Đa tạp quán tính đối với các phương trình vi phân có phần tuyến tính là toán tử quạt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI XUÂN QUANG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ PHẦN TUYẾN TÍNH LÀ TOÁN TỬ QUẠT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI XUÂN QUANG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ PHẦN TUYẾN TÍNH LÀ TOÁN TỬ QUẠT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN THIỆU HUY Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cam đoan iii Tóm tắt nội dung iv Lời cảm ơn v Danh sách kí hiệu vi Mở đầu 1 Toán tử quạt, Không gian hàm chấp nhận Đa tạp quán tính 1.1 Toán tử quạt - Nửa nhóm giải tích 1.1.1 Toán tử quạt 1.1.2 Lũy thừa bậc phân số toán tử quạt 14 1.1.3 Đánh giá nhị phân nửa nhóm giải tích 15 1.2 Hàm Green 16 1.3 Không gian hàm chấp nhận 17 1.4 Đa tạp quán tính 22 1.5 Kết luận Chương 24 Đa tạp quán tính phương trình tương ứng với toán tử tự liên hợp có giải thức compact 25 2.1 Đặt toán 25 2.2 Đa tạp quán tính 27 2.3 Áp dụng vào mô hình Fisher-Kolmogorov 34 2.4 Kết luận Chương 36 ii Đa tạp quán tính phương trình tương ứng với toán tử quạt có kẽ hở phổ 37 3.1 Đặt toán 37 3.2 Đa tạp quán tính 38 3.3 Kết luận Chương 48 Kết luận Đề nghị 50 Danh mục công trình khoa học liên quan đến luận văn 51 Tài liệu tham khảo 52 Chỉ mục 55 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu viết luận văn Các kết luận văn chưa công bố công trình khác mà biết Thái Nguyên, ngày 01 tháng năm 2015 Học viên Bùi Xuân Quang iv Tóm tắt nội dung Trong luận văn này, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa thông qua tồn đa tạp quán tính Cụ thể, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron đánh giá nhị phân kết hợp với tính chấp nhận không gian hàm, chứng minh tồn đa tạp quán tính phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng du(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t > s, dt u(s) = us , s ∈ R, toán tử đạo hàm riêng tuyến tính −A toán tử quạt không gian Banach có kẽ hở phổ đủ lớn sinh nửa nhóm giải tích số hạng phi tuyến f thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức f (t, u) − f (t, v) ϕ(t) Aθ (u − v) , với ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận Từ khóa Phương pháp Lyapunov-Perron, đa tạp quán tính, phương trình parabolic nửa tuyến tính, không gian hàm chấp nhận được, toán tử quạt, nửa nhóm giải tích v Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy (Viện Toán ứng dụng Tin học - Đại học Bách Khoa Hà Nội) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người hướng dẫn khoa học mình, người đặt toán, truyền cảm hứng, tận tình bảo tác giả nghiên cứu dẫn dắt tác giả đến hướng nghiên cứu thời lĩnh vực Phương trình vi phân & Hệ động lực Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến Ban tổ chức thành viên Seminar “Asymptotic Behavior of Solutions to Differential Equations and Applications” PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy điều hành Đại học Bách Khoa Hà Nội tạo cho tác giả môi trường học thuật nghiêm túc, sôi động giải đáp nhiều thắc mắc kiến thức chuyên môn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học Hải Phòng anh chị đồng nghiệp Khoa tạo nhiều điều kiện thuận lợi để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến cán giảng dạy Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Cuối cùng, tác giả xin dành lời cảm ơn đặc biệt đến bố mẹ, gia đình bên cạnh động viên để tác giả hoàn thành luận văn vi Danh sách kí hiệu C(Ω) không gian hàm số liên tục Ω C k (Ω) không gian hàm số khả vi liên tục cấp k Ω X →Y phép nhúng Re z, arg z phần thực argument số phức z ut (t, x), uxx (t, x) đạo hàm riêng hàm số u(t, x) dx(t) dt , đạo hàm bậc hàm số x(t) x(t), ˙ x¨(t) D (A) miền xác định toán tử A Aθ lũy thừa bậc phân số toán tử A Xθ := D (Aθ ) miền xác định lũy thừa bậc phân số Aθ ρ(A), σ(A) tập giải thức phổ toán tử A R(λ, A) giải thức toán tử A L1,loc (R) không gian hàm số khả tích địa phương R {e−tA }t nửa nhóm sinh toán tử −A ω0 cận tăng trưởng nửa nhóm {e−tA }t (σ, ω) toán tử quạt kiểu (σ, ω) s(A) biên phổ toán tử A G(t, τ ) hàm Green P X, ker P không gian ảnh hạch X qua phép chiếu P u (·) quỹ đạo cảm sinh distX θ nửa khoảng cách Hausdorff