Kỹ thuật giải nhanh các phương trình lượng giác

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 1 (DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) Gửi tặng: www.Mathvn.com Bỉm sơn. 08.05.2011 www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 2 MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chú ý: Về sự suy biến của các cung trong các công thức đã học ở trường phổ thông Ví dụ như các công thức sau 2 2 sin cos 1 x x   2 2 cos2 2cos 1 1 2sin x x x     sin 2 2sin cos x x x  3 sin3 3sin 4sin x x x   … Là những công thức chúng ta đã được học ở trường phổ thông, bây giờ ta thử xem các công thức sau đúng hay không 2 2 sin 2 cos 2 1 x x   2 2 cos4 2cos 2 1 1 2sin 2 x x x     sin 4 2sin 2 cos2 x x x  3 sin9 3sin3 4sin 3 x x x   …Hoàn toán đúng, vậy từ đây ta có thể khái quát và mở rộng như sau Với 0 k  ta có 2 2 sin cos 1 kx kx   2 2 cos2 2cos 1 1 2sin kx kx kx     sin 2 2sin cos kx kx kx  3 sin3 3sin 4sin kx kx kx   1. Dựa vào mối quan hệ giữa các cung Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản là một vấn đề rất “then chốt” trong việc giải phương trình lượng… chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào Bài 1: (ĐH – A 2008) Giải phương trình: 1 1 7 4.sin 3 sin 4 sin 2 x x x                   Nhận xét: Từ sự xuất hiện hai cung 3 2 x   và 7 4 x   mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa hai cung hai về cùng một cung x. Để làm được điều này ta có thể sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc công thức về các góc đặc biệt Giải: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 3 Ta có 3 3 3 sin sin .cos cos .sin cos 2 2 2 x x x x                    7 7 7 2 sin sin cos cos .sin sin cos 4 4 4 2 x x x x x                  Sử dụng công thức về các góc đặc biệt Ta có 3 3 sin sin 2 sin cos 2 2 2 x x x x                              Hoặc 3 sin sin 2 sin cos 2 2 2 x x x x                                      7 7 2 sin sin 2 sin sin cos 4 4 4 2 x x x x x                                  Hoặc   7 2 sin sin 2 sin sin cos 4 4 4 2 x x x x x                                       Chú ý:     sin 2 sin , cos 2 cos x k x k x k x             và     sin 2 sin , cos 2 cos x k x k x k x                   Điều kiện: sin 0 sin 2 0 , cos 0 2 x x x k k x             Phương trình 1 1 4sin sin cos 4 x x x               sin cos 2 2sin .cos sin cos x x x x x x          sin cos 2 2sin .cos 1 0 x x x x     tan 1 sin cos 0 2 2 2sin .cos 1 0 sin 2 2 x x x x x x                   4 4 2 2 , 4 8 5 5 2 2 4 8 x k x k x k x k k x k x k                                                   Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 4 x k      ; 8 x k      ; 5 8 x k     với k   www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 4 Đs:   5 , , , 4 8 8 x k x k x k k                 Bài 2: (ĐH – D 2006) Giải phương trình: cos3 cos2 – cos –1 0 x x x   Giải: Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa cùng về một cung x bằng công thức nhân ba và nhân đôi của hàm cos Phương trình 3 2 4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0 x x x x        3 2 2cos cos 2cos 1 0 x x x          2 2cos 1 cos 1 0 x x       2 1 cos 2cos 1 sin 0 2 sin 0 x x x x              2 2 ; 3 x k k x k               Đs:   2 2 , 3 x k x k k          Cách 2: Nhận xét: Ta có 3 2 x x