Hoà Chí Minh naêm 1997 khoái D Tìm caùc giaù trò m ñeå phöông trình sau coù nghieäm.. Ñaïi Hoïc Luaät TP..[r]
(1)Bài tập phương trình lượng giác 1 2 sin x 4sin x cosx1
2 sin x
sin x cosx
2 sin(x ) 2 sin x
4 sin x cosx sin x cosx
sin(x ) x k
4
1
2 sin x sin x cosx 0 sin 2x 0
4 sin x cosx
2sin x cosx sin 2x
x k sin2x sin
4 x k (k Z)
4
sin 2x 2x k2 x k
2
2 C1.sin3x cos3x 2(sin5x cos5x) x x x
x 5
3 sin cos cos
sin
x x x x x x x
x 3
3 ( sin ) cos ( cos ) sin cos cos cos
sin
3 3
cos2x cos2x cos2x
x m x k x m (m Z)
tgx 4
sin x cos x tg x
C2.sin3x cos3x 2(sin5x cos5x)
(sin3xcos3x)(sin2xcos2x)2(sin5xcos5x) ) sin (cos cos ) sin (cos sin cos sin sin cos cos
sin3x 2x 3x 2x 5x 5x 3x 2x 2x 3x 2x 2x x
xx x 0
0 x x 0 x x 0 x x x
x 3 32 32 2
2 sin cos sin cos sin cos sin cos ) sin )(cos sin (cos Z) (k cos sin cos sin cos sin
cos
2 k 4 x 0 x 2 0 x x x
xx x 0 2
2
3 sin2x cos22x cos23x
1 cos 2x cos 4x cos 6x
(cos 4x cos 2x) (1 cos 6x)
2 2
x x x x x x x x x 2
cos cos cos cos (cos cos ) cos cos cos
Z) (k cos cos
cos k x k x k x x x x
4 sin6x cos6x 2(sin8x cos8x) x x x
x 8
6 sin cos cos
sin
x x x x x x x
x 6
6 ( sin ) cos ( cos ) sin cos cos cos
sin
Z) (m cos cos cos
sincos
m x k x m x
tgx2x
x tg 2x x
xx
6
6
(2) x x x x 2 4
sin cos sin cos
2 k x x x 2 x 2 x x x x
1
sin sin sin cos cos cos sin
6 2x
8 13 x
x
6 sin cos
cos
x 13 x
x 3
2 ) (sin ) cos
(cos
x 13 x x x x x
x 4 2
2 sin )(cos sin sin cos ) cos
(cos
x 13 x 2 x x 13 x x 2 1 x
2 ( sin2 sin2 ) cos2 cos ( sin2 ) cos2
cos
8cos22sinx 202x 13cos2x 8cos22(x1 cos0 22x) 13cos2x 2coscos2x22x0 13cos2x 6 0
(loại) cos cos
cos 2x
2 x x
2
k (kZ)
6 x k x 7 13tgx 2sin2x(*) Ñaët t tgx
k x tgx t t t t t t t t t t
1 2
2 ( )( )
(*)
8 3sinx2cosx23tgx
2 tgx tgx x tgx x x tgx
3
cos cos cos ( )
3 k
x k2 x tg tgx x
(k Z) tg
cos
8 sin x3 2 sin x
4
(*) C1 Ta coù : sin x
sin x cosx
3 3
2 sin x (sin x cosx) sin x (sin x cosx)
4 2
x x x x x x 2
1 (sin cos )3 sin (sin cos )3 sin
(*) Vì : có ta cos cho trình phương vế hai Chia trình phương mãn thỏa không
cosx 3x
Z) (k ) )( ( ) ( )
( k
4 x tgx x tg tgx x tg tgx
tgx 2
C2 (*) (sinx cosx)3 4sinx (sinx cosx)(sinx cosx)2 4sinx x x x x x x x x x x
x 2
(sin cos )( sin cos ) sin cos sin sin cos sin cos x x x x x x x
x 2
cos ( sin ) sin ( cos ) cos (cos ) sin (cos )
Z) (k (loại) cos ) sin )(cos
(cos
k 4 x 1
tgx x2 2
0 x x 2 x2
9 4 4x x 4x
cos ) sin
(sin 2x 4x
2 1
4
( sin ) sin
3 x x x x 2 x
3
(3)Z) (k k 12 x k x
10 2(sin x cos x) sin x cos x8 2cos x cos x sin x 2sin x8
6 6
cos x(2cos x 1) sin x(1 2sin x) cos x cos2x sin x cos 2x
6 6
x m
cos2x cos2x cos2x 4 2
x m (m Z)
tgx
sin x cos x tg x x k
4 11.
