Tổng quan các phương pháp giải phương trình lượng giác : ☺ Ngoài phương trình lượng giác cơ bản, còn có 5 phương trình đã được trình bày cách giải là : Phương trình bậc nhất, bậc hai đối[r]
(1)NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Lê Hồ Quý (Nguyên GV Trường THPT Lê Lợi – Kon Tum) Mỗi đề thi tuyển sinh vào Đại học thường có câu phương trình lượng giác (PTLG) Phương pháp thường gặp giải PTLG là thực số phép biến đổi lượng giác hợp lý để đưa bài toán phương trình tích, đặt ẩn số phụ để quy phương trình bậc hai, bậc ba, , từ đó đưa PTLG PTLG thường gặp Ta nói biến đổi hợp lý vì các đồng thức lượng giác thường đa dạng Ví dụ, cần biến đổi cos4x - sin4x, thì tuỳ theo đầu bài cụ thể, chúng ta sử dụng các đồng nhÊt sau : cos4x - sin4x = cos2x - sin2x = cos2x = 2cos2x - = - 2sin2x A Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí : Công thức lượng giác Công thức lượng giác 1) sin a+cos2 a+1 sina 2) tga= cosa cosa 3) cotga sina 4) 1+tg2 a= cos2 a 5) 1+cotg2 a= sin a 6) tga.cotga=1 C«ng thøc céng 1) cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb 2) cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb 3) sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb 4) sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb Công thức góc nhân đôi 1) sin2a = 2sina.cosa 2) cos2a = cos2a-sin2a = 2cos2a-1 = 1-2sin2a C«ng thøc gãc nh©n ba 1) cos3a = 4cos3a-3cosa 2) sin3a = 3sina-4sin2a Công thức biến đổi tích thành tổng tga-tgb 1+tga.tgb tga+tgb 6) tg(a+b)= 1-tga.tgb 5) tg(a-b)= 3) tg2a= 3) tg3a= 1) cosa.cosb= cos(a-b)+cos(a+b) 2) sina.sinb= cos(a-b)-cos(a+b) 2tga 1-tg2 a 3tga-tg3a 1-3tg2 a 3) sina.cosb= Công thức biến đổi tổng thành tích sin(a-b)+sin(a+b) sin(a+b) cosa.cosb sin(a-b) 9) tga-tgb= cosa.cosb sin(a+b) 10) cotga+cotgb= sina.sinb sin(a-b) 11) cotga-cotgb= sina.sinb 12) cotga+tga= sin2a 13) cotga-tga=2cotg2a 8) tga+tgb= a+b a-b cos 2 a+b a-b 2) sina-sinb=2cos sin 2 a+b a-b 3) cosa+cosb=2cos cos 2 a+b a-b 4) cosa-cosb=-2sin sin 2 5) cosa+sina= cos a sin a 4 4 1) sina+sinb=2sin 6) cosa-sina= cos a sin a 4 4 Lop12.net (2) §Æc biÖt: Víi a, b mµ a b2 vµ x R, ta cã : 7) acosx+bsinx= a +b2 cos( -x)= a +b2 sin( +x) đó : a b , sin = R xác định cos = 2 a b a b2 a b R xác định sin = , cos = a b2 a b2 7.C«ng thøc h¹ bËc 1+cos2a 1-cos2a 2) sin a= 3cosa+cos3a 3cosa-cos3a 4) sin 3a= 1) cos2 a= 3) cos3a= C«ng thøc tÝnh theo t=tg 1) sina 2t 1+t a (a +k2) 1-t 2) cosa= 1+t 3) tga= 2t 1-t a k Phương trình lượng giác C«ng thøc nghiÖm §iÒu kiÖn cã nghiÖm PTLGCB 1) cosx=m 2) sinx=m 3) tgx=m 4) cotgx=m x= +k2 (hoÆc x=a +k.3600 m 1 x=a k.3600 x=+k2 hoÆc x=(1800 a ) k.3600 x=(-)+k2 m 1 Víi m R x=+k (hoÆc x=a +k.1800 ) Phương trình bậc hai hàm số lượng giác D¹ng : asin2x+bsinx+c=0 atg2x+btgx+c=0 acos2x+bcosx+c=0 acotg2x+bcotgx+c=0 đó a, b, c R và a C¸ch gi¶i : Đặt t=sinx ( t 1), t=cosx ( t 1), t=tgx, t=cotgx , phương trình bậc hai hàm số lượng giác trở thành phương trình at2 + bt + c = đã biết cách giải Phương trình bậc sinx và cosx 1) D¹ng : asinx + bcosx = c, đó a, b, c R và a2 + b2 > 2) C¸ch gi¶i : C¸ch 1: Chia hai vÕ cña PT cho a a +b2 §Æt sinx+ a b a +b2 cos ; a +b2 Khi đó PT có dạng : cossinx+sincosx= cosx= b a +b2 c a +b (*) a +b2 , ta ®îc : c a +b2 sin hay sin(x+)= c a +b2 Đây là PT đã biết cách giải §K cã nghiÖm cña PT (*) lµ a2 + b2 ≥ c2 Cách : Chia hai vế PT cho a đặt b tg , ta ®îc : a Lop12.net (3) sinx+tgcosx= c a sin x cos sin cos x sin( x ) c cos a c cos a C¸ch 3: * KiÓm tra x=+k2 cã tháa m·n PT hay kh«ng ? x +k2 th× thay sinx= 2t , cosx= 1-t 2 , đó t=tg x 1+t 1+t * Víi PT trë thµnh (c+b)t -2at+(c-b)=0 (§©y lµ PT bËc hai theo t) Gi¶i PT trªn t×m ®îc t, ta tiÕp tôc t×m x Phương