x   và cung 2x cũng biểu diển qua cung x chính vì thế ta nghĩ đến nhóm các hạng tử bằng cách dùng công thức biến tích thành tổng và công thức nhân đôi đưa về phương sử trình tích       2 2 cos3 cos – 1 cos2 0 2sin 2 .sin 2sin 0 2sin 2cos 1 0 x x x x x x x x           … tương tự như trên Chú ý: Công thức nhân ba cho hàm cos và sin không có trong SGK nhưng việc nhớ để vận dụng thì không khó Công thức nhân ba 3 3 cos3 4cos 3cos , sin3 3sin 4sin x x x x x x     Chứng minh: Dựa vào công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi Ta có         2 2 2 2 3 cos3 cos 2 cos2 .cos sin 2 .sin 2cos 1 cos 2cos .sin 2cos 1 cos 2cos 1 cos 4cos 3cos x x x x x x x x x x x x x x x x x              Tương tự cho sin3 x Bài 3: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 6 2 3cos4 – 8cos 2cos 3 0 x x x    Giải: Nhận xét 1: Từ sự xuất hiện cung 4x mà ta có thể đưa về cung x bằng công thức nhân đôi như sau www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 5   2 2 4 2 cos4 2cos 2 1 2 2cos 1 1 8cos 8cos 1 x x x x x         Cách 1: Phương trình 6 4 2 4cos 12cos 11cos 3 0 x x x     (pt bậc 6 chẵn) Đặt 2 cos , 0 1 t x t    Khi đó ta có 3 2 1 4 12 11 3 0 1 2 t t t t t            … bạn được giải tiếp được nghiệm , , 4 2 x k k k        Nhận xét 2: Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cos mà ta có thể chuyển về cung 2x bằng công thức ha bậc và từ cung 4x ta chuyển về cung 2x bằng công thức nhân đôi Cách 2: Phương trình     3 2 2 1 cos2 1 cos2 3 cos 2 1 8 2 3 0 cos2 2cos 2 3cos2 2 0 2 2 cos2 0 , 4 2 cos2 1 x x x x x x x x k k x x k                                           Nhận xét 3: Từ sự xuất hiện các hệ số tỉ lệ với nhau mà ta liên tưởng đến việc nhóm các hạng tử và đưa về phương trình tích Cách 3: 0)1cos2)(1cos2(cos22cos60)1cos4(cos2)4cos1(3 222242  xxxxxxx 2 2 2 2 2 6cos 2 2cos (2cos 1)cos2 0 cos2 3cos2 cos (2cos 1) 0 x x x x x x x x             2 4 2 cos2 0 4 2 3(2cos 1) 2cos cos 0 k x x x x x                 Phương trình 2 4 2 2 cos 1 sin 0 2cos 5cos 3 0 3 cos ( ) 2 x x x k x x x loai                   Đs: , , 4 2 x k k k        Bài 4: (ĐH – D 2008) Giải phương trình:   2sin 1 cos2 sin 2 1 cos x x x x     Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ tới việc chuyển cung 2x về cung x bằng các công thức nhân đôi của hàm sin và cos từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế Phương trình 2 4sin .cos 2sin .cos 1 2cos x x x x x     2sin .cos (1 2cos ) 1 2cos x x x x     www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 6 (1 2cos )(sin 2 1) 0 x x     1 cos 2 sin 2 1 x x         2 2 3 4 x k x k                 Đs:   2 2 , , 3 4 x k x k k            Bài 5: Giải phương trình 3 3sin3 3 cos9 1 4sin 3 x x x    Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện các cung 3x và 9x ta liên tưởng tới công thức nhân ba cho sin và cos từ đó đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos 3 3sin3 4sin 3 3cos9 1 sin9 3cos9 1 x x x x x        2 1 3 1 1 18 9 sin9 cos9 sin 9 7 2 2 2 2 3 2 54 9 x k x x x k x k                               Bài 6: (ĐHM – 1997) Giải phương trình sin5 1 5sin x x  Giải: Điều kiện: sin 0 x  Phương trình sin 5 5sin sin5 5sin x x x x     Nhận xét: Từ việc xuất hiện hai cung 5x và x làm thể nào để giảm cung đưa cung 5x về x… có hai hướng Hướng 1: Thêm