Mot so bai tap ve BDT on thi DH co loi giai

BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC MỘT SỐ BĐT ĐƠN GIẢN HAY DÙNG 2 Với a, b, c tùy ý ta ln có a  b  c ab  bc  ca Đẳng thức xảy kvck a = b = c CM Ta có (ab)2 + (bc)2 + (ca)2  Khai triển, chuyển vế ta BĐT 2 Với a, b, c tùy ý ta ln có (a  b  c) 3( ab  bc  ca) Đẳng thức xảy kvck a = b = c 2 2 CM Ta có (a  b  c ) a  b  c  2ab  2bc  2ca (ab  bc  ca )  2ab  2bc  2ca 3(ab  bc  ca ) Với a, b, c, d, e, f tùy ý ta ln có |a.d + b.e + c.f|  kvck a : b : c = d : e : f   (a  b  c )( d  e  f ) Đẳng thức xảy    | u | a  b  c ,| v | d  e  f CM Xét u (a; b; c ) , v ( d ; e; f ) ta có u v a.d  b.e  c f           Mặt khác, | u.v || u | | v | | cos(u , v ) || u | | v |  | u.v || u | | v | Đẳng thức xảy kvck u , v phương Do đó, |a.d + b.e + c.f|  (a  b  c )(d  e2  f ) Đẳng thức xảy kvck a : b : c = d : e : f 1 1 (a  b)(  ) 4    a b a b a  b Đẳng thức xảy kvck a = b Với a , b dương ta ln có 1 1   (a  b)(  ) 4 a b a  b  ab ab nên a b CM Ta có 1 1 1 (a  b  c)(   ) 9     a b c a b c a  b  c Đẳng thức xảy kvck a = b Với a , b, c dương ta ln có = c 1 1 1 1   3 (a  b  c)(   ) 9     abc nên a b c a b c a b c CM Ta có a  b  c 3 abc a b c Với x, y, khơng âm ta ln có (1  x )(1  y ) (1  xy ) (1  x)(1  y ) 1  xy  ( xy ) (1  xy ) CM Ta có (1+x)(1+y) = + (x + y) + xy Áp dụng BĐT Cô-si ta Đẳng thức xảy kvck x = y Tổng qt, với a, b, c khơng âm ta có (a  b)(a  c) (a  bc ) Từ suy a  b  a  c 2 a  bc (1  x)(1  y)(1  z ) (1  x y.z )3 Với x, y, z không âm ta có CM Ta có (1+x)(1+y)(1+z) = + (x + y + z) + (xy + yz + zx) + xyz Áp dụng BĐT Cô-si ta (1  x)(1  y )(1  z ) 1  3 x y.z  3 ( x y.z )  ( x y.z ) (1  x y.z ) Đẳng thức xảy kvck x = y = z Tổng quát, với a, b, c, d khơng âm ta có ( a  b)( a  c)( a  d ) ( a  bcd ) Từ suy a  b  a  c  a  d 3 a  bcd 3 3 Với x, y, z không âm ta ln có ( x  y  z ) 9( x  y  z ) 3 3 2 2 2 CM Ta có ( x  y  z ) x  y  z  3x y  3x z  3xy  3xz  y z  yz  xyz 3x y 3x.x y x  x3  y  3 3x z 3x.x.z  x  x  z 3xy 3 x y y  x  y  y  3 3xz 3x.z.z  x  z  z 3 y z 3 y y.z  y  y  z  3 yz 3 y.z.z  y  z  z  3 3 3 6 xyz 2( x  y  z ) Mà nên ( x  y  z ) 9( x  y  z ) Đẳng thức xảy kvck x = y = z 3 Với x, y mà (x + y)  ta ln có ( x  y ) 4( x  y ) Đẳng thức xảy kvck x = y ( x  y)2 ( x  y )3 xy ( x  y )  4 CM Với số x, y ta có Đẳng thức xảy kvck x = y Do (x + y)  nên Do ( x  y) ( x  y) x3  y ( x  y )3  3xy ( x  y ) ( x  y )3  ( x  y)  4 đó, xy  10 Cho a, b, c không âm, f(x) xác định [0 ; + ∞) CMR f (a )  f (b) 2 f ( ab ) f (a)  f (b)  f (c) 3 f ( abc ) M BT 1) Cho số thực dương x, y, z thỏa xyz = Tìm GTNN biểu thức: x2 y2 z2   yz zx x y x2 yz z2 x y x yz  x y  z  x  