trình bậc hai sinx, cosx §Þnh nghÜa : Phương trình bậc hai sinx, cosx là phương trình asin2x + bsinxcosx + ccos2x = đó a, b, c, d R ☺Chó ý : * XÐt PT asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d (1) Ta cã : (1) asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d(sin2x+cos2x) (2) (a-d)sin2x + bsinxcosx + (c-d)cos2x = Bằng cách “kích bậc” : d = d(sin2x+cos2x), ta thấy PT (1) tương đương với PT đẳng cấp (2) Người ta nói (1) là phương trình “dạng khuất” phương trình bậc hai * Phương trình bậc hai sinx, cosx là trường hợp riêng PT (1) d = C¸ch gi¶i : * C¸ch : Chia theo tõng vÕ cña PT cho mét ba h¹ng tö sin2x, hoÆc cos2x, hoÆc sinxcosx Sau ®©y trình bày cách chia cho cos2x (chia cho các hạng tử khác tương tự) -Bước : Kiểm tra cosx=0 x= k cách thay trực tiếp vào (1) để xem nó có phải là nghiệm cña PT (1) hay kh«ng -Bước : Với cosx≠0, chia cho cos2x thì PT trở thành atg2x + btgx + c = d(1+tg2x) (a-d)tg2x + btg2x + c - d = Đây là PT dạng bậc hai tgx đã biết * C¸ch : H¹ bËc nhê c¸c c«ng thøc : sin x cos 2x , cos2 x cos 2x , sinxcosx= sin2x đưa PT đã cho PT bsin2x + (c-a)cos2x = d-c-a Đó là PT bậc sin2x, cos2x đã xét Chó ý : a) Dạng hữu tỉ (một dạng khác) phương trình bậc hai là asinx + bcosx = c , cosx asinx + bcosx = c sinx Chia theo vế PT cho các mẫu thức tương ứng ta : c ctg2 x+atgx+c-b=0 cosx c * asinx + bcosx = ccotg2 x+acotgx+c-b=0 sinx * asinx + bcosx = b) Phương pháp giải phương trình “dạng khuất bậc hai” áp dụng cho phương trình thuÇn nhÊt bËc cao cïng c¸c d¹ng khuÊt cña nã Dạng khuất phương trình bậc và bậc §Þnh nghÜa : a) Phương trình asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + dcos3x = đó a, b, c, d R gọi là phương trình bậc ba sinx, cosx b) Phương trình asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + dcos3x = psinx + qcosx đó a, b, c, d, p, q R gọi là dạng khuất phương trình bậc ba sinx, cosx c) Phương trình asin4x + bsin3xcosx + csin2x cos2x + dsinxcos3x + ecos4x= đó a, b, c, d, e R gọi là phương trình bậc bốn sinx, cosx d) Phương trình asin4x+bsin3xcosx+csin2x cos2x+dsinxcos3x+ecos4x= psin2x+qcos2x+rsinxcosx a, b, c, d, e, p, q, r R gọi là dạng khuất phương trình bậc bốn sinx, cosx Lop12.net (4) C¸ch gi¶i : 1) NhËn xÐt : Giả sử Q(x) là biểu thức chứa ẩn x các hàm số lượng giác Kí hiệu degQ(x) là bậc Q(x) các hàm số lượng giác Ta có nhận xét sau đây : Bất biểu thức Q(x) nào có thể “kích” thêm 2n (n N) bậc mà không làm thay đổi giá trị cña biÓu thøc Êy ThËt vËy, víi n N , ta cã : Q(x)=(sin x+cos2 x)n Q(x) deg Q(x) 2n deg Q(x), Q(x) Q(x) Q(x) Q(x)(1 tg2 x)(sin x+cos2 x)n deg 2n deg 2 cos x cos x cos2 x Q(x) Q(x) Q(x) Q(x)(1 cotg2 x)(sin x+cos2 x)n deg 2n deg 2 sin x sin x sin x * Từ nhận xét trên ta suy phương trình lượng giác có bậc cùng chẵn cùng lẻ đưa phương trình 2) C¸ch gi¶i : a) PT asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + dcos3x = psinx + qcosx (1) Bước Kiểm tra cosx=0 x= k cách thay trực tiếp vào (1) để xem nó có phải là nghiệm cña PT (1) hay kh«ng Bước Với cosx , chia theo vế PT cho cos3x, ta có : (1) atg3x+btg x+ctgx+d=ptgx(1+tg x)+q(1+tg x) (a-p)tg3x+(b-q)tg x+(c-p)tgx+d-q=0 Bài toán dẫn tới giải phương trình có dạng bậc ba tgx b) PT asin4x + bsin3xcosx + csin2x cos2x + dsinxcos3x + ecos4x= psin2x + qcos2x + rsinxcosx (2) Bước Tương tự PT (1) Bước Chia cho cos4x, ta có : (2) tg x+btg3x+ctg x+dtgx+e=ptg x(1+tg x)+q(1+tg x)+rtgx(1+tg x) (a-p)tg x+(b-r)tg3x+(c-p-q)tg x+(d-r)tgx+e-q=0 Bài toán dẫn tới giải phương trình có dạng bậc bốn tgx ☺Chú ý : Các bạn có thể chia cho hạng tử nào có bậc cao phương trình xÐt Phương trình đối xứng sinx, cosx §Þnh nghÜa : Phương trình đối xứng sinx, cosx là phương trình dạng