Bài tập hệ phương trình vi phân có lời giải

Chuyên đề Hệ Phương Trình Vi Phân Bài 03.03.1.001.B337 Giải toán Cauchy :   y    z (a ) y   z  yx  x 0  1, z x 0  1(b) Lời giải : Từ z   1 ta có z   ( y   1)(c) yx ( y  x) Từ (a) ta có : y     1 theo ( y  x)  Thay vào (c) ta z   z 2 z z z z  z   , z   c1 z , z  c2 ec1x z z Do từ phương trình thứ hai (a): yx z hay y= x+ Vậy nghiệm hệ (a) : Cho thỏa mãn (b)    c1x e c1c2  c1x  e y  x  c c (d)   z  c ec1 x  ,,1  c2 Do c1  1, c2  nghiệm toán c1c2 Cauchy (a) ,(b) y  xe x , x  e x  y   z   Bài 03.03.1.002.B338 Giải toán Cauchy :  z   y  y Lời giải : x 0 z x 0 (a)  y x 0  1, z  x 0  (b) Đạo hàm phương trình đầu (a) hai lần thay z   y từ phương trình cuối (a) ,ta y (4)  y  Nghiệm tổng quát phương trình : y  c1e x  c2 e x  c3 cos x  c4 sin x (c) Vì z  y (theo phương trình đầu (a)) , nên z  c1e x  c2 e x  c3 cos x  c4 sinx (d) Vậy hệ (a) có nghiệm xác định (c) ,(d) cho thỏa mãn điều kiện (b) 1  c1  c2  c3 1  c  c  c   1  c1  c2  c4 0  c1  c2  c4 1 Hệ có nghiệm c1  , c2  , c3  0, c4  Vậy ta có nghiệm 4 tốn Cauchy (a),(b) : 1 y  e x  e  x  sinx 4 1 z= e x  e  x  sinx 4 nghiệm tổng quát (a) xác đinh (c) ,(d)  dy x  dx   y  z  2e Bài 03.03.1.003.B338 Tìm nghiệm tổng quát hệ :   dz  y  z  e  x  dx Lời giải :  y  c1e x  2c2 e x Giải hệ tương ứng phương pháp khử ta có :  x 2x  z  c1e  3c2 e Vậy ta tìm nghiệm tổng qt hệ khơng dạng :  y  u1 ( x)e x  2u2 ( x)e x  x 2x  z  u1 ( x)e  3u2 ( x)e u1( x)e x  2u2 ( x)e x  2e  x Từ ta xác định từ hệ :  x 2x x  u1( x)e  3u2 ( x)e  e Giải hệ ta : u1  8e2 x ,u2  3e3 x u1 ( x)  4e x  c1 Do :  3x  u2 ( x)  e  c2 Vậy nghiệm tổng quát hệ cho :  y  c1e x  2c2 e2 x  2e x  x 2x x  z  c1e  3c2 e  e  x  z  Bài 03.03.1.004.B346 Giải hệ :  y   4 x  y  z  z   y  (a) x,y,z hàm t Lời giải : + h3    λh1  Phương trình có dạng 4 λh1  (1  λ)h2  4h3  (b)   h2 -λh   Phương trình đặc trưng hệ : λ 4 λ (1  λ) 4  (4  λ2 )( λ  1)  0 1 λ Ta có nghiệm phương trình đặc trưng thực khác :  h h 0 λ1  1; λ2  2; λ3  Với λ1  1 hệ có dạng :  11 31 h21  h31  Giải hệ ,chẳng hạn lấy h11  1, h21  1, h31  1 , ta có nghiệm riêng thứ ứng với : λ1  1; x1  et ; y1  et ; z1  et tương tự λ2  2 ,ta có nghiệm rieng thứ hai : x2  e2t ; y2  4e2t ; z2  2e2t Với λ3  ta có nghiệm riêng thứ ba : x3  e2t , y3  4e2t , z3  2e2t Vậy nghiệm tổng quát hệ (a)  x  c1et  c2 e 2t  c3e 2t  t 2t 2t  y  c1e  4c2 e  4c3e  z  c et  2c e 2t  2c e 2t   dy  dx  y  z Bài 03.03.1.005.B348 Giải hệ :   dy  y  z  dx (a) Lời giải : Phương trình đặc trưng hệ : 2λ 1 2λ 0 hay λ2  λ   Phương trình có nghiệm phức liên hợp λ1   i, λ2   i, λ1   i ứng với nghiệm phức hệ (a) : y  h1e(2i ) x , z  h2e(2i ) x Trong h1 , h2 nghiệm phương trình : ih1  h2  Lấy h1  1, h2  i ,ta  y  e(2i ) x  e2 x (cos x  i sin x) có :  (2i ) x  e2 x (sin x  cos x)  z  ie Tách phần thực phần ảo nghiệm ta hệ nghiệm hệ  y1  e2 x cos x, z1  e x sin x (a) :  2x 2x  y2  e sin x, z2  e cos x  y  e2 x (c1 cos x  c2 sinx) Vậy nghiệm tổng quát hệ (a) :  2x  z  e (c1 sinx  c2 cos x)  dx  dt  6 x  y  z   dy Bài 03.03.1.006.B353 Giải hệ :   8 x  y  z  dt  dz  dt  2 x  y  z (a) Lời giải : Phương trình đặc trưng hệ 6  λ 8 7λ 2 1 λ 0 hay λ(λ-1)  Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm kép λ1  nghiêm đơn λ2  Nghiệm kép λ1  ứng với vecto riêng : h1  1, h2  2, h3  Và ta có nghiệm tương ứng : x1  et y1  2et z1  et Với nghiệm đơn λ2  ,ta có : h1  1, h2  0, h3  Và ta có nghiệm : x2  1, y2  0, z2  Bây ta xét nghiệm kép,để tiến hành phương pháp ta chọn N vecto có thành phần 0,0,1 lấy Z vecto có thành phần α,β,0 (N,Z)=0 ,khi (2) ta  x  uet  α  đăt:  y  2uet  β  z  uet  (b) Thay (b) vào hệ 9a) rút gọn ta có :  α   8α  β   β   12α  β u   (2α  β )e t  (c) Hệ gồm phương trình đầu (c) có số đặc trưng λ   α  3c1  2c2 et λ  hệ (a) Giải hệ ta có :  t  β  4c1  3c2 e Do phương tình cuối hệ (c) viết : u  (2c1  c2 et )et  2c1et  c2 u  2c1et  c2t  c3 Thay α, β u vừa tìm vào (b) , ta có nghiệm tổng quát hệ (a) :  x  c1  (c2 t  2c2  c3 )et  t  y  (2c2t  2c3  3c2 )e  z  2c  ( c t  c ) e t   dx  dt  4 x  y  z   dy Bài 03.03.1.007.B354 Giải hệ :   x  y  z  dt  dz  dt  8 x  y  z (a) Lời giải: Ta có phương trình đặc trưng hệ : 4  λ 1  λ 8 6  hay λ3  λ2  λ   9λ Phương trình đặc trưng có nghiệm λ1  2, λ2  λ3  với nghiệm λ1  , ta có nghiệm riêng hệ (a) : x1  e2 x y1  2e2t z1  2e2t (b) (h1  1, h2  2, h3  2) với nghiệm kép λ2  λ3  ,theo ta tìm nghiệm riêng hệ (a) dạng : x  (A1 t  A2 )et y  ( B1t  B2 )et z  (C1t  C2 )et (c) Thay (c) vào hệ (a) rút gọn ta có : A1t  A1  A2  (4 A1  B1  5C1 )t  A2  B2  5C2 B1t  B1  B2  (6 A1  B1  6C1 )t  A2  B2  6C2 C1t  C1  C2  (8 A1  3B1  9C1 )t  A2  3B2  9C2 Đồng hệ số t vế ta : 5 A1  B1  5C1  6 A1  B1  6C1  8 A1  3B1  8C1  5 A2  B2  5C2  A1 A2  B2  6C2  B1 8 A2  3B2  8C2  C1 Do A1  C1 , B1  0, A2  C1  C2 , B2  3C1 C1 ,C2 hàng số tùy ý Vậy nghiệm (c) có dạng : x  (c1t  c1  c2 )et z  (c1t  c2 )et y=3c1et Và nghiệm riêng độc lập tuyến tính hệ (a) ứng với số đặc trưng λ1  λ2   