Mục đích của luận văn này là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp các phương trình tiến hóa tương ứng với toán tử quạt có kẽ hở phổ thông qua sự tồn tại của một đa tạp quán tính. Trong trình bày, ta cần khái niệm đa tạp quán tính cho cả lớp phương trình tương ứng với toán tử tự liên hợp và toán tử quạt. Để đơn giản trong trình bày, khái niệm đa tạp quán tính được định nghĩa sau đây cho một lớp các phương trình tiến hóa parabolic nửa tuyến tính có dạng
dx(t) dt +Ax(t) = f(t, x(t)) t > s, x(s) = xs, s∈R, (1.37)
trong đó toán tử tuyến tính −Asinh ra nửa nhóm{e−tA}t>0 và số hạng phi tuyếnf
làϕ-Lipschitz.
Trong trường hợp không gian trạng thái là vô hạn chiều, thay cho phương trình (1.37), ta xét phương trình tích phân
u(t) =e−(t−s)Au(s) +
Z t s
Mộtnghiệmcủa phương trình (1.38) là một hàm sốđo được mạnhu(t)xác định trên một khoảng J nhận giá trị trong không gian Xθ thỏa mãn phương trình (1.38) với mọi t, s∈ J. Nghiệmucủa phương trình (1.38) được gọi là mộtnghiệm đủ tốt
(mild solution) của phương trình (1.37).
Có thể tham khảo [29] để biết thêm chi tiết về nghiệm đủ tốt và mối quan hệ giữa nghiệm cổ điển và nghiệm đủ tốt của phương trình tiến hóa (xem thêm [4, 6, 23, 31]).
Định nghĩa 1.7. Mộtđa tạp quán tínhcủa phương trình (1.38) là một họ những mặt Lipschitz{Mt}t∈R trongX thỏa mãn với mỗiMtlà đồ thị của hàm Lipschitz
Φt: P X →(I −P)Xθ,
tức là
Mt ={x+Φtx :x ∈P X} với mọit∈ R
và thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(1) Hằng số Lipschitz của ánh xạΦt là độc lập với thời giant, tức là có hằng số
C không phụ thuộc thời giantvà thỏa mãn
kAθ(Φtx1−Φtx2)k6 CkAθ(x1−x2)k. (1.39) (2) Tồn tại hằng số γ > 0 sao cho mỗi x0 ∈ Mt0 có nghiệmu(t) của phương
trình (1.38) trên(−∞, t0]thỏa mãnu(t0) =x0 và
esssup
t6t0
ke−γ(t0−t)Aθu(t)k<+∞. (1.40) (3) {Mt}t∈Rlà bất biến dương đối với phương trình tích phân (1.38). Tức là, nếu một nghiệm x(t) với t > s của phương trình (1.38) thỏa mãn xs ∈ Ms thì
x(t) ∈ Mt vớit> s.
(4) {Mt}t∈R hút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương trình (1.38), tức là với mỗi nghiệm u(·) của phương trình (1.38) và với mỗis ∈ R cố định, tồn tại hằng số dươngH thỏa mãn
vớiγlà hằng số dương thỏa mãn (1.40) vàdistXθ là kí hiệu nửa khoảng cách Hausdorff sinh bởi chuẩn trongXθ.
Nhận xét 1.4. Theo Định nghĩa 1.7, đa tạp quán tính là một họ các đa tạp Lipschitz (mỗi đa tạp này được xác định là đồ thị của hàm số Lipschitz) có tính chất bất biến dương và hút cấp mũ các nghiệm của phương trình tiến hóa. Nhờ đó, những nghiên cứu định tính về nghiệm có thể dùng nguyên lý rút gọn để nghiên cứu những nghiệm trên đa tạp. Do đó, nếu tồn tại thì đa tạp quán tính là một công cụ lý tưởng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa khi thời gian rất lớn. Trong Chương 2 và Chương 3, ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính cho các lớp phương trình nửa tuyến tính tổng quát với các điều kiện tổng quát.