bớt và áp dụng công thức biến đối tích thành tổng và ngược lai sin5 sin 4sin 2cos3 sin 2 4sin 4cos3 sin cos 4sin cos3 cos 1 x x x x x x x x x x x x          2 3 cos ( ) cos4 cos2 2 2cos 2 cos2 3 0 2 cos2 1 x loai x x x x x                2 1 cos2 0 2sin 0 sin 0 ( ) x x x loai        Vậy phương trình vô nghiệm Hướng 2: Phân tích cung 5 2 3 x x x   , áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích kết hợp với công thức nhân hai, nhân ba          2 3 2 2 3 2 2 sin 3 2 5sin sin3 cos2 sin 2 cos3 5sin 3sin 4sin cos sin 2sin cos 4cos 3cos 5sin sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x             5 3 3 2 2 12sin 20cos sin 0 3sin 5cos 0 x x x x x       … vô nghiệm www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 7 Bài 7: (ĐH – D 2002) Tìm   0;14 x nghiệm đúng phương trình: cos3 – 4cos2 3cos 4 0 x x x    Giải: Phương trình   3 2 4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0 x x x x        3 2 2 cos 2cos 0 cos (cos 2) 0 x x x x       cos 0 2 x x k        Vì   0;14 x nên 0 14 2 k      Đs: 3 5 7 ; ; ; 2 2 2 2 x x x x         Bài 8: (ĐHTL – 2000) Giải phương trình sin3 sin 5 3 5 x x  Giải: Phương trình       2 5sin3 3sin 4 5sin 3 4sin 3 sin cos4 cos sin 4 x x x x x x x x x                 2 2 2 2 5sin 3 4sin 3sin cos4 4cos cos2 sin 0 5 3 4sin 3 cos 4 4cos cos2 * x x x x x x x x k x x x x                Phương trình       2 * 5 3 2 1 cos2 3 2cos 2 1 cos2 cos2 x x x x              2 5 1 cos2 6 2 12cos 2 4cos 2 5 0 1 cos2 3 2 x x k x x x k x                                Bài 9: (ĐH – D 2009) Giải phương trình: 3cos5 2sin3 cos2 sin 0 x x x x    Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện các cung 5x, 3x, 2x, x và 3 2 5 x x x   ta nghĩ ngay tới việc áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để đưa về cung 5x. Còn cung x thì thế nào hãy xem phần chú ý Phương trình 3cos5 sin5 sin sin 0 x x x x      3 1 cos5 sin5 sin 2 2 x x x    www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 8 12 3 sin 5 sin 3 6 2 x k x x k x k                             Đs:   , , 18 3 6 2 x k x k k            Chú ý: - Đối với phương trình bậc nhất với sin và cos là sin cos a x b x c   học sinh dễ dàng giải được nhưng nếu gặp phương trình sin cos 'sin 'cos , 0,1 a x b x a kx b kx k     thì làm thế nào, cứ bình tĩnh nhé, ta coi như hai vế của phương trình là hai phương trình bậc nhất đối với sin và cos thì cách làm tương tự - Với ý tưởng như thế ta có thể làm tương tự bài toán sau Bài 10: (ĐH – B 2009) Giải phương trình:   3 sin cos sin 2 3cos3 2 cos4 sin x x x x x x     Giải: Phương trình   2 sin 1 2sin cos .sin2 3cos3 2cos4 x x x x x x      1 3 sin3 3cos3 2cos4 sin3 cos3 cos4 2 2 x x x x x x       cos4 cos 3 6 x x           4 3 2 6 x x k                2 6 2 42 7 x k k x k                   Hoặc:   1 3 1 sin sin3 sin 3cos3 2(cos4 sin sin3 ) 2 4 4 x x x x x x x        1 3 3 1 sin3 sin 3 cos3 2cos4 sin sin3 2 2 2 2 x x x x x x       1 3 sin3 3cos3 2cos4 sin3 cos3 cos4 2 2 x x x x x x       Đs:   2 , 2 , 42 7 6 k x x k k            Tương tự: (CĐ – A 2004) Giải phương trình: 3 2 cos cos 2sinsin    x x xx HD: Điều kiện: 3 2 202coscos   k xkxxx  www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 9 xxxxxxxx sin 2 1 cos 2 3 2sin 2 1 2cos 2 3 2cos3cos32sinsin  3 2 9 2 6 cos 6 2cos    k