y  z M x  y  z 4 Giải Ta có y  z , zx x  y nên x  y  z 3 xyz M   2 Đẳng thức xảy kvck x = y = z = Do đó, (1  x)2  (1  x) 2 2 f / ( x)   2 / 3 f ( x)  (1  x)  (1  x) ta có  x  x f ( x) 0  x 0 Giải Xét max f ( x)  f (0) 2 Vì f(1) = f(1) = , f(0) = nên [  1;1] Vậy, f(x)  2, x  [1 ; 1] BT 2) Chứng minh với x  [1 ; 1] y    (1  x )       256 x   y   BT 3) Cho số thực dương x, y Chứng minh Giải Áp dụng BĐT (1  a )(1  b) (1  ab ) , đẳng thức xảy kvck a = b 2  y   y     (1  x)      (1  x )   (1  y )      (1  3) 256      x  x  y y y   x yz  3 Chứng minh rằng: x  y  y  3z  z  3x 3 BT 4) Cho số thực dương x, y, z thỏa ( x  y) 1 1 ( y  3z ) 1 1 ( z  x)   ( x  y )1.1  ( z  x )1.1  ( y  3z )1.1  3 Giải Ta có , Cộng BĐT ta ĐPCM P BT 5) Cho x, y, z dương x + 2y + 4z = 12 Tìm GTLN biểu thức: xy yz zx   x  y y  4z 4z  x Đặt a = x, b = 2y, c = 4z ta a + b + c = 12 kvck a = b = c = P ab bc ca a b b c c a      6 a b b c c a 4 Đẳng thức xảy 3 BT 6) Cho số thực x, y, z không âm thỏa x  y  z 3 Tìm GTLN tổng S = x + y + z Giải Theo BĐT Cơsi ta có 3x x    3 y  y   3z  z    3 nên x + y + z  Đẳng thức xảy kvck x = y = z =1 2 2 2 Cách : Ta có ( x  y  z )  x  y  z  3x y  3x z  3xy  3xz  y z  yz  xyz 3x y 3x.x y x  x3  y  3 3x z 3x.x.z  x  x  z 3xy 3 x y y  x  y  y  3 3xz 3x.z.z  x  z  z 3 y z 3 y y.z  y  y  z  3 yz 3 y.z.z  y  z  z  3 3 3 6 xyz 2( x  y  z ) Mà nên S 9( x  y  z ) 27 Đẳng thức xảy kvck x = y = z = A  sin A sin A 2sin B sin C tan M Tính GTNN sin B BT 7) Cho ABC có A 90 A sin A A 2sin cos 2sin B sin C A A A 2 sin A 2sin B sin C tan cos 2sin B sin C cos     cos A cos( B  C )  cos( B  C )  cos(B  C) =1  B = C Mặt khác, A 900 nên 450  B = C < 900 B C  cos 1  cos B tan B tan 45   M sin B sin B 2 Đẳng thức xảy kvck A = 2B = 2C = 900 1    BT 8) Cho số thực không âm x, y, z thỏa x  y  z 3 Chứng minh :  x  y  z 1 y 1 x  ( x  y  z)  1   z 1  1 VT  3 4 4 Cách 1: Ta có  x , 1 y , 1 z nên 33  ( x  y  z) VT  VT  3 4 Vì x + y + z  nên  ĐPCM 9 1 VT        ( x  y  z)  Cách : Với số dương a, b, c, ta có a b c a  b  c nên 2 BT 9) Cho ABC có góc nhọn Chứng minh tan A cot B  tan B cot C  tan C cot A tan A  tan B  tan C x2 x2  y 2 x 2 x  y Với x, y dương, theo BĐT Cơ si ta có y Do ta y Vì A, B, C nhọn nên tgA, tgB, tgC, cotgA, cotgB, cotgC số dương Áp dụng BĐT vừa nêu ta tan A tan B tan C   tan B tan C tan A 2(tan A  tan B  tan C )  (tan B  tan C  tan A) tan A cot B  tan B cot C  tan C cot A  BT 10) Cho x, y, z không âm x  y  z 3 Tìm GTLN biểu thức: P  xy  yz  zx  xy  yz  zx  xy  yz  zx Giải Cách : Ta có  P  (1   1)[(2 xy  yz  zx)  ( xy  yz  zx)  ( xy  yz  zx)] 2 xy  yz  zx ( x  y  z ) 2( x  y  z ) 6 Đẳng thức xảy kvck x = y = z =  (2 xy  yz  zx)   4.