.1.2 D 11.1.3 C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch phˆan x´ac di.nh 11.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan x´ac d i.nh 11.3 Mˆo.t sˆo´ u ´.ng du.ng cu’a t´ıch phˆan x´ac d i.nh 11.3.1 Diˆe.n t´ıch h`ınh ph˘a’ng v`a thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ 30 30 37 48 57 58 58 59 59 61 78 78 11.3.2 T´ınh dˆo d`ai cung v`a diˆe.n t´ıch m˘a.t tr`on xoay 11.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng 89 98 11.4.1 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cˆa.n vˆo ha.n 98 11.4.2 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cu’a h`am khˆong bi ch˘a.n 107 www.matheducare.com MATH-EDUCARE MU C LU C `eu biˆ 12 T´ıch phˆ an h` am nhiˆ e´n 12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p `en ch˜ u nhˆa.t 12.1.1 Tru.`o.ng ho p miˆ `en cong 12.1.2 Tru.`o.ng ho p miˆ 12.1.3 Mˆo.t v`ai u ´.ng du.ng h`ınh ho.c 12.2 T´ıch phˆan 3-l´o.p `en h`ınh hˆo.p 12.2.1 Tru.`o.ng ho p miˆ `en cong 12.2.2 Tru.`o.ng ho p miˆ 12.2.3 12.2.4 Nhˆa.n x´et chung 12.3 T´ıch phˆan d u.`o.ng 12.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 12.3.2 T´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng 12.4 T´ıch phˆan m˘a.t 12.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 12.4.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan m˘a.t 12.4.3 Cˆong th´ u.c Gauss-Ostrogradski 12.4.4 Cˆong th´ u.c Stokes 117 118 118 118 121 133 133 134 136 136 144 144 146 158 158 160 162 162 ˜i 13 L´ y thuyˆ e´t chuˆ o 13.1 Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng 13.1.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 13.1.2 Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng 13.2 Chuˆ˜o i hˆo.i tu tuyˆe.t d ˆo´i v`a hˆo.i tu khˆong tuyˆe.t d ˆo´i 13.2.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 13.2.2 Chuˆ˜o i dan dˆa´u v`a dˆa´u hiˆe.u Leibnitz 13.3 Chuˆ˜o i l˜ uy th` u.a 13.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n - iˆ `eu kiˆe.n khai triˆe’n v`a phu.o.ng ph´ap khai triˆe’n 13.3.2 D 13.4 Chuˆo˜ i Fourier 13.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 177 178 178 179 191 191 192 199 199 201 211 211 www.matheducare.com MATH-EDUCARE MU C LU C `e su hˆo.i tu cu’a chuˆo˜ i Fourier 212 13.4.2 Dˆa´u hiˆe.u du’ vˆ 14 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an 224 14.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 225 14.1.1 Phu.o.ng tr`ınh t´ach biˆe´n 226 14.1.2 Phu.o.ng tr`ınh d a˘’ ng cˆa´p 231 14.1.3 Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 237 14.1.4 Phu.o.ng tr`ınh Bernoulli 244 `an 247 14.1.5 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆ 14.1.6 Phu.o.ng tr`ınh Lagrange v`a phu.o.ng tr`ınh Clairaut255 14.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p cao 259 14.2.1 C´ac phu.o.ng tr`ınh cho ph´ep thˆa´p cˆa´p 260 14.2.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng 264 `an nhˆa´t 14.2.3 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh thuˆ cˆa´p n (ptvptn cˆa´p n ) v´o.i hˆe sˆo´ h˘`ang 273 14.3 Hˆe phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p v´o.i hˆe sˆo´ h˘`ang290 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆ 15 Kh´ niˆ e.m vˆ an da.o h` am riˆ eng 15.