8 10 10 5
sin x cos x 2(sin x cos x) cos2x 4
10 8
2cos x cos x 2sin x sin x cos2x
8 8
cos x(2 cos x 1) sin x(1 2sin x) cos2x cos x cos2x sin x cos2x cos2x
4 8 8 cos2x k
cos2x cos x sin x 5 x
4 sin x cos x vo ânghieäm 4
12
4 x x 2 cos
sin 41 22x 41 2x
( cos ) ( cos )
0 x x x 4 x
4 2
cos cos cos cos
1
cos2x cos cos2x (loại) 2x k2 x k (k Z)
2 3
13.tg4x 4tg2x
2
tg x tg x tgx tg tgx tg x k x k (k Z)
4
14 cos42x cos22x
4 2
cos 2x cos 2x cos 2x cos 2x (loại)
Z) (k sin k x k x x
15 22x 4x sin
cos 2x 4x
( sin ) sin
0 x x x
1
sin sin sin sin cos k (kZ) x x x
16.cos x cos 2x 12 cos2x(2cos2x1)2 10 cos2x4cos4x 4cos2x110
4 2
4 cos x 5cos x cos x cos x (loại) cosx x k (k Z)
4
17 2cos4x 3cos2x ) cos cos ( cos ) cos (
cos x 32 x x 34 x x
2 2 4
5 2 x2 1 0 x 5 2 x 2 0 x 5 1 x 1 x 0 1 x 6 x
5 2
(4)3 sin x cos2x cos x k x k2 (k Z) với cos
5
18 2sin2 x tg2x (1)
Điều kieän : cosx 0
C1 2 x x x x
x x x
2
1 2 2
2
2 sin cos sin cos
cos sin sin ) ( x x x x x x x x
2( cos2 )cos2 cos2 cos2 cos2 cos4 cos2 cos2
4 2 2
2cos x cos x cos x (loại) cos x 2cos x 2cos x
Z) (k cos k x k x x
C2 tg x 2tg x tg x tg x 2tg x x tg x tg
1 2
2 ) (
4 2
tg x tg x tg x tg x (loại) tgx tg x k (k Z)
4
19 8 x 13 2x
cos sin x 26 x x 13 x
8 4
sin ( sin ) sin sin
4 2 2 1
4sin x 13sin x sin x sin x (loại) 2sin x cos 2x
4 2
Z) (k cos
cos
k x k x x
20.3 4x 4x
sin cos
0 x x x 3 x x
3 2 4
( cos ) cos ( cos cos ) cos
21 x 20x 3 2 x2x 01
3 x
4 x 0
x 6 x
8 2
2 cos cos ) cos ( cos cos cos cos cos
cosx cos2x cos x k 2x k2 x k x k (k Z)
2 3
21 tg2x g2x
cot
x tg
1 x tg2 2
(1) Điều kieän :tgx 0
(1) tg4x 2tg2x tg2x 12 ( )
tg x tgx tg x k (k Z)
4
22 cos (1)
x x tg
4 2
Điều kiện :cosx 0
4 2
(1) 4tg x tg x 4tg x tg x tg x tg x (loại)
tgx tg x k (k Z)
4
23 sin8xcos8x81
8 x x x x x
x 4 4
4
(5)4
2 4
1 1 1
(1 sin 2x) 2(sin x cosx) sin 2x sin 2x sin2x
2 8
1 x x
2 x 8 x x x
1
sin sin sin sin sin sin
4 2
sin 2x 8sin 2x sin 2x sin 2x (loại)
0 x
cos (k Z)
k x k x
24 2(1 sin2x) 5(sinx cosx)30 x x x x
(sin cos ) (sin cos )
3
sin x cosx sin x cosx (loại) sin x sin
2 4
3
x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z)
4 4
25 5(1sin2x)12(sinxcosx)70
0 x x
12 x x
5
(sin cos ) (sin cos )
7
sin x cosx sin x cosx sin x sin sin x sin
5 4
3
x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z
2 4
26 3 4x 2x 2x 4x
cos sin sin cos
27 2 cos x2 42 5 2 cosx 15 0
cosx cos x
28 cos x2 12 2 cosx1 cosx 2 0
cos x
2
1 cosx 2 2 cosx 2 cosx 2 cosx
cosx cosx cosx cosx
1 cosx (1) cosx (2)
cosx cosx
.Điều kiện :cosx 0
nghiệm) (vô
cos
cos )
(1 x x
Z) (k cos
) (cos cos
cos )
(2 2x x10 x12 0 x1 xk2
29 x 1x
x
x 2
2
cos cos
cos
cos
2
1 1
cosx cosx cosx cosx
cosx cosx cosx cosx
1
cosx (1) cosx (2)
cosx cosx
.Điều kiện :cosx 0
nghiệm) (vô
cos
cos )
(1 2x x
Z) (k cos
) (cos cos
cos )
(2 2x x10 x12 0 x1 xk2 30 cos x2 12 2 cosx 1 1
cosx cos x
2
1
cosx 2 cosx
cosx cosx
(6)2
1
cosx cosx
cosx cosx
0 x x
1 x
x
cos cos
] cos
[cos
0 x x
2
cos cos
1 5
cosx (loại) cosx cos x k2 (k Z)
2
31 2 cos x2 12 7 cosx cosx1 2 0
cos x
2
1 1
2 cosx cosx 2 cosx cosx
cosx cosx cosx cosx
1
cosx (1) cosx (2)
cosx cosx
Điều kieän :cosx 0
Z) (k
(loại)
cos cos
cos cos
cos
)(
x k2
1 2 1 x
2 1 x 0
1 x 2 x
1
2
(2) 2cos x 3cosx cosx cos cosx (loại) x k2 (k Z)
2 3
Vậy nghiệm phương trình : xk2 v k2 (k Z)
x 32 sin x2 12 sin x 1 0
sin x sin x
2
1
sin x sin x
sin x sin x
1
sin x (1) sin x (2)
sin x sin x
Điều kiện :sinx 0
nghiệm) (vô
sin
sin )
(1 2x x
Z) (k sin
) (sin sin
sin )
( k2
2 x x
1 x
1 x x
2 2
33 4 sin x sin x12 4 sin x sin x1 0
2
1 1
4 sin x sin x sin x sin x 15
sin x sin x sin x sin x
1
sin x (1) sin x (2)
sin x sin x
Điều kiện :sinx 0
nghiệm) (vô
sin
sin )
(1 2x x
2
(2) 2sin x 5sin x sin x 2(loại) sin x sin
2
x k2 x k2 (k Z)
6
34 C1 :tg2x cotg2x 2(tgx cotgx) (*)
(7)Điều kiện : sin cos sin (kZ) k x x x x gx tgx 2 gx tgx
( cot ) ( cot )
(*) tgx gx 2 tgx gx
( cot ) ( cot )
tgx cot gx (1) tgx cot gx (2)
Z) (k ) ( )
( k x tg tgx tgx tgx x tg tgx tgx
1 2
) sin( sin sin cos sin cos sin sin cos cos sin ) ( x x 2 x x x x x x x x
2
7
2x k2 2x k2 x k x k (k Z)
6 12 12
Vậy nghiệm phương trình : k
x k (kZ) 12 x k 12 x
