Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác

R ÈN L U Y Ệ N K Ỹ N Ă N G G I ẢI P H Ư Ơ N G T R Ì N H L Ư Ợ N G G I Á C A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình lượng giác nội dung quan trọng chương trình mơn Tốn lớp 11 có đề thi THPT Quốc gia năm Quá trình giải phương trình lượng giác thường gồm bước: biến đổi phương trình dạng bản, tìm nghiệm phương trình so sánh với điều kiện xác định (nếu có) kết luận nghiệm phương trình Việc biến đổi phương trình lượng giác đòi hỏi học sinh khơng nắm vững cơng thức lượng giác mà biết cách vận dụng linh hoạt, sáng tạo công thức Tuy nhiên, cơng thức lượng giác học lớp 10 nên phần nhiều học sinh lớp 11 thấy khó khăn tự củng cố kiến thức cơng thức lượng giác Do đó, hoạt động củng cố công thức lượng giác cho học sinh cần thiết Khi biến đổi phương trình lượng giác, số học sinh dù thuộc công thức lượng giác lúng túng việc lựa chọn công thức lượng giác để áp dụng lúng túng cách áp dụng công thức cho hợp lý, hiệu Những khó khăn học sinh chưa vận dụng linh hoạt, thục cơng thức lượng giác Còn phương trình lượng giác chứa ẩn mẫu thức, sau biến đổi phương trình dạng bản, nhiều học sinh thấy khó khăn việc so sánh nghiệm phương trình với điều kiện xác định phương trình Học sinh Trung tâm GDTX gặp nhiều khó khăn bước giải phương trình lượng giác Vì thế, tơi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ giải phương trình lượng giác” để góp số kinh nghiệm cho việc dạy học phương trình lượng giác chương trình Tốn lớp 11 hiệu II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: + Xây dựng hệ thống phân loại tập giải phương trình lượng giác từ dể đến khó phù hợp với đối tượng học sinh, giúy học sinh lớp 11 hiểu nắm vững có kỹ giải phương trình lượng giác + Hình thành phương pháp bước giải, kỹ giải dạng tập + Rèn cho học sinh kỹ huy động, vận dụng kiến thức học để giải toán + Đưa hệ thống tập nhằm cũng cố cho học sinh kỹ vận dụng gặp dạng toán giải phương trình lượng giác III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: + Đối tượng mà đề tài hướng tới nghiên cứu áp dụng thực nghiệm học sinh lớp 11 GDTX Thọ Xuân năm học 2015-2016 IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU + Phương pháp nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu lý thuyết kiến thức lượng giác khối 10, giải phương trình lượng giác khối 11, cơng thức lượng giác bản, kỹ biến đổi lượng giác, kỹ giải phương trình lượng giác Nghiên cứu phương pháp giảng dạy toán, đặc biệt phương pháp giảng dạy tập toán + Phương pháp quan sát sư phạm: thông qua thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp, dự đúc rút kinh nghiệm, tiếp thu phản hồi từ học sinh + Phương pháp thực nghiệm: thực kiểm tra đánh giá lớp 11A1, 11A2 sau trình học tập B NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN: I CƠ SỞ LÝ LUẬN + Bài tập tốn có tác dụng bổ sung, hồn thiện, nâng cao kiến thức phần lý thuyết thiếu thời lượng phân phối chương trình quy định + Bài tập toán giúy học sinh hiểu sâu lý thuyết, cũng cố rèn luyện cho học sinh kỹ giải toán, kỹ vận dụng lý thuyết vào thực tiễn … + Bài tập tốn giúy cho học sinh phát triển tư tích cực, tạo tiền đề nâng cao lực tự học, cũng cố khả sử dụng ngơn ngữ, cách trình bày lời giải, khả khám phá tự khám phá, hình thành phương pháp làm việc khoa học, hiệu + Thông qua tập tốn