a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0, đó a, b, c R (1) C¸ch gi¶i : * Cách : Do (sinx + cosx)2 = + 2sinxcosx nên đặt t2 t=sinx+cosx= sin x cos x , §K : t Suy sinxcosx= vµ PT (1) trë 4 4 thành bt2 + 2at- (b+2c) = Đó là PT bậc hai đã biết cách giải * C¸ch : §Æt t= x th× sinx + cosx = cos x cos t , 4 1 sinxcosx= sin 2x cos 2x cos2t cos2 t , nªn PT (1) trë thµnh : 2 2 b bcos2 t cos t c Đây là PT bậc hai cost đã xét trên Chó ý : Hai cách giải PT (1) áp dụng cho PT a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0, đó a, b, c R (2) Khác chút là với (1) ta đặt t=sinx+cosx, thì với (2) ta đặt t=sinx-cosx Bµi to¸n : Giải phương trình : a tgx-b cotgx=c(asinx bcosx), với ab (1) C¸ch gi¶i Lop12.net (5) a 2sin x-b cos2 x =c(asinx bcosx) sinxcosx (asinx-bcosx)(asinx+bcosx)=c(asinx bcosx)sinxcosx (1) (asinx bcosx) (asinx bcosx)-csinxcosx asinx bcosx=0 asinx bcosx-csinxcosx=0 Đây là các phương trình đã xét trên Quy íc : Khi cã nhiÒu dÊu mét biÓu thøc, mét hÖ hiÓu lµ cïng lÊy dßng trªn hoÆc cïng lấy dòng Bµi to¸n : Giải phương trình : a(tgx sinx)+b(cotgx cosx) (a+b)=0 (với a, b, c R) C¸ch gi¶i Ta cã : a(tgx sinx)+b(cotgx cosx)+(a+b)=0 (víi a, b, c R) a(tgx six 1)+b(cotgx cosx 1)=0 a b (sin x sin x cosx cosx) (sin x sin x cosx cosx) cosx sin x b a (sin x sin x cosx cosx) cosx sin x b b a 0 tgx cosx sin x a sin x sin x cosx cosx sin x sin x cosx cosx Đây là các phương trình đã xét trên Tương tự cho phương trình a(tgx sinx)+b(cotgx cosx)-(a+b)=0 B Tổng quan các phương pháp giải phương trình lượng giác : ☺ Ngoài phương trình lượng giác bản, còn có phương trình đã trình bày cách giải là : Phương trình bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác; phương trình bậc sinx, cosx; phương trình sinx, cosx cùng các dạng khuất nó; phương trình đối xứng sinx, cosx Người ta gọi đó là các phương trình quen thuộc ☺ Đứng trước phương trình lượng giác lạ, ta làm nào để giải nó ? Hết sức tự nhiên, tư tưởng nảy sinh trước tiên là tìm cách biến đổi biến đổi phương trình quen thuộc Đương nhiªn cã hai kh¶ n¨ng x¶y : 1) Có phép biến đổi để đưa phương trình đã cho phương trình quen thuộc Khi đó người ta quen gọi phương trình đã cho phương trình mẫu mực Các cách biến đổi thường sử dụng là đặt ẩn phụ, biến đổi thành phương trình tích 2) Không có phép biển đổi để đưa phương trình đã cho phương trình quen thuộc Trong số này, người ta quan tâm nhiều đến hai lớp phương trình sau đây : a) Phương trình đối cực : Cho các hàm số f(x) xác định trên Df và g(x) xác định trên Dg Gọi D=D f D g Hai phương trình sau gọi là phương trình đối cực : * Phương trình đối cực theo vế : Đó là phương trình có giá trị bé (lớn nhất) vế không bé h¬n (l¬n h¬n) gi¸ trÞ lín nhÊt (bÐ nhÊt) cña vÕ cßn l¹i Nãi râ h¬n : f(x) max g(x) D NÕu D thì f(x)=g(x) gọi là phương trình đối cực theo vế max f(x) g(x) D D Do việc giải phương trình đối cực theo vế đồng hành với việc đánh giá (tìm cực trị) các vế Các cách thường sử dụng để đánh giá là biến đổi tổng các biểu thức cùng dấu, sử dụng bất đẳng thức, khảo s¸t hµm sè hoÆc ®o¸n nghiÖm råi chøng minh nhÊt Lop12.net (6) * Phương trình đối cực theo miền : Đó là phương trình f(x) = mà f(x) có giá trị bé (lớn nhất) trªn mét miÒn kh«ng bÐ h¬n (lín h¬n) gi¸ trÞ lín nhÊt (bÐ nhÊt) cña miÒn cßn l¹i liÒn kÒ Nãi râ h¬n : f(x) max f(x) Di 1 NÕu Di (trong đó D i =D f )thì f(x)=0 gọi là phương trình đối cực theo miền max f(x) f(x) Di 1 Di Hai phương pháp thường dùng để giải phương trình đối cực theo miền là đánh giá phương pháp kh¶o s¸t hµm sè b) Phương trình câm : Đó là phương trình mà hiển thị các nghiệm nó chưa tìm sở lý luận để giải thích Ngoài cách giải đoán nghiệm chứng minh nhất, người ta chưa tìm