C2 : Đặt t tgx cotgx t2 (tgx cotgx)2 tg2x cotg2x 2tgxcotgx
tg2xcotg2x2
4 x g x tg
2 2
cot
t2 4 t 2 tt 22
Khi t2 tgxcotgx2 tg x 2tgx tgx
tgx
tgx 2
( ) Z) (k k x tg tgx
Khi t 4 tgxcotgx 4 x x x x
x x x
x sin2 cos2 sin cos sin cos cos sin 2sin2x sin2x sin
2 7
2x k2 2x k2 x k x k (k Z)
6 12 12
Vậy nghiệm phương trình cho : k
x k (kZ) 12 x k 12 x
35 tg2x cotg2x 5(tgx cotgx) (*)
Điều kiện : sin cos sin (kZ) k x x x x gx tgx gx tgx
( cot ) ( cot )
(*) tgx gx tgx gx
( cot ) ( cot )
tgx cot gx (1) tgx cot gx (2)
nghiệm) (vô
)
( tg x tgx
tgx tgx ) sin( sin sin cos sin cos sin sin cos cos sin ) ( x x 2 x x x x x x x x
2
7
2x k2 2x k2 x k x k (k Z)
6 12 12
Vậy nghiệm phương trình cho : k (kZ) 12 x k 12 x
36 cos 3cotg x 4(tgx cotgx) (1) x
3
2
(8)0 gx tgx x g x tg gx tgx x g x
1 2
2
cot ( cot ) ( ) cot ( cot )
cos ) ( gx tgx gx tgx gx tgx x g x tg
3 2
( cot ) ( cot ) [( cot ) ] ( cot )
0 gx tgx gx tgx
( cot ) ( cot ) (*)
Đặt : t tgx cotgx t2 (tgx cotgx)2 tg2x cotg2x 2tgxcotgx
tg2xcotg2x2
4 x g x tg
2 2
cot
t2 4 t 2 tt 22
2
(*) 3t 4t t t (loại)
Khi : x x x x 2x
x x x
x
t 2
sin cos sin cos sin
sin cos cos
sin
2x k2 x k (k Z)
2
37 sin 2tg x 5(tgx cotgx) (1) x
2
2
Điều kiện : sin cos sin (kZ) k x x x x gx tgx x tg x g
1 2
( cot ) ( cot )
) ( gx tgx gx tgx gx tgx x g x tg
2 2
( cot ) ( cot ) [( cot ) ] ( cot )
0 gx tgx gx tgx 2
( cot ) ( cot ) (*)
Đặt :t tgx cotgx t2 (tgx cotgx)2 tg2x cotg2x 2tgxcotgx x g x
tg2
cot x g x tg
2 2
cot
t2 4 t 2 tt 22 (*) 2t2 5t 0 t t (loại)
2
Khi (sin cos ) sin cos sin sin sin cos cos sin x x x x x 2 x x x x
t 2
2x k2
x k x k (k Z)
2x k2 2
38.(sin x cosx) 2(1 sin 2x) sin x cosx 2 0
3
(sin x cosx) 2(sin x cosx) sin x cosx
đặt t sin x cosx cos x
điều kiện: t
Phương trình trở thành : t3 2t2 t 2 0 (t 2)(t +1) = 02 t = 2
39. 2(sin x cosx) tgx cot gx sin x cosx 2(sin x cosx)
cosx sinx
2(sin x cosx)sin x cosx 1
đặt t sin x cosx cos x
điều kiện: t
Phương trình trở thành : t3 t 2 0 (t 2)(t + 2t +1) = 02 t = 2
(9)40.sin x cos x sin2x sin x cosx3
(sin x cosx)(1 sin x cosx) 2sin x cosx sin x cosx
2
t đặt t sin x cosx cos x sin x cosx
4
điều kiện:t
Phương trình trở thành :
3 2
t 2t t 0 (t 1)(t + 2t 5) = 0 t = t = (loại) t =
41.cosx 1 sin x 1 10
cosx sin x 3
1 10
(sin x cosx)
sin x cosx
2
t đặt t sin x cosx cos x sin x cosx
4
điều kiện:t 2.Phương trình trở thành :
3 2 19 19
3t 10t 3t 10 (t 2)(3t 4t 5) = t = t = t = (loại)
3
42.(cos4x cos2x) 5 sin3x
2 2
VT (cos4x cos2x) (2sin3xsin x) sin 3xsin x 4 VP sin3x 4
Vậy phương trình tương đương với hệ :
2 2 cosx 0
sin 3xsin x sin x x k2
sin3x
sin3x sin3x
43.(cos4x cos2x) 5 sin3x
2 2
VT (cos4x cos2x) (2sin3xsin x) sin 3xsin x 4 VP sin3x 4
Vậy phương trình tương đương với hệ :
2 2 cosx 0
sin 3xsin x sin x x k2
sin3x
sin3x sin3x
44.sin x cosx 2(2 sin3x) VT sin x cosx sin x
4
VP 2(2 sin3x) Vậy phương trình tương đương với hệ :
x k2
sin x x k2 4
vo ânghieäm
4 m2
sin3x x
2 sin3x 6 3
Vậy phương trình cho vơ nghiệm 45.sin x sin x 113 14
13 14 2
sin x sin x sin x sin x
Vì cosx 1 cos x cos x13 ; sin x 1 sin x sin x14
Vaäysin x sin x 113 14
(10)13 2 11
14 2 12
cos x cos x cos x(cos x 1) cosx cosx x k x m
2
sin x sin x
sin x sin x sin x(sin x 1) x k2
46.sinxcosx 2(2 sin3x) (1)
VT sin x cosx cos x
2 2 x 2
VP ( sin ) ( )
Vaäy (1) cos x cos x cos x (1) sin3x sin3x (2) 2(2 sin3x)
k2
4 x k x 1)
( ( k Z)
theá vào (2) ta có : sin3x sin k6 sin3
4
Vậy phương trình vô nghiệm 47.(cos4x cos2x)2 sin3x
4 x x x x
VT 2
( sin sin ) sin sin VP5sin3x514
Vaäy
(2) 1xsinsin (1) sin sin
sin sin sinsin
sinsinsin)( 3
22 22 2
4x3 1x 1x3 1x 1x3 1xx3 4x35 4xx341
Khi sin k2 (kZ)
x x
thế vào (2) ta có : sin3x 3 41 thỏa mãn
Khi sin k2 (kZ)
x x
thế vào (2) ta có : sin3x 3411 không thỏa
Vậy nghiệm phương trình : k2 (k Z)
x 48 . sin22x sinx 2cosx
(1)
5 x
VT
sin Dấu xảy sin2x = (k Z)
2 k
x (*)
5 x x
4 x x
VP 2
(11)Daáu xảy tgx 21
x
x
cos sin
(**)
Thế (*) vào (**) không thỏa nên phương trình vô nghiệm 49. 3sin2x cos2x 3sinxcosx4 (1)
2 x x
3 x 2 x 2
3
1) sin cos sin cos (
cos sin2x sin cos2x sin sin x cos cosx sin 2x cos x
6 3
(*)
Vì sin 2x 61
vaø cos x
neân (*)
sin 2x 6 sin 2x sin k4 sin
6 x k2