(2 xy  yz  zx )    ( xy  yz  zx)   4.( xy  yz  zx )    ( xy  yz  zx)   4.( xy  yz  zx )  Cách : Ta có  nên 2.P  + 2(xy + yz + zx)  12  P  2 2 Cách : Áp dụng BĐT (a  b  c) 3(a  b  c ) ta P2  3.4(xy + yz + zx)  36 1 1 1      cos A cos B cos C sin A sin B sin C 2 CMR ABC BT 11) Cho ABC có góc nhọn thỏa 1 ( a  b)(  ) 4, a b CM A, B, C nhọn nên cos A, cos B,cos C  Áp dụng BĐT với a , b > Ta 1 2     cos A cos B cos A  cos B sin C cos A  B sin C 2 Tương tự cho cặp lại, ta VT  VP Dấu “” xảy cos A cos B cos C   A B C  A B B C C A cos  cos  cos   2 Vậy ABC 1   1 BT 12) Cho a, b, c >0 a + b + c = Chứng minh : a  2bc b  2ac c  2ab 1 1 1 ( x  y  z )(   ) 9     x y z x y z x  y  z với x , y, z > Ta CM Áp dụng BĐT 1 9     1 2 a  2bc b  2ac c  2ab a  2bc  b  2ac  c  2ab (a  b  c) P  2x  y  y  z  2z  x BT 13) Cho x, y, z không âm, thỏa x + y + z = Tìm GTLN 2 Giải Áp dụng BĐT (a  b  c) 3(a  b  c ) ta P2  3.(2x + y + 2y + z + 2z + x) = 36 Đẳng thức xảy kcvk x = y = z = 4/3 4 BT 14) Cho số thực x, y thỏa x2 + y2 + xy = Tìm GTLN NN biểu thức : M x  y  xy ( x  y ) Giải Đặt S = x + y, P = xy, ĐK : S 4 P 2 x2 + y2 + xy =  S  P 3  S P  0  P  Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn x =  y = ĐK : S 4 P  P +  4P  P  Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn x = y = Tóm lại, tập giá trị P [3 ; 1] Ta có, M ( x  y )2  x y  xy ( x  y )2 ( S  P )2  P  P.S ( P   P )  P  P.( P  3) 9  3P Vì P  [3 ; 1] nên M  [6 ; 18] Min M = 6, đạt x = y = Max M = 18, đạt x =  y = 4 4 4 4 BT 15) Cho x, y, z dương thỏa mãn x y  y z  z x 3 x y z Tìm GTLN x y z x2  y  z P    x  y4 y6  z z  x4 x2 y z x4 y4  y z  z x4 1 3    3 (1) 4 x y z x y z Giải Từ giả thiết ta suy x y z  2  2  2 6 6 x y Tương tự ta y  z y z z  x 2z x Ta có x  y 2 x y  nên x  y 2 x y z 1 x y z    2 2 2  4 y z z x 2x y 2y z 2z x 2x y z Từ suy x  y x y z x2  y2  z x2  y  z  P     x  y y6  z z  x4 x2 y z 2 x2 y2 z (2) 1 1 1  2  2    3 (3) y z z x x y z Mặt khác, theo (1) BĐT ab  bc  ca a  b  c ta x y Từ (2) (3) ta P  Đẳng thức xảy kvck x = y = z = Vậy max P = 9/2 BT 16) Cho Giải x  y  3( x   y   1) 0 2 Tìm GTLN GTNN A  ( x  2)( y  1) x2 y2 z2 x yz 1   1    BT 17) Cho x, y, z dương, thỏa đẳng thức x y z Chứng minh: x  yz y  zx z  xy 3 x x x x 1   1    CM Ta có x y z  xy + yz + zx = xyz Do đó, x  yz x  xyz x  xy  yz  zx ( x  y )( x  z ) x2 x y xz x3 x y xz        x x  yz 8 ( x  y )( x  z ) 8 y2 yz yx    y y  zx 8 Tương tự: (2) (1) z2 zx zy    z z  xy 8 (3) Cộng (1), (2) (3) ta đpcm q p  ,q  BT 18) Cho Xác định tam giác ABC cho biểu thức W = p.cosA + q(cosB + cosC) lớn A B C B C A B C A p(1  2sin )  2q(cos cos )  p