x2  (t  1)et y  3et lấy :  t y3  0,  x3  e , z  tet z3  et (d) Vậy theo (b) ,(d) nghiệm tổng quát hệ (a) :  x  c1e 2t  (c2t  c2  c2 )et  2t t  y  2c1e  3c2 e  z  2c e t  ( c t  c ) e t   y   y  z  et  t Bài 03.03.1.008.B361 Giải hệ :  z   y  z  2e y t 0  1, z t 0 1 (1) (2) Lời giải Giả sử y = Y(p) , z= Z(p) : y  pY  1,z  pZ ta có hệ phương trình ảnh (1) ,(2) :  pY   Y  Z   p 1    pY   3Y  Z   p 1 Giải hệ ta có : Y ( p)  1 Do nghiệm tốn (1),(2) , Z ( p)  p 1 p 1 y(t)  et , z (t )  et L: Tài liệu Phương Trình Vi Phân Tác giả: PGS.TS Lê Văn Hạp  y  y Bài 03.03.1.009.L79 Giải hệ :   z   z  x (*) Lời giải : Hệ phương trình tương ứng với (*)  y  y   z   z ** Nghiệm tổng quát (**) :  y  c1e x với c1 , c2 hai số  x z  c e  Ta tìm nghiệm riêng (*) phương pháp biến thiên số : Xem c1  c1 ( x), c2  c2 ( x) xác định chúng để  y  c1 ( x)e x  x  z  c2 ( x)e  * Thỏa mãn (*) Lần lượt lấy đạo hàm đẳng thức vào (*) ta có hệ :  c  ( x)e x   c2 ( x )e  x  x Suy c1 ( x)  c1 , c2 ( x)  xe x  e x  c2 c1 , c2 hai số Chọn c1  c2  ta có nghiệm riêng (*): y0 Y ( x)   z  x  Vậy nghiệm tổng quát (*)  y  c1e x với c1 , c2 hai số  x z  c e  x   dx  ( z  y)d ( z  y)  Do x  ( z  y)2  C2 Vậy tích phân tổng quát hệ : y  z  C1 , 2x+(z-y)2  C2 Bài 03.03.1.036.DT334 Giải hệ phương trình sau : dx dy dz   yz zx x y Lời giải Từ hệ cho suy dx dy dz d ( x  y  z) d ( z  x) d ( y  x)      y  z z  x x  y 2( x  y  z ) zx yx Từ phương trình cuối ,suy ln z  x  ln y  x  ln C1 Hay zx  C1 yx Từ phương trình d ( x  y  z) d ( y  z)  0 ( x  y  z) yx Ta ( y  x)2 ( x  y  z )  C2 Vậy tích phân tổng quát hệ zx  C1 , yx (y-x)2 ( x  y  z )  C2 Bài 03.03.1.037.DT334  y   y  3z Giải hệ phương trình sau :   z  y  4z Lời giải Phương trình đặc trưng hệ (*) : 4λ 3 4 λ   λ   3i Với λ   3i ta có hệ phương trình để xác định vecto riêng : 3ip1  p2   3 p1  3ip2  Thực chất hệ gồm phương trình 3ip1  p2  Ta lấy p1  1, p2  i Do ta có nghiệm y1  e(43i ) x  e4 x (cos3x  i sin 3x), z1  ie(43i ) x  e4 x (sin 3x  i cos3x) Vậy nghiệm tổng quát hệ y1  e x (C1 cos3x  C2 sin x), z1  e4 x (C1 sin x  C2 cos3 x)  dx  dt   x  y  z   dy Bài 03.03.1.038.DT335 Giải hệ :   x  y  z  dt  dz  dt  x  y  z Lời giải : Phương trình đặc trưng hệ 1  λ 1 1  λ 1 1  λ 0 hay (1-λ)(λ  2)  Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm đơn λ1  nghiệm kép λ2  2 Ta tìm nghiệm hệ dạng x  a1et  (b1t  c1 )e 2t y  a2 et  (b2 t  c2 )e 2t z  a3et  (b3t  c3 )e 2t Ta có x  a1et  (b1  2c1  2b1 t)e 2t y   a2 et  (b2  2c2  2b2 