skkn một số định hướng biến đổi giúp học sinh khắc phục khó khăn trong giải phương trình lượng giác thpt trần an chiêm

PHẦN I:LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lượng giác nội dung quan trọng chương trình tốn phổ thơng, liên quan đến nhiều nội dung khác tốn tích phân, đạo hàm, hình học bổ trợ cho nhiều môn khoa học quan trọng khác vật lí đời sống thực tế Trong kì thi tuyển sinh vào đại học cao đẳng phương trình lượng giác nội dung kiến thức thường xuyên sử dụng Ý thức tầm quan trọng việc dạy học lượng giác nói chung phương trình lượng giác nói riêng trường phổ thơng cịn gặp nhiều khó khăn đặc biệt trường vừa chuyển đổi từ hệ bán công sang công lập trường Qua thực tế nhiều năm giảng dạy rút kinh nghiệm gặp trở ngại sau: -Công thức lượng giác nhiều, thời lượng cho việc rèn luyện tập để nhớ cơng thức theo phân phối chương trình hạn chế -Tài liệu, tập phương trình lượng giác nhiều chủ yếu tập lời giải khô khan, phạm vi biến đổi, sử dụng cơng thức q rộng học sinh khó định hướng Khi gặp phương trình lượng giác khơng biết chọn cơng thức nào, không Thực chất với học sinh có khả tiếp thu trở lên phương trình lượng giác khơng có đáng ngại, thực tế câu xếp hạng dễ đề thi, nhiên với đại đa số học sinh cịn lại ghi nhớ loạt công thức chọn công thức để biến đổi vấn đề lớn nên thường em bị tụt hậu lại phía sau có cảm giác sợ lượng giác, ngại ôn tập lại mang tâm lý lây lan sang khoá học nên nhiều học sinh chưa học lượng giác có tâm lý ngại lượng giác Trước đây, dạy lượng giác áp dụng phương pháp cho học sinh học thuộc lịng cơng thức cách chép cơng thức nhiều lần giao tập nhà thật nhiều để học sinh vận dụng cơng thức có kiểm tra thường xuyên hiệu chưa mong đợi, học sinh có khả tiếp thu có chuyển biến tích cực cịn số lại ngày ngại hơn, sau trình dài tìm tịi, học hỏi, rút kinh nghiệm tơi tổng kết MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG BIẾN ĐỔI GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC để áp dụng giảng dạy thu số kết khả quan nên mạnh dạn viết sáng kiến để đồng nghiệp tham khảo góp ý Đề tài tơi áp dụng cho đối tượng học sinh song trọng tâm hướng tới đối tượng học sinh có sức học trung bình Trong đề tài này, để giảm tải tơi mạnh dạn loại bớt số công thức luợng giác (VD:Hệ thống cơng thức góc có liên quan đặc biệt xử lý hệ thống công thức cộng, số công thức hàm tan, cot xử lý hệ thống công thức sin, cos ) Vấn đề trọng tâm đề tài chia việc biến đổi lượng giác liên miên lâu thành định hướng biến đổi để giúp học sinh mặt rèn luyện cơng thức cách có hệ thống, có trọng tâm không tràn lan biến đổi lượng giác nguyên tắc mà giáo viên nêu sẵn, mặt khác giúp học sinh có nhìn tổng qt sau học song nguyên tắc biến đổi từ biết phải đâu giải phương trình lượng giác Đây mục tiêu mà tơi hướng tới áp dụng đề tài giảng dạy Để giúp học sinh thấm sâu nguyên tắc biến đổi, sau ví dụ đặc trưng tơi có ghi cần thiết giải đáp băn khoăn việc lựa chọn công thức biến đổi, có phần tập tương tự để học sinh áp dụng làm nhà để củng cố Tuy tơi ln khuyến khích học sinh làm theo hướng khác được, sử dụng cơng thức khác có thể, đặc biệt học sinh có khả cao hơn, học sinh rèn luyện tốt nguyên tắc biến đổi PHẦN II:NỘI DUNG 1.CƠ SỞ LÝ LUẬN Biến đổi lượng giác giải phương trình lượng giác vận dụng linh hoạt công thức lượng giác để làm cho phương trình lượng giác khác lạ dần trở phương trình lượng giác quen thuộc biết cách giải Định hướng biến đổi giải phương trình lượng