Cách giải phương trình lượng giác và những ví dụ vui

Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có

Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản

và một số phương trình lượng giác thường gặp

Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện

để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức log arit có nghĩa Ngoài ra trong các PTLG

có chứa các biểu thức chứa tan x va cot gx thì cần điều kiện để tan x và cot gx có

nghĩa

Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các

phương trình cơ bản

Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra Những nghiệm nào

không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại

1.1-Phương trình lượng giác cơ bản

1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số

lượng giác

1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản.

a) Giải và biện luận phương trình sin x m= (1)

Do sinx∈ −[ 1;1] nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau

Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng

-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử α khi đó phươngtrình sẽ có dạng đặc biệt

sinx sin x α k2π ,k

-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m=sinα

Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm

Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như ; ; ; ; ;2

Giải:

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

b) Giải và biện luận phương trình lượng giác cosx m= ( )b

Ta cũng đi biện luận (b) theo m

Bước 1: Nếu m >1phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu m ≤1 ta xét 2 khả năng:

-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử gócα Khi đó phương trình có dạng

-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cos của góc đặc biệt khi đó

đặt m =cosα Ta có: cos cos 2 ,

3 không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc α∈[ 0;π]

sao cho cos 1

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

c) Giải và biện luận phương trình lượng giác tan x m c = ( )

Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện cos 0 ,

-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt m =

d) Giải và biện luận phương trình lượng giác cot x m = ( ) d

-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử α khi đó phương trình có dạng

Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm

Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức

1.2- Một số phương trình lượng giác thường gặp.

Dạng 1: asin2x b+ sinx c+ =0 (a≠0; , ,a b c∈¡ (1))

Cách giải: Đặt t =sinx , điều kiện | |t ≤1

Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm x

Dạng 2: acos2x b+ cosx c+ =0 (a≠0; , ,a b c∈¡ (2))

Cách giải: Đặt t =cosx điều kiện | |t ≤1 ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình

bậc hai theo t , giải tìm t rồi tìm x

Dạng 3: atan2x b+ tanx c+ =0 (a≠0; , ,a b c∈¡ (3))

Cách giải: Điều kiện cos 0 ,

2

Đặt t=tanx (t∈¡ ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo t , chú ý khi )

tìm được nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không

Dạng 4: acot2x b+ cotx c+ =0 (a≠0; , ,a b c∈¡ (4))

Cách giải: Điều kiện sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ k∈¢

Đặt t=cotx (t∈¡ Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t.)

,1

2cos

32

x k x

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình: cot tan 4sin 2 2

sin 2

x

Bài 1: Giải phương trình: 5sin2x−4sinx− =1 0

Bài 2 Giải phương trình: cos 2x−3cosx− =4 0

Bài 3: Giải phương trình: 3tan 2 3tan 5 0

2

Bài 4: Giải phương trình: cos(4x+ +2) 3sin(2x+ =1) 2

Bài 5: Giải phương trình: tan 34 x−3tan 3x+ =1 0

Bài 6: Giải phương trình: cos 24 6cos 22 25

1.2.2- Phương trình bậc nhất đối với sin ,cos x x

a)Định nghĩa: Phương trình sina x b+ cosx c= (1) trong đó a, b, c∈¡ và a2 +b2 >0được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin ,cosx x

b) Cách giải

Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước

Bước 1:Kiểm tra

-Nếu a2 +b2<c phương trình vô nghiệm 2

-Nếu a2 + ≥b2 c2 khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2

Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho a2+b2 , ta được

Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải

Cách 2: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Với cos 0 2 ( )

2

x

nghiệm hay không?

Cách 2:-Ta nhận thấy cosx=0 là nghiệm của phương trình

Hay tanx= =3 tanα ⇔ = +x α kπ ,k∈¢

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng

2sin 2 3(1 cos 2 ) 2sin cos 6cos

(sin 3cos )cos 0

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào

giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoảmãn điều kiện Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 2: Giải phương trình 2 2(sinx+cos )cosx x = +3 cos 2x ( )2

Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán

sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm Ta xét ví dụ sau

Ví Dụ 3: Giải phương trình (1+ 3)sinx+ −(1 3)cosx=2 (3)

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng

(sin cos ) 3(sin cos ) 2 2 sin( ) 6 cos( ) 2

22

Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn.

Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt tan

2

x

t = và ta cũng thu được nghiệm chẵn

*Chú ý: Đối với phương trình dạng sin ( )a P x +bcos ( )Q x =csin ( )Q x +dcos ( ) (*)P x

trong đó a, b, c, d∈¡ thoả mãn a2 +b2 = +c2 d2>0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các hàm hằng số Bằng phép chia cho a2 +b2 ta có (*)⇔sin[P x( )+α] =sin[Q x( )+β]

(4)⇔ cos7x+ 3 sin 7x= 3 cos5x+sin 5x

1cos7 3sin 7 3cos5 1sin 5

Bài tập: Giải các phương trình sau :

1 3sinx+cosx = 3

2 10cosx−24sin 2x=13

3 sin2 x+ 6 cosx=3cos2x+ 2 sinx

4 4cos3x− 3 sin 3x= +1 3cosx

5 sin4 x−cos4x= +1 2 2 sin cosx x

6 2( 3 sinx−cos )x = 7 sin 2x+3(cos4x−sin )4x

8 2 2(sinx+cos )cosx x= +3 cos 2x

9 cosx+2cos 2x=2 2 cos3+ x

10 2 cos( ) 6 sin( ) 2sin( 2 ) 2sin(3 )

1.2.3- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x.

a) Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x ,cos x là phương trình.

asin2x b+ sin cosx x c+ cos2x d= (1) trong đó a, b, c, d ∈¡

b) Cách giải :

Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử sin ,cos2x 2 x hoặc

sin cosx x Chẳng hạn nếu chia cho cos x ta làm theo các bước sau:2

Bước 1: Kiểm tra:

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải

*Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n≥3) với dạng tổng quát

(sin ,cos ,sinn n k cos ) 0h

A x x x x = trong đó k h n k h n+ = ; , , ∈¥

Khi đó ta cũng làm theo 2 bước :

Bước 1: Kiểm tra xem cosx=0 có phải là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Nếu cosx≠0.Chia cả hai vế của phương trình trên cho cosn x ta sẽ được

phương trình bậc n theo tan Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phương trình : 2 3 cos2x+6sin cosx x= +3 3 (1)

Giải:

Cách 1: Phương trình (1)⇔ 3(1 cos 2 ) 3sin 2+ x + x= +3 3⇔cos2x+ 3 sin 2x= 3

1cos 2 3sin 2 3 cos(2 ) 3

Vậy 2

2

x= +π k π k∈¢ không là nghiệm của phươngtrình.

+)Với cosx≠0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta được 2

2 3 6 tan+ x= +(3 3)(1 tan )+ 2x ⇔ +(3 3) tan2x−6 tanx+ −3 3 0=

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

* Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện

2 2 sin ( ) 4sin 2 sin( ) 4sin

+) Với cosx≠0 Chia cả hai vế của phương trình (2) cho cos x ta được :3

(tanx−1)3 =4(1 tan ) tan+ 2x x⇔3tan3x+3tan2 x+tanx− =1 0

Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm

*Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những

phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất

Ví Dụ 3: Giải phương trình: 1 tan 1 sin 2

1 tan

x

x x

cos sin cos sin

1 tan 1 tan tan 1 tan

tan tan 2 tan 0

tan tan 2 tan 0 (*)

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng

π

ππ

Giải các phương trình sau :

1) 3sinx−4sin cosx x+cos2x=0

2) 2cos3x+sin3x−11sin2x−3cosx =0

5) sin3x−5sin2xcosx+7sin cosx 2 x−2cos3x=0

6) sin 2 sinx x+sin 3x=6cos3x

9) cos3x−sin3 x=sinx−cosx

1.2.4-Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x.

a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là phương trình dạng

(sina x+cos )x +bsin cosx x c+ =0 trong đó , ,a b c∈¡ (1)

b) Cách giải:

Cách 1: Do a(sinx cosx+ )2 = +1 sin cosx x nên ta đặt

Điều kiện | |t ≤ 2Suy ra

2 1sin cos

2

t

x x= − và phương trình (1) được viết lại: bt2 +2at− +(b 2 ) 0c =

Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải

*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình

(sin cos ) sin cos 0

a x− x +b x x c+ = bằng cách đặt t =sinx−cosx và lúc đó

21sin cos

z z

24

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

*Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở

Bài toán 1: Giải phương trình a2tanx b+ 2cotx c a= ( sinx b± cos ) (1)x ab≠0

Cách giải: Phương trình (1) có thể viết

2sin2 2cos2

( sin cos )sin cos

⇔ ( sina x b− cos )( sinx a x b+ cos )x =c a( sinx b± cos )x

⇔ ( sina x[ ]± bcos ) ( sinx  a x[ ]mbcos )x −csin cosx x=0

⇔(sinx− 3 cos )(sinx x+ 3 cos ) 4(sinx = x+ 3 cos )sin cosx x x

⇔(sinx+ 3 cos ) (sinx  x− 3 cos )sin 2x x=0

Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm

Bài toán 2: Giải phương trình:

(tan sin 1) (cot cos 1) 0

(sin sin cos cos ) (sin sin cos cos ) 0

Đến đây chúng ta đã biết cách giải

Tương tự cho phương trình a(tanx[ ]± sin )x +b(cotx[ ]± cos )x − + =a b 0

(3)⇔ tanx−sinx− 3(cotx−cos ) 1x + − 3 0=

1 (sin sin cos cos ) 3 (sin sin cos cos ) 0

 = −

⇔ 

= +



Kết hợp với điều kiện (*) thì t= +1 2 bị loại

Với t = −1 2 ta có 2 cos( ) 1 2 cos( ) 1 2 cos

Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy phương trình có ba họ nghiệm

Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức

đối xứng đối với sin x và cos x với bậc lớn hơn 2.

Ví dụ 4: Giải phương trình: cos4 sin4 sin 2 (1)

Phương trình (1) có dạng

cos sin 2 cos 2sin cos

261

6cos 0

22

2

1

1 sin 22

⇔ (8 6sin 2 )sin 2− 2 x x = −4 2sin 22 x

⇔3sin 23 x−sin 22 x−4sin 2x+ =2 0

⇔ (sin 2x−1)(3sin 22 x+2sin 2x− =2) 0

Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện sin 2x≠0

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm

2 2(tanx−sin ) 3(cotx + x−cos ) 5 0x + =

3. 1 cos+ 3x−sin3x =sin 2x

4 sinx+cosx=( 3 1)cos 2− x

5 2cos2 (1 sin ) cos2 0

2

x

6 sin3x+cos3x=sin 2x+sinx+cosx

7 4(sin4x+cos )4x + 3sin 4x=2

1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng tan x và cotx.

đưa phương trình đã cho về dạng đại số ( ) 0F t =

Bước 2: Giải phương trình ( ) 0F t = loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán

Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x

tan cot 3tan cot (tan cot )

tan cot 2 tan cot 2(tan cot ) 8 0

x= +π kπ là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài tập:Giải các phương trình sau:

1 2(tanx+cot ) tanx = 7 x+cot7x

4 tan2 2(tan cot ) 11 12

6 sinx+cosx =tanx+cotx

7 8(tan4 x+cot ) 9(tan4x = x+cot )x 2 −10

1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG.

Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta

có thể loại những nghiệm không thích hợp

Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau:

1.3.1 Phương pháp loại nghiệm trực tiếp

Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trước hết ta giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*) để loại nghiệm không thích hợp

Ví Dụ: Giải phương trình 1 sin 0

sin 4

x x

(1)

Giải:

Điều kiện sin 4x ≠0 (*)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

1.3.2- Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác).

Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Gọi L làtập các cung không thoả mãn các điều kiện (*), N là tập nghiệm của phg trình (1).Ta biểudiễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng một đường tròn lượnggiác Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung

thuộc N ta đánh dấu (.) Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị

đánh dấu (x) là nghiệm của phương trình

Ví Dụ: Giải phương trình: cos cot 2x x =sinx (1)

⇔ = ⇔ cos cos 2x x=sin sin 2x x

cos cos2x x sin sin 2x x 0

Từ đó ta có nghiệm của phương trình (1) là 6

Chương II: Hệ thống một số phương pháp giải phương trình lượng giác

Đứng trước một PTLG lạ, điều mà làm ta băn khoăn là làm thế nào để giải nó, vấn

đề nảy sinh trong mỗi chúng ta là phải đưa phương trình về phương trình mà ta đã biếtcách giải Và để giải mỗi phương trình ta phải thực hiện các phép biến đổi theo hướng-Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì biến đổi tương đương

về phương trình chỉ chứa một hàm

-Nếu phương trình chứa hàm lượnggiác của nhiều cung khác nhau thì biến đổitương đương về phương trình chỉ chứa một cung

Dưới đây là một số phương pháp biến đổi tuỳ thuộc vào từng bài toán khác nhau

mà ta lựa chọn phương pháp cho phù hợp

2.1 - Phương pháp biến đổi tương đương

Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác đã học thực hiện các phép biến đổi đại

số và lượng giác đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải

Chú ý : Ta phải chú ý đến mối liên hệ giữa các cung của các hàm lượng giác

Vì mối liên hệ này sẽ chỉ đường cho cách biến đổi phương trình

Ví dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải phương trình 3sin3x− 3 cos9(π + = +x) 1 4sin 33 x (1)

Giải:

Nhận xét: Ta nhận thấy trong bài toán có 2 số hạng 3sin3 ,4sin 3x 3 x ta có thể sử

dụng được công thức góc nhân ba

Ta có (1)⇔3sin 3x−4sin 33 x− 3 cos9x=1

Vậy phươngtrình có 2 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình sin cos33x x+sin 3 cosx 3x =sin 43 x

Vậy phương trình có một họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình 2 cosx +sinx =1 (1)

Giải :

Ta có :(1)⇔ 2 cosx = −1 sinx ⇔4cos2x= −(1 sin )x 2

< + < ta thấy có 1 giá trị k =0 là thoả mãn

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất

3

Nhận xét : Phương pháp biến đổi tương đương đòi hỏi phải sử dụng nhiều công thức

lượng giác vì vậy việc nắm chắc các công thức và vận dụng linh hoạt vào từng bài toán là

2.1- Phương pháp đặt ẩn phụ.

Phương pháp :

Có 2 loại đặt ẩn phụ

(1) Đặt ẩn phụ , đưa phương trình đã cho về phương trình mới dễ giải hơn

(2) Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về hệ phương trình đại số

Phụ thuộc vào mỗi phương trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo để có đượcmột phương trình mới đơn giản hơn dễ giải hơn

Thông thường trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thường gặp 2 loại đặt ẩnphụ sau:

+) Đổi biến dưới hàm lượng giác

+) Đặt cả biểu thức lượng giác làm ẩn phụ

2.1.1- Đổi biến dưới hàm lượng giác

Phương pháp:

Khi các biểu thức dưới hàm lượng giác có mối liên hệ đặc biệt : bù nhau, hơn kém nhau

2

kπ , biểu thức này gấp hai, ba lần biểu thức kia thường giải bằng phương pháp đổi biến

Ví dụ 1: Giải phương trình cos4 cos2

2cos 2 1 4cos 3cos 2(2cos 1) 1 4cos 3cos

4cos 2 4cos 3cos 1 0

3(cos 1)(cos 3) 0

( ) (*)3

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình sin(3 ) 1sin ( 3 )

25

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm

2.1.2- Đặt một biểu thức lượng giác làm ẩn phụ.

Chú ý một số phương pháp đặt ẩn phụ của phương pháp đại số sau đây +Phương trình trùng phương ax4 +bx2 + =c 0 (a≠0)

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Chú ý: Một số phương trình có cách đặt ẩn phụ không toàn phần ,nghĩa là sau khi đặt ẩn

phụ cả ẩn cũ và ẩn mới cung tồn tại trong phương trình Bộ phận cũ còn lại ấy được xem

là tham số của phương trình

Do sinx+ >3 0 nên phương trình (*) là phương trình bậc hai đối với t

2(sin 3) 4(sin 3)(sin 1)(sin 3)

x

Vậy phương trình có một họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình cosx+ 2 cos+ x =2 (1)

cos2 cos 2 0 cos 1 2 ( )

u, v

 =