t)e 2t z   a3et  (b3  2c3  2b3 t)e 2t Thế vào hệ pương trình ,ta đồng thức a1et  (b1  2c1  2b1t )e 2t   ( a1  a2  a3 )et  [  c1  c2  c3  (b1  b2  b3 )t ]e 2t a2 et  (b  2c2  2b2 t )e 2t   (a1  a2  a3 )et  [c1  c2  c3  (b1  b2  b3 )t ]e 2t a3 et  (b3  2c3  2b3t )e 2t   (a1  a2  a3 )et  [c1  c2  c3  (b1  b2  b3 )t ]e 2t Do  a1   a1  a2  a3  a a a a 2   a3  a1  a2  a3  b1  2c1  c1  c2  c3   b2  2c2  c1  c2  c3  b  2c  c  c  c 3   2b1  b1  b2  b3  2b  b  b  b 2   2b3  b1  b2  b3 Hệ tương đương với 2a1  a2  a3   a  2a  a    a1  a2  2a3    b1  c1  c2  c3 b  c  c  c  2  b3  c1  c2  c3 b  b  b   (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Từ đẳng thức (4),(7) suy c1  c2  c3  b1  b2  b3  Trừ hai đẳng thức (2),(1) vế ,ta 3a1  3a2  hay a1  a2  Thế vào đẳng thức (3) , ta a1  a2  a3 Cho a1  a2  a3  C1 , c2  C2 ,c3  C3 ,ta có C1  (C1  C3 ) Do nghiệm tổng quát hệ phương trình cho x  C1et  (C1  C2 )e 2t y  C1et  C2 e 2t z  C1et  C3e 2t  dx  dt  x  y   dy Bài 03.03.1.039.DT335 Giải hệ :    x  y  z  dt  dz  dt  x  z Lời giải : Phương trình đặc trưng hệ 1 λ 1 2λ 1 1 λ 0 hay (λ  2)(λ2  λ  2)  Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm đơn λ  nghiệm phức liên hợp λ   i Ứng với   ,ta hệ phương trình để xác định vecto riêng  p1  p2     p1  p3   p  p 0  Suy p1  p2  p3 Có thể cho p1  p2  p3  C1 ứng với    i ,ta có hệ phương trình để xác định vecto riêng ip1  p2     p1  (1  i ) p2  p3   p1  ip3   Suy ip1  p2   p3 Ta lấy p1  1, p2  i, p3  i Ta có nghiệm x2  1e(1i )t  et (cos t  i sin t ) y2  ie(1i )t  iet (cos t  i sin t )  et ( sin t  i cos t ) z2  ie(1i )t  iet (cos t  i sin t )  et (sin t  i cos t ) Vậy nghiệm tổng quát hệ cho x2  C1e 2t  C2 et cos t  C3et sin t ) y2  C1e 2t  C2 et sin t  C3et cos t ) z2  C1e 2t  C2 et sin t  C3et cos t ) TLC : TÀI LIỆU CŨ COPY ĐÁNH LẠI MÃ  dx  dt  3x  y   dy  4x  y Bài 03.03.1.040.TLC Giải hệ phương trình  dt Lời giải : Phương trình đặc trưng 3  1 1       1    (bội 2)  x   (at  b)et     y   (ct  d)et   Tìm nghiệm riêng dạng thay vào hệ đồng :  a  3a  c  a  b  3b  d   c  4a  c c  d  4b  d Cho a=C1,b=C2  c  2C1 ,d  2C2  C1 x   C1t  C2  et  y  (2C1t  2C2  C1 )et   Vậy nghiệm tổng quát :  dx  dt  x  2y  z   dy yxz  dt   dz  dt  x  z Bài 03.03.1.041.TLCGiải hệ phương trình :  Lời giải : Phương trình đặc trưng   2 1 1     (    2)  1    1  0,   1,   1  i  Với i ; i=1,2,3 giải hệ :  1   2  i 1  P1i     P2i   1   i   P3i  Để tìm nghiệm riêng tương ứng Từ suy hệ nghiệm : x1  1,y1  0,z1  1;x2  