cách giải nào khác cho loại phương trình này Phương pháp giải phương trình lượng giác MÉu mùc Biến đổi §Æt Èn phô PTLG §èi cùc Biến đổi PT tÝch quen thuéc Biến đổi tæng c¸c biÓu thøc cïng dÊu Sö dông B§T C©m Kh¶o s¸t hµm sè §o¸n nghiÖm råi chøng minh nhÊt I Phương pháp biến đổi tương đương phương trình quen thuộc : ☺ Các hướng biến đổi theo nguyên tắc là : * Nhiều hàm số lượng giác khác có thể thì biến đổi hàm số lượng giác * Nhiều cung khác có thể thì biến đổi cung * BËc cao th× h¹ bËc ☺ Bạn cần chú ý đến mối liên hệ (tín hiệu) các cung Giả sử có các cung lượng giác a, b, c, d a) Mèi liªn hÖ nh©n cung : + TÝn hiÖu 1: cung nµy b»ng 2n, 3n (n N) cung (b=2na, b=3na) Đây là “mảnh đất” dành cho các công thức góc nhân đôi, góc nhân ba b) Mèi liªn hÖ céng cung gåm : + TÝn hiÖu : hai cung h¬n kÐm k (k Z) a b=k 2 Các hệ thức liên hệ các cung có liên quan đặc biệt đường cho cách biến đổi phương trình + TÝn hiÖu : tæng, nöa tæng (hiÖu, nöa hiÖu) hai cÆp cung nµy h¬n cung thø ba lµ k.(a b c k, a+b c k) + TÝn hiÖu : tæng (hiÖu) hai cÆp cung nµy b»ng tæng hoÆc hiÖu hai cÆp cung kh¸c (a b=c d) Các công thức biến đổi tích thành tổng và ngược lại là công cụ sắc bén gặp hai tín hiệu và ☺ Tất các hướng biến đổi nhằm vào mục đích : + Tìm nhân tử chung, đưa phương trình đã cho phương tích + Chuyển phương trình lượng giác phương trình đại số + Tìm mối liên hệ các hạng tử để đánh giá ☺ Để các bạn nắm vấn đề và tiện theo dõi, sau phần trình bày chung đây, mục đích trình bày tiêu đề riêng Kỹ thuật sử dụng góc nhân đôi, nhân ba : Ví dụ : Giải phương trình sau : 8cos3 x =cos3x 3 (§H Quèc gia Hµ Néi - Khèi A - N¨m 1999) Lop12.net (7) Lời giải (Phương trình có các tín hiệu và 2, vì có lời giải đây) Cách : Phương trình đã cho tương đương với 8cos3 x cos3 x 8cos3 x cos3 x 3cos x 3 3 3 3 3 3cos x cos2 x 1 cos x 2 cos x 1 3 3 x k cos x x k x l 2 2 cos2 x 2 x l2 x l 3 (k, l Z) Cách (Phương trình dạng khuất bậc ba) 8cos3 x =cos3x 2cos x cos3x 3 3 cos cosx 2sin sin x cos3x cosx sin x cos3x 3 (cosx sin x)3 cos3 x 3cosx (1) * NÕu cosx=0, ta cã (1) ( 3)3 (M©u thuÉn) (2) * Víi cosx 0, chia hai vÕ cho cos3x ta cã (1) (1- 3tgx)3 3(1 tg2 x) (1- 3tgx)3 3tg2 x (1- 3tgx)3 (1- 3tgx)(1+ 3tgx) (1- 3tgx)[(1- 3tgx)2 (1 3tgx) (1 3tgx)(3tg2 x 3tgx) tgx(1 3tgx)( 3tgx 1) x k tgx tgx x l tgx x m (k, l, m Z) (3) Ví dụ : Giải phương trình sau : 2sin3x(1 - 4sin2x) = (1) (§¹i häc X©y dùng - N¨m 1996) Lời giải (Phương trình có tín hiệu 1: cung này ba cung Vì có lời giải đây) Ta cã: (1) 2sin3x(4cos2 x-3)=1 * NÕu cosx=0 x= 6(-1)k (2) 3 k2 , ta cã: (2) 2sinx 3k (3) 2 (m©u thuÉn) * Víi cosx 0, ta cã (2) 2sin3x cos3x 2sin 3x.cos3x cosx cosx k2 6x x k2 x 14 sin 6x sin x 2 6x x l2 x 2 10 Lop12.net (k, l Z) (8) Lu ý: §ång nhÊt thøc 4cos2 x cos3x cosx Kỹ thuật biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng : Ví dụ : Giải phương trình : cos2x + cos4x + cos6x = cosxcos2xcos3x + (1) (Đại học Dược Hà Nội - Năm 2000) Lời giải (Phương trình có tín hiệu : nửa tổng hai cung này cung thứ ba còn lại Vì có lời giải ®©y) C¸ch (Tæng thµnh tÝch) Ta cã : cos2x + cos4x + cos6x = 2cos3xcosx + (2cos23x - 1) = 2cos3x(cos3x+cosx)-1= 4cos3xcos2xcosx-1 Do vËy (1) 4cos3xcos2xcosx-1=cosxcos2xcos3x+2 cosxcos2xcos3x=1 cosx sin x cos2x sin 2x sin x x k sin 3x cos3x (2) Thay (2) vào (1) ta có 1+1+1=(-1)k 1.