Cách giải phương trình lượng giác và những ví dụ vui

WWW.ToanCapBa.Net Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức logarit có nghĩa. Ngoài ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa tan x va cotgx thì cần điều kiện để tan x và cotgx có nghĩa. Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương trình cơ bản . Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra. Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại. 1.1-Phương trình lượng giác cơ bản 1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác . 1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản. a) Giải và biện luận phương trình sin x m= (1) Do [ ] sin 1;1x ∈ − nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử α khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt. 2 sin sin , 2 x k x k x k α π α π α π = +  = ⇔ ∈  = − +  ¢ WWW.ToanCapBa.Net 1 WWW.ToanCapBa.Net -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m= sin α . Ta có: 2 sin sin , 2 x k x k x k α π α π α π = +  = ⇔ ∈  = − +  ¢ Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như ; ; ; ; ;2 6 4 2 3 π π π π π π       vì sau khi biến đổi các bài toán thương đưa về các cung đặc biệt. Ví dụ 1: Giải phương trình 1 sin 4 x = Giải: Ta nhận thấy 1 4 không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt 1 4 = sin α Khi đó ta có: 2 sin sin , 2 x k x k x k α π α π α π = +  = ⇔ ∈  = − +  ¢ Vậy phương trình có 2 họ ngiệm Ví dụ 2: Giải phương trình 3 sin(3 ) 4 2 x π + = Giải: WWW.ToanCapBa.Net 2 WWW.ToanCapBa.Net Do 3 sin 3 2 π = nên 3 sin(3 ) sin(3 ) sin 4 2 4 3 2 3 2 3 2 4 3 4 3 24 3 5 2 3 2 3 2 4 3 3 4 24 3 x x x k x k x k k x k x k x k π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π + = ⇔ + =    + = + = − + + = +    ⇔ ⇔ ⇔ ∈       + = − + = − − + = +       ¢ Vậy phương trình có hai họ nghiệm . b) Giải và biện luận phương trình lượng giác cos ( )x m b= Ta cũng đi biện luận (b) theo m Bước 1: Nếu 1m > phương trình vô nghiệm . Bước 2: Nếu 1m ≤ ta xét 2 khả năng: -Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử góc α . Khi đó phương trình có dạng 2 cos cos , 2 = +  = ⇔ ∈  = − +  ¢ x k x k x k α π α α π -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cos của góc đặc biệt khi đó đặt m = cos α .Ta có: 2 cos cos , 2 = +  = ⇔ ∈  = − +  ¢ x k x k x k α π α α π Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ. Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1 cos 2 x = − Giải: WWW.ToanCapBa.Net 3 WWW.ToanCapBa.Net Do 2 1 cos( ) cos 3 3 2 π π π − = = − nên 1 2 cos cos cos 2 ( ) 2 3 3 x x x k k π π π = − ⇔ = ⇔ = ± + ∈¢ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: 3cos(2 ) 1 6 x π + = Giải: 1 3cos(2 ) 1 cos(2 ) 6 6 3 x x π π + = ⇔ + = Vì [ ] 1 1;1 3 ∈ − và 1 3 không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc [ ] 0; α π ∈ sao cho 1 cos 3 α = Ta có: cos(2 ) cos 2 2 6 6 x x k π π α α π + = ⇔ + = ± + 2 2 ( ) 6 12 2 ⇔ = − ± + ⇔ = − ± + ∈¢x k x k k π π α α π π Vậy phương trình có hai họ nghiệm . c) Giải và biện luận phương trình lượng giác tan ( )=x m c Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cos 0 , 2 ≠ ⇔ ≠ + ∈¢x x k k π π Bước 2: Xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử α khi đó phương trình có dạng tan tan ,= ⇔ = + ∈¢x x k k α α π WWW.ToanCapBa.Net 4 WWW.ToanCapBa.Net -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt m = tan α ta được tan tan ,= ⇔ = + ∈¢x x k k α α π Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình tan 3x = Giải : Do 3 tan 6 π = nên ta có: tan 3 tan tan 6 6 x x x k π π π = ⇔ = ⇔ = + k∈¢ Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình tan( ) 2 5 x π − = Giải: Điều kiện: cos( ) 0 5 5 2 x x k π π π π − ≠ ⇔ − ≠ + Do 2 không thể biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt nên ta đặt tan 2 α = . Từ đó ta có tan( ) 2 tan( ) tan ( ) 5 5 5 5 x x x k x k k π π π π α α π α π − = ⇔ − = ⇔ − = + ⇔ = − − ∈¢ Vậy phương trình có một họ nghiệm. d) Giải và biện luận phương trình lượng giác cot ( )=x m d Ta cũng đi biện luận theo m Bước1: Đặt điều kiện sin 0x x k k π ≠ ⇔ ≠ ∈¢ Bước 2: Xét 2 khả năng WWW.ToanCapBa.Net 5 WWW.ToanCapBa.Net -Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử α khi đó phương trình có dạng cot cot ,x x k k α α π = ⇔ = + ∈¢ -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt m = cot α ta được cot cot ,x x k k α α π = ⇔ = + ∈¢ Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (d) luôn có nghiệm. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1 cot( ) 4 3 x π − = (1) Giải: Điều kiện cos( ) 0 4 − ≠x π 4 4 x k x k k π π π π ⇔ − ≠ ⇔ ≠ − ∈¢ (*) Ta có: (1) ⇔ cot( ) cot 4 3 4 3 12 x x k x k k π π π π π π π − = ⇔ − = + ⇔ = − − ∈¢ Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình cot(4 35 ) 1 o x + = − Giải: Ta nhận thấy cot( 45 ) 1 o − = − nên ta có cot(4 35 ) 1 cot(4 35 ) cot( 45 ) o o o x x+ = − ⇔ + = − 4 35 45 180 4 80 180 20 45 ( ) o o o o o o o x k x k x k k+ = − + ⇔ = − + = − + ∈¢ Vậy phương trình có 1 họ nghiệm . Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức. 1.2- Một số phương trình lượng giác thường gặp. 1.2.1- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác WWW.ToanCapBa.Net 6 WWW.ToanCapBa.Net Dạng 1: 2 sin sin 0 ( 0; , , )a x b x c a a b c+ + = ≠ ∈¡ (1) Cách giải: Đặt sint x= , điều kiện | |t 1≤ Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm x Dạng 2: 2 cos cos 0 ( 0; , , )a x b x c a a b c+ + = ≠ ∈¡ (2) Cách giải: Đặt cost x= điều kiện | |t 1≤ ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình bậc hai theo t , giải tìm t rồi tìm x Dạng 3: 2 tan tan 0 ( 0; , , )a x b x c a a b c+ + = ≠ ∈¡ (3) Cách giải: Điều kiện cos 0 , 2 x x k k π π ≠ ⇔ ≠ + ∈¢ Đặt ( ) tant x t= ∈¡ ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo t , chú ý khi tìm được nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không Dạng 4: 2 cot cot 0 ( 0; , , )a x b x c a a b c+ + = ≠ ∈¡ (4) Cách giải: Điều kiện sin 0x x k k π ≠ ⇔ ≠ ∈¢ Đặt cot ( )t x t= ∈¡ . Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình 2 2cos 3cos 1 0x x− + = (1) Giải: Phương trình (1) 2 cos 1 , 1 2 cos 3 2 x k x k x k x π π π = =     ⇔ ⇔ ∈   = ± + =   ¢ Vậy phương trình có 3 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x − + = (2) Giải: Điều kiện sin 2 0 , 2 ≠ ⇔ ≠ ∈¢ k x x k π WWW.ToanCapBa.Net 7 WWW.ToanCapBa.Net Ta có: ( ) 2 2 2 2 cos sin 2 (2) 4sin 2 sin cos sin 2 cos sin 2 4sin 2 sin .cos sin 2 2cos2 2 4sin 2 cos2 2sin 2 1 sin 2 sin 2 cos2 1 2cos 2 cos2 1 0 * 1 cos2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + = − ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = =   ⇔ − − = ⇔  = −  Ta thấy cos2 1x = không thoả mãn điều kiện. Do đó (*) ⇔ 1 2 cos2 2 2 2 3 3 x x k x k k π π π π = − ⇔ = + ⇔ = ± + ∈¢ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. Bài tập: Bài 1: Giải phương trình: 2 5sin 