0,y2  e t ,z2  2e t ;x3  3e2t y3  2e2t ,z3  e2t  x  C1  3C3e2t  Vậy hệ nghiệm tổng quát :  y  C2e t  2C3e2t z  C  2C e t  C e2t   dx  dt  5x  3y    dy  3x  y   dt Bài 03.03.1.042Giải hệ phương trình  Lời giải : Phương trình đặc trưng 5  3 1    0  2 (bội 2)  x   (at  b)e2t    2t  y (ct  d)e  thay vào hệ đồng : Tìm nghiệm riêng dạng     a  3b  3d  a c c  3b  3d   c  C1 ,d  C1  C2 Cho a=C1,b=C2 x   C1t  C2  e2t   C 2t  y  (C1t  C2  )e Vậy nghiệm tổng quát :   dx  dt  2x  3y   dy  x  2y  2sint Bài 03.03.1.043.TLC Giải hệ phương trình  dt Lời giải : Phương trình đặc trưng có nghiệm + 1  1 giải hệ : + 1  giải hệ : 1,2  1    3   11      1      11  12      12   3   21             21  3;  22  1     22    Hệ nghiệm hệ tương ứng : x1  e t  t y1  e ; x  3et  t  y  e x(t)  C1e t  3C2 et Vậy NTQ hệ :  t t  y(t)  C1e  C2 e Biến thiên số : t  C ( t )  e (sin t  cos t ) C1e  3C2e  C1  3e sin t      t t t  C1e  C2e   C1  e sin t C (t )   et (sin t  cos t )   t t t  x(t )  C1et  3C2et  3cos t Vậy NTQ :  t t  y (t )  C1e  C2e  sin t  2cos t  dx  dt  x  y   z   dy   x  2y  z  dt  dz  dt  x  y  z Bài 03.03.1.044.TLC Giải hệ phương trình :  Lời giải Phương trình đặc trưng :    1   2   3  có nghiệm  ứng với i   i  giải hệ    1  i 1  1;   2;     P1i        1   P2i       i   P3i       1         Được   ;  1 ;   Suy hệ nghiệm    1            e2t   e3t   t   2t     e ; e ;   et   e2t   e3t         dx  dt  y  5cos t   dy  x  y  dt Bài 03.03.1.045 Giải hệ phương trình  Lời giải : Dùng pp khử : Lấy đạo hàm theo t phương trình thứ hai : Lấy đạ0 hàm theo t phương trình thứ : y   2x   y  Đưa phương trình đầu : y  2(y  5cost)  y  y  y  2y  10cost Đây phương trình tuyến tính cấp 2,giải nghiệm tổng qt : y  C1e2t  C2 e t  3cost  sint Thay vào pt đầu : x  C1e 2t  C2et  cos t  2sin t Vậy NTQ  x  A1e2t  A2et  cos t  2sin t  2t t  y  A1e  A2e  3cost  sint  y  y  z  4e5 x Bài 03.03.1.046 TLC Giải hệ phương trình :   z  y  z Lời giải : Nghiệm pt đặc trưng  y  C1e x  2C2e x 1  1;   4; NTQ :  x 4x z   C e  C e  Biến thiên số :   4x C1  e  y  C1e x  2C2e x  3e5 x  NTQ :   x 4x 5x  z  C1e  C2e  e  C  e x   y  y  z  2e x Bài 03.03.1.047.TLCGiải hệ phương trình :  x  z  y  z + 4e Lời giải : Nghiệm tổng quát hệ phương trình :  y  C1e x  C2e  x  x x  z  C1e  3C2e y*  xex  x z*  (x  1)e  Nghiệm riêng hệ không  y  C1e x  C2e  x  xe x  z  C1e x  3C2e  x  ( x  1)e x  Vậy nghiệm tổng quát : Bài 03.03.1.048 TLC Giải hệ phương trình :  y  y  z  4e2 x   z  y  z Lời giải : Nghiệm