(1)k đúng k Z Vậy x=k là họ nghiệm PT đã cho C¸ch (TÝch thµnh tæng) Ta cã : 4cosxcos2xcos3x = 2cos2x.2(cosxcos3x) = 2cos2x(cos2x + cos4x) = 2cos22x + 2cos2xcos4x = + cos4x + cos2x + cos6x Do vËy (1) cos2x+cos4x+cos6x= (1 cos 4x cos2x cos6x) cos2x 1 cos2x cos 4x cos6x cos 4x cos2x x k, k Z cos6x Đó là họ nghiệm phương trình đã cho Lưu ý : Đồng thức các phương trình trên là : cos2x + cos4x + cos6x = 4cos3xcos2xcosx - Ví dụ : Giải phương trình : sinx+sin2x+sin3x cosx+cos2x+cos3x (1) Lời giải (Phương trình có tín hiệu : nửa hiệu hai cung này thứ ba còn lại Vì có lời giải đây) Ta cã : (1) 2sin2xcosx+sin2x sin 2x(2 cosx 1) 3 2cos2xcosx+cos2x cos2x(2 cosx 1) 0 0 tg2x= 2x 60 k180 x 30 k90 x 300 k900 , k Z 2 cosx 2cosx+1 Lưu ý Các đồng lượng giác thường gặp giải toán : cos3x.sin3x+sin 3x.cos3x= sin4x 3 cos x.cos3x+sin x.sin3x=cos3 2x 1+cos2 x 3+cos4x cos4 x+sin x=1- sin 2x= = 2 + cos2 x + cos x cos6 x + sin x = - sin 2 x = = 4 Lop12.net (9) II Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình lượng giác : Đổi biến hàm số lượng giác : t=φ(x) Đó là kỹ thuật áp dụng các biểu thức hàm số lượng giác có mối liên hệ đặc biệt : bù nhau, phô nhau, h¬n kÐm k , biÓu thøc nµy gÊp hai, gÊp ba biÓu thøc Ví dụ : Giải các phương trình sau : a) cos 4x cos2 x b) 1+2cos2 (Đề 52.II - Bộ đề tuyển sinh ĐH) 3x 4x 3cos 5 (Đề 15.III- Bộ đề tuyển sinh ĐH) Lêi gi¶i 4x 4x cos2 x cos (1 cos2x) 3 4x cos cos2x (1) 2x 3t 4x §Æt t= ( x ), ta cã cos cos2t cos2 t 1, cos2x=cos3t=4cos3 t 3cos t 3 a) Ta cã : cos Phương trình (1) trở thành 2(2cos2t-1)=1+(4cos3t – 3cost) 4cos3 t cos2 t 3cos t cos2 t(cos t 1) 3(cos t 1) (cos t 1)(4 cos2 t 3) (cos t 1)(4 cos2 t 3) (cos t 1)(2 cos2t 1) 3t cos t t k2 x k3 k3 cos2t 2t l2 x l 3t l b) Ta cã : 1+2cos2 §Æt t= 3x 4x 6x 4x 3cos cos 3cos 5 5 (k, l Z) (1) 2x 5t x , phương trình (1) trở thành 1+cos3t=3cos2t 2 2+4cos3 t-3cost=3(2cos2 t-1) 4cos3 t-2cos2 t-3cost+3=0 cost+1=0 (cost+1)(4cos2 t-2cost-5)=0 4cos t-2cost-5=0 5 cost=-1 x 5k t (2k 1) cost= 1- 21 t 2l x 5l víi cos= 1- 21 Ví dụ : Giải phương trình 8cos3 x cos3x (§H Quèc gia Hµ Néi - Khèi A - N¨m 1999) Lêi gi¶i §Æt t=x+ x t cos3x cos(3t ) cos3t Phương trình (1) trở thành : 3 Lop12.net (10) 8cos3 t cos3t 8cos3 t (4 cos3 t 3cos t) cost(4cos2 t-1)=0 cost(2cost-1)(2cost+1)=0 * cost=0 t=x+ k x k, k Z * cost= t x+ k2 3 x=k2 (k Z) x=- 2 k2 2 * cost=- t x+ k2 3 x k2 (k Z) x k2 Tóm lại, nghiệm phương trình (1) là : x=k; x= k; x= k (k Z) 3 x 3x sin Ví dụ : Giải phương trình sin 10 10 (1) (§H Thñy Lîi - N¨m 2001-2002) Lêi gi¶i 3x 3x 3 x Ta cã : sin sin sin 10 10 10 3 3 x Do vậy, đặt t= x 2t, phương trình (1) trở thành sint= sin 3t 10 2sint=(3sint-4sin t) sint(4sin t-1)=0 sint(2cos2t-1)=0 sin t t k 2t k2 sint=0 cos2t 2t l2 2 t l2 2cos2t-1=0 3 3 3 2t k2 3 2t 3 l2 5 3 x= k2 4 hay x l2 15 x 14 m2 15 (k, l, m Z) Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ : t = L(x), (L(x) là biểu thức lượng giác) Các phương trình xét mục này thực chất là phương trình đại số với biến là L(x) Các bạn nhớ lại các kỹ thuật đặt ẩn phụ các phương trình đại số sau đây : ax4 + bx2 Èn phô x2 = t≥0 a+b t=x+ t=Q(x)+ Q(x) Dạng phương trình đại số + c = (a ≠ 0) (x+a)4 + (x+b)4 = c aQ (x) bQ (x) cQ (x) bQ(x) a (a, b, c R, a b2 0) P(x)+Q(x) P(x) Q(x) 2 P(x).Q(x) ( +2 >0) Lop12.net t= P(x) Q(x) 10 (11) Ví dụ : Giải phương trình 2tg2 x cosx (1) Lêi gi¶i Ta cã : (1) 2(1+tg2 x)+1= 3 1 cosx cos x cosx (2) t 1 §Æt t= , t 1, PT (2) trë thµnh 2t 3t t (lo¹i) cosx Víi t=1, ta cã cosx x k2 (k Z) cosx Ví dụ : Giải phương trình : + cos2x = 2(2-cosx)(sinx - cosx) (1) (§H Hµng H¶i Tp HCM - N¨m 1999) Lêi gi¶i Ta cã : (1) 5+2cos2 x 2[2(sin x cos x) sin x cos x cos2 x] 4(sin x cos x) 2sin x cos x 2sin x cos x 4()sin x cos x) (2) §Æt t=sinx-cosx= 2sin x- , t , suy t 2sin x cos x 4 Tõ (2) suy : t 1-t 4t t 4t t 5 (lo¹i) x k2 Víi t=1, ta cã 2sin x- sin x- sin (k Z) 4 4 x k2 50 Ví dụ : Giải phương trình 18cos2 x 3cosx cosx cos2 x (1) Lêi gi¶i Ta cã : (1) 9cos2 x 3cosx 50 cosx cos x 1 9cos2 x 3cosx 12 cosx cos x 3cosx 3cosx 70 cosx cosx (2) Lop12.net 11 (12) , t 