xkxxx                Bài 11: (ĐHXD – 1997) Giải phương trình: 4 4 4 sin 2 cos 2 cos 4 tan tan 4 4 x x x x x                   Giải: Nhận xét: Từ tổng hai cung 4 4 2 x x                    nên tan tan 1 4 4 x x                  và cung 2x có thể đưa về cung 4x bằng công thức nhân đôi Điều kiện: cos 0 4 1 cos .cos 0 cos 2 cos 0 cos 2 0 4 4 2 2 cos 0 4 x x x x x x                                                        Phương trình 4 4 4 2 2 4 2 4 1 sin 2 cos 2 cos 4 1 2sin cos 2 cos 4 1 sin 4 cos 4 2 x x x x x x x x                2 2 4 4 2 2 cos 4 1 1 1 1 cos 4 cos 4 2cos 4 cos 4 1 0 1 2 sin 4 2 sin 2 0 sin 4 0 , cos2 0 2 x x x x x x loai x k x x k x loai                               Chú ý: - Chắc hẳn các bạn sẽ ngạc nhiên bởi cách giải ngắn gọn này, nếu không có sự nhận xét và tổng hai cung mà quy đồng và biến đổi thì…ra không - Việc giải điều kiện và đối chiếu với điều kiện đặc biệt là những phương trình lượng giác có dạng phân thức như trên nếu không khôn khéo thì rất … phức tạp. - Với ý tưởng nhận xét về tổng các cung trên ta có thể làm tương tự bài toán sau (ĐHGTVT – 1999) Giải phương trình: 4 4 7 sin cos cot cot 8 3 6 x x x x                   www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 10 Đs: , 12 2 k x k        Bài 12: (ĐHTL – 2001) Giải phương trình: 3 1 3 sin sin 10 2 2 10 2 x x                  Giải: Nhận xét: Nhìn vào phương trình này ta ngĩ dùng công thức biến đổi sin của một tổng… nhưng đừng vội làm như thế khó ra lắm ta xem mối quan hệ giữa hai cung 3 10 2 x   và 3 10 2 x   có mối quan hệ với nhau như thế nào Thật vậy 3 3 9 3 3 sin sin sin sin3 10 2 10 2 10 2 10 2 x x x x                                      từ đó ta đặt 3 10 2 x t    và sử dụng công thức nhân ba là ngon lành Phương trình     3 2 2 sin 0 1 1 sin sin3 sin 3sin 4sin sin 1 sin 0 2 2 1 sin 0 t t t t t t t t t               TH 1: 3 sin 0 2 , 5 t t k x k k            TH 2: 2 1 cos2 1 3 1 sin 0 1 0 cos2 2 4 , 2 2 6 5 6 t t t t k x k k                        Chú ý: - Nếu không quen với cách biến đổi trên ta có thể làm như sau 3 3 3 2 10 2 5 10 2 x x t x t t              - Với cách phân tích cung như trên ta có thể làm bài toán sau a. (BCVT – 1999) Giải phương trình: ) 4 sin(2sin) 4 3sin(    xxx đặt 4 t x    Đs: 4 2 k x      b. (ĐHQGHN – 1999) Giải phương trình: 3 8cos cos3 3 x x          đặt 3 t x    www.MATHVN.com www.mathvn.com [...]... k   8 Bài 2: (ĐHMĐC – 2001) Giải phương trình: 48  Đs: x  1 2  1  cot 2 x.cot x   0 4 cos x cos 2 x  k  ,k  8 4 6 Sử dụng các công thức lượng giác đưa phương trình ban đầu về các các phương trình đơn giải đối với một hàm lượng giác a Đưa về phương trình đẳng cấp Bài 1: (ĐH – B 2008) Giải phương trình: sin 3 x  3 cos 3 x  sin x cos 2 x  3 sin 2 x cos x Giải: Nhận xét: Thay cos x  0... I – 2000) Giải phương trình: 4cos3 x  3 2 sin 2 x  8cos x    x  2  k   Đs:  x   k 2  4   x  3  k   4  3 Sử dụng công thức hạ bậc Khi giải phương trình lượng giác gặp bậc của sin và cos là bậc nhất ta thường giảm bậc bằng cách sử dụng các công thức hạ bậc… từ đó đưa về các phương trình cơ bản Bài 1: (ĐHAG – 2000) Giải phương trình sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3 x  3 2 Giải: Nhận... Đs: 1,2  4  x  1,2  n  Bài 9: (ĐHNN I – B 1999) Giải phương trình: sin 2 x  tan x  1  3sin x  cos x – sin