sin  2q cos sin  p 2 2 2 Giải W = 2 A q B C A q B C q B C  p (sin  cos sin  cos ) cos p p 2 4p 2p =  A q B C  q2 q2 B C  p  sin  cos  cos  p  p  2 p 2 p 2 p   = B C  A q  A q sin  p cos sin   (0;1)   2p  cos B  C 1   B C  Đẳng thức xảy kvck 2q A q p sin  2p Vậy max W = p ABC cân đỉnh A có góc A thỏa BT 19) Cho số thực không âm x, y, z thỏa x  y  z 1 Tìm GTLN Giải Ta có A  xy  yz  zx  xyz ( y  z) (1  x) x)  x( y  z )  (1  x)  x(1  x)  (1  x)  (  x  x  x  4) 4 4 16 1 x 3 Do đó, GTLN A , đạt GTLN f ( x)  x  x  x  [0 ; 1] 4, đạt x = 1 x  y z  y z  x = 0, (và hoán vị) xy yz zx P   1 z 1 x 1 y BT 20) Cho số thực không âm x, y, z thỏa x  y  z 1 Tìm GTLN A x( y  z )  yz (1  P xy (1  Giải Ta có z x y 1 )  yz (1  )  zx (1  )  xy  yz  zx  xyz (   ) 1 z 1 x 1 y 1 x 1 y 1 z 1 9 1        , a, b, c  Mặt khác, theo BĐT a b c a  b  c , ta  x  y  z  x  y  z Đẳng thức 1 xyz (   )  xyz 1 x 1 y 1 z xảy kvck x = y = z Do đó, Đẳng thức xảy kvck x=y=z x.y.z=0 Vì P xy  yz  zx  xyz 1 x  y z  y z  x = 0, (và hoán vị) Theo toán trên, GTLN P , đạt BT 21) Cho số thực dương x, y, z, t thỏa x  y  z  t 2 Tìm GTNN   1 1   P  x    y    z    t   y  z  t  x  Giải Với a, b, c, d không âm ta có (a  b)(c  d ) ac  ad  bc  bd ac  ad bc  bd ( ac  bd ) (đây BĐT Bunhiacốpxki) Đẳng thức xảy kvck ad = bc Do đó,   1 1   2 P  x    y    z    t   ( xy  ) ( zt  ) ( xy.zt  y  z  t  x  yz tx   1  x z  y y   1  z  t  x t 1    xy tx yz   x z   y t zt )4 yz.tx Đẳng thức xảy kvck x  y  z t 1  u  xyzt  [0; ] (đẳng thức xảy kvck x=y=z=t) nên Mặt khác, u2  1 f (u ) u  f / (u )   0, u  [0; ] [0; ] u có u nên f(u) giảm Hàm số 625 P [ f ( )]4  x  y  z t  16 Đẳng thức xảy kvck Vì xyzt  BT 22) Cho x, y không âm thỏa x + y = Tìm max, Giải P   x 2008   (1  x)2008 , x  [0;1] P   x 2008   y 2008 1004.x 2007 1004.(1  x )2007 1004( x 2007  y 2008  y 2007  x 2008 ) P/     x 2008  (1  x ) 2008  x 2008  y 2008 P / 0  x 2007  y 2008  y 2007  x 2008  ( x 4014  y 4014 )  x 2008 y 2008 ( x 2006  y 2006 ) 0 (*) Ta có x > y x < y khơng thỏa (*) x = y = 1 1 P ( ) 2  2008     P(0) P (1)  P 2  2008 , max P 1  2 64 BT 23) Cho số thực dương x, y, z, t thỏa xyzt = Tìm GTLN biểu thức P 1 1   4  4 4 4 x  y  z 1 y  z  t 1 z  t  x 1 t  x  y 1 4 Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương, ta được: x4  y y  z z  x4   x y  y z  z x 2 2 2 2 2 x y y z y z  z x2 z x2  x2 y     xy z  xyz  x yz 2 4 4 4  x  y  z   x  y  z  xyzt xyz ( x  y  z  t )  1   4 x  y  z  xyz ( x  y  z  t ) (1) x4  y  z  Tương tự: 1  y  z  t  yzt ( x  y  z  t ) (2) 1  4 z  t  x  ztx( x  y  z  t ) (3) 4 1  t  x  y  txy ( x  y  z  t ) (4)  t x y z  P      1 ( x  y  z  t ) xyzt xyzt yztx txyz   