giác biến đổi tuân thủ theo dấu hiệu đặc trưng phát từ phương trình lượng giác, giúp học sinh trả lời câu hỏi: Với phương trình lượng giác phải cơng thức lượng giác nào?, tiền đề cho giải thành cơng phương trình lượng giác Trong đề tài tơi trình bày định hướng sau: 1.Biến đổi cung lượng giác 2.Biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích 3.Hạ bậc 4.Biến đổi hàm lượng giác 5.Biến đổi tan, cot sin, cos 2.THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI : Trong chương trình Đại số Giải tích 11 Nâng cao, phần phương trình lượng giác chia thành phương trình lượng giác thường gặp (có cách giải cụ thể cho dạng) số phương trình lượng giác khác(chỉ nêu số ví dụ định hướng việc biến đổi giải phương trình lượng giác dạng quan trọng này) điều làm cho học sinh cảm nhận việc biến đổi lượng giác giải phương trình lượng giác mơ hồ, chung chung Phần tập minh hoạ Vì ‘’Một số phương trình lượng giác khác’’ cụ thể phân loại chúng theo hướng biến đổi thông thường, hay sử dụng để học sinh có việc tiếp cận rõ ràng với phương trình lượng giác Trước đây, để giải vấn đề đưa nhiều tập loại (vận dụng công thức tương tự nhau) để học sinh làm từ định hướng biến đổi gặp phương trình lượng giác Tuy nhiên việc phân loại tập, để có kỹ học sinh phải làm lượng lớn tập tương tự, dễ gây cảm giác nhàm chán, hứng thú học tập Với đề tài ‘’ Một số định hướng biến đổi giải phương trình lượng giác’’ học sinh vừa rèn luyện công thức lượng giác (trong nguyên tắc cụ thể) vừa tạo phản xạ tốt việc vận dụng công thức lượng giác để giải phương trình lượng giác, khắc phục việc biến đổi lan man giải phương trình lượng giác Dần dần tự trả lời dùng công thức mà không dung công thức 3.GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN : Định hướng :Biến đổi cung lượng giác: Trong phương trình lượng giác có nhiều cung khác ta tìm cách biến đổi cung +Nếu gặp loại cung chứa π dạng mx+n π dùng cơng thức cộng, cơng thức góc liên quan đặc biệt +Nếu gặp loại cung gấp đơi dùng hệ thống cơng thức nhân đôi hạ bậc Chú ý: Nếu cung chứa π không cho giá trị lượng giác đặc biệt xử lý đặt ẩn phụ (chọn cung nhỏ làm ẩn mới, biểu diễn cung lại theo ẩn này) VD1:Giải phương trình: 7π )=sin(4x+3π ) 7π 7π ⇔ cos2x.cos + sin x.sin = sin x.cos3π +cos4x.sin3π 2 ⇔ -sin2x=-sin4x cos(2x- ⇔ sin4x=sin2x  x=kπ ⇔ π  x= + k π  Ghi chú: Với đối tượng học sinh khả tiếp thu cịn hạn chế tơi ln chọn giải pháp dùng công thức cộng trường hợp mà khơng dùng cơng thức góc liên quan đặc biệt học sinh phải nhớ cơng thức hơn, áp dụng trực tiếp cơng thức có máy tính hỗ trợ Bài tập tương tự để học sinh vận dụng: 3π x 1)cosx-2sin( 2)sin(2x+ - )=3 5π 7π )-3cos(x)=1+2sinx 2 VD2: Giải phương trình: sin(3 x − π ) = sin x.sin( x + π ) 4 ⇔sin x − cos3x=sin2x(sinx+cosx) ⇔sin3x-cos3x=sin2x.sinx+sin2x.cosx 1 π π ⇔ (sin x − cos3x) = (s inx+cosx) ⇔sin(3 x − ) = sin( x + ) 2 4 π π π   x − = x + + k 2π x = + kπ   π π 4 ⇔ ⇔ ⇔ x = +k 3 x − π = π − x − π + k 2π x = π + k π    4  π Ghi chú: Gặp cung π /4 nên nhớ đến công thức sina ± cosa= sin(a ± ) , cung π /4 dấu hiệu trình vận dụng cơng thức biến đổi VD3:giải phương trình: 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 ⇔1 + s inx+cosx+2sinx.cosx+2cos x −1 = ⇔s inx+cosx+2sinx.cosx+2cos x = ⇔s inx.(1+2cosx)+cosx.