Các phương pháp đê giải phương trình lượng giác

http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP. 1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos Phương pháp: Ta thường dùng các biến đổi cơ bản sau sin cos 2 sin 2 cos 4 4 a a a a                    . sin 3 cos 2sin 2cos 3 6 a a a a                    . 3 sin cos 2sin 2cos 6 3 a a a a                    . Ví dụ 1: Giải phương trình sau   sin 3 cos 3 sinx os3 2 3 sinx x x c x     1 Giải Phương trình     2 1 sin 3 cos os3 sin 3 1 2sin 0 sin 2 3 os2 0 x x c x x x x c x         2sin 2 0 2 3 3 6 2 k x x k x                     , k   . Vậy nghiệm của phương trình là : 6 2 k x      , k   . Ví dụ 2: Giải phương trình sau 4 4 4 sin os 3sin 2 4 2 2 x x c x                        2 Giải Phương trình   2 2 2 2 1 4 1 2sin os 3sin 2 4 4 1 sin 3 sin 2 4 2 2 2 x x c x x x                                 http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP. 2 3 1 4 os2 3 sin 2 4 3 sin 2 os2 1 2sin(2 ) 1 4 4 6 c x x x c x x                    2 2 1 6 6 sin(2 ) , . 2 7 6 2 2 2 3 6 6 x k x k x k x k x k                                       Vậy nghiệm của phương trình là : 2 3 x k x k           , k   . Ví dụ 3: Giải phương trình sau 2 2 2cos 2 3 os4 4cos 1 4 x c x x              3 Giải Phương trình   3 1 os 4 2 c x            2 2 3 os4 4 cos 1 sin 4 3 os4 4cos 2 c x x x c x x       4 2 2 1 3 6 sin 4 os4 os2 os 4 os2 2 2 6 4 2 2 6 x x k x c x c x c x c x x x k                               12 36 3 x k k x                Vậy nghiệm của phương trình là : 12 , . 36 3 x k k k x                 Ví dụ 4: Giải phương trình sau 2 2 3 os 2sin 3 cos sin 4 3 1 3 sinx cos c x x x x x        4 Giải Điều kiện: 3 sinx cos 0 sin 0 6 x x             . http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP. 3 Khi đó phương trình   4  2 2 3 os 2sin 3 cos sin 4 3 3 sinx cos c x x x x x         2 3 2cos 1 sin 4 sin 2 sin 4 3 sinx cos x x x x x        2 2 3 6 3 os2 sin 2 3sinx cos sin 2 sin 3 6 2 2 3 6 x x k c x x x x x x x k                                             2 6 2 6 3 x k k x                 , k   , kết hợp điều kiện ta có 2 6 3 k x     với 1 3 k n   , n   . Vậy nghiệm của phương trình là : 2 6 3 k x     với 1 3 k n   , n   , k   . Bài tập: Giải các phương trình sau 1. sin 3 sin 5 3sin 2 1 os3 cos5 x x x c x x    Đáp số: x k   ; 3 x k      , k   . 2. 2 2 cos (sinx cos ) os2 3 x x c x    Đáp số: Phương trình vô nghiệm. 3. 3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0 x x x x    Đáp số: 2 ; 18 3 6 2 k k x x          , k   . 4. 3 2sin15 3 os5 os 5 2 x c x c x           Đáp số: ; 15 10 30 5 k k x x          , k   . 5.      1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x     http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP. 4 Đáp số: 2 18 3 k x      ,k   . 6. 2 4 2sin sin sin 2 3cos cos os 1 3 3 3 3 x x x x x c x                                   HD: sin 3 3 os3 2 x c x    . Đáp số: 2 18 3 k x     ,k   . 7. 2 2 2 3 sin( ) os( ) 2cos ( ) 3 4 sin os( )sin( ) 8 8 8 3 6 x c x x x c x x                     HD: 7 3 os 2 12 2 c x           . Đáp số: 5 24 x k     , 3 8 x k     , k   . 8. 