Cộng (1), (2), (3), (4) ta 4 Vậy max P 1 x  y  z t 1 (a 2b  1)(b2 1) 2 ( a  a  1)( b  1) BT 24) Cho a , b không âm CMR CM Ta dùng BĐT (1  x)(1  y)(1  z ) (1  x y.z )3 , với x, y, z không âm Áp dụng BĐT ta : (1  a )(1  1)(1  1) (1  a )   3 (1  b )(1  b )(1  1) (1  b )  (1  a )(1  a )(1  b3 ) (1  a 2b)3   3 2 Nhân theo vế ta : [2(1  a )(1  b )] [(1  a )(1  b )(1  a b)] Khai bậc chia hai vế cho (1 + a) ta BĐT cần chứng minh BT 25) Cho x, y, z số không âm x + y + z = Tìm GTLN biểu thức: S = x 2y + y2x + z2x Giải Giả sử x số lớn ba số x, y , z Ta có: z2 x z2 x z x x2 z   x y  xyz   2 2 zx z x  x z  z  x yz xy ( x  z )  ( x  z ) x( x  z )( y  ) 4     y   4    2  2  2 27   x x z z S      y   z 0, x 2 y  x  , y  , z 0 MaxS  27 2 2 3 27 Vậy: a+b+ c a+b+c a+ b+c + + ≥ BT 26) Cho a, b, c dương a + b + c = CMR a2 + √3 abc b 2+ √3 abc c2 + √3 abc 3 CM Ta có = a + b + c  abc nên abc  Đẳng thức xảy kvck a = b = c = 1 1 1      2 2 2 3 Do đó, a  abc b  abc c  abc a  b  c  S  x y  y z  z x x y  y z  a2 a2 a 1  1  1  2 a 1 2a (1) Vì a  2a , nên a  1 b c 1  1  2 (2) c  (3) Cộng (1), (2), (3) ta Tương tự, b  1 1 1 a bc         2 a 1 b2 1 c2 1 2 Do đó, a  abc b  abc c  abc Đẳng thức xảy kvck a = b = c = Từ suy BĐT cần CM 1 x yz    x  y y  2z z  2x CMR BT 27) Cho x, y z số dương 4( x  y ) 4( y  z ) 4( z  x)       , y  2z z  x CM Cách : Theo BĐT Côsi ta có x  y x yz  1 4( x  y  z )    4 Cộng BĐT ta x  y y  z z  x x yz  Vì 1 ( x  y  z)    4 x  y y  2z z  2x (1) x yz  x yz x yz  nên Do đó, 1 1 1 ( x  y  z)    x  y  z     x  y y  2z z  2x x  y y  2z z  2x (2) x yz Từ (1) (2) ta 1 1    4 x  y y  2z z  2x Suy BĐT cần CM Cách : Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương, dễ dàng chứng minh được: 1   ) 9 x  y y  2z z  2x nên 1     x  y y  z z  x ( x  y )  ( y  z )  ( z  x) x  y  z 3 VT  x  y  z  f (t ) t  t  (0; ] x  y  z Đặt t = x + y + z, xét hàm số: t với Do đó, t 3 3 f / (t ) 1    0, t  (0; ] (0; ] f (t )  f ( )  , t  (0; ] t t nên f(t) giảm Vì vậy, 2 Ta có [( x  y )  ( y  z )  ( z  x)](  x  y  y  z z  x   x  y z    x  y  z  Do đó, VT  f(t)  7/2 Đẳng thức xảy kvck BT 28) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Tìm GTNN ( a  b  c ) ( a  c  b ) (c  b  a )   2c 2b 2a T= Giải a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên a, b, c (a + b  c), (b + c  a), (c + a  b) dương Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta  ( a  b  c )3 c    (a  b  c)  2c 2   ( a  c  b) b    ( a  c  b)  2b 2   (c  b  a ) a a b c 3( a  b  c)    (c  b  a )   2a 2  2  T+  T  3/2  ( a  b  c )3 c    2c 2  b  ( a  c  b)    2b 2   (c  b  a ) a    2a 2  a = b = c = Vậy T = 3/2 Đẳng thức xảy kvck  1 (a  