3
x k2
cos x x k2 x k2 3
3 3
Vậy nghiệm phương trình laø : k2
x (k Z)
50.cos2xcosx 1
2 x x
3
x x
3
(cos cos ) cos cos (*)
Vì cos3 x cosx 1 neân (*)
1341x 2kx1x
1x3x4 1x 1x3 1x
3 coscos coscos
cos cos
cos (k Z)
51.cos2xx2 1 (*)
Vì cos2 x x2 1
neân (*) 0x 0x10
1x2 11x
2
coscos
(12)Vì cos3x1 cosx1 nên (*)
1x134 2kx1x
1x3x4 1x 1x3 1x
3 coscos coscos
cos cos
cos (k Z)
53.cos x cosx tg x 02
2 cosx
(cosx 1) tg x
tgx
Z) (k cos
sincos
xx 01 x 1 x 2k
54.4sin x 3tgx 3tg x 4sin x 02
2
4sin x 4sin x 3tg x 3tgx
2 sin x 1/ (1)
(2sin x 1) ( 3tgx 1)
tgx / (2)
(1) x k2 x k2 (k Z)
6
vào (2) ta có nghiệm k2
x , (k Z)
55.x2 2xsin x 2cosx 0
2 2
x 2xsin x sin x cos x 2cosx
0x
2kx 002k
2k 2kxxx 1x xx01x
xx2 2
cossin)(cos)sin sin sinsin
(
Vậy nghiệm phương trình :x = 56
2
x cos2x
(13)2
2 x
x (1 cos2x) 0 x 2sin x 0 x 0
sin x
2
57.Đại học An Giang khối D năm 2000
2 2 3
sin x sin 2x sin 3x 2
cos2x cos4x cos6x cos4x(2 cos2x 1)
1 k
cos4x cos2x x x k
2
58 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999
1 1
2 sin x
4 sin x cosx
2 sin x
sin x cosx
2 sin x 2 sin x
4 sin x cosx sin x cosx
sin x sin x
2 sin x 4 4
4
sin x cosx sin 2x
2
2sin x cosx sin 2x sin x cosx
x k sin 2x sin
4
x k
sin2x 4
sin2x 2x 2k x k
2
59.Học Viện Quan Hệ Quốc Tế khối D năm 1999
cosx cos2x cos3x cos4x 0
5x x 5x x
4cosx.cos cos cosx cos cos
2 2
2k
x k x x 2k
2 5
60 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998
3 5
sin x cos x 2(sin x cos x)
3 2 5
(sin x cos x)(sin x cos x) 2(sin x cos x)
3 2 5 2 2
sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x(cos x sin x) cos x(cos x sin x)
3
3
cos2x cos2x cos2x k
co2xsin x cos2x cos x x
sin x cosx tgx
sin x cos x
61 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998
2 2
sin x cos 2x cos 3x
1 cos2x cos4x cos6x (cos2x cos4x) (1 cos6x) 0
2 2
(14)2
2cos3x cosx cos 3x 2cos3x(cosx cos3x) cos3x.cos2x.cosx
k k
cos3x cos2x cosx x x x k
6 2
62 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 1999
6 8
sin x cos x 2(sin x cos x)
6
sin x(1 2sin x) cos x(2cos x 1)
6 k
cos2x(sin x cos x) cos2x x
4
63 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999
sin x cosx sin x cosx 2
Bình phương vế ta cos2x sin2x x k
64 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 2000
6 13
cos x sin x 8
2
cos2x(2 cos 2x 13cos2x 6)
1 k
cos2x cos2x (loại) cos2x x x k
2
65 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 2000
1 3tgx 2sin 2x (*)
Đặt : t tgx . (*) 3t 4t2 (1 3t)(1 t ) 4t2 3t3 t2 t
1 t
2
(t 1)(3t 2t 1)
t x k
4 66 Học Viện Quân Y khối B năm 2001
3sin x cosx 3tgx
3tgx cosx cosx 3tgx cosx(3tgx 2) 3tgx
Ñaët : t tgx
3tgx tgx / tg x k
cosx cosx x 2k
67 Đại Học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2000
3
4 cos x sin2x 8cosx
3
4 cos x sin x cosx 8cosx cosx(2 cos x sin x 4)
2
2cosx(2sin x sin x 2) cosx sin x (loại) sin x
3
x k x 2k x 2k
2 4
68 Đại Học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2001
(15)2
2 2
2
1 t 2t 2t
(*) t t tg x sin x cos x
2t t t t
k cos2x (thỏa mãn điều kiện) x
4
69 Đại Học Sư Phạm Hải Phòng khối B năm 2001
3
sin x 2 sin x (*)
4
Đặt : t x 4 x t 4
3
(*) sin t sin t sin t sin t cost sin t(1 cot t) sin t cost
cost cost
cost(1 sin t cot t) t k x k
sin t cost sin 2t (vônghiệm)
70 Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh khối D năm 2000
4
4(sin x cos x) 3 sin 4x 2
2
1
4 sin 2x sin 4x 2sin 2x sin 4x 2
1
cos4x sin 4x cos4x sin 4x cos 4x cos
2 2 3
2 k k
4x 2k x x
3 12
71 Đại Học Thái Nguyên khối D năm 1997
2
4 cos x cos3x 6cosx 2(1 cos2x)
2
4 cos x (4 cos x 3cosx) cosx cos x
3
4cos x 3cosx cosx(4cos x 3) cosx x k
72 Đại Học Thái Nguyên khối D năm 2000
sin2x 4(cosx sin x) m
a) Giải phương trình treân m 4
b) Với giá trị m phương trình có nghiệm? Giải
a) Khi m 4 , phương trình có dạng :
sin2x 4(cosx sin x) 4 (1 sin 2x) 4(cosx sin x) 0
2
(cosx sin x) 4(cosx sin x)
cosx sin x
2 cos x x 2k x 2k
cosx sin x (vônghiệm)
b) sin2x 4(cosx sin x) m (cosx sin x)2 4(cosx sin x) m (*)
Đặt : t cosx sin x cos x 4 t
2
(16)Neáu / 5 m 0 m 5
phương trình vô nghiệm
Nếu / 5 m 0 m 5
phương trình có hai nghiệm
/ /
1
t 2 t 2 (loại)
Vậy phương trình có nghieäm