2 3 2 os( ) 6 sin( ) 2sin( ) 2sin( ) 5 12 5 12 5 3 5 6 x x x x c            Đáp số: 5 5 4 x k     , 5 5 12 x k      , 5 5 3 x k      , k   . Dạng 2: Đưa về phương trình chỉ chứa một hàm lượng giác Phương pháp: Dùng các phép biến đổi cơ bản đưa phương trình dạng phức tạp về phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác. Ví dụ 1: Giải phương trình sau   2 cos 2sin 3 2 2cos 1 1 1 sin 2 x x x x        2 Giải Điều kiện: sin 2 1 x   . Phương trình   2   2 cos 2sin 3 2 2cos 1 sin 2 1 x x x x       2 2cos 3 2 cos 2 0 x x     cos 2 2 cos 2 x x         2 cos 2 2 4 x x k         .Kết hợp kiện 2 4 x k      , k   . http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP. 5 Vậy nghiệm của phương trình là: 2 4 x k     , k   . Ví dụ 2: Giải phương trình sau   2 os2 3 sin 2 3 sinx 3 cos c x x x       1 Giải Phương trình   1 1 3 1 3 2 2 os2 sin 2 6 sin os 2 2 2 2 c x x x c x                      1 os 2 3cos 3 6 c x x                    2 cos 0 6 2cos 3cos 0 6 6 3 cos 6 2 x x x x                                             Với : cos 0 6 x           2 6 2 3 x k x k            , k   . Với : 3 cos 6 2 x           vô nghiệm . Vậy nghiệm của phương trình là: 2 3 x k     , k   . Ví dụ 3: Giải phương trình sau 2 tan 5sin 1 4 x x             3 Giải Điều kiện: os 0 4 c x          . Khi đó phương trình   3 2 2 1 tan 6tan 1 1 tan 1 tan x x x x                2 2 1 tan 1 tan 1 tan 1 6 tan x x x x        2 tanx 7 tan 5tan 2 0 tan 0 x x x       x k    , k   (thỏa mãn điều kiện). Vậy nghiệm của phương trình là: x k   , k   . http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP. 6 Bài tập: Giải các phương trình sau 1.   3 sin 2 sinx os2 cos 2 x c x x     HD: Đưa phương trình về dạng: 2 2sin sin 0 6 6 x x                   . Đáp số: 2 x k     , 6 x k     , 2 3 x k     , k   . 2.     2 2sin 1 4 sinx 1 os 2 sin 2 4 4 x c x x                      HD: Đưa phương trình về dạng:   2 sin 2 1 sinx 2 0 x     . Đáp số: 2 2 x k     , k   . 3. 2 17 sin 2 16 3 sin 2 20sin 2 2 12 x x x                    HD:Đưa phương trình về dạng: 2 2cos 5cos 2 0 6 6 x x                    . Đáp số: 2 2 x k     , 5 2 6 x k      , k   . 4. os2 3 sin 2 3sinx cos 4 0 c x x x      HD:Đưa phương trình về dạng: 2 sin sin 3 0 6 6 x x                    . Đáp số: 2 3 x k     , k   . 5.   6 6 2 sin os sin x cos 0 2 2sin x c x x x     HD:Đưa phương trình về dạng: 2 3sin 2 sin 2 4 0 x x    . Đáp số: 5 2 4 x k     , k   . 6.   2 5sin 2 3 1 sinx tan x x    http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP. 7 HD:Đưa phương trình về dạng: 2 2sin 3sin 2 0 x x    . Đáp số: 2 6 x k     , 5 2 6 x k     , k   . 7.     cos cos 2sin 3sin sinx 2 1 sin 2 1 x x x x x      HD:Đưa phương trình về dạng: 2 2sin 3 2 sin 2 0 x x    . Đáp số: 2 4 x k      , k   . 8. 2 2 2 1 sin sin 1 cos 3 3 2 x x x                    HD:Đưa phương trình về dạng: 2 2 os os 1 0 c x c x    . Đáp số: 2 3 x k      , 2 x k     k   . Dạng 3: Đưa về phương trình tích Phương pháp: Đưa phương trình về dạng tích điều quan trong nhất là làm sao phát hiện được nhân tử chung một cách nhanh nhất. Ngoài phương pháp sử dụng công thức biến đổi lượng giác: biến tích thành tổng, tổng thành tích, công thức hạ bậc Ta thường dùng các biến đổi cơ bản sau đây:     2 sin 1 cos 1 cos a a a    ;     2 os 1 sina 1 sina c a      2 1 sin 2 sin cos a a a    ;   2 1 sin 2 sin cos a a a        os2 cos sin cos sin c a a a a a    ;   1 os2 sin 2 2cos sin cos c a a a a a     . Ví dụ 1: Giải phương trình sau 1 sinx os3 cos sin 2 os2 c x x x c x        1 Giải Phương trình   1     1 os2 os3 cos sinx sin 2 0 c x c x x x        2 2sin 2sin 2 sin sinx 2sin cos 0 x x x x x        sinx 2sin 2sin 2 1 2cos 0 x x x      http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP. 8     sinx 2sin 1 2cos 1 2cos 0 x x x              sinx 1 2cos 2sin 1 0 x x     sinx 0 1 cos 2 1 sinx=- 2 x            2 3 2 6 7 2 6 x k x k x k x k                            , k   . Vậy nghiệm của phương