4sin 1 0x x− − = Bài 2 Giải phương trình: cos2 3cos 4 0x x− − = Bài 3: Giải phương trình: 5 3tan 2 3tan 0 2 x x− − = Bài 4: Giải phương trình: cos(4 2) 3sin(2 1) 2x x+ + + = Bài 5: Giải phương trình: 4 tan 3 3tan3 1 0x x− + = Bài 6: Giải phương trình: 4 2 25 cos 2 6cos 2 16 x x+ = Bài 7: Giải phương trình: 2 2 sin 2 tan6 2cos 2sin 4 x x x π = − Bài 8: Giải phương trình 2 1 2sin 3 2sin sin 2 1 2sin .cos 1 x x x x x + − + = − Bài 9: Giải phương trình 4 4 1 cot 2 25 sin 2 x x + = WWW.ToanCapBa.Net 8 WWW.ToanCapBa.Net 1.2.2- Phương trình bậc nhất đối với sin ,cosx x a)Định nghĩa: Phương trình sin cos (1)a x b x c+ = trong đó a, b, c ∈¡ và 2 2 0a b+ > được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin ,cosx x b) Cách giải. Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước Bước 1:Kiểm tra -Nếu 2 2 a b+ < 2 c phương trình vô nghiệm -Nếu 2 2 2 a b c+ ≥ khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2 Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho 2 2 a b+ , ta được 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + Vì 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 a b a b a b + = + + nên tồn tại góc α sao cho 2 2 2 2 cos , sin a b a b a b α α = = + + Khi đó phương trình (1) có dạng 2 2 2 2 sin .cos sin .cos sin( ) c c x x x a b a b α α α + = ⇔ + = + + Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải Cách 2: Thực hiện theo các bước Bước 1: Với cos 0 2 ( ) 2 x x k k π π = ⇔ = + ∈¢ thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không? Bước 2: Với cos 0 2 ( ) 2 x x k k Z π π ≠ ⇔ ≠ + ∈ Đặt tan 2 x t = suy ra 2 2 2 2 1 sin , cos 1 1 t t x x t t − = = + + WWW.ToanCapBa.Net 9 WWW.ToanCapBa.Net Khi đó phương trình (1) có dạng 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 0 (2) 1 1 t t a b c c b t at c b t t − + = ⇔ + − + − = + + Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau đó giải tìm x. * Dạng đặc biệt: . sin cos 0 ( ) 4 x x x k k π π + = ⇔ = − + ∈¢ . sin cos 0 ( ) 4 x x x k k π π − = ⇔ = + ∈¢ . Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau 2 2 2 2 sin cosa b a x b x a b− + ≤ + ≤ + từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng sin cosy a x b x= + , sin cos sin cos a x b x y c x d x + = + và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác . Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình: sin 2 3cos2 3x x− = (1) Giải : Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho 2 2 1 3 10+ = ta được 1 3 3 sin 2 cos2 10 10 10 x x− = Đặt 3 1 sin , cos 10 10 α α = = . Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng cos sin 2 sin cos2 sin sin(2 ) sin 2 2 2 2 2 x x x x x k x k x k x k α α α α α π α α π π α π α π π − = ⇔ − = = +  − = +   ⇔ ⇔   − = − + = +   k ∈¢ Vậy phương trình có 2 nghiệm WWW.ToanCapBa.Net 10 [...]... Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm *Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất Ví Dụ 3: Giải phương trình: 1 − tan x = 1 + sin 2 x 1 + tan x (3) Giải : π  x ≠ + kπ  cos x ≠ 0  2 ⇔... thống một số phương pháp giải phương trình lượng giác Đứng trước một PTLG lạ, điều mà làm ta băn khoăn là làm thế nào để giải nó, vấn đề nảy sinh trong mỗi chúng ta là phải đưa phương trình về phương trình mà ta đã biết cách giải Và để giải mỗi phương trình ta phải thực hiện các phép biến đổi theo hướng -Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ... phải là nghiệm của phương