3, PT (2) trë thµnh 2t 5t cosx t=1 (lo¹i) 7 Víi t=- , ta cã 3cosx+ t=2 cosx §Æt t=3cosx+ cos2 x 7cosx 2 cosx x k2 đó cos=- cosx x l2 Lưu ý Phương trình trên thuộc dạng aQ (x) bQ (x) cQ (x) bQ(x) a hay a Q (x) b Q(x) c 0, (a, b, c R, a b2 0) Q(x) Q (x) * Khi ab ≠ thì nó là phương trình hồi quy bậc bốn Q(x) ẩn phụ phương trình này là Chúng ta thường gặp trường hợp đơn giản bài toán với Q(x) = sinx, Q(x) = cosx, t=Q(x)+ Q(x) Q(x) = tgx, Q(x) = cotgx * Khi a = 0, ta có phương trình bậc hai Q(x) Ví dụ : Giải phương trình 12 1 cot g2 x 10 2tgx cot gx cos x (1) Lêi gi¶i §K : sinxcosx 1 Ta cã (1) 12(1+tg2 x)+ cot g2 x 10 2tgx cot gx 3 1 12tg2 x cot g2 x 10 2tgx cot gx 11 3 (2) 1 § Æt t=2tgx+ cot gx, suy 3t 3(4tg2 x cot g2 x ) 12tg2 x cot g2 x 3 12tg2 x cot g2 x 3t §iÒu kiÖn t PT (2) trë thµnh : 3 t 3t 10t 11 3t 10t t 1 (lo¹i) tgx 1 x k 7 Víi t=- , ta cã 2tgx+ cot gx 6tg x 7tgx víi tg=- (k, l Z) tgx 3 x l Ví dụ : Giải phương trình tg2x - 3tgx - 9cotgx + 9cotg2x + = (1) Lêi gi¶i Ta cã: (1) tg2 x tgx 20 tgx tg x § K : sinxcosx x k Lop12.net 12 (13) § Æt t=tgx+ tgx suy t tg2 x t 2 (3), (4) 9 tg2 x t PT (3) trë thµnh : tg x tg x t 1 (kh«ng thÝch hîp (4)) t 3t t x k tgx Víi t=4, ta cã : tgx+ tg x 4tgx đó tg=3 (thích hợp (3)) tgx tgx x l Ví dụ : Giải phương trình sin2x-3 cos 2x 2x cos3 3 cos x sin 2x 3 (1) Lêi gi¶i 2x 2x Ta cã : (1) sin2x- 3cos cos3 6 3 sin 2x 3(2 cos2 x 1) sin 2x cos2x 6 0 (2) sin 2x cos2x §Æt t=sin2x+ cos2x t t VËy ®iÒu kiÖn cña t lµ : 0< t PT (2) trë thµnh t+ t t 5t t+1 t (lo¹i) Víi t=2, ta cã sin2x+ cos2x cos(2x 300 ) cos(2x 300 ) x 150 k1800 Ví dụ 10 : Giải phương trình sinx 2-sin x 1 1 sin x cos2 x (1) Lêi gi¶i §K : sinx (2) ViÕt l¹i (1) sinx+ 1+cos2 x sin x cos2 x (3) § Æt t=sinx+ 1+cos2 x t 2sin x 1+cos2 x (4) 2 t (sin x cos x) t vµ sinx 1+cos2 x (5) t 1 Thay (5) vµ (6) vµo (3) cã t+ (6) t2 t 2t t=-4 (lo¹i (5)) Thay t=2 vµo (6) cã sinx 1+cos2 x sin x (thÝch hîp (2)) t=2 (thÝch hîp (5)) x= k2 , k Z Lu ý * Phương trình trên còn có thể giải phương pháp đánh giá, các bạn xem phần sau * Phương trình trên thuộc dạng : P(x)+Q(x) P(x) Q(x) 2 P(x).Q(x) ( +2 >0) Đó là phương trình đối xứng P(x), Q(x), ẩn phụ phương trình này là t= P(x) Q(x) Ví dụ 11 : Giải phương trình sin 8x+cos8x= 17 32 (1) Lop12.net 13 (14) (Häc viÖn Kü thuËt mËt m· - N¨m 1999) Lêi gi¶i 4 17 1-cos2x 1+cos2x Ta cã : (1) + (cos4 2x+6cos2 2x+1)= 32 §Æt cos 2x=t, t [0; 1], ta cã : t= 17 13 2 t +6t+1= t +6t- =0 4 t=- 13 1 cos4x+1 V× t [0; 1] nªn t= cos2 2x= cos4x=0 x k (k z) 2 2 Ví dụ 12 : Giải phương trình : (sinx+3)sin x x (sin x 3)sin 2 (1) (Häc viÖn Qu©n y - N¨m 1997) Lêi gi¶i C¸ch : §Æt sin x t, t 1, phương trình (1) trở thành : (sinx + 3)t2 - (sinx + 3)t + = (2) Do sinx+3>0 nên (2) là phương trình bậc hai t, =(sinx+3)2 4(sin x 3) (sin x 1)(sin x 3) 0, x R Do vËy : =0 sin x sin x sin x (2) sin x x k, k Z b 2x 1 x cosx t=- 2a sin 1 2sin C¸ch : (1) (sinx+3)sin x x x x sin 1-(sinx+3)sin cos2 =0 2 2 4-(sinx+3)sin x=0 sin 3x+sin x-4=0 (sinx-1)(sinx+2)2 sinx=1 x= k2 , k Z Lưu ý Cách giải trên đây gọi là cách đặt ẩn phụ không toàn phần Nghĩa là sau đặt ẩn phụ, ẩn cũ và ẩn cùng tồn phương trình Bộ phận chứa ẩn cũ còn lại xem là tham số phương trình Cách đặt ẩn phụ không toàn phần ưu việt nó dẫn tới phương trình bậc hai có bình phương đa thức Các bạn theo dõi ví dụ Ví dụ 13 : Giải phương trình 2sinx + 2cotgx = sin2x + (1) Lêi gi¶i §iÒu kiÖn : sinx 2cosx =2sinxcosx+2 sinx (1-cosx)sin x-sinx+cosx=0 Ta cã : (1) 2sinx+ (2) (3) Lop12.net 14 (15) Đặt t=sinx, 0<t 1, phương trình (3) trở thành: (1-cosx)t -t+cosx=0 (4) t=1 Do sinx cosx 1, vµ tæng c¸c hÖ sè b»ng kh«ng nªn (4) cosx t= 1-cosx k2 (tháa m·n ®k (2)) (5) cosx cosx * Víi