trình là: 2 3 2 6 7 2 6 x k x k x k x k                           , k   . Ví dụ 2: Giải phương trình sau 9 os2 3sin 2 5 2sin 3 4 c x x x              2 Giải Phương trình       2 os2 3 1 sin 2 5 sin cos 0 c x x x x              2 sinx cos cos sinx 3 sinx cos 5 sinx cos 0 x x x x            sinx cos 0 sinx cos 4sin 2cos 5 0 4sin 2cos 5 0 x x x x x x                sinx cos 0 x   , tan 1 4 x x k          k   . Vì 2 2 2 4 2 5   nên 4sin 2cos 5 0 x x    vô nghiệm Vậy nghiệm của phương trình là: 4 x k      , k   . Ví dụ 3: Giải phương trình sau os2 3sin 2 6cos 9sin 8 0 c x x x x        3 Giải Phương trình   3 2 1 2sin 6sin cos 6 cos 9sin 8 0 x x x x x        http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP. 9         2 2sin 9sin 7 6cos 1 sinx 0 1 sinx 2sin 7 6cos 1 sinx 0 x x x x x                  1 sinx 6cos 2sin 7 0 x x     1 sinx 0 sinx 1 2 6cos 2sin 7 0 2 x k x x                 , k   vì 2 2 2 6 2 7   nên 6cos 2sin 7 0 x x    vô nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình là: 2 2 x k     , k   . Bài tập: Giải các phương trình sau 1.   2sin 1 os2 sin 2 2cos 1 x c x x x     HD: Đưa phương trình về dạng:     2cos 1 2sin cos 1 0 x x x    . Đáp số: 2 2 3 x k      , 4 x k     , k   . 2. 2 2 2 sin tan os 0 2 4 2 x x x c           HD: Đưa phương trình về dạng:     cos 1 sin cos 0 x x x    . Đáp số: 2 x k     , 4 x k      , k   . 3. 2 sin 2 sin 4 4 2 x x                   HD: Đưa phương trình về dạng:   sin 2cos 1 0 4 x x           . Đáp số: 4 x k     , 2 3 x k      , k   . 4. 3 3 sin os sin 2 sinx cos x c x x x     HD: Đưa phương trình về dạng:   sin x cos 2 sinx cos 0 x x    . Đáp số: 2 k x   k   . 5. 3 2 os os 2sin 2 0 c x c x x     http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP. 10 HD: Đưa phương trình về dạng:     1 s inx sinx cos sin x cos 1 0 x x      . Đáp số: 2 x k   , 2 2 x k     , k   . 6.     4 2 sinx 3 sin sinx 3 sin 1 0 2 2 x x      HD: Đưa phương trình về dạng:    2 1 sinx sinx 2 0    . Đáp số: 2 2 x k     , k   . 7. 3 2cos os2 sin 0 x c x x    HD: Đưa phương trình về dạng:       1 sinx sinx 2 sinx cos 2 0 x      . Đáp số: 2 2 x k     , 2 4 x k      , k   . 8. 4 6 os os2 2sin 0 c x c x x    HD: Đưa phương trình về dạng:   4 2 sin 2sin 1 0 x x   . Đáp số: x k   , k   . 9. 2 2 1 sin sinx os sin 2cos 2 2 4 2 x x x c x            HD: Đưa phương trình về dạng: 2 sinx sin 1 2sin 2sin 1 2 2 2 x x x             .Đáp số: , x k   k   . 10. 2sin2 os2 7sin 2cos 4 x c x x x     HD: Đưa phương trình về dạng:     2sin 1 2cos sinx 3 0 x x     .Đáp số: 5 2 6 x k     , 2 , 6 x k     k   . Dạng 4: Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp: Đặt ẩn phụ là phương pháp thường dùng trong giải phương trình lượng giác. Trong chuyên đề này ta xét hai loại đó là đặt ẩn phụ chuyển phương trình về dạng đại số và đặt ẩn phụ để chuyển phương trình lượng giác thành phương trình lượng giác ẩn mới đơn giản hơn. Trong phương pháp này ta cần chú ý đến điều kiện của ẩn phụ. Ví dụ 1: Giải phương trình sau [...]... 4 tan x  4 cot x  cot 2 x  2  0 2 HD: Đưa phương trình về dạng:  tanx+cotx   4  tanx+cotx   4  0 Đáp số: x     k , 4 k  Dạng 5: Tuyển tập các bài phương trình lượng giác trong các đề thi ĐH từ năm 2002 đến nay Dưới đây là các câu phương trình lượng giác trong đề thi ĐH (kèm đáp số) các khối A, B, D từ năm 2002 đến nay Giải các phương trình sau cos3x  sin 3 x   1 (TSĐH khối A_2002)... Vậy nghiệm của phương trình là: x   2  k , x    k 2 , x  k , k  6 3 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP 11 