trình hay không? Bước 2: Nếu cos x ≠ 0 Chia cả hai vế của phương trình trên cho cos n x ta sẽ được phương trình bậc n theo tan Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình : 2 3 cos 2 x + 6sin x.cos x = 3 + 3 (1) Giải: Cách 1: Phương trình (1) ⇔ 3(1 + cos 2 x) + 3sin 2 x = 3 + 3 ⇔ cos 2 x + 3 sin 2 x = 3 1 3 3 π 3... nghiệm của phương trình là x = π π +k 16 8 ,k ∈¢ Bài tập: π  Bài 1: Tìm các nghiệm thuộc  ;3π  của phương trình 2  sin(2 x + 5π 7π ) − 3cos( x − ) = 1 + 2sin x 2 2 Bài 2: Giải phương trình: sin x.cot 5 x =1 cot 9 x Bài 3: Giải phương trình: cos x − 2sin x.cos x = 3 2cos 2 x − sin x − 1 Bài 4: Giải phương trình: sin 5 x =1 5sin x Bài 5: Giải phương trình: 1 + cot 2 x = Bài 6: Giải phương trình: 1... + kπ ⇔ ,k ∈¢  x = π + kπ  2 Vậy phương trình có hai họ nghiệm Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 2: Giải phương trình 2 2(sin x + cos x)cos x = 3 + cos 2 x ( 2) Giải: Ta biến đổi phương trình (2) ⇔ 2 sin 2 x + 2(1 + cos... một hàm -Nếu phương trình chứa hàm lượnggiác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa một cung Dưới đây là một số phương pháp biến đổi tuỳ thuộc vào từng bài toán khác nhau mà ta lựa chọn phương pháp cho phù hợp 2.1 - Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác đã học thực hiện các phép biến đổi đại số và lượng giác đưa phương trình về dạng... dễ giải hơn (2) Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về hệ phương trình đại số Phụ thuộc vào mỗi phương trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo để có được một phương trình mới đơn giản hơn dễ giải hơn Thông thường trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thường gặp 2 loại đặt ẩn phụ sau: +) Đổi biến dưới hàm lượng giác +) Đặt cả biểu thức lượng giác làm ẩn phụ 2.1.1- Đổi biến dưới hàm lượng. .. 2π ⇔ x = − ± α + l 2π 4 4 α ∈¡ , l ∈¢ Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình Vậy phương trình có ba họ nghiệm Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với sin x và cos x với bậc lớn hơn 2 Ví dụ 4: Giải phương trình: cos 4 x x − sin 4 = sin 2 x 2 2 (1) Giải : Ta có: cos 4 x x x x x x − sin 4 = (cos 2 − sin... không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau: 1.3.1 Phương pháp loại nghiệm trực tiếp Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trước hết ta giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*) để loại nghiệm không thích hợp Ví Dụ: Giải phương trình 1 + sin x =0 sin 4 x (1) Giải: Điều kiện sin 4... Vậy phương trình có hai họ nghiệm * Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện một số phép biến đổi thích hợp π Ví Dụ 2: Giải phương trình: sin 3 ( x − ) = 2 sin x 4 (2) Giải : π Ta nhận thấy sin( x − ) có thể biểu diễn được qua sin x − cos x Luỹ thừa bậc ba biểu 4 thức sin x − cos x ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải 3 π π   Phương trình . loại. 1.1 -Phương trình lượng giác cơ bản 1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác . 1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản. a) Giải và biện. d x + = + và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác . Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình: sin 2 3cos2 3x x− = (1) Giải : Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho. ≠ ∈¡ (4) Cách giải: Điều kiện sin 0x x k k π ≠ ⇔ ≠ ∈¢ Đặt cot ( )t x t= ∈¡ . Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình 2 2cos