x   3    x   4  k Đs:   x     k  3  k   b Đưa về phương trình bậc hai, bậc ba, bậc 4… của một hàm lượng giác Bài 1: Giải phương trình 2sin 2 x  tan 2 x  2 Giải: Cách 1: Điều kiện: cos x  0 2 tan 2 x Phương trình   tan 2 x  2  2 tan 2 x  tan 2 x  tan 4 x...  c (PVBCTT – 1998) Giải phương trình: đặt t  x  Đs: x  2 sin 3 ( x   )  2 sin x 4  4   k , k   4 d (QGHCM 1998) Giải phương trình: sin 3 ( x   )  2 sin x 4 Bài tập tự giải:  Bài 1: (Đề 16 III) Tìm nghiệm x  ( ;3 ) của phương trình sau 2 5 7 sin( 2 x  )  3 cos( x  )  1  2 sin x 2 2 13 5 17 Đs: x   , 2 , , , 6 6 6 Bài 2: (ĐHYTB – 1997) Giải phương trình x   x   ... (HVKTQS – 1996) Giải phương trình: 2cos3 x  sin 3 x    x  4  k   k    với tan   2 Đs:   x    k Bài 6: (ĐHD HCM – 1997) Giải phương trình: sin x sin 2 x  sin 3 x  6cos 3 x  x    k Đs:   k    với tan   2  x     k 3  Bài 7: (ĐHYHN – 1999) Giải phương trình: sin x  cos x  4sin 3 x  0  Đs: x   k   k    4 Bài 8: (ĐHQGHN – 1996) Giải phương trình: 1  3sin... (ĐHDB – 2002) Giải phương trình:  cot 2 x  5 sin 2 x 2 8 sin 2 x Giải: Điều kiện: sin 2 x  0 Phương trình 1 1  sin 2 2 x 1  2 sin x cos x 1 1 1 1 9 2   cos 2 x    cos 2 x   cos 2 2 x  5 cos 2 x   0 5 2 8 5 2 8 4 9  cos 2 x  2 (loai)  cos 2 x  1  x     k  2 6  2 2 Bài 10: (ĐH – B 2005) Giải phương trình: 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0 Giải: 2 Phương trình  sin... Loinguyen1310@gmail.com Cách 2: Quy đồng hai vế… bạn đọc tự giải Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐHNN – 2000) Giải phương trình: 2 cos 2 x – 8 cos x  7  1 cos x  x  k 2 Đs:  k    x     k 2 3  Bài 2: (ĐHL – 2000) Giải phương trình: 4  sin 3 x – cos 2 x   5  sin x – 1    x  2  k 2  1 Đs:  x    k 2  k    với sin    4  x      k 2   c Đưa về các dạng phương trình đối xứng... k  3   Đs: x       k ; x    k ,  k    4 2 3 Bài 2: (ĐHCĐ – 2000) Giải phương trình 1  3 tan x  2 sin 2 x Giải: Cách 1: Điều kiện: cos x  0 Phương trình 1  3 sin x  4 sin x cos x  cos x  3sin x  4sin x cos 2 x cos x Nhận xét: Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho cos3 x Ta được 1 tan x 3  4 tan x  1  tan 2 x  3 tan 1  tan 2 x  ... www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Bài tập tự giải:   9 Bài 1: (GTVT – 2001) Giải phương trình: sin4x + sin 4 ( x  )  sin 4 ( x  )  4 4 8 2  6  Đs: x    k , k   với cos   2 2 Bài 2: (ĐHQGHN – 1998) Giải phương trình: sin 2 x  cos 2 2 x  cos 2 3x  k  x  6  3 Đs:  ,k   x    k   4 2  17  Bài 3: (Đề 48 II) Giải phương trình: sin 2 2 x – cos 2 8 x  sin   10 x  ... 1995) Giải phương trình: sin 8 x  cos8 x  Đs: x  17 cos 2 2 x 16  k  ,k  8 4 Bài 8: (KTMM – 1999) Giải phương trình: sin 8 x  cos8 x  www.mathvn.com 17 32 20 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Đs: x  Email: Loinguyen1310@gmail.com  k  ,k  8 4 Bài 9: (HVQY – 1997) Giải phương trình: sin 8 2 x  cos8 2 x  1 8  k  ,k  8 4 Bài 10: (ĐHSPHN – A 200) Tìm các . các cung Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình. giải phương trình lượng giác gặp bậc của sin và cos là bậc nhất ta thường giảm bậc bằng cách sử dụng các công thức hạ bậc… từ đó đưa về các phương trình cơ bản Bài 1: (ĐHAG – 2000) Giải phương. chốt” trong việc giải phương trình lượng chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào Bài 1: (ĐH – A 2008) Giải phương trình: 1 1