/ / /
1
2 t 2 2 2 6
6 m 4 m
72 Đại Học Văn Hóa Hà Nội khối D năm 2001
sinx cosx cos2x 2sin x cosx 0
2
sinx 2sin x cosx(1 sin x)
sinx sinx
(1 sinx)(2sin x cosx 1) 2(sin x cosx) 1 sin x sin
4 2
x 2k x 2k x 2k
2 4
Trong góc có sin
2 73 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997
4
cos x sin x cos2x
4 4
cos x sin x cos x sin x sin x sin x
4
2
sinx
sin x(sin x 1) x k
1 sin x (vo ânghieäm)
74 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997
x 3x x 3x
cosx.cos cos sin x.sin sin
2 2 2
1cosx(cosx cos2x) 1sin x(cosx cos2x)
2 2
2
cos x cosx cos2x sin x cosx sin x cos2x cosx cos2x sin x cos2x sin x sin x cosx
cos2x(cosx sin x) sin x(sin x cosx) (cosx sin x)(cos2x sin x)
2
(cosx sin x)(1 2sin x sin x) (cosx sin x)(2sin x sin x 1)
1
tgx sin x sin x x k x 2k x 2k x 2k
2 6
75 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1998
2 2
sin 3x sin 2x sin x 0
2
1 cos6x cos2x sin 2x 0 1(cos2x cos6x) sin 2x 0
2 2
2 2
sin 4xsin 2x sin 2x 2sin 2x cos2x sin 2x sin 2x(2 cos2x 1)
1 k
sin 2x cos2x x x 2k
2
76 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1998
(17)cos2x cos3x sin2x cos3x 2(cot g2x cot g3x) tg2x cot g3x
sin 2x sin3x cos2x sin3x
2
3
2sin x cosx 2sin x(cos2x cos x) sin x (loại) sin2xsin3x sin3x cos2x sin2xsin3x cos2x
đk
sin 2x 0
Vậy phương trình vô nghiệm
77 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 1997
3
sin xsin 2x sin3x 6cos x
2 3
2sin x cosx 3sin x 4sin x cos x
3 2
tg x 2tg x 3tgx (tgx 2)(tg x 3) tgx tg tgx
x k x k
3
78 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 1998 Xác định a để hai phương trình sau tương đương
2cosx cos2x cos2x cos3x
2
4 cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)
Giaûi
cosx cos2x cos2x cos3x cos3x cosx 2cos x cos3x cosx 2cos x cosx cosx 1/
cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)2
2
4 cos x (4 cos x 3cosx) acosx 2(4 a)cos x
3
4cos x (4 2a)cos x (a 3)cosx cosx(2 cosx 1)(2 cos x a 3)
1 a
cosx cosx cosx
2
Hai phương trình sau tương đương
a 1 a 1 a 0 a a a a a 4
2 2 2
79 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 2001
Xác định a để phương trình sau có nghiệm : sin x cos x a sin2x6
Giaûi
6 2
sin x cos x a sin 2x sin 2x a sin 2x 3sin 2x 4a sin2x (*)
Đặt : t sin 2x t 1 (*) 3t2 4at 0
Với t ta co ùf(0) 4 0 phương trình (1) ln có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện
1
t 0 t
Như , phương trình cho có hai nghiệm phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn
1
t 0 t 1 f(1) 0 4a 0 a 1/ 4
80 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối B
2 2
(18)1 cos6x cos6x cos10x cos12x
2 2
(cos12x cos10x) (cos8x cos6x) cosx(cos11x cos7x) cosxsin 9xsin 2x
k k
sin 2x cos9x x x
2
81 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối D
Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm phương trình :cos3x cos2x 3cosx 0
Giaûi
3
cos3x 4cos2x 3cosx 0 4cos x 3cosx 4(2cos x 1) 3cosx 0
3 2
4cos x 8cos x cos x(cos x 2) cosx cosx (loại) x k
Vì x0;14 k k k k 3
Vậy nghiệm phương trình là:x x x x
2 2
82 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối A Tìm x thuộc đoạn x0;2nghiệm phương trình :
cos3x sin3x
5 sin x cos2x (*)
1 2sin 2x
Giải Điều kiện : 2sin 2x 0 sin 2x 1/ (a)
(*) sin x 2sin xsin 2x cos3x sin3x (cos2x 3)(1 2sin 2x)
5 sin x cosx cos3x cos3x sin3x (cos2x 3)(1 2sin 2x)
5 sin x sin3x cosx (cos2x 3)(1 2sin 2x)
5cosx 2sin 2x (cos2x 3)(1 2sin 2x) 5cosx cos2x 5cosx cos x
2
2cos x 5cosx cosx (loại) cosx 1/ (thỏa đk (a))
x 2k
3
Vì x0;2 nghiệm phương trình là:x x
3
83 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2003 khối D
2 x 2 x
sin tg x cos (*)
2
Điều kiện : cosx x k
2
2
1 cos x cos x
1 cosx sin x cosx
2
(*) tg x 0
2 2 cos x
2
2
1 sin x sin x. cosx 0 sin x cosx 0 sin x (1 cosx)(1 sin x) 0
2 sin x 2(1 sin x)
(1 cosx)(1 cosx) (1 cosx)(1 sin x) (1 cosx)(sin x cosx)
cosx tgx x 2k x k
4
(19)84 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2003 khối B
2
cotgx tgx 4sin 2x (*)
sin 2x
Điều kiện : sin 2x 0 x k2
cosx sin x 2 cos2x
(*) 4sin2x 4sin 2x
sin x cosx sin2x sin2x sin 2x
2 2
2cos2x 4sin 2x cos2x 2(1 cos 2x) cos 2x cos2x
cos2x (loại) sin 2x sin2x
x k
