Đặc biệt phương trình lượng giác là phần kiến thức trọng tâm trong phần đại số lớp 11 của học kì I.. Hơn nữa, phương trình lượng giác bao giờ cũng có mặt trong các đề thi đại học môn Toá
Trang 1PHẦN 1: MỞ ĐẦU
A Đặt vấn đề:
I Lý do chọn đề tài.
Trong chương trình môn Toán lớp 11 nói riêng và trong bộ môn Toán nói chung thì Lượng giác chiếm một phần quan trọng Đặc biệt phương trình lượng giác là phần kiến thức trọng tâm trong phần đại số lớp 11 của học kì I Hơn nữa, phương trình lượng giác bao giờ cũng có mặt trong các đề thi đại học môn Toán,
là câu cũng không phải là khó kiếm điểm
Trong quá trình dạy học môn Toán đại số lớp 11, khi dạy về phần phương trình lượng giác, tôi thấy học sinh thường lúng túng trong việc lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện và rất hay mắc sai lầm trong việc này Vậy, làm thế nào để giúp các em có thể vượt qua trở ngại này? và từ đó giúp các em có thể làm tốt hơn khi giải phương trình lượng giác, tự tin hơn trong học tập
Chính vì những lý do trên mà tôi đã quyết định chọn đề tài “Kỹ thuật lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện ”, với hy vọng và mong muốn
sẽ đem đến cho các em những kỹ năng, những phương pháp nhằm giúp các em khắc phục những trở ngại nói trên Từ đó đem lại kết quả cao hơn trong học tập, giúp các em yêu thích và có hứng thú hơn trong học Toán
II Mục đích nghiên cứu
Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp Trong đề tài này tôi đề cập đến một số phương pháp lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện, qua đó cho học sinh thấy được
sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán.Từ đó học sinh sẽ thấy thích thú và say mê hơn trong học tập, do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn
III Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu về phương trình lượng giác có điều kiện
IV Phạm vi nghiên cứu
Trang 2PHẦN 2 : NỘI DUNG
B Giải quyết vấn đề
2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu
2.1.1 Các hằng đẳng thức lượng giác
sin2x + cos2x= 1;
2 2
sin 2x 2sin x.cos
os2x 2 os 1
1 2sin
x
x
2
2
1
cos 2
x
;
2
2
1
1 cot ,( , )
sin
;
tan cotx x 1 ( ,
2
k
x k )
2.1.2 Biểu diễn một cung lượng giác, một góc lượng giác trên đường tròn lượng giác.
M
O
B' B
Trang 3+ x k2 , k được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi một điểm
+ x k k, được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi hai điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ
+ x k2 , ,k n ,n 3
n
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi
n điểm cách đều nhau tạo thành n đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn
2.1.3 Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
2
; + cosxcos x k2 , k ;
+ tanxtan x k k, ;
+ cotxcot x k k, .
2.2 Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu.
Trong quá trình dạy học môn Toán đại số lớp 11, khi dạy về phần phương trình lượng giác, tôi thấy học sinh thường lúng túng trong việc lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện và rất hay mắc sai lầm trong việc này Để giúp các em có thể vượt qua trở ngại này và từ đó giúp các em có thể tự tin hơn, làm tốt hơn khi giải phương trình lượng giác Hơn nữa, cùng một phương trình lượng giác, nếu dùng các phép biến đổi khác nhau có thể thu được các phương trình cơ bản khác nhau và từ đó thu được số họ nghiệm cũng như hình thức các họ nghiệm rất khác nhau Từ đó đem lại kết quả cao hơn trong học tập