giáo viên giảng dạy có kênh thơng tin thu thập, đánh giá xác lực học tập học sinh II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN + Trước áp dụng sáng kinh nghiệm này, để giải phương trình lượng giác, nhiều học sinh phải đâu, bất đầu Học sinh cần phải trang bị kiến thức nào, kỹ để thể tiếp cận giải phương trình lượng giác + Khi gặp phương trình lượng giác học sinh thường có tâm lý sơ khó nên khơng chịu suy nghĩ để giải + Một số giáo viên trẻ giảng dạy chưa nắm mối quan hệ kiến thức lớp lớp nên việc chuẩn bị kiến thức nền, kiến thức bản, kiến thức trọng tâm kỹ tối thiểu cần đạt để học sinh tiếp cận kiến thức lớp sau bị hổng, bị thiếu III CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN Để giải phương trình lượng giác, học sinh cần nắm vững cơng thức nghiệm phương trình lượng giác biết cách biến đổi phương trình dạng dạng biết cách giải như: dạng tích; dạng bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác; dạng bậc sin x cos x ; dạng bậc hai sin x cos x Các phương trình bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác biến đổi dạng mà không cần áp dụng cơng thức lượng giác Còn hầu hết phương trình lượng giác khác đòi hỏi học sinh phải áp dụng nhiều công thức lượng giác để biến đổi phương trình dạng bản, dạng tích, dạng bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác Chẳng hạn, học sinh áp dụng cơng thức cộng để biến đổi phương trình bậc sin x cos x dạng bản; áp dụng công thức hạ bậc để biến đổi phương trình bậc hai sin x cos x dạng bậc sin 2x cos 2x Vì vậy, việc rèn luyện kỹ giải phương trình lượng giác chủ yếu rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác dạng dạng biết cách giải Ngồi ra, phương trình lượng giác chứa ẩn mẫu thức sau biến đổi phương trình dạng bản, phải so sánh nghiệm phương trình lượng giác với điều kiện xác định để kết luận nghiệm phương trình ban đầu Học sinh cần hệ thống tập vừa củng cố kiến thức công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác dạng dạng biết cách giải, so sánh nghiệm với điều kiện xác định phương trình (nếu có) Nội dung đề tài “Rèn luyện kỹ giải phương trình lượng giác” nêu số kinh nghiệm tích lũy q trình dạy học phương trình lượng giác sau: Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức công thức lượng giác nêu ví dụ cách vận dụng linh hoạt cơng thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác Hệ thống tập rèn kỹ giải phương trình lượng giác cho học sinh, qua rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác dạng biết cách giải, so sánh nghiệm với điều kiện xác định phương trình (nếu có) Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức công thức lượng giác nêu ví dụ cách vận dụng linh hoạt công thức lượng giác biến đổi phương trình lượng giác Các cơng thức lượng giác : - Công thức - Công thức cộng - Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc - Công thức biến đổi tổng thành tích - Cơng thức biến đổi tích thành tổng Mỗi cơng thức lượng giác có dạng A = B Khi vận dụng công thức dạng vào biến đổi phương trình lượng giác, có A đa số học sinh thường nhận biết việc thay A B, ngược lại, có B khơng học sinh thấy khó nhận việc thay B A Hoạt động ví dụ sau giúp cho học sinh củng cố vận dụng công thức lượng giác theo hai chiều A = B B = A Lưu ý có nhiều cơng thức lượng giác nên hướng dẫn cho học sinh tự thực hoạt động