t= , ta cã sinx= sinx(1-cosx)=cosx sinxcosx+cosx-sinx=0 (6) 1-cosx 1-cosx 1-z §Æt z=cosx-sinx= cos x+ , z 2, ta cã z =1-2sinxcosx sinxcosx= 4 * Víi t=1, ta cã sinx=1 x= z (lo¹i) 1-z PT (6) trë thµnh z z2 2z 2cos x+ 2 4 z=1- cos x x=- +l2 víi cos = 4 2 (7) Ví dụ 14 : Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (1) Lêi gi¶i (1) 2sin2xcosx + 3sinx - 4sin3x = 6cos3x NhËn thÊy nÕu cosx = 0, PT (1) kh«ng tháa m·n Chia c¶ hai vÕ cña (1) cho cos3x, ta ®îc : 2tg2x + 3tgx(1+tg2x) - 4tg3x = Đặt t = tgx, ta phương trình : t=2 t3 - 2t2 - 3t + = (t-2)(t2 - 3) = t= Từ đó, ta có : x= +k (víi tg =2) tgx=2 x=- l tgx=3 (k, l, m Z) tgx= x= m Lưu ý Nếu PT có các số hạng bậc và bậc ba sinx và cosx, thì ta có thể chia hai vế PT cho cho cos3x sin3x để đưa PT đã cho PT bậc ba tgx cotgx Ví dụ 15 : Giải phương trình tgx + 2sin2x = Lêi gi¶i ĐK : cosx Đặt tgx=t, ta phương trình : 4t t+ t -3t +5t-3=0 (t-1)(t -2t+3)=0 1+t V× t -2t+3>0, t R nªn ta ®îc nghiÖm : t=1 tgx=1 x= k (k Z) Lưu ý Nếu PT có các số hạng : tgx, cotgx và cos2x, sin2x, thì ta đặt tgx = t Khi đó : sin2x= 2t 1-t 2t ; cos2x= ; tg2x= 2 1+t 1+t 1-t Sau đó biến đổi PT bậc cao t Lop12.net 15 (16) III Phương pháp biến đổi phương trình tích Những phương trình loại này đòi hỏi kỹ thuật biến đổi và kinh nghiệm nhận dạng để định hướng cho phÐp gi¶i ë ®©y xin nªu lªn mét sè kinh nghiÖm * Kỹ thuật biến đổi tổng thành tích và ngược lại : Ví dụ : Giải phương trình 1+ sinx + cos3x = cosx + + sin2x + cos2x (1) (ĐH Ngoại Thương TP HCM - Năm 2000) Lêi gi¶i Ta cã (1) (1 – cos2x) + sinx + (cos3x - cosx) - sin2x = 2sin2x + sinx – 2sin2xsinx – 2sinxcosx =0 (2sinx + – 4sinxcosx -2cosx)sinx = (2sinx + 1) (1 -2 cosx)sinx = x k2 cos x x l sinx=0 (k, l Z ) x= m2 sinx= m2 x Ví dụ 2: Giải phương trình 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - (1) (Häc viÖn Ng©n hµng - Khèi A - N¨m 2001) Lêi gi¶i Ta cã : (1) 2.2sinxcosx-(1-2sin x)=7sinx+2cosx-4 2.2sinxcosx-2cosx+2sin x 7sin x cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 3) (2sinx-1)(2cosx+sinx-3)=0 x 2k sinx= (k Z) 5 2 x 2k 2cosx+sinx=3 : v« nghiÖm (Do +1 <3 ) Ví dụ : Giải phương trình 2cos2x-8cosx+7= cosx (1) (§¹i häc Ngo¹i ng÷ Hµ Néi - N¨m 2000) Lêi gi¶i §K : cosx (2) Nh©n hai vÕ cña PT (1) víi cosx 0, ta ®îc 2cosxcos2x-8cos2 x cos x cos x(2 cos2 x 1) 8cos2 x cos x cos3 x 8cos2 x cos x (cos 1)(4 cos2 x cos x 1) (cos x 1)(2 cos x 1)2 cos x x k2 cos x x l2 (thÝch hîp ®k (2)) Ví dụ : Giải phương trình x 3x x 3x cosxcos cos sin x sin sin 2 2 (1) (§H Y khoa Hµ Néi - N¨m 1997) Lop12.net 16 (17) Lêi gi¶i Ta cã : (1) cosx(cosx+cos2x)+sinx(cos2x-cosx)=1 cosxcos2x+sinxcos2x-sinxcosx-sin x cos2x(cosx+sinx)-sinx(cosx+sinx)=0 (cosx+sinx)(cos2x-sinx)=0 (cosx+sinx)(-2sin x-sinx+1)=0 x k tgx=-1 sinx=-1 x l2 (k, l, m z) sinx= x m2 ; x= 5 m2 6 Lưu ý Nếu PT có chứa các số hạng là tích nhiều thừa số sin cosin thì nói chung, ta phải sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng, sau đó tìm cách đưa PT tích đặt ẩn số phụ để dược PT bậc 2, 3… Ví dụ : Giải phương trình sin x cos x cos2 x sin x cos x cos x 8 8 8 3 3 (1) (§¹i häc Y Th¸i B×nh - N¨m 2001) Lêi gi¶i 2 Ta cã : (1) sin 2x cos 2x 2(1 cos2x) cos cã2x 4 4 sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x 4 4 4 4 7 3 2x k2 x k 7 12 cos 2x cos 2x cos (k Z) 3 12 2x 7 k2 x 5 k 12 24 * Kü thuËt h¹ bËc : x x tg x-cos2 =0 2 4 Ví dụ : Giải phương trình sin (1) (§Ò thi TS§H - Khèi D - N¨m 2003) Lêi gi¶i §K : cosx Ta cã : (1) (2) 1 sin x 1-cos x- - (1+cosx)=0 2 cos x 2 1-sin x (1-cosx)(1+cosx) -(1+cosx)=0 -(1+cosx)=0 1-cos x 1+sinx (1+cosx)(1-cosx-1-sinx)=0 (1+cosx)(cosx+sinx)=0 (1-sinx) x=- k sinx+cosx=0 tgx=-1 (k, l z) 1+cosx=0 cosx=-1 x=(2l+1) Ví dụ : Giải phương trình sin x x x sinx-cos sin x+1=2cos 2 2 Lop12.net (1) 17 (18) (§HSP Tp HCM - N¨m 2000) Lêi gi¶i x x Ta cã : (1) sin sin x cos sin x cos 2 2 x x x x sin sin x cos sin x sin x sin x sin x cos sin 1 2 2 x x x x sin x sin cos2 1 sin x sin sin 1 2 2 2 sin x sin x x=k x=k x sin x sin x x=k x x sin sin l2 2 x=(4l+1) 2 Ví dụ : GiảI phương trình sin23x - cos24x = sin25x - cos26x (§Ò thi TS§H - Khèi B - N¨m 2003) Lêi gi¶i 1-cos6x cos8 x cos10 x cos12 x 2 2 cos12 x cos10 x (cos8 x cos6 x ) cos11x cos x cos14 x cos x Ta cã : (1) cosx(cos11x-cos7x)=0 cosxsin9xsin2x=0 sin9xsin2x=0 x=k (k, l z) x=l * Kỹ thuật tìm nhân tử chung đưa phương trình tích : Ví dụ : Giải phương trình (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx (§Ò thi TS§H - Khèi D - N¨m 2004) Lêi gi¶i Ta cã : (1) (2cosx-1)(2sinx+cosx) = 2sinxcosx-sinx (2cosx-1)(2sinx+cosx) = sinx(2cosx-1) (2cosx-1)(2sinx+cosx-sinx) = (2cosx-1)(sinx+cosx)=0 x= k2 cosx= 2cosx-1=0 (k, l z) 2 sinx+cosx=0 x=- l tgx=-1 Ví dụ 10 : Giải phương trình 2sin52x - sin32x - 6sin22x + = (1) Lêi gi¶i Ta cã (1) sin 2x(2sin 2x-1)-3(2sin 2x-1)=0 (2sin 2x-1)(sin 2x-3)=0 (2) Do (sin 2x-3) -2<0 nªn (2) 2sin 2x-1 -cos4x=0 4x= (2k+1) (2k+1) x= , kz Ví dụ 11 : Giải phương trình cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x) (1) (§¹i häc Quèc gia Hµ Néi - N¨m 1999) Lop12.net 18 (19) Lêi gi¶i Ta cã : (1) cos6 x(2 cos2 x 1) sin x(1 2sin x) cos2x(sin x cos6 x) cos2x(sin x cos2 x)(1 sin x cos2 x) cos2x 2x k x k (k z) Ví dụ 12 : Giải phương trình sin 5x x 5cos3 x sin 2 (Häc viÖn Quan hÖ Quèc tÕ - N¨m 1996) Lêi gi¶i 5x x x sin sin (5cos3 x 1) 2 3x x cos sin x sin (5cos3 x 1) 2 3x x x x cos cos sin sin (5cos3 x 1) 2 2 x 3x x sin 5cos3 x cos cos 2 2 Ta cã : (1) sin x sin 5cos3 x 2(2 cos2x cosx) x sin 5cos3 x 2(2 cos2 x 1) cosx 1 x sin (5cos3 x cos2 x cosx 1) x sin (cosx 1)(5cos2 x cosx 1) x sin x k2 x sin cosx x l2 x m2 5cos x cosx 5cos x cosx đó cos= -1+ 21 , 10 cos= -1- 21 10 Ví dụ 13 : Giải phương trình tg x= 1+cosx 1-sinx (1) (§H N«ng L©m TP Hå ChÝ Minh - N¨m 1997) Lêi gi¶i §K : cosx Ta cã : tg x= (1) (2) 1-cos2 x (1+cosx)(1-cosx) = , thay vµo (1) ta cã 1-sin x (1-sinx)(1+sinx) (1+cosx)(1-cosx) 1+cosx 1+cosx 1-cosx = -1 =0 (1-sinx)(1+sinx) 1-sinx 1-sinx 1+sinx 1+cosx=0 (1+cosx)(sinx+cosx) 0 (tháa m·n ®k (2)) (1-sinx)(1+sinx) sinx+cosx=0 x=(2k+1) cosx=-1 (k, m Z ) x=- m tgx=-1 Lop12.net 19 (20) Ví dụ 14 : Giải phương trình + cos3x - sin3x = sin2x (1) (§H N«ng nghiÖp I Hµ Néi - N¨m 2000) Lêi gi¶i Ta cã : (1) (1-sin2x)+cos3 x sin x (cos2 x+sin x-2cosxsinx)+(cosx-sinx)(cos2 x+sin x-cosxsinx)=0 (cosx-sinx)2 (cos x sin x )(1 cos x sin x ) (cos x sin x )(cos x sin x cos x sin x ) cos x sin x cos x sin x sin x cos x * Ta cã : (2) tgx=1 x= (2) (3) k t2 1 * §Æt t=cosx+sinx= cos x , t 2, suy cosxsinx= , phương trình (3) trở thành : 4 t- t 1 t2 1 t 2t t (lo¹i) Víi t=-1 ta cã cos x 1 cos x 4 4 3 x m2 x m2 3 4 cos x cos (4) 4 x 3 n2 x (2 n 1) 4 Từ (3) và (4) suy tập nghiệm phương trình đã cho là : x= k , x= m , x=(2n-1) Ví dụ 15: Giải phương trình sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2 + cos3x + cos4x (1) (ĐH Ngoại Thương Hà Nội – Năm 1998) Lêi gi¶i Ta cã : (1) (sinx-cosx)+(sin x-cos2 x)+(sin x-cos3 x)+(sin x-cos4 x)=0 (sinx-cosx)+(sinx-cosx)(sinx+cosx)+(sinx-cosx)(sin x+cos2 x+sinxcosx)+ +(sin x-cos2 x)(sin x+cos2 x)=0 (sinx-cosx)[1+(sinx+cosx)+(sin x+cos2 x+sinxcosx)+ +(sinx+cosx)(sin x+cos2 x)=0 (sinx-cosx)[2+2(sinx+cosx)+sinxcosx]=0 (sinx-cosx)[4+4(sinx+cosx)+2sinxcosx]=0 (sinx-cosx)[(sinx+cosx)2 4(sin x+cosx) 3] (sinx-cosx)(sin x cos x 1)(sin x cos x 3) x= k tgx=1 sinx-cosx=0 x= l2 sinx+cosx=-1 cos x- = 4 x=- +l2 Lop12.net (k, l Z) 20 (21)