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p tuyˆe´n t´ınh dˆo´i v´o.i c´ac da.o h`am riˆeng 15.2 Gia’i phu.o.ng tr`ınh d a.o h`am riˆeng cˆa´p d o.n gia’n nhˆa´t 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ y to´an co ba’n `en s´ong 15.3.1 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ `en nhiˆe.t 15.3.2 Phu o ng tr`ınh truyˆ 15.3.3 Phu.o.ng tr`ınh Laplace T` liˆ e.u tham kha’o www.matheducare.com 304 306 310 313 314 317 320 327 MATH-EDUCARE Chu.o.ng 10 T´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh 10.1 C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 10.1.1 Nguyˆen h` am v` a t´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh o’i biˆe´n 12 ap dˆ 10.1.2 Phu.o.ng ph´ `an 21 ap t´ıch phˆ an t` u.ng phˆ 10.1.3 Phu.o.ng ph´ am kha’ t´ıch l´ o.p c´ ac h` am 10.2 C´ ac l´ o.p h` a´p 30 so cˆ 10.2.1 T´ıch phˆ an c´ ac h` am h˜ u.u ty’ 30 10.2.2 T´ıch phˆ an mˆ o.t sˆ o´ h` am vˆ o ty’ do.n gia’n 37 ac 48 10.2.3 T´ıch phˆ an c´ ac h` am lu.o ng gi´ 10.1 C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 10.1.1 Nguyˆ en h` am v` a t´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh - i.nh ngh˜ıa 10.1.1 H`am F (x) du.o c go.i l`a nguyˆen h`am cu’a h`am D f (x) trˆen khoa’ng n`ao d´o nˆe´u F (x) liˆen tu.c trˆen khoa’ng d´o v`a kha’ vi www.matheducare.com MATH-EDUCARE 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan ta.i mˆo˜ i diˆe’m cu’a khoa’ng v`a F (x) = f(x) - i.nh l´ `on ta.i nguyˆen h`am) Mo.i h` `e su tˆ am liˆen tu.c trˆen D y 10.1.1 (vˆ `eu c´ doa.n [a, b] dˆ o nguyˆen h` am trˆen khoa’ng (a, b) - i.nh l´ D y 10.1.2 C´ ac nguyˆen h` am bˆ a´t k`y cu’a c` ung mˆ o.t h` am l` a chı’ `ng sˆ o.t h˘ a o´ cˆ o.ng kh´ ac bo’ i mˆ Kh´ac v´o.i da.o h`am, nguyˆen h`am cu’a h`am so cˆa´p khˆong pha’i bao gi`o c˜ ung l`a h`am so cˆa´p Ch˘a’ng ha.n, nguyˆen h`am cu’a c´ac h`am e−x , cos x sin x , , , l`a nh˜ u.ng h`am khˆong so cˆa´p cos(x2), sin(x2), lnx x x - i.nh ngh˜ıa 10.1.2 Tˆa.p ho p mo.i nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) trˆen D khoa’ng (a, b) du.o c go.i l`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh cu’a h`am f (x) trˆen khoa’ng (a, b) v`a du.o c k´ y hiˆe.u l`a f (x)dx Nˆe´u F (x) l`a mˆo.t c´ac nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) trˆen khoa’ng (a, b) th`ı theo di.nh l´ y 10.1.2 f(x)dx = F (x) + C, C∈R `an hiˆe’u l`a d˘a’ng th´ u.a d´o C l`a h˘`ang sˆo´ t` uy y ´ v`a d˘a’ng th´ u.c cˆ u.c gi˜ hai tˆa.p ho p C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh: 1) d f (x)dx = f(x)dx 2) f (x)dx 3) df(x) = = f (x) f (x)dx = f(x) + C ut ba’ng c´ac t´ıch phˆan co T` u di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan bˆa´t di.nh r´ ba’n (thu.