nhà kiểm tra công thức học sinh viết lớp Hoạt động Viết công thức lượng giác theo chiều ngược lại từ vế phải sang vế trái, chẳng hạn, viết lại công thức cộng sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b theo chiều ngược lại : sin a cos b + cos a sin b = sin ( a + b ) Ví dụ Giải phương trình sau π  a) 2sin  x + ÷− sin x = (1a) 6  b) sin x.cos x + cos x.sin x = sin x (1b) Hướng dẫn : Áp dụng công thức cộng : sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b (*) - Đối với phương trình (1a), áp dụng cơng thức (*) ta có: π π π  sin  x + ÷ = sin x.cos + cos x.sin 6 6  - Đối với phương trình (1b), áp dụng công thức (*) theo chiều ngược lại : sin a cos b + cos a sin b = sin ( a + b ) , ta có: sin x.cos x + cos x.sin x = sin ( x + x ) Lời giải ví dụ 1: π  a) 2sin  x + ÷− sin x = 6  π π  ⇔  sin x.cos + cos x.sin ÷− sin x = 6  ⇔ cos x = ⇔ x = k 2π , k ∈ Z b) sin x.cos x + cos x.sin x = sin x ⇔ sin ( x + x ) = sin x ⇔ sin x = sin x 5 x = x + k 2π ⇔ , k ∈Z x = π − x + k π  2π  x = k ⇔ , k ∈Z π π x = + k  7 Một cơng thức lượng giác áp dụng cho nhiều góc khác Đa số học sinh trung bình, yếu không nhận công thức lượng giác cần áp dụng áp dụng công thức cho hợp lý biến đổi phương trình lượng giác chưa viết lại cơng thức lượng giác cách thay góc cơng thức góc khác Nếu cho học sinh viết lại công thức lượng giác nhiều hình thức khác ứng với góc khác em khơng thấy khó khăn vận dụng cơng thức vào biến đổi phương trình lượng giác Hoạt động ví dụ sau giúp cho học sinh nhận biết công thức lượng giác cần áp dụng áp dụng cơng thức lượng giác cho góc khác Hoạt động Viết lại công thức nhân đơi cơng thức hạ bậc thay góc x x π cơng thức góc khác 2x, , − x , …, chẳng hạn, thay x góc x cơng thức nhân đơi sin x = 2sin x cos x góc ta x x sin x = 2sin cos 2 Ví dụ Giải phương trình x x π  π  2cos sin = cos  − x ÷− sin  − x ÷ 2 4  4  Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức nhân đơi biến đổi phương trình dạng x - Thay góc x công thức sin x = 2sin x.cos x góc , ta được: x x sin x = 2sin cos 2 π  - Thay góc x công thức cos x = cos x − sin x góc  − x ÷, ta : 4  π  π  π  cos  − x ÷ = cos  − x ÷− sin  − x ÷ 2  4  4  Lời giải ví dụ x x π  π  2cos sin = cos  − x ÷− sin  − x ÷ 2 4  4  π  ⇔ sin x = cos  − x ÷ 2   x = x + k 2π ⇔ sin x = sin x ⇔  , k ∈Z  x = π − x + k 2π  x = k 2π π 2π ⇔ , k ∈Z π 2π , k ∈ Z ⇔ x = + k x = + k 3 3  Hệ thống tập rèn kỹ giải phương trình lượng giác cho học sinh, qua rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt cơng thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác, so sánh nghiệm với điều kiện xác định phương trình (nếu có) Các tập sau giúp học sinh vừa củng cố kiến thức công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác dạng dạng biết cách giải như: dạng tích; dạng bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác; dạng bậc sin x cos x ; dạng bậc hai sin x cos x Lưu ý bước giải phương trình chứa ẩn mẫu thức: biến đổi phương trình dạng bản, tìm nghiệm phương trình dạng so sánh với điều kiện xác định phương trình, từ kết luận nghiệm phương trình i) Các tập áp dụng công thức Bài Giải phương trình : a) cos3 x + sin x.cos x = (1a) 2 b) 2sin x + sin x.cos x + 3cos x = (1b) Hướng dẫn: 2 Dùng công thức cos x + sin x = , biến đổi phương trình (1a) dạng bản, phương trình (1b) dạng tích Lời giải: a) cos x + sin x.cos x = ⇔ cos x ( cos x + sin x ) = ⇔ cos x = ⇔ x = k 2π , k ∈ Z b) 2sin x + sin x.cos x + 3cos x = ⇔ 2sin x + sin x.cos x + 3cos x = ( sin x + cos x ) ⇔ sin x.cos x + cos x = ⇔ cos x ( sin x + cos x ) = π  x = + kπ  cos x = cos x = ⇔ ⇔ ⇔ ,k ∈¢ sin x + cos x =  tan x = −1,cos x ≠  x = − π + kπ  + tan x = Bài Giải phương trình : cos x Hướng dẫn: = tan x + , với cos x ≠ , biến đổi phương trình dạng Dùng cơng thức cos x bậc hai tan x Lời giải: + tan x = cos x ⇔ ( tan x + 1) + tan x = ⇔ tan x + tan x − = π  x = + kπ  tan x =  ⇔ ⇔ , k ∈Z  tan x = −   x = arctan ( −2 ) + kπ Nhận xét: tan x + phương trình tương đương khơng cos x làm thay đổi điều kiện xác định phương trình + sin x = Bài Giải phương trình : cot x + Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định, dùng công thức cot x + = , với sin x ≠ , biến sin x đổi phương trình dạng bậc hai sin x , so sánh nghiệm với điều kiện xác định phương trình Lời giải: Điều kiện xác định: sin x ≠ Với điều kiện trên, ta có : (1) ⇔ sin x + sin x = ⇔ sin x = (loại) sin x = −1 Nếu thay ⇔x=− π + k 2π , k ∈ Z Vậy nghiệm phương trình cho x = − π + k 2π , k ∈ Z ii) Các tập áp dụng công thức cộng π π   Bài Giải phương trình : sin  x + ÷ = cos  x − ÷ (4) 6 6   Hướng dẫn: Dùng công thức sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b biến đổi phương trình dạng Lời giải:   sin x + cos x ÷ = cos x + sin x (4) ⇔  2   ⇔ sin x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z Bài Giải phương trình: sin x.cos x − cos3 x.sin x = cos x + (5) Hướng dẫn: Dùng công thức sin a cos b − cos a sin b = sin ( a − b ) , biến đổi dạng bậc sin 2x cos 2x Lời giải: π  (5) ⇔ sin x − cos x = ⇔ sin  x − ÷ = 3  π π π   x − = + k π x = + kπ   ⇔ ,k ∈Z ⇔  ,k ∈Z  x − π = 5π + k 2π  x = 7π + kπ   12 Bài Giải phương trình: cos3 x.cos x − sin x.sin x = sin x + cos x Hướng dẫn: Dùng công thức: cos a cos b − sin a sin b = cos ( a + b ) , biến đổi phương trình dạng Lời giải: cos3 x.cos x − sin x.sin x = sin x + cos x 1 cos5 x − sin x = cos x ⇔ cos5 x − sin x = cos x ⇔ 2 π  ⇔ cos  x + ÷ = cos x 4  π ⇔ x + = ± x + k 2π , k ∈ Z π π  x = − + k  16 ⇔ , k ∈Z π π x = − + k  24 Chú ý: Công thức tan ( a + b ) = tan a + tan b − tan a.tan b Điều kiện xác định vế trái cos ( a + b ) ≠ Điều kiện xác định vế phải cos a.cos b ≠  cos ( a + b ) ≠ cos a.cos b ≠  cos ( a − b ) ≠ tan a + tan b Khi áp dụng công thức cộng, thay tan ( a + b ) − tan a.tan b tan a − tan b thay tan ( a − b ) với điều kiện tan a tan b tồn tại, tức + tan a.tan b π  a ≠ + kπ  là: cos a.cos b ≠ ⇔  , k ∈ Z, l ∈ Z0 π b ≠ + lπ  π  5tan x −  Bài Giải phương trình: tan  x + ÷ = (7)  − tan x  Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định phương trình dùng công thức tan a + tan b tan ( a + b ) = biến đổi phương trình dạng bậc hai tan x − tan a.tan b Lời giải:   π cos  x + ÷cos x ≠ 4 Điều kiện xác định :    tan x ≠ ±1  tan x + 5tan x − = Với điều kiện trên, ta có : (7) ⇔ ⇔ ( tan x + 1) = 5tan x − − tan x − tan x ⇔ tan x − 3tan x + = ⇔ tan x = (loại) tan x = ⇔ x = arctan + kπ , k ∈ Z Vậy nghiệm (7) x = arctan + kπ , k ∈ Z π  tan  − x ÷+ tan x tan x − 6  = Bài Giải phương trình: (8) + tan x − tan  π − x  tan x  ÷ 6  tan ( a − b ) = tan a − tan b + tan a.tan b cos ( a − b ) ≠ Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định phương trình, dùng cơng thức tan a − tan b