cos2x 1/
84 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2004 khối B
2
5sin x 3(1 sin x)tg x (*)
Điều kiện : cosx 0 x2 k
2
2
sin x sin x
(*) 5sin x 3(1 sin x) 5sin x 3(1 sin x)
cos x sin x
2
2
3sin x
5sin x (5sin x 2)(1 sin x) 3sin x 2sin x 3sin x sin x
1
sin x (loại) sinx x 2k x 2k (thỏa mãn đk)
2 6
85 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2004 khối D
(2cosx 1)(2sin x cosx) sin2x sin x (2 cosx 1)(2sin x cosx) 2sin x cosx sin x
2cosx cosx 1/ (2 cosx 1)(2sin x cosx) sin x(2cosx 1)
sin x cosx tgx
x 2k x k
3
86 Đại Học Dân Lập Văn Lang năm 1997 khối B & D
3cosx cos2x cos3x 2sin xsin 2x
2
3t 2t 4t 3t 4(4 t )t (t cosx)
2 t cosx
2t 2t x k x 2k
t cosx
87 Đại Học Thủy Sản năm 1997 khối A
4 x x
cos sin sin 2x
2 2
2 x x
cos sin sin2x cosx 2sin x cosx
2
cosx x k x 2k x 2k
sinx 1/ 2 6
(20)2
(2sin x 1)(2sin 2x 1) cos x
2sin xsin2x 2sin x 2sin 2x 4(1 sin x)
2
8sin x cosx 2sin x 4sin x cosx 4sin x sin x 4sin x cosx cosx 2sin x
x k sin x
5
4sin x cosx 2(sin x cosx) x 2k x 2k x 2k x 2k
6
5
x k x 2k x 2k x 2k x 2k
6
89 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối A
Cho phương trình :4cos xsin x sin x cosx sin 4x m (*)5 Biết x nghiệm (*) Hãy giải phương trình (*) trường hợp
Giải
4 2
4sin x cosx(cos x sin x) sin 4x m 2sin2x cos2x sin 4x m sin 4x sin 4x m (1)
Vì x nghiệm phương trình (*) nên x nghiệm phương trình (1) Nghĩa :sin 4x sin 4 0 từ (1) m 0
Vậy phương trình trở thành : sin 4x sin 4x 02 sin 4x 1sin 4x 0 xk4 x 8 k4
90 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối D Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm
Cho phương trình :4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m4 Giaûi
4 6 2 2
4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m sin 2x sin 2x sin 2x m
2
2
4t 3t m (t sin 2x t 1)
Ñaët :
2 / /
f(t) 4t 3t f (t) 8t 3;f (t) 0 t 3/ 8 f(3/ 8)9/16
Lập bảng xét dấu đạo hàm đoạn 0;1 ta có : f(0) ; f(1) 1
Vậy phương trình có nghieäm : m 16
91 Đại Học Luật TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối A Cho phương trình :cos4x cos 3x asin x2
a) Giaûi phương trình a 1
b) Xác định tham số a để phương trình cho có nghiệm x khoảng 0;12
Giaûi
a) cos4x cos 3x asin x 2cos 2x 12 1 cos6x 2 a1 cos2x 2
2
4 cos 2x cos 2x 3cos2x a(1 cos2x)
3 2
a(t 1) 4t 4t 3t (t cos2x) a(t 1) (t 1)(4t 3)
(21)Khi a 1 phương trình trở thành :
2 k
(t 1) (t 1)(4t 3) t cos2x 2x k x
b) cos4x cos 3x asin x2 a(t 1) (t 1)(4t2 3) (*) (t cos 2x)
3
x 0; x 2x cos2x t
12 12 2
2 / 3
(*) a 4t f(t) f (t) 8t với t ;1 f ; f 1
2
Lập bảng xét dấu đạo hàm khoảng 23 ;1
ta thấy phương trình có nghiệm
0 a 1
92 Đại Học Ngoại Thương năm 1997 khối D
2
2tgx cot gx 3
sin 2x
2sin x cosx 3 (1) cosx sin x sin x cosx
Điều kiện : sin x cosx 0 sin x 0cosx 0
2 2
2sin x cos x sin x cosx 1 sin x sin x cosx sin x sin x cosx
sin x (loại)
tgx x k
3 sin x cosx
93 Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1994
2
4sin 2x 6sin x 3cos2x (*) cosx
Điều kiện : cosx 0
2
(*) 4(1 cos 2x) 3(1 cos2x) 3cos2x 0 cos 2x 3cos2x 0
2
cos2x 1 cos2x 2cos x cosx (loại) x k
cos2x 1/ cos2x 1/ cos2x 1/ cos2x 1/
94 Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1996
Tìm nghiệm phương trình :sin x cos x cos2x (1)4
thoûa mãn bất phương trình : 2
1 log (2 x x ) (2)
Giaûi
sin x cos x cos2x4 1sin 2x cos2x2 cos 2x 2cos2x 02
cos2x x k
(22)
2
2
2
1 2
1
2
1 x
2 x x 2 x x 0 1 x 2
1 log (2 x x ) log (2 x x ) 1 x
1 x
x x x 0
Nghiệm (1) thoûa (2) 1 k 1 k 20 k 0
Vaäy x
95 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh năm 1994
cos3x 1 3 sin3x
2 2
1 sin3x sin3x /
cos 3x sin3x 3sin 3x 4sin 3x sin3x
k
sin3x 3x k x
3
96 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh năm 1995
3 1
sin x cosx cos xsin x 4
2 1 1
sin x cosx(sin x cos x) sin 2x cos2x sin 4x
4 4
k
sin 4x 4x 2k x
2
97 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh năm 1998
4 2
3cos x cos xsin x sin x 0
4 2
tg x 4tg x tg x tg x
tgx tgx x k x k
4
98 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh năm 1998
3
sin x 2 sin x 4
3
3
1 (sinx cosx) sin x (sin x cosx) 4sin x
3
3 3
3
sin x cosx 4sin x (tgx 1) 4tgx(1 tg x) tg x 3tg x 3tgx 4tgx 4tg x