2.3 Nội dung của các vấn đề nghiên cứu.
2.3.1 Phương pháp biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua cùng một hàm số lượng giác
Ví dụ 1 : Giải phương trình: tan x 3cot x 4(sin x 3 osx)c (1)
Lời giải : Điều kiện: os x 0
sin x 0
Trang 4
(1) sin 3 os 4sin cos (sin 3 cos ) (sin 3 cos )(sin 3 cos ) 2sin 2x(sin 3 cos ) (sin 3 cos )(sin 3 cos 2sin 2x) 0
sin 3 cos 0 ( ) 2sin 2x sin 3 cos ( )
*( ) sin 3 cos
3
*( ) sin 2 sin cos
sin 2x sin( )
3 2
3 , ( )
4 2
9 3
x
k k
x
Đối chiếu với điều kiện sin x 0cos x 0
, ta thấy các giá trị đều thoả mãn
Vậy phương trình (1) có nghiệm là: , 4 2 ,( )
k
x k x k
* Nhận xét: Trong pt(1), ta đã biến đổi điều kiện và nghiệm tìm được thông qua
hàm số y = cos x Từ đó chuyển việc đối chiếu điều kiện của x về đối chiếu điều kiện của y đơn giản hơn
Ví dụ 2 : Giải phương trình:
(1 2sin ).cos 3
(1 2sin )(1 sin )
Lời giải : Điều kiện:
sin 1
1 sin
2
x x
Khi đó :
Trang 5
(2) (1 2sin ).cos 3(1 2sin )(1 sin ) sin 2x 3 os2x cos 3 sin
os(2x ) os( )
2
2
18 3
k k
x
Kết hợp với điều kiện trên, ta chọn được nghiệm: 2 ,
18 3
k
x k
2.3.2 Phương pháp sử dụng phép biến đổi lượng giác
Ví dụ 3 : Giải phương trình: sin (2 ) tan2 os2 0
x c
Lời giải : Điều kiện: cosx 0 sinx1 Khi đó:
2 2
(3) 1 os( ) (1 cos ) 0
(1 sin )(1 os ) (1 cos )(1 sin ) 0 (1 sin )(1 cos )(sin cos ) 0
sin x= 1 cos 1 tan 1
x
c x
x x
Đối chiếu với điều kiện trên ta chọn được:
2 cos 1
,( ) tan 1
4
x
k
Vậy các nghiệm của pt (3) là: 2 , ,( )
4
x k x k k
Nhận xét: Trong pt (3), điều kiện cosx 0 biến đổi thành sinx 1 Như vậy
không phải tìm điều kiện cụ thể, ta vẫn có thể đối chiếu nghiệm với điều kiện và suy ra nghiệm của phương trình
Trang 62.3.3 Phương pháp thử trực tiếp.
Đối với phương trình mà điều kiện và nghiệm khó đưa về cùng một hàm số lượng giác, ta có thể tìm nghiệm cụ thể, rồi thay vào điều kiện để kiểm tra lại
Ví dụ 4 : Giải phương trình:
2( os sin ) sin cos
0
2 2sin
x
Lời giải : Điều kiện: sin 2
2
x Khi đó
2 2
(4) 2( os sin ) sin cos 0
2( os sin )( os sin sin os ) sin cos 0
2(1 sin 2x) sin 2x 0
3sin 2x sin 2x 4 0 sin 2 1
4 sin 2 ( )
3 , ( ) 4
x
x k k
+ Với k chẵn thì : sin( ) 2
4 k 2
+ Với k lẻ thì : sin( ) 2
4 k 2
(nhận)
Vậy phương trình (4) có nghiệm là: , ( )
4
x k k , với k lẻ
Ví dụ 5 : Giải phương trình:
cos ( os x+2sin ) 3sin (sin 2) 1 5
sin2 1
x
Lời giải : Điều kiện: sin 2x 1 Khi đó ta có:
Trang 7
2
(5) os 2sin cos 3sin 3 2 sin sin2x 1
1 os2x sin2x 31 os2x 3 2 sin sin2x 1 0
1 os2x 2sin 2x 3 3 os2x 6 2 sin 2sin 2x 2 0 os2x 3 2 sin 3 0
2sin 3 2 sin 2 0 sin 2 ( )
2 sin
2 2 4 5
x
, ( ) 2
4
k k
Kết hợp với điều kiện ta chỉ có nghiệm 2
4
x k thỏa mãn điều kiện trên Vậy
pt(5) có 1 nghiệm là : 2 , ( )
4
x k k
2.3.4 Phương pháp biểu diễn trên đường tròn lượn giác.
- Trên đường trròn lượng giác, những điểm không thoả mãn điều kiện đánh dấu
“x”, những điểm nghiệm tìm được đánh dấu “o”
- Những điểm đánh dấu “ o ” mà không trùng với điểm đánh dấu “x” đó là nghiệm của phương trình
+ x k2 , k được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi một điểm
+ x k k, được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi hai điểm đối xứng nhua qua gốc toạ độ
+ x k2 , ,k n ,n 3
n
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi
n điểm cách đều nhau tạo thành n đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn
Trang 8Ví dụ 6 : Giải phương trình:
cosx sin 3x 0 (6)
Lời giải: + ) Khi cosx 0thì
(6) cos sin 3x 0 4 ,( ) (*)
3
8 2
k x
Biểu diễn (*) trên đường tròn lượng giác ta được 6 điểm đánh dấu “o”, trong đó chỉ có 3 điểm nằm bên phải trục Oy (cosx 0) hình dưới ứng với nghiệm :
3
x k x k x k k
+) Khi cosx 0 thì (6) cos sin 3x 0 4 ,( ) (**)
8 2
k x
Biểu diễn (**) trên đường tròn lượng giác ta được 6 điểm trong đó có 3 điểm nằm bên trái trục Oy (cosx 0) hình dưới ứng với nghiệm :
x k x k x k k
y
x
Trang 9Vậy pt(6) có nghiệm là : x1, x2, x3, x4, x5, x6 như trên.