tan a + tan b = tan ( a − b ) = tan ( a + b ) biến đổi phương trình + tan a.tan b − tan a.tan b dạng Lời giải: cos x ≠  Điều kiện xác định :    π  + tan x − tan − x tan x  ÷  ÷≠       Với điều kiện trên, ta có : π π π  π   (8) ⇔ tan  x − ÷ = tan  − x + x ÷ ⇔ tan  x − ÷ = tan 3 3  6   π ⇔ x = + kπ , k ∈ Z (không thỏa điều kiện cos x ≠ ) Vậy phương trình (8) vô nghiệm iii) Các tập áp dụng công thức nhân đôi, hạ bậc x x x x 2π Bài Giải phương trình: 2sin cos cos = 2cos  − ÷− (9) 4  2 Hướng dẫn: 2sin a.cos a = sin 2a Áp dụng công thức nhân đôi 2cos a − = cos 2a , biến đổi phương trình dạng Lời giải: x x π  (9) ⇔ sin cos = cos  − x ÷ 2 2  ⇔ sin x = sin x ⇔ sin x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z ( ) tan x tan x + = (10) + tan x − tan x Hướng dẫn: Bài 10 Giải phương trình: tan x + Tìm điều kiện xác định, áp dụng công thức nhân đôi: tan x = phương trình dạng bậc hai tan x Lời giải: cos x ≠ Điều kiện xác định :   tan x ≠ ±1 Với điều kiện trên, ta có : tan x tan x tan x + + = (10) ⇔ − tan x + tan x − tan x tan x biến đổi − tan x ⇔ tan x ( + tan x ) + tan x ( − tan x ) = tan x + ⇔ tan x − tan x + = ⇔ tan x = (loại) tan x = (thỏa điều kiện) ⇔ x = arctan + kπ , k ∈ Z Vậy nghiệm phương trình (10) x = arctan + kπ , k ∈ Z x Bài 11 Giải phương trình: cos x + 6sin − = Hướng dẫn: − cos 2a Áp dụng công thức hạ bậc sin a = biến đổi phương trình dạng bậc hai cos x Lời giải: x cos x + 6sin − = − cos x ⇔ cos x + −1 = ⇔ cos x − 3cos x + = cos x = ⇔ cos x = ⇔ x = k 2π , k ∈ Z iv) Các tập áp dụng cơng thức biến đổi tổng thành tích π  Bài 12 Giải phương trình: sin x + sin  x − ÷ = sin x 3  Hướng dẫn: a+b a −b cos Áp dụng công thức sin a + sin b = 2sin đưa phương trình dạng 2 Lời giải: π  sin x + sin  x − ÷ = sin x 3  π π  ⇔ 2sin  x − ÷.cos = sin x 6  π  ⇔ sin  x − ÷ = sin x 6  π π    x − = x + k 2π  x = − − k 2π ⇔ ,k ∈Z ⇔  ,k ∈Z π π π  x − = π − x + k 2π x = +k   18 10 π π   Bài 13 Giải phương trình: cos3 x + cos x = sin  x + ÷ − sin  x − ÷ 8 8   Hướng dẫn: a+b a −b cos Áp dụng công thức: cos a + cos b = 2cos 2 a+b a −b sin sin a − sin b = 2cos đưa phương trình dạng tích 2 Lời giải: π π   cos3 x + cos x = sin  x + ÷ − sin  x − ÷ 8 8   π π  ⇔ 2cos x.cos x = 2cos x.sin ⇔ cos x  cos x − sin ÷ = 8  π π  x = + k cos x =  ⇔ ,k ∈Z 3π ⇔  cos x = cos  x = ± 3π + k 2π   π  Bài 14 Giải phương trình: cos x − cos  x − ÷ = sin x − 3  Hướng dẫn: a+b a −b π sin Thế = sin , áp dụng công thức : cos a − cos b = −2sin 2 a+b a −b sin a − sin b = 2cos sin 2 biến đổi phương trình dạng tích Lời giải: π  cos x − cos  x − ÷ = sin x − 3  π π π  ⇔ −2sin  x − ÷.sin = sin x − sin 6  π π  π   ⇔ − sin  x − ÷ = 2cos  x + ÷sin  x − ÷ 6 6  6   π  π    ⇔ sin  x − ÷ 2cos  x + ÷ + 1÷ =  6      π   π sin  x − ÷ = sin  x − ÷ =     ⇔ ⇔    π π   2cos  x + ÷ + = cos  x + ÷ = −       11 π  x − = kπ  ⇔ ,k ∈Z π π x + = ± + k 2π  π  x = + kπ   π ⇔   x = + k 2π ,k ∈Z     x = − 5π + k 2π   v) Các tập áp dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng Bài 15 Giải phương trình: sin x.cos x + cos7 x.sin x = Hướng dẫn: Áp dụng công thức : sin a cos b = sin ( a + b ) + sin ( a − b )  cos a sin b = sin ( a + b ) − sin ( a − b )  biến đổi phương trình dạng Lời giải: sin x.cos x + cos x.sin x = 1 ⇔ ( sin x + sin x ) + ( sin12 x − sin x ) = ⇔ sin12 x = sin ( −4 x ) 2 π  x = k  12 x = −4 x + k 2π ⇔ , k ∈Z ⇔  , k ∈Z 12 x = π + x + k 2π x = π + k π  π ⇔ x = k , k ∈ Z Bài 16 Giải phương trình: cos x.cos x + sin x.sin x = cos3 x Hướng dẫn: Áp dụng công thức : cos a cos b = cos ( a + b ) + cos ( a − b )  sin a sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b )  biến đổi phương trình dạng Lời giải: cos x.cos x + sin x.sin x = cos3 x 1 ⇔ ( cos5 x + cos3 x ) + ( cos x − cos5 x ) = cos3 x 2 ⇔ cos3x = cos x ⇔ 3x = ± x + k 2π , k ∈ Z 12  x = kπ π ⇔ , k ∈Z ⇔ x = k , k ∈Z π x = k  vi) Các tập áp dụng nhiều công thức lượng giác π  Bài 17 Giải phương trình: 2cos3 x sin x = cos  x + ÷ 6  Hướng dẫn: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cơng thức cộng đưa phương trình dạng Lời giải: π  2cos3 x sin x = cos  x + ÷ 6  ⇔ sin x − sin x = cos x − sin x 2 ⇔ sin x = cos x + sin x 2 π  ⇔ sin x = sin  x + ÷ 3  π  x = x + + k 2π  ⇔ , k ∈Z 5 x = π −  x + π  + k 2π  ÷  3  π π  x = + k  12 ⇔ , k ∈Z x = π + k π  x Bài 18 Giải phương trình: cos x + 2sin = ( cos x + sin x ) Hướng dẫn: Áp dụng công thức bản, công thức nhân đơi cơng thức hạ bậc đưa phương trình dạng bậc hai cos x Lời giải: x cos x + 2sin = ( cos x + sin x ) 2 ⇔ 2cos x − + ( − cos x ) = 3.1 ⇔ 2cos x − cos x − = cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ Z ⇔ cos x =  13 Bài 19 Giải phương trình: 2cos5 x.cos x − 2cos3 x + sin x = Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích, cơng thức nhân đơi, đưa phương trình dạng tích Lời giải: 2cos5 x.cos x − 2cos3 x + sin x = ⇔ cos x + cos3 x − 2cos3 x + sin x = ⇔ cos7 x − cos3x + sin x = ⇔ −2sin x.sin x + 2sin x.cos x = ⇔ sin x ( cos x − sin x ) = sin x =  x = kπ sin x =  ⇔ ⇔ , π  ⇔ π   cos x = cos  − x ÷ x = ±  − x ÷+ k 2π cos x = sin x   2  2  π  x = k  π 2π  k ∈ Z ⇔  x = + k , k ∈ Z  14    x = π − k 2π   π π   x Bài 20 Giải phương trình: cos  x − ÷+ 6cos − 3cos  x − ÷+ = 3 3   Hướng dẫn: Áp dụng công thức hạ bậc, cơng thức biến đổi tổng thành tích, cơng thức nhân π  đơi, đưa phương trình dạng bậc hai sin  x − ÷ 6  Lời giải: π x π   cos  x − ÷+ 6cos − 3cos  x − ÷+ = 3 3   π  + cos x π   ⇔ cos  x − ÷+ − 3cos  x − ÷+ = 3 3   π  π    ⇔ cos  x − ÷+ cos x − cos  x − ÷ + = 3     π π π   ⇔ cos  x − ÷ − 6sin  x − ÷.sin + = 3 6   π π   ⇔ −2sin  x − ÷ − 3sin  x − ÷ + = 6 6   14   π sin  x − ÷ = 2π   ⇔ ⇔x= + k 2π , k ∈ Z   π sin  x − ÷ = −    Bài 21 Giải phương trình: π  tan x − tan  x + ÷ = ( + tan 2 x ) cos 2 x 4  Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định, áp dụng công thức bản, công thức nhân đôi, công thức cộng Lưu ý: cos x ≠  Điều kiện xác định phương trình:   π cos x + ÷≠   4   Điều kiện không đảm bảo tồn tan x nên phải xét hai trường hợp π π x = + kπ x ≠ + kπ , ( k ∈ Z) 2 π Với điều kiện x ≠ + kπ , ( k ∈ Z) tan x tồn tại, tan 2x 2 tan x − tan x Lời giải: cos x ≠  Điều kiện xác định:   π cos  x + ÷ ≠    π  2 Ta có: tan x − tan  x + ÷ = ( + tan x ) cos x ⇔ 4  π  tan x − tan  x + ÷ = (21) 4  π * Thế x = + kπ , với k ∈ Z, vào phương trình (21) ta được:  3π  tan ( π + k 2π ) − tan  + kπ ÷ = ⇔ − 2.