sinh chuẩn X θ Bρ hình cầu bán kính ρ không gian Banach L (X) không gian toán tử tuyến tính bị chặn X Mở đầu Xét toán truyền nhiệt nửa tuyến tính kim loại có độ dài hữu hạn    u (t, x) = uxx (t, x) + f (u(t, x)), t > 0, < x < π,   t (1) u(t, 0) = u(t, π) = 0, t 0,     u(0, x) = u (x), < x < π Để sử dụng lý thuyết Toán học đại, ta chuyển toán thành phương trình toán tử không gian trừu tượng Để làm điều ta giới thiệu không gian Hilbert X = L2 [0, π] đặt u(t, ·) = U (t), f (u(t, ·)) = F (U (t)), t Khi toán (1) viết lại thành phương trình tiến hóa   dU (t) = BU (t) + F (U (t)), t > 0, dt  U (0) = u0 (2) với B toán tử đạo hàm riêng X xác định D (B) := ϕ ∈ X : ϕ ϕ˙ liên tục tuyệt đối, ϕ˙ ∈ X, ϕ(0) = ϕ(π) = , Bϕ := ϕ ¨ Trong không gian Hilbert X với tích vô hướng π ϕ, ψ = ϕ(x)ψ(x)dx với ϕ, ψ ∈ X, toán tử tuyến tính không giới nội A := −B xác định dương, tự liên hợp, có phổ rời rạc Một cách tổng quát, toán Cauchy trừu tượng   du(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t > s, dt  u(s) = us , s ∈ R, (3) với A toán tử không giới nội không gian Hilbert tách vô hạn chiều, xác định dương, tự liên hợp, có giải thức compact f toán tử phi tuyến, mô hình nhiều toán thực tế Chẳng hạn mô hình trình truyền nhiệt (như phân tích trên), trình phản ứng-khuếch tán (xem [12]), hay mô hình Fisher-Kolmogorov mô tả lan truyền lớp gene trội quần thể sinh thái (xem [27, 28]), Việc xét phương trình dạng trừu tượng không gian hàm tổng quát cho phép sử dụng công cụ tìm hiểu vấn đề mang tính chất nghiệm Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình thời gian đủ lớn việc làm quan trọng Nó cho phép hiểu sâu sắc trình biến đổi vật chất theo thời gian, từ đưa ước lượng đánh giá quy mô hệ thống tương lai Một nhánh nghiên cứu sôi động thời nghiên cứu dáng điệu nghiệm thông qua tồn đa tạp khả vi, lý cho ta biết tranh hình học tổng thể dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa với nhiễu phi tuyến Tìm điều kiện để phương trình có đa tạp tích phân (chẳng hạn, đa tạp ổn định, không ổn định hay đa tạp trung tâm) vấn đề trọng tâm hướng nghiên cứu (lịch sử vấn đề bước phát triển tìm hiểu công trình [10, 11, 15, 16, 17, 18, 19] Nguyễn Thiệu Huy cộng đạt kết đại nhiều lớp phương trình nửa tuyến tính tổng quát không gian hàm chấp nhận với điều kiện tổng quát) Trong lớp đa tạp không ổn định, đa tạp quán tính công cụ lý tưởng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa Khái niệm đa tạp quán tính giới thiệu năm 1985 Foias C., Sell G R., Temam R [7] cố gắng để giảm bớt nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình Navier-Stokes đến đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều Kể từ đó, đa tạp quán tính phương trình tiến hóa nghiên cứu cách hệ thống nhiều công trình (xem [4, 5, 24, 31, 32] tài liệu tham khảo đó) Đặc tính quan 41 ,θ ,θ Vì thế, biến đổi T tác động từ Lγ,t vào Lγ,t ∞ ∞ γ,t0 ,θ Với x, z ∈ L∞ ta đánh giá e−γ(t0 −t) Aθ (T x(t) − T z(t)) t0 −∞ t0 e−γ(t0 −t) Aθ G(t, τ ) f (τ, x(τ )) − f (τ, z(τ )) dτ eγ(t−τ ) Aθ G(t, τ ) ϕ(τ )e−γ(t0 −τ ) Aθ (x(τ ) − z(τ )) dτ −∞ Một lần nữa, sử dụng (3.4) ta có T x(·) − T z(·) γ,θ,∞ k x(·) − z(·) γ,θ,∞ k xác định (3.3) ,θ ,θ Do đó, k < biến đổi T : Lγ,t → Lγ,t toán tử co Vì vậy, tồn ∞ ∞ γ,t0 ,θ u(·) ∈ L∞ cho T u = u Từ định nghĩa T ta suy u(·) ,θ nghiệm không gian Lγ,t phương trình (3.2) với t ∞ t0 Bởi ,θ Bổ đề 3.1 Nhận xét 3.1 u(·) nghiệm không gian Lγ,t ∞ phương trình (1.38) với t t0 Kết luận văn phát biểu định lí sau: Định lí 3.1 Giả sử toán tử A thỏa mãn Giả thiết ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận E Cho f ϕ-Lipschitz thỏa mãn điều kiện (1.36) Nếu k[...]