tổng quát :  y  C1 (cos x  sin x)  C2 (cos x  sin x)  2 x  z  C1 cos x  C2 sin x  e  dx  dt  y  z   dy  z  y  dt Bài 03.03.1.049.TLC Giải hệ phương trình  Lời giải Phương trình đặc trưng có nghiệm 1,2  1 2i Hệ có nghiệm : y  e x (C1 cos2 x  C2 sin x), z  2e x (C2 cos2 x  C1 sin x)  dx x  y  z  e  dt   dy  z  y  dt Bài 03.03.1.050.TLC Giải hệ phương trình  Lời giải : Phương trình đặc trưng có nghiệm 1,2  1 2i Hệ có nghiệm : y  e x (C1 cos2 x  C2 sin x), z  2e x (C2 cos2 x  C1 sin x) Và nghiệm hệ không y  e x (C1 cos2 x  C2 sin x), z  2e x (C2 cos2 x  C1 sin x)  e x  dx  dt  y  z   dy  z  y  e x  dt Bài 03.03.1.051.TLCGiải hệ phương trình  Lời giải : Phương trình đặc trưng có nghiệm 1,2   2i Hệ có nghiệm : y  e2 x (C1 cos2 x  C2 sin x), z  2e2 x (C2 cos2 x  C1 sin x) Và nghiệm hệ không y  e x (C1 cos x  C2 sin x)  e x , z  2e x (C2 cos x  C1 sin x) Bài 03.03.1.052.TLC Giải hệ phương trình  dx x  y  z +e  dt   dy  z  y  dt Lời giải : Phương trình đặc trưng có nghiệm 1,2  1 2i Hệ có nghiệm : y  e x (C1 cos2 x  C2 sin x), z  2e x (C2 cos2 x  C1 sin x) Và nghiệm hệ không y  e x (C1 cos2 x  C2 sin x), z  2e x (C2 cos2 x  C1 sin x)  e x  dx  x  2y   dt   dy  x  5sin t  dt Bài 03.03.1.053.TLC Giải hệ phương trình  Lời giải : Nghiệm tổng quát hệ phương trình :  x  C1et  2C2e 2t  t 2t  y  C1e  C2e Biến thiên số để nghiệm  t 2t  x  C1e  2C2e  sin t  cos t 3  t 2t   y  C1e  C2e  2cos t  sin t  dx t  dt  x  y +e   dy  x  y  e 2t  dt Bài 03.03.1.054.TLC Giải hệ phương trình  Lời giải : Nghiệm phương trình đặc trưng : r1  2; r2   x  2C1e 2t  C2e3t  y  C1e 2t  C2e3t  Từ NTQ HPT : Biến thiên số để nghiệm t  t 2t 2t x  C e  C e  e  te    y  C e 2t  C e3t  et  (t  1)e 2t   dx  2x  y   dt   dy  y  z  dt Bài 03.03.1.055.TLCGiải hệ phương trình  Nghiệm phương trình đặc trưng : r1  r2  Vậy NTQ có dạng :  x  (  1t )e3t  3t  y  (    2t ) e Với 2  1  1; 2  1  x  (C1  C2t )e3t  y  (C1  C2  C2 t)e3t  Từ NTQ HPT : ... (≠0),y = nghiệm hệ  y   y  yz Bài0 3.03.1.024.T25 0Giải hệ phương trình sau   z   yz  z Lời giải Chia hai phương trình hệ vế một,ta z y   z  C1 y z y Cộng hai phương trình hệ vế ,ta...  y  x Bài0 3.03.1.025.T25 1Giải hệ phương trình sau   z   y  3z Lời giải Phương trình đặc trưng 1  3  hay   4   Nó có hai nghiệm 1  5, 2  1 ứng với 1  ,hệ phương trình để...  et , z (t )  et L: Tài liệu Phương Trình Vi Phân Tác giả: PGS.TS Lê Văn Hạp  y  y Bài 03.03.1.009.L79 Giải hệ :   z   z  x (*) Lời giải : Hệ phương trình tương ứng với (*)  y 