b)(b  c)(c  a)    Tìm GTNN T = a b c BT 29) Cho a, b, c dương Giải Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta ( a  b)(b  c)(c  a) 2 ab bc ca 8abc Đẳng thức xảy a  b2  c2  kvck a = b = c 1  3 3 b c abc Đẳng thức xảy kvck a = b = c Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta a 8abc  Do đó, T  Mặt khác,  23 23   8abc  2   abc  8abc  8abc 8abc (1) 3 a 2b c a  b  c  nên 1 a 2b2 c   abc   8 abc (2) Từ (1) (2), ta T  25 Đẳng thức xảy kvck a = b = c = Vậy T = 25 3 BT 30) Cho x, y, z > xyz = Chứng minh x  y  z  x  y  z  x   3x   y   3 y  z   3z 3 3 3 CM Ta có  nên x  y  z  3( x  y  z ) Mặt khác, x  y  z 3 xyz 3 nên 2( x3  y  z ) 6 Cộng hai vế hai BĐT ta đpcm BT 31) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ Tìm GTNN biểu thức: 1 A x  y  z    x y z 1    Giải Ta có x y z x  y  z Dấu xảy KVCK x = y = z 9 A x  y  z  t  g (t ) t  x yz t Ta có t giảm (0 ; 1] nên g(t)  g(1) =10 Suy ra, A  10 Dấu Do đó, xảy KVCK x = y = z x + y + z = x y z BT 32) Cho x, y, z ba số thỏa mãn x + y + z = Chứng minh      6 x x x CM Cách : Ta có + 4x  nên + 4x = + (1 + 4x)  2(1+ )  4 Do  x   y   z 2( x  y  z ) 6 24 x  y  z 6 Cách : Ta CM BĐT  a   b   c 3  abc Chỉ việc áp dụng BĐT sau với 4x 4y 4z a  ,b  ,c  3 BT 33) (Đề dự bị khối A, năm 2007) Cho x, y, z biến số dương Tìm GTNN 4( x  y )  4( y  z )  4( z  x3 )  2( P= x y z   2) y z x ( a  b) Giải Với số a, b khơng âm, ta có  (a + b) nên ( a  b) ( a  b) a  b3 (a  b)3  3ab(a  b) (a  b)3  ( a  b)  4 Đẳng thức xảy kvck a = b  x y z ( x  y )  ( y  z )  ( z  x )  2(   ) y z x (1) Do đó, P  ab   x x x  x  2 x 2 y y y   y y y   y  2 y 2 z z z   z z z x y z x y z x y z  z  2 z 2 x   y   z  2(   ) 2.3 6 x x x  y z x y z x y z x Mặt khác, nên (2)  x  y z  x y z  x  y  z 1  x  , y  , z  2  y z x2  Từ (1) (2) ta P  12 Đẳng thức xảy kvck Vậy, P =12 x = y = z = x2 y2 z2    BT 34) Cho x, y, z ba số dương thỏa x.y.z =1 CMR  y  z  x x2  y x2  y  2 x  y  y CM Sử dụng BĐT Cô-si cho hai số dương ta : (1) 2 y 1 z y 1 z  2 y 1 z 1 z (2) z2 1 x z2 1 x  2 z 1 x 1 x (3) x y2 z2 3 3    ( x  y  z )   3 xyz   4 (4) Từ (1), (2), (3) ta :  y  z  x Dấu '=' xảy kvck x = y = z =  1 1  P ( xyzt  1)       x 1 y  z 1 t 1  BT 35) Cho x, y, z , t 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 1   2  b  ab (chỉ cần quy đồng, chuyển vế, đặt thừa số ta Giải Với a, b ≥ ta ln có  a (a  b) ( ab  1) 0 , BĐT đúng)  1 1 1     2  2  2   P 4 x 1 y 1 z 1 t 1  x y  z t   xyzt  Áp dụng BĐT vừa nêu, ta Với x = y = z = t = đẳng thức xảy Do P = a b c R   2  b  c 1 a2 BT 36) Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = Tìm GTNN biểu thức : a ab ab ab b bc c ca  a   a  a  b  ; c  