cosx cos x
3 3
3tg x 3tg x tgx tg x 3tg x 3tgx 4tgx 4tg x
tgx tgx x k x k
4
99 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh năm 1998
2
1tg x 2 5 0
(23)2
1 1 0 4 0
2 cos x cosx cos x cosx
2
1 2 0 cosx x 2k
cosx
100 Đại Học Y Dược Hà Nội năm 1996
0,25
x x
log sin sin x log sin cos2x 0
2 2
4
x x
log sin sin x log sin cos2x
2
2
cos2x sin x 2sin x sin x sin x sin x 1/ sin x 1(loại) sin x 1/
x x x x
sin sin x sin sin x sin sin x sin sin x
2 2
1
sinx x 2k x 2k
2 6
101 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1995
2
tg2x cot gx 8cos x
sin 2x cosx 8cos x (*) cos2x sin x
Điều kiện : cos2x
sin x
2 cosx
sin2xsin x cos2x cosx
(*) 8cos x cosx 8cos x cos2xsin x
8cosx cos2xsin x cos2xsin x
cosx cosx cosx
(thỏa mãn điều kiện ) 4cos2xsin 2x 2sin 4x sin 4x 1/
k k
x k x x
2 24 24
102 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996
2
(sin 2x cos2x) cos 2x
2
1
4( sin2x cos2x) cos 2x
2 2
Điều kiện
2
4cos 2x cos 2x cos 2x 5/ (loại) cos 2x
2 2
7
2x 2k x k
6 12
103 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996 a)3(cot gx cosx) 2(tgx sin x) 5
(24)Điều kiệnsin x 0cosx 0
cosx sin x
(*) 3(cot gx cosx 1) 5(tgx sin x 1) cosx sin x
sin x cosx
cosx sin x cosx sin x sin x sin x cosx cosx
3
sin x sin x
cosx sin x cosx sin x (1)
3
(cosx sin x cosx sin x) 3 5
sin x cosx (2)
sin x cosx
2 t
(1) t 2t (t sin x cosx sin x t 2)
4 t (loại)
1
sin x sin x 2k x 2k
4 4
3
(2) tgx tg x k
sin x cosx
104 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1998
tgx cot gx 2(sin 2x cos2x)
Điều kiện :cosx 0sin x 0 sin2x 0
sin x cosx
tgx cot gx 2(sin2x cos2x) 2(sin2x cos2x) 2(sin2x cos2x)
cosx sin x sin x cosx
2
2 2(sin2x cos2x) 1 sin2x(sin 2x cos2x) 1 sin 2x sin 2x cos2x sin 2x
2 cos2x k k
cos 2x sin2x cos2x (thoûa mãn điều kiện) x x
tg2x
105 Học Viện Quan Hệ Quốc Tế năm 1995 khối D
2
sin x sin x sin x cos x (*)
Điều kiện :sin x 0
2
(*) sin x sin x cos x cosx sin x sin x cos x cosx
4
2 sin x cosx sin x cosx
1 2
sin x cosx
1
2 sin x cosx cosx sin x 1
2
(25)2
2
cosx cosx 0
cosx cosx
sin x sin x 1 5
sin x cos x sin x sin x sin x (vìsin x 0)
sin x
cosx sin x cosx sin x cosx 1 x 2k
x 2k x 2k
106 Đại Học Kiến Trúc Hà Nội năm 1995 khối A
1 1 1
cosx sin 2x sin 4x
Điều kiện :sin 4x 0
1 1 1
cosx sin2x sin 4x cosx 2sin x cosx 2sin x cosx cos2x
2
2sin x cos2x cos2x 2sin x cos2x cos2x 2sin x cos2x 2sin x
sin x (loại)
2k
x x 2k
cos2x sin x cos x
2
107 Đại Học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998 khối A
1 cosx cos2x cos4x cos8x
16 (*) Xét sinx = phương trình không thỏa
Vậy (*) sin x cosx cos2x cos4x cos8x sin x
16
2k 2k
sin16x sin x x x
15 17 17
108 Đại Học Kinh Tế năm 1994 Cho phương trình :
6
2
cos x sin x 2mtg2x cos x sin x
a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Giải phương trình m 18
Giaûi
6 6
2
cos x sin x 2mtg2x cos x sin x 2msin2x (*)
cos2x cos2x
cos x sin x
Điều kiện :cos2x 0
6 2
cos x sin x 2msin2x sin 2x 2msin2x sin 2x 8msin2x (1)
Đặt
2
2 /
2
3t 3t
t sin 2x ( t 1) (1) 3t 8mt 8m f(t) f (t)
t t
(26)Vậy phương trình có nghiệm : 8m8m 1 1 mm 1/ 8 1/
b) Vậy m18 phương trình vơ nghiệm 108 Đại Học Kinh Tế năm 1995
2
cosx(2sin x 2) cos x 1 (*) sin 2x
Điều kiện :sin 2x
1 x k
4
2
(*) sin 2x cosx 2cos x 1 sin 2x 2cos x cosx 0
cosx (loại)
x k x 2k (loại) x k
4 4
cosx /
109 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1995
4sin 2x 3cos2x 3(4sin x 1)
2
8sin x cosx 3(1 2sin x) 12sin x
2 2
sin x sin x(4cosx 3sin x 6)
4cosx 3sin x (vô ngghiệm a b 25 c 36)
x k
110 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1996
2
tg x tgx.tg3x 2
Điều kiện :cosx 0cos3x 0
2
2 sin xsin 2x 2sin x cosx
tg x tgx.tg3x tgx(tgx tg3x) 2
cosx cosx cos3x cosx cosx cos3x
2 4
sin x cosx cos3x cos x 4cos x 3cos x 4cos x 4cos x
2 k
(2cos x 1) cos2x 2x k x (thoûa mãn điều kiện)
2
111 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1996
3
tgx cot gx cot g 2x
Điều kiện :cosx sin x 0sin2x 0 sin 2x 0 xk2
3 sin x cosx cos2x 3
tgx cot gx 2cot g 2x 2cot g 2x cot g 2x cot g2x cot g 2x
cosx sin x sin 2x
2 k
cot g2x cot g 2x (loại) 2x k x (thỏa mãn điều kiện)
2
112 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997