( −1) =   π Do x = + kπ , với k ∈ Z, nghiệm phương trình (21) π * Với điều kiện x ≠ + kπ , ( k ∈ Z) , ta có: 15 tan x tan x + − =2 − tan x − tan x  tan x − ( tan x + 1) = − tan x ⇔  tan x ≠ ±1 ⇔ tan x = −2 ⇔ x = arctan ( −2 ) + lπ , với l ∈ Z π Vậy nghiệm phương trình cho là: x = + kπ , với k ∈ Z; x = arctan ( −2 ) + lπ , với l ∈ Z (21) ⇔ cos x − cos x Bài 22 Giải phương trình: = 6cos x + sin x (22) sin x Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định, quy đồng mẫu thức, áp dụng công thức nhân đôi, công thức lượng giác đưa phương trình bậc hai sin 2x , so sánh nghiệm với điều kiện xác định phương trình Lời giải: Điều kiện xác định: sin x ≠ ⇔ x ≠ lπ , l ∈ Z Với điều kiện trên, ta có: (22) ⇔ cos x − cos x = 3sin x + sin x ⇔ 3sin x + sin x + cos x − cos x = ⇔ 3sin x + − cos x = ⇔ 2sin 2 x + 3sin x = (*) sin x = ⇔ sin x = −  π ⇔ x = k , k ∈Z Kết hợp với điều kiện xác định, ta có nghiệm phương trình (22) π x = + kπ , k ∈ Z Chú ý : π Các cách so sánh họ nghiệm x = k , k ∈ Z yπ với điều kiện xác định phương trình B.2 (22) : - Cách 1: biểu diễn nghiệm điều kiện đường tròn lượng giác Trên đường tròn lượng giác, họ nghiệm π X X x = k , k ∈ Z biểu diễn bốn 1A x O A’ -1 điểm : A(1;0), π -1 3π B’ 16 A’(-1;0), B(0;1) B’(0;-1) Các góc khơng thỏa điều kiện x ≠ lπ , l ∈ Z biểu diễn hai điểm A(1;0) A’(-1;0) Do đó, nghiệm phương trình (22) số đo radian góc biểu diễn hai điểm B B’ Vì hai điểm B B’ có khoảng cách π điểm B π điểm biểu diễn góc nên chúng biểu diễn cho góc có số đo π π x = + kπ , k ∈ Z Vậy nghiệm (22) là: x = + kπ , k ∈ Z 2 π - Cách 2: Tìm điều kiện số nguyên k để x = k thỏa điều kiện xác định phương trình (22) π Ta có: k ≠ lπ ⇔ k ≠ 2l (với l ∈ Z, k ∈ Z ) π Vậy nghiệm phương trình (22) là: x = k ,với k ≠ 2l , l ∈ Z, k ∈ Z 2 Bài 23 Giải phương trình: cos x − 2cos x + cos x = sin x.cot x (23) Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định, nhân hai vế với sin 5x , áp dụng công thức nhân đôi, công thức cộng đưa phương trình bản, so sánh nghiệm với điều kiện xác định phương trình Lời giải: π Điều kiện xác định: sin x ≠ ⇔ x ≠ l , l ∈ Z Với điều kiện trên, ta có: (23) ⇔ ( 2cos2 x − − 2cos2 x + cos x ) sin x = sin x.cos5 x ⇔ ( cos x − 1) sin x = sin x.cos5 x ⇔ cos x sin x − sin x.cos5 x = sin x ⇔ sin x = sin x  x = −k 2π  x = x + k 2π ⇔ , với k ∈ Z ⇔  π 2π , với k ∈ Z x = + k x = π − x + k π  9  Ta có: * x = −k 2π , k ∈ Z, khơng thỏa điều kiện sin ( −5.k 2π ) = , k ∈ Z π 2π * x= +k (với k ∈ Z) nghiệm phương trình (23) khi: 9 π 2π π −1 9l +k ≠ l (với k ∈ Z, l ∈ Z) ⇔ k ≠ + 9 10 −1 ( 10m + r ) ⇔k≠ + , với l = 10m + r , m ∈ Z, r ∈ ¥ r < 10 10 17 9r − , với m ∈ Z, r ∈ ¥ r < 10 10 ⇔ k ≠ 9m + , với m ∈ Z Vây nghiệm phương trình (23) là: π 2π x= +k , với k ≠ 9m + , k ∈ Z, m ∈ Z 9 IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Các hoạt động, ví dụ tập nêu đề tài giúp học sinh vừa củng cố kiến thức công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt, sáng tạo công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác dạng dạng biết cách giải, biết cách so sánh nghiệm với điều kiện xác định phương trình chứa ẩn mẫu Từ đó, học sinh tự tin giải phương trình lượng giác, tránh kiểu học cơng thức lượng giác cách máy móc, không đạt hiệu áp dụng vào biến đổi phương trình lượng giác Trong năm học 2015-2016 tơi áp dụng hướng dẫn học sinh lớp 11A1, 11A2 học theo hệ thống tập so với lớp 11A3 khơng áp dụng kết có tiến rõ rệt mặt tỷ lệ học sinh hiểu bài, học sinh có kỹ giải tốn, học tích cực xây dựng Sau kết khảo sát: ⇔ k ≠ 9m + Lớp Sĩ số Học sinh hiểu SL TL (%) Học sinh có kĩ SL TL (%) Học sinh tích cực SL TL (%) 11A1 45 40 88,9 25 55,6 15 33,3 11A2 44 41 93,2 28 63,6 14 