... định nghĩa của đa tạp quán tính và nhận xét ý nghĩa của nó trong vi c nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân • Chương 2 Đa tạp quán tính đối với các phương trình tương ứng với toán tử tự liên hợp có giải thức compact Trình bày lược đồ chứng minh các kết quả đạt được bởi Nguyễn Thiệu Huy (xem [12]) về sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với các phương trình nửa tuyến tính du(t) dt... (1.36) 1.4 Đa tạp quán tính Mục đích của luận văn này là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp các phương trình tiến hóa tương ứng với toán tử quạt có kẽ hở phổ thông qua sự tồn tại của một đa tạp quán tính Trong trình bày, ta cần khái niệm đa tạp quán tính cho cả lớp phương trình tương ứng với toán tử tự liên hợp và toán tử quạt Để đơn giản trong trình bày, khái niệm đa tạp quán tính được định... hay các mô hình sinh thái (xem [27, 28]) Do đó, nghiên cứu dáng điệu của hệ động lực sinh ra bởi các phương trình vi phân có phần tuyến tính là toán tử quạt thông qua sự tồn tại của một đa tạp quán tính là một vi c làm nhiều ý nghĩa, là cầu nối đến các ứng dụng đa dạng Trong luận văn này, chúng tôi sẽ mở rộng các kết quả của Nguyễn Thiệu Huy [12] cho các phương trình tiến hóa mà phần tuyến tính là toán. .. này, chúng tôi xét một lớp các phương trình có phần tuyến tính là toán tử quạt Một cách chính xác, toán tử quạt được định nghĩa sau đây: Định nghĩa 1.1 Giả sử X là một không gian Banach Một toán tử tuyến tính B : X ⊃ D (B) → X được gọi là một toán tử quạt kiểu (σ, ω) nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây: (1) B là toán tử tuyến tính đóng và có tập xác định trù mật; (2) Tồn tại các số thực ω ∈ R, σ ∈ 0,... đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa và nêu ý nghĩa của nó trong vi c nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm khi thời gian vô cùng lớn 25 Chương 2 Đa tạp quán tính đối với các phương trình tương ứng với toán tử tự liên hợp có giải thức compact Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan các kết quả đã đạt được bởi Nguyễn Thiệu Huy về sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với một lớp các phương. .. Theo đó, toán tử B được gọi là toán tử quạt theo nghĩa trong [2, 31] nếu toán tử −B là toán tử quạt theo định nghĩa này Trở lại với toán tử quạt, sau đây là một số nhận xét liên quan đến nó mà mục đích chính là để dẫn đến khái niệm nửa nhóm giải tích, là một nửa nhóm toán tử sinh bởi một toán tử quạt Với mọi t > 0, điều kiện (2) của Định nghĩa 1.1 cho phép xác định xác định một toán tử tuyến tính giới... Khi đó, các toán tử Ap : D (Ap ) → Lp (0, 1) với 1 D (A∞ ) → C([0, 1]) là toán tử quạt, với ω = 0 và θ ∈ p < +∞ và toán tử A∞ : π 2,π Trong luận văn này, khi chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính, ta sẽ sử dụng một lớp cụ thể các toán tử quạt và giả thiết như sau đây: Giả thiết 1 Giả sử A là một toán tử tuyến tính đóng trên một không gian Banach X thỏa mãn −A là toán tử quạt kiểu (σ, ω) với σ ∈... tuyến tính là toán tử quạt Một cách chính xác, bài toán được xét là trường hợp toán tử tuyến tính −A là toán tử quạt có một tập con cô lập của phổ của nó là đủ xa với phần còn lại (xem Giả thiết 1 dưới đây) Khoảng cách đủ lớn giữa hai phần phổ của toán tử −A cho phép kết hợp các đánh giá nhị phân (biểu diễn bởi phổ của −A) với tính chấp nhận được của không gian hàm (biểu diễn bởi tính chất ϕ-Lipschitz... tính hữu hạn chiều Sự tồn tại của đa tạp quán tính được chứng minh cho nhiều lớp phương trình tiến hóa quan trọng như lớp các phương trình đạo hàm riêng tiêu hao (xem [5]), phương trình phản ứng-khuếch tán (xem [20]), các phương trình nửa tuyến tính tổng quát (xem [4]), phương trình nửa tuyến tính tổng quát với các điều kiện rất tổng quát (xem [12]) và một lớp các phương trình tiến hóa chứa trễ hữu hạn... của đa tạp quán tính là nó hút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương trình tiến hóa dưới các điều kiện được xét Điều này cho phép áp dụng nguyên lý rút gọn để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bằng cách xác định các cấu trúc của nó thông qua nghiệm hạn chế lên đa tạp quán tính, những nghiệm này thực chất là nghiệm của các phương trình vi phân thường rút gọn nhờ vào tính ... KHOA HỌC BÙI XUÂN QUANG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ PHẦN TUYẾN TÍNH LÀ TOÁN TỬ QUẠT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... cho phương trình tiến hóa mà phần tuyến tính toán tử quạt Một cách xác, toán xét trường hợp toán tử tuyến tính −A toán tử quạt có tập cô lập phổ đủ xa với phần lại (xem Giả thiết đây) Khoảng cách... thái • Chương Đa tạp quán tính phương trình tương ứng với toán tử quạt có kẽ hở phổ Chương phần luận văn, trình bày kết mở rộng báo [12] tồn đa tạp quán tính phương trình nửa tuyến tính du(t) dt