`o.ng du.o c go.i l`a t´ıch phˆan ba’ng) sau dˆay: www.matheducare.com MATH-EDUCARE Chu.o.ng 10 T´ıch phˆan bˆa´t di.nh I 0.dx = C II 1dx = x + C xα+1 + C, α = −1 α+1 III xαdx = IV dx = ln|x| + C, x = x V axdx = ax + C (0 < a = 1); lna ex dx = ex + C VI sin xdx = − cos x + C VII cos xdx = sin x + C VIII π dx = tgx + C, x = + nπ, n ∈ Z cos x IX X XI dx = −cotgx + C, x = nπ, n ∈ Z sin2 x  arc sin x + C, dx √ −1 < x < = − x2 −arc cos x + C  arctgx + C, dx = + x2 −arccotgx + C √ dx = ln|x + x2 ± 1| + C x2 ± (trong tru.`o.ng ho p dˆa´u tr` u th`ı x < −1 ho˘a.c x > 1) XII XIII √ dx 1+x + C, |x| = = ln 1−x 1−x C´ac quy t˘´ac t´ınh t´ıch phˆan bˆa´t di.nh: www.matheducare.com MATH-EDUCARE 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 1) kf (x)dx = k 2) [f(x) ± g(x)]dx = 3) Nˆe´u f (x)dx, k = f (x)dx ± g(x)dx f(x)dx = F (x) + C v`a u = ϕ(x) kha’ vi liˆen tu.c th`ı f (u)du = F (u) + C ´ V´I DU CAC V´ı du Ch´ u.ng minh r˘`ang h`am y = signx c´o nguyˆen h`am trˆen khoa’ng bˆa´t k` y khˆong ch´ u.a diˆe’m x = v`a khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen mo.i khoa’ng ch´ u.a diˆe’m x = Gia’i 1) Trˆen khoa’ng bˆa´t k` y khˆong ch´ u.a diˆe’m x = h`am y = signx l`a h˘a`ng sˆo´ Ch˘a’ng ha.n v´o.i mo.i khoa’ng (a, b), < a < b ta c´o signx = v`a d´o mo.i nguyˆen h`am cu’a n´o trˆen (a, b) c´o da.ng F (x) = x + C, C ∈ R 2) Ta x´et khoa’ng (a, b) m`a a < < b Trˆen khoa’ng (a, 0) mo.i nguyˆen h`am cu’a signx c´o da.ng F (x) = −x + C1 c`on trˆen khoa’ng (0, b) nguyˆen h`am c´o da.ng F (x) = x + C2 V´o.i mo.i c´ach cho.n h˘`ang sˆo´ C1 v`a C2 ta thu du.o c h`am [trˆen (a, b)] khˆong c´o da.o h`am ta.i diˆe’m x = Nˆe´u ta cho.n C = C1 = C2 th`ı thu du.o c h`am liˆen tu.c y = |x| + C nhu.ng khˆong kha’ vi ta.i diˆe’m x = T` u d´o, theo di.nh ngh˜ıa h`am signx khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen (a, b), a < < b V´ı du T`ım nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) = e|x| trˆen to`an tru.c sˆo´ `en x > mˆo.t Gia’i V´o.i x ta c´o e|x| = ex v`a d´o miˆ c´ac nguyˆen h`am l`a ex Khi x < ta c´o e|x| = e−x v`a vˆa.y `en x < mˆo.t c´ac nguyˆen h`am l`a −e−x + C v´o.i h˘`ang miˆ sˆo´ C bˆa´t k` y Theo di.nh ngh˜ıa, nguyˆen h`am cu’a h`am e|x| pha’i liˆen tu.c nˆen n´o www.matheducare.com MATH-EDUCARE Chu.o.ng 10 T´ıch phˆan bˆa´t di.nh `eu kiˆe.n pha’i tho’a m˜an diˆ lim ex = lim (−e−x + C) x→0+0 x→0−0 t´ u.c l`a = −1 + C ⇒ C = Nhu vˆa.y   ex nˆe´u x > 0,   F (x) = nˆe´u x = 0,    −e−x + nˆe´u x < l`a h`am liˆen tu.c trˆen to`an tru.c sˆo´ Ta ch´ u.ng minh r˘`ang F (x) l`a nguyˆen h`am cu’a h`am e|x| trˆen to`an tru.c sˆo´ Thˆa.t vˆa.y, v´o.i x > ta c´o `an pha’i F (x) = ex = e|x|, v´o.i x < th`ı F (x) = e−x = e|x| Ta c`on cˆ ch´ u.ng minh r˘a`ng F (0) = e0 = Ta c´o F (x) − F (0) ex − = lim = 1, x→0+0 x→0+0 x x F (x) − F (0) −e−x + − = lim = F− (0) = lim x→0−0 x→0−0 x x Nhu vˆa.y F+ (0) = F− (0) = F (0) = = e|x| T` u d´o c´o thˆe’ viˆe´t:  ex + C, x[...]... di.nh v` a kha’ vi trˆen khoa’ng T v´ o.i tˆ tri l` a khoa’ng X 2) H` am y = f(x) x´ ac di.nh v` a c´ o nguyˆen h` am F (x) trˆen khoa’ng X Khi d´ o h` am F (ϕ(t)) l` a nguyˆen h` am cu’a h` am f (ϕ(t))ϕ (t) trˆen khoa’ng T T` u di.nh l´ y 10.1.1 suy r˘`ang f(ϕ(t))ϕ (t)dt = F (ϕ(t)) + C (10.1) V`ı F (ϕ(t)) + C = (F (x) + C) x=ϕ(t) = f(x)dx x=ϕ(t) cho nˆen d˘a’ng th´ u.c (10.1) c´o thˆe’ vi e´t du.´o.i... dˆay - i.nh l´ ac h` am u(x) v` a v(x) kha’ vi v` a h` am D y Gia’ su’ trˆen khoa’ng D c´ v(x)u (x) c´ o nguyˆen h` am Khi d´ o h` am u(x)v (x) c´ o nguyˆen h` am trˆen D v` a u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u (x)dx (10.4) `an Cˆong th´ u.c (10.4) du.o c go.i l`a cˆong th´ u.c t´ınh t´ıch phˆan t` u.ng phˆ V`ı u (x)dx = du v`a v (x)dx = dv nˆen (10.4) c´o thˆe’ vi e´t du.´o.i da.ng udv = uv − vdu (10.4*)... cos lnx) − I v`a t` u d´o I= x (sin lnx − cos lnx) + C 2 Nhˆ a.n x´et Trong c´ac v´ı du trˆen dˆay ta d˜a thˆa´y r˘`ang t` u vi phˆan d˜a biˆe´t dv h`am v(x) x´ac di.nh khˆong do.n tri Tuy nhiˆen trong cˆong th´ u.c (10.4) v`a (10.4*) ta c´o thˆe’ cho.n v l`a h`am bˆa´t k` y v´o.i vi phˆan d˜a cho dv www.matheducare.com MATH-EDUCARE Chu.o.ng 10 T´ıch phˆan bˆa´t di.nh 26 V´ı du 6 T´ınh 1) I = xdx ; sin2... x4 √ √ √ √ x2 + 1 − 1 − x2 √ dx (DS ln|x + x2 − 1| − ln|x + x2 + 1|) x4 − 1 √ 1 x4 + x−4 + 2 dx (DS ln|x| − 4 ) 3 x 4x 2 3 4 5 23x − 1 dx ex − 1 6 (DS e2x + ex + 1) 2 ay ch´ ung tˆ oi bo’ qua khˆ ong vi e´t Dˆe’ cho go.n, trong c´ ac “D´ ap sˆ o´” cu’a chu.o.ng n` ` c´ ac h˘ ang sˆ o´ cˆ o.ng C 1 www.matheducare.com MATH-EDUCARE 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 7 8 9 11 3x 22x − 1 √ dx 2x... (10.4*) b˘a`ng c´ach d˘a.t u(x) = `an c`on la.i cu’a biˆe’u th´ P (x), dv l`a phˆ u.c du.´o.i dˆa´u t´ıch phˆan Sau mˆ˜o i `an t´ıch phˆan t` `an bˆa.c cu’a da th´ lˆ u.ng phˆ u.c s˜e gia’m mˆo.t do.n vi `om nh˜ Nh´ om III gˆ u.ng t´ıch phˆan m`a h`am du.´o.i dˆa´u t´ıch phˆan c´o `an t´ıch phˆan da.ng: eax sin bx, eax cos bx, sin(lnx), cos(lnx), Sau hai lˆ `an ta la.i thu du.o c t´ıch phˆan ban dˆ... www.matheducare.com MATH-EDUCARE Chu.o.ng 10 T´ıch phˆan bˆa´t di.nh 16 Gia’i 1) Ta c´o 1+ I1 = 1 x2 x2 − 7 + d x− 1 x2 dx = x− 1 x 1 x √ = 2 −5 dt t2 − 5 √ 1 1 t2 − 5| + C = ln x − + x2 − 7 + 2 + C x x 2) Ta vi e´t biˆe’u th´ u.c du.´o.i dˆa´u t´ıch phˆan du.´o.i da.ng −2x + 6 1 3 + 13 · √ f (x) = − · √ 2 −x2 + 6x − 8 −x2 + 6x − 8 v`a thu du.o c = ln|t + I2 = f(x)dx 1 3 (−x2 + 6x − 8)− 2 d(−x2 + 6x − 8) +... `an nguyˆen W (x) l`a da th´ da th´ u.c ta c´o thˆe’ t´ach phˆ u.c sao cho R(x) = Pk (x) Pm (x) = W (x) + Qn (x) Qn (x) (10.5) trong d´o k < n v`a W (x) l`a da th´ u.c bˆa.c m − n T` u (10.5) suy r˘`ang vi e.c t´ınh t´ıch phˆan phˆan th´ u.c h˜ u.u ty’ khˆong `e t´ınh t´ıch phˆan phˆan th´ thu c su du.o c quy vˆ u.c h˜ u.u ty’ thu c su v`a t´ıch phˆan mˆo.t da th´ u.c - i.nh l´ u.u ty’ thu c su a phˆ... (x − 1)(x + 1) x − 1 x + 1 (x + 1)2 T` u d´o suy r˘a`ng x = A(x + 1)2 + B1(x − 1)(x + 1) + B2 (x − 1) (10.7) Ta x´ac di.nh c´ac hˆe sˆo´ A, B1 , B2 b˘a`ng c´ac phu.o.ng ph´ap sau dˆay Phu.o.ng ph´ ap I Vi e´t d˘a’ng th´ u.c (10.7) du.´o.i da.ng x ≡ (A + B1 )x2 + (2A + B2)x + (A − B1 − B2 ) ung bˆa.c cu’a x ta thu du.o c Cˆan b˘a`ng c´ac hˆe sˆo´ cu’a l˜ uy th` u.a c`    A + B1 = 0 2A + B2 = 1  