2 2 1 a 1 b 2b Tương tự :  c Giải Ta có  b 1 R a  b  c   ab  bc  ca  a  b  c   a  b  c  3   6 Suy : R  Đẳng thức xảy : a = , b = , c = Vậy 2 BT 37) Cho x, y, z số thực thỏa mãn : x  y  z 1 Hãy tìm GTLN P = xy + yz +2zx 1 P | y | ( x  z )  zx | y | 2( x  z )  ( x  z )  x  z  ( x  z ) | y |  y  (  y )  2 Ta có   v (| y |  y ;1/  y ) ta có xét u ( 2;1) 1 3 1    P uv  | u || v |   (2 1) ( y  y )  (  y )     2 2 2 xy  yz  zx  2 BT 38) Cho x, y, z dương thỏa x  y  z 1 CMR  1 (a x  y )  xy  a (a.x) y  a  2 1 (a z  y )   zy  (a.z ) y  a a  2  zx  z  x  * Ta có  , với a dương tùy ý a VT (1  )( x  z )  y 2 a Do đó, a 1  a ta a   Chọn a >0 cho 1 1 1 VT  ( x  y  z )    a a 3 Ta 6 4 BT 39) Cho x, y, z thuộc [2 ; 2] CMR 2( x  y  z )  ( x y  y z  z x ) 192 2 Đặt a  x , b  y , c  z Ta có  a, b, c  nên :  (16  a2)(4  b)   a2b  4a2 +16b  64 Tương tự, ta có b2c  4b2 +16c  64 c2a  4c2 +16a  64 Do đó, a2b + b2c + c2a  4(a2 +b2 c2) +16(a+ b +c)  192  (a2b + b2c + c2a)  4(a2 +b2 c2) 16(a+ b +c) +192  a2(4  a)  nên a3  4a2 Tương tự, b3  4b2, c3  4c2 Do 2(a3 + b3 + c3)  4(a2 + b2 + c2) Từ ta VT = 2(a3 + b3 + c3) (a2b + b2c + c2a)  8(a2 + b2 + c2) 4(a2 +b2 c2) 16(a+ b +c) +192 = 4a(a4) + 4b(b4) + 4c(c4) + 192  192 Đẳng thức xảy KVCK a = b = c = a2 b2 A  2 b a BT 40) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a  b 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 4 a b a b A ( a  b )(  )    a 2b  b a b a b a Giải Cách : Ta có a4 b4  a 2b  3a  b a  3b a Ta có : b 2 Do A  3( a  b ) 6 Vì A = a = b = 2 Cách : (Dùng hàm số) Đặt S = a + b P = a.b Ta a  b 2  S  P 2 2 2 Vì P > nên S   S  Mặt khác, ta ln ln có S 4 P nên S 2( S  2)  S 2 (đạt dấu a = b = 1) Ta có A a  b3  S  6S   f (S ) ab S 2 , với  S 2  S  12 0 f ( S )  f (2) 2 2 ( S  2) Ta có với S  ( 2; 2] nên ( ;2] Do A = a = b = 1 1 1 P     4 2 a  (1  a ) b  (1  b) c  (1  c) BT 41) Cho a , b , c  (0 ; 1] thỏa a b c Tìm GTLN f / (S )  2x 2y 2z 1 3     x;   y;   z 2 1 x 1 y 1 z2 b c Giải Đặt a Ta có x; y; z >0 x + y + z = P = 2x 36 x  (3 x  1) (4 x  3) 2x 36 x    0  2 25 25(1  x ) 25 với x >0 Ta có  x , với x >0, nên  x 36 x  36 y  36 z  36  24   3   x  y z  a b c  25 25 25 25 Dấu xảy  Do đó, P  24 max P  Vậy 3 1  6 BT 42) Cho x,y > 0, x + y = Chứng minh: xy x  y 1  1  2       2  6 2  xy x  y xy  xy x  y  ( x  y ) ( x  y)2 xy ( x  y ) CM Ta có a b c a b c (a  b  c )       BT 43) Cho a, b, c dương b c a ab bc ca ab  bc  ca u  v log16 log v 3log16 u  16 2( ) BT 44) Cho u, v dương CMR log16 u log v log log  16 u 16  v 16 CM Ta có f ( x1 )  f ( x2 ) x x  f ( ), x1 , x2  log16 f ( x )  x (0;  ) 2 Hàm số hàm lồi nên u  v log16 log u log v 16  16 2( ) Do đó,