Tìm m để phương trình sau có nghiệm:4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m4
Giải
Ta có : sin x cos x4 1(3 cos4x) ; sin x cos x6 1(5 3cos4x)
4
(27)Khi phương trình có dạng :
2
1
3 cos4x (5 3cos4x) sin 4x m 2cos 4x cos4x 2m Đặt : t cos4x t
Phương trình có daïng : f(t) 2t2 t 2m f (t) 4t 0/ t
4
Lập bảng xét dấu đạo hàm đoạn t 1 ta có : f( 1) ; f(1) ; f
4
Dựa vào ta suy phương trình có nghiệm 98 2m 2 169 2m 1 113 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1997
1
2 sin x (*)
4 sin x cosx
Điều kiện :cosx 0sin x 0 sin2x 0 xk2
sin x cosx tgx sin x cosx
(*) 2(sin x cosx)
sin 2x sin 2x sin x cosx
n
x k 2x 2m x k x m x
4 4
114 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1998
1 2tgx cot g2x 2sin2x
sin2x
Điều kiện :cosx 0sin2x 0 sin2x 0
2
sin x cos2x sin xsin 2x
2 2sin2x cos2x 2sin 2x
cosx sin2x sin2x cosx
2 2
4sin x cos2x 2(1 cos 2x) 2(1 cos2x) cos2x cos 2x
2 cos2x (loại) (vìsin2x 0)
2cos 2x cos2x cos2x
cos2x 1/ 2
2
2x 2k x k
3
115 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1998
cos4x 6sin x cosx 1
2 sin2x
1 2sin 2x 3sin2x sin2x x k
sin2x 3/ (loại)
116 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1998
2 2
sin x cos 2x cos 3x
1 cos2x cos4x cos6x cos2x cos4x cos6x 0
2 2
2
2cos3x cosx 2cos 3x 2cos3x(cosx cos3x) 4cos3x cos2x cosx
(28)x k x k x k
6 2
117 Đại Học Luật Hà Nội năm 1995
4
cos x sin x 1
4
2 cos 2x
1 cos2x 1
2
2
(1 cos2x) (1 sin 2x) cos2x sin 2x cos 2x
2
1
cos 2x x k x k
2 2
118 Đại Học Mỏ Địa Chất năm 1995
3
3sin3x 3 cos9x 4sin 3x
3
3sin3x 4sin 3x cos9x sin 9x cos9x
1sin 9x 3cos9x sin 9x x k2 x k2
2 2 18 54
119 Đại Học Mỏ Địa Chất năm 1995: sin 5x 1
5sin x
sin 5x 5sin x (sinx 0) sin 5x 5sin x
sin5x sin x 4sin x 2cos3xsin2x 4sin x 4cos3xsin x cosx 4sin x cos3x cosx
2
cos4x cos2x 2 cos 2x cos2x cosx 3/ (loại) cos2x
2
1 cos2x 2sin x sin x (loại)
Vậy phương trình cho vơ nghiệm
120 Đại Học Ngoại Thương Hà Nội năm 1995
4cosx 2cos2x cos4x 1
2
4 cosx cos2x cos4x cosx cos2x cos 2x
2 cosx
4cosx cos2x(1 cos2x) 4cosx 4cos2x cos x
cos2x cosx
cosx x k
2
2
cosx cosx
cos2x 2cos x 1
cos2x cosx cosx x 2k
cosx cosx
(vo ânghieäm)
cos2x cos2x
(29)8 17
sin x cos x cos 2x 16
4 4 17
(sin x cos x) 2sin x cos x cos 2x 16
2
2 2
1 17
1 sin 2x sin 2x cos 2x (*) Đặt : t sin 2x t
2 16 16
2
2 t (loại)
t 17
(*) t (1 t) 2t t sin 2x
t 1/
2 16 16
2
1 2sin 2x cos4x 4x k x k
2
122 Đại Học Ngoại Thương Hà Nội năm 1995
3
2 cos x cos2x sin x 0
3 2
2cos x 2cos x sin x 2cos x(1 cosx) (1 sin x)
(1 sin x)(cosx sin x)(cosx sin x 2) (1 sin x)(cos x sin x)
sin x
x k2 x k
tgx
123 Đại Học Ngoại Thương TP Hồ Chí Minh năm 1997
9sin x 6cosx 3sin2x cos2x 8
9sin x cosx 6sin x cosx 2sin x
2
2sin x 9sin x 6cosx(sin x 1) (sin x 1)(2sin x 7) cosx(sin x 1)
sin x
(sin x 1)(2sin x 6cosx 7) x 2k
2sin x 6cosx (voâ nghieäm)
124 Đại Học Sư Phạm Hà Nội năm 1997
5cosx cos2x 2sin x 0
2
sin x 5cosx cos2x 2sin x
5cosx (2 cos 1) 4sin x
2 2
sin x sin x sin x
cosx (loại) cosx 1/ 5cosx (2cos 1) 4(1 cos x) 2cos x 5cosx
sin x sin x / tgx 3 x k
cosx 1/ cosx 1/
125 Đại Học Tổng Hợp TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối D
2
(3 2sin x)cosx (1 cos x) 1 sin2x
(*)
Điều kiện :sin 2x1
2
(*) 3cosx sin2x cos x sin2x cos x 3cosx 0 cosx cosx (loại) cosx (thỏa đk) x 2k
126 Đại Học Tổng Hợp TP Hồ Chí Minh năm 1994
6
16(sin x cos x 1) 3sin6x
(30)2
3
16 sin 2x 3(3sin2x 4sin 2x)
3 2
4sin 2x 4sin 2x 3sin 2x sin 2x(4sin 2x 4sin 2x 3)
2
sin2x(4sin 2x 4sin 2x 3) sin 2x sin2x 1/ sin2x 3/ (loại)
k
x x k x k
2 12 12
127 Đại Học Tài Chính – Kế tốn năm 1997
(1 tgx)(1 sin 2x) tgx (*) Điều kiện :cosx
2
2
(cosx sin x)(cosx sin x) cosx sin x
(*) (cosx sin x)(cosx sin x) cosx sin x
cosx cosx
2
cosx sin x tgx
x k x k
cos2x
cos x sin x
128 Đại Học Xây Dựng Hà Nội năm 1994
6
sin x cos x sin 2x
2
3
1 sin 2x sin2x 3sin 2x 4sin 2x 4
sin 2x (loại)
x 2k x 2k
sin 2x 2/ sin
129 Trung Học Kinh Tế năm 2002
cos4x sin x sin 7x cos2x
cos4x cos2x sin 7x sin x 2cos3x cosx 2sin 4x cos3x
cos3x sin 4x cosx sin x
130.2 2(sin x cosx)cosx cos2x
2
2 sin 2x 2cos x cos2x
2 2
2 sin 2x ( 1)cos2x phương trình vô nhgiệm a b c