2.4 Bài tập vận dụng
Giải các phương trình sau:
1 tan sinx 2 x 2sin2x3(cos 2x sin cos ) x x ;
2 3 4 os2x c 2 osxc ;
2 4
4
(2 sin 2x).sin3x tan 1
os
x
2
os (cos 1) 2(1 sin )
sin cos
5
(1 sin os2x)sin( ) os
4
;
x
y
9 8
5 4
13 8
8
4
5 8
x x
Trang 108
sin 2x 2 osx sin 1 0
2
3 cos3 4sin os 3
cos
1 cos 2 cos 1 2 sin
1
1 cos
11
2 sin( )(1 sin 2x)
os
x
x
12 1 2sin2 3 2 sin sin 2 1;
2sin cos 1
13 2sinx cotx 2sin 2x 1;
14 1 cos 1 cos 4sin ;
cos
x
2
2 3 sin 2x(1 os2x) 4 os2x.sin 3 0.
2sin 2x 1
Trang 11PHẦN 3: KẾT LUẬN
I Ý nghĩa của đề tài.
- Mục đích quan trọng nhất của đề tài này là tôi muốn lấy đây làm một cuốn tài liệu phục vụ trong quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời cũng là cuốn tài liệu để các đồng nghiệp tham khảo trong giảng dạy
- Giúp học sinh biết cách lấy nghiệm của bài toán giải phương trình lượng giác có điều kiện, đồng thời qua các phương pháp này nhằm phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh Từ đó mang lại sự say mê và hứng thú trong học Toán, …
II Kết quả nghiên cứu.
- Đề tài này tôi bắt đầu thực hiện từ năm học 2013 – 2014 trực tiếp trên lớp
11B9 Kết quả đa số các em đã biết lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện Góp phần nâng cao kết quả học tập bộ môn Toán nói riêng, kết quả học tập của các em trong nhà trường nói chung
- Kết quả thi học kì I, thi thử đại học lần 1 và thi thử đại học lần 2 của lớp 11B9 với 36 em, đa số các em đều làm được phần phương trình lượng giác Cụ thể như sau:
số H/S
Đợt thi
Số học sinh không đạt Số học sinh đạt
- Những kết quả khả quan từ thực nghiệm sư phạm, cho phép tôi kết luận rằng mục đích nghiên cứu của đề tài đã được hoàn thành và đề tài có tính khả thi cao
- Tôi hy vọng rằng, đây là cuốn tài liệu mà các thầy cô giáo dạy Toán yêu thích, đồng thời giúp các em học sinh học tốt hơn phần giải phương trình lượng giác, qua đó góp phần nâng cao kết quả học tập của các em
Trang 12II Những kiến nghị làm tăng tính khả thi.
Đề tài này có ý nghĩa thiết thực cho học sinh, đặc biệt là dùng cho học sinh
ôn thi đại học Vì vậy trong thời gian tới, tôi tiếp tục nghiên cứu và mở rộng hơn nữa để đề tài được hoàn chỉnh hơn và thực sự là cuốn tài liệu bổ ích Để đề tài được hiệu quả hơn thì:
- Cần điều chỉnh phạm vi bài tập nhằm áp dụng trên nhiều đối tượng học sinh
- Đầu tư thời gian, vật chất nghiên cứu thêm các chuyên đề khác có liên quan
Tân Phú, ngày 10 tháng 05 năm 2014
Người thực hiện
Nguyễn Văn Đồng
Trang 13TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn(chủ biên)- Đào Ngọc Nam- Lê
Văn Tiến-Vũ Viết Yên, Đại số và giải tích 11 ban cơ bản, NXBGD, 2010.
2 Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn(chủ biên)- Doãn Minh
Cường-Đỗ Mạnh Hùng-Nguyễn Tiến Tài, Đại số010 ban cơ bản, NXBGD, 2006.
3 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn Bài giảng chuyên sâu toán THPT Giải Toán
Lượng Giác 11.
4 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