31,8 11A3 45 23 51,0 11,1 8,9 C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN - Giải phương trình lượng giác nội dung quan trọng chương trình hình học lớp 11, dạng tốn thường gặp đề thi THPT Quốc gia hàng năm Vì trình giảng dạy phải yêu cầu học sinh nắm kiến thức bản, trọng tâm, có kỹ thạo giải dạng tốn - Trong dạy học giải tập toán việc phân dạng, loại tập bước giải vô cần thiết việc xác định kiến thức trọng tâm, lựa chọn tập dạy sát đối tượng yếu tố đảm bảo thành công Để dạy học sinh học nắm vững kiến thức giải phương trình lượng giác ta cần trang bị cơng thức lượng giác bản, kỹ giải phương trình lương giác thường gặp kỹ biến đổi linh hoạt phương trình dạng - Kinh nghiệm sáng kiến tư liệu bổ ích cho giáo viên tham khảo dạy cho đối tượng đại trà, khá, giỏi - Qua trình giảng dạy tơi nhận thấy việc phân dạng làm rõ kỹ giải phương trình lượng giác giúy học sinh nắm vững bài, khơng lúng túng, lo sợ học phần này, bước đầu em có định hướng phương pháp để giải toán Với kết thực nghiệm hai lớp tơi dạy học sinh say mê, tích cực hiểu đạt tỷ lệ cao Đó cũng động lực để cố gắng để tiếp tục bổ sung hồn thiện sáng kiến 18 - Thơng qua kinh nghiệm thân cũng rút nhiều kinh nghiệm quý báu trình giảng dạy mạnh dạn trao đổi với đồng nghiệp để góp ý, xây dựng cho sáng kiến hoàn chỉnh II KIẾN NGHỊ - Qua thực tế giảng dạy đối tượng học sinh đại trà Trung tâm giáo dục thường xuyên, nhận thấy để học sinh hiểu, nắm vững kiến thức bản, vận dụng kiến thức để giải toán cần lưu ý số nội dung sau: * Phải đầu tư nhiều thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để hiểu rõ kiến thức bản, kiến thức trọng tâm, cốt lõi chương, lựa chọn phương pháp thích hợp với đối tượng * Biết phân loại, dạng tập phù hợp đối tượng lớp, kiên trì uốn nắn động viên, phát huy kiến thức học sinh có, bổ sung hồn thiện kiến thức học sinh thiếu, hổng tiết dạy * Thường xuyên nắm bắt ý kiến phản hồi từ phía học sinh thơng qua tiết tập, kiểm tra định kỳ, kiểm tra miệng … điều chỉnh kịp thời nội dung giúy học sinh dể hiểu học * Trước giảng dạy phần nói riêng cũng nội dung khác nói chung giáo viên cần bổ sung nội dung kiến thức có liên quan để học tốt nội dung Trên số kinh nghiệm nhỏ thân phần giúy học sinh có kỹ giải phương trình lượng giác dể ràng hơn, hướng thú học tập Đây sáng kiến thực tế, thiết thực cho trường học Học sinh khối giáo dục thường xuyên lực học tập hạn chế, đồng thời sáng kiến cũng gợi mở cho em khá, giỏi đường, cách thức để giải tốn khó Tơi cũng nhận thấy với hiểu biết có hạn, thời gian, khơng gian nhỏ nên sáng kiến khơng trách khỏi thiếu sót, tơi mong nhận đóng góp đồng nghiệp, chuyên viên Sở Giáo dục Đào tạo Tôi xin trân thành cám ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thọ Xuân, ngày 10 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 19 ... việc rèn luyện kỹ giải phương trình lượng giác chủ yếu rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác dạng dạng biết cách giải Ngồi ra, phương trình lượng. .. thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác Hệ thống tập rèn kỹ giải phương trình lượng giác cho học sinh, qua rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình. .. rèn kỹ giải phương trình lượng giác cho học sinh, qua rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác, so sánh nghiệm với điều kiện xác định phương trình