http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Ví dụ 3: Giải phương trình sau tan x  tan 2 x  tan3 x  cot x  cot 2 x  cot 3 x  6  3  Giải Điều kiện sin x cos x  0  sin 2 x  0 Khi đó phương trình  3  (tan...  t 2  2t  8  0   t  2   t 2  3t  4   0  t  2  tan x  cot x  2  sin 2 x  1 (Thỏa mãn)  x    k , k  4 Vậy nghiệm của phương trình là: x    k , k  4 Bài tập: Giải các phương trình sau 1 sin 3 x  cos 3 x  cos2 x HD: Đưa phương trình về dạng t  sin x  cos x Đáp số: x    sin x  cos x  s inx  cos x  sin x cos x  1  0 ,Đặt  3  k , x  2 k , x   k 2 ,...    1     4   x    5  k 2 x    k 2    4 4    x   2  k 2 , k  Vậy nghiệm của phương trình là:   x    k 2 Ví dụ 2: Giải phương trình sau  8cos3 ( x  )  cos3x  2  3 Giải Đặt t  x    x  t   3 x  3t    cos3 x  cos3t 3 3 , khi đó phương  trình   2  8 cos3 t  cos3t  8 cos3 t  3cos t  4cos 3t  12 cos 3 t  3cos t  0  3cos t 4 cos 2 t ...http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 3 1  sin 3 x  cos3 x  sin 2 x 1 2 Giải Phương trình 1  1  (sin x  cosx) 3  3sin x cos x  s inx  cos x   Đặt t  s inx  cos x , với t  2 3 sin 2 x 2 t2 1 , thay vào phương trình ta có  sin x cos x  2  t 2 1  3 2 3 2 2 1  t  3t    t  1  t  3t  3t... 2 cos x HD: Chia 2 vế phương trình cho sin 2 x rồi đặt t  Đáp số: x   cos x  3t 2  2  3 2 t  2 2  0 sin 2 x      k 2 , x    k 2 , k  4 3  3 x  1   3x  6 sin     sin     10 2  2  10 2  HD: Đặt t  3 3 x 14 4  k 2 , x    2sin t  sin 3t Đáp số: x   k 2 , x   k 2 10 2 5 5 5 k  7 2  s inx  cos x   tanx+cotx HD: Đưa phương trình về dạng: 2  s... cos3 x  cos 2 x  2 sin x  2  0 HD: Đưa phương trình t  sin x  cos x Đáp số: x  về dạng 1  s inx  s inx+ cos x  sin x cos x  1  0   k 2 , x  2k , k  2     4 sin  3 x    sin 2 x sin  x   4 4   Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP 12 ,Đặt http://baigiangtoanhoc.com HD: Đặt t  x  Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học  ... 2 (TSĐH khối B_2002) sin 2 3x  cos 2 4 x  sin 2 5 x  cos 2 6 x Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP 13 http://baigiangtoanhoc.com Đáp số: x  k , x  Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học k , k  9 3 (TSĐH khối D_2002) cos3 x  4 cos 2 x  3cos x  4  0 với x   0;14  3 5 7 ,x ,x ,x 2 2 2 2 cos2 x 1 (TSĐH khối A_2003) cot x  1   sin... A_2006) Đáp số: x  2  sin 6 x  cos 6 x   sin x cos x 2  2sin x 0 5  k 2 , k  4 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP 14 http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học x  13 (TSĐH khối B_2006) cot x  s inx 1  tan x tan   4 2   5 Đáp số: x   k , x   k , k  12 12 14 (TSĐH khối D_2006) cos3 x  cos2 x  cos x  1 ... k  6 42 7 23 (TSĐH khối D_2009) 3 cos 5 x  2sin 3 x cos 2 x  sin x  0 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP 15 http://baigiangtoanhoc.com Đáp số: x  Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học  k  k  ,x   , k  18 3 6 2 1  sin x  cos 2 x  sin  x    24 (TSĐH khối A_2010) 1  tan x   4  1 cos x 2  7  k 2 , x   k 2 , k  6 6 25 . trong giải phương trình lượng giác. Trong chuyên đề này ta xét hai loại đó là đặt ẩn phụ chuyển phương trình về dạng đại số và đặt ẩn phụ để chuyển phương trình lượng giác thành phương trình lượng. về phương trình chỉ chứa một hàm lượng giác Phương pháp: Dùng các phép biến đổi cơ bản đưa phương trình dạng phức tạp về phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác. . tập các bài phương trình lượng giác trong các đề thi ĐH từ năm 2002 đến nay Dưới đây là các câu phương trình lượng giác trong đề thi ĐH (kèm đáp số) các khối A, B, D từ năm 2002 đến nay. Giải