(1+2cosx)=0 ⇔(1+2cosx)(sinx+cosx)=0 2π   x = ± + k 2π cosx=⇔ ⇔  x = π + k π sinx+cosx=0   Ghi chú: +Gặp cung gấp đôi ta đưa cung công thức nhân đôi, hạ bậc +Với ví dụ ta có lớp tập tương tự mà có cách xử lý đặc trưng sau: Trong phương trình có hàm sin2x, cos2x, sinx, cosx nhóm sin2x với sinx (hoặc cosx) hạng tử lai với dùng định lý viét để phân tích VD 4:Giải phương trình; sin x − cos2x=7sinx+2cosx-4 ⇔(2sin2x-2cosx)+(-cos2x-7sinx+4)=0 ⇔ 2cosx(2sinx-1)+(2sin x-7sinx+3)=0 ⇔ 2cosx(2sinx-1)+(2sinx-1)(sinx-3)=0 ⇔(2sinx-1)(2cosx+sinx-3)=0 π  x = + k 2π   sinx= ⇔ ⇔  x = 5π + k 2π 2cosx+sinx=3(vn)   Bài tập tương tự để học sinh vận dụng: 1) sin x −cos2x=3sinx+cosx-2 2)sinx+2cosx+cos2x-2sinx.cosx=0 3)1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 4)9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8 5)sin2x+cos2x-3sinx-cosx+1=0 6)3sinx+2cosx=2+3tanx 7) 3(2cos x + cosx-2) +s inx.(3-2cosx) 3π π VD5: Giải phương trình: sin( + x) = sin( − x) 5 3π π π + x = π − 2t Đặt − x = t ⇒ x = − t Vậy 5 sin(π − 2t ) = 2sin t Ta có phương trình: ⇔ sin 2t = 2sin t ⇔ 2sin t (cost-1) = sin t = t = kπ ⇔ ⇔ ⇔ t = kπ cost=1 t = k 2π   π π Vậy x = − kπ = + mπ (m = − k ) Định hướng 2:Tích thành tổng ngược lại: Trong phương trình lượng giác xuất tích hàm sin, cos biến đổi thành tổng với mục đích xuất nhóm giống để rút gọn Ngược lại, tổng hàm sin, cos biến đổi thành tích với mục đích xuất nhân tử chung Chú ý: Dấu hiệu áp dụng:Tổng(hiệu) hai cung liên quan đến cung thứ VD1:Giải phương trình: 3cos5x-2sin3x.cos2x-sinx=0 ⇔ 3cos5x-sin5x=2sinx π ⇔ sin(5x- )=sin(-x) π π  x= 12 +k ⇔  x = 2π +k π   Lưu ý liên hệ cung phương trình: Ban đầu dấu hiệu 3x+2x=5x (3x-2x=x) cịn hai loại cung 5x x (liên hệ không đẹp) lập loại cung vế, thường xử lý nhóm a.sinx+b.cosx VD2:Giải phương trình: sin(4 x + π ).sin x = sin(10 x − π ) 4 ⇔ (sin x + cos4x).sin x = sin10 x − cos10x ⇔ sin6x.sin4x+sin6x.cos4x=sin10x-cos10x ⇔ sin10x-cos10x=sin2x+cos2x ⇔ sin(10 x − π ) = sin(2 x + π ) π π  x= +k  16 ⇔ x = π + k π  12  Ghi chú: Ta xử lý cung trước biến đổi tích thành tổng VD3:Giải phương trình: cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0 5x 3x 5x x ⇔ 2cos cos + 2cos cos = 2 2 5x x ⇔ 2cos 2.cosx.cos = 2 Lưu ý liên hệ cung: x+4x=2x+3x (hoặc 2x-x=4x-3x) VD4:Giải phương trình: sin x +s inx+2sin x =1 ⇔sin x +s inx=cos2x ⇔2sin3x.cos2x=cos2x ⇔cos2x.(2sin3x-1)=0 π  π x= + k   π 2π ⇔ x = +k  18  x = 5π + k 2π  18  Ghi chú: Hạ bậc tổng thành tích (chú ý liên hệ cung: 5x-x=2.2x) Bài tập tương tự để học sinh vận dụng: 1)cos2x+2sinx.sin2x=2cosx 2)cos4x+sin3x.cosx=sinx.cos3x 3)1+sinx+cos3x=cosx+sin2x+cos2x 4)sin8x+cos4x=1+2sin2x.cos6x 5)cos2x-2sin2x.sin4x-2cos3x.cos9x=1 Định hướng 3:Hạ bậc: Nhiều công thức lượng giác dạng bậc hàm sin, cos, gặp bậc cao ta tìm cách hạ bậc để bước có nhiều cơng thức biến đổi Chú ý: Khi hạ bậc thường phải kết hợp với đẳng thức VD1:Giải phương trình: sin x − cos x = sin x − cos x ⇔1 − cos6x-(1+cos8x)=1-cos10x-(1+cos12x) ⇔ cos12x-cos6x=cos8x-cos10x ⇔ -2sin9x.(sin3x+sinx)=0 π  x=k   π  ⇔ x=k   x= π +kπ   Ghi chú: Khi có bậc cao mà không thấy nhân tử chung không đặt ẩn phụ trước hết ta hạ bậc để tiện biến đổi sau VD2:Giải phương trình sin ( x + π ) + sin ( x + 2π − s inx )= 10 2π 4π ) − cos(2x+ ) + = − s inx ⇔ 2 2π 4π ⇔ −cos(2x+ )-cos(2x+ )=1-sinx 3 − cos(2x+ 3 cos2x+ sin x + cos2xsin x = − s inx 2 2   x=kπ  π ⇔ cos2x+sinx-1=0 ⇔ sinx.(1-2sinx)=0 ⇔ x= + k 2π   5π x = + k 2π  ⇔ Ghi chú: Bài hạ bậc kết hợp biến đổi cung VD3:Giải phương trình cos5x.cosx=cos4x.cos2x+3cos x + ⇔ cos6x+cos4x=cos6x+cos2x+3.(1+cos2x)+2 ⇔ cos4x-4cos2x-5=0 ⇔ 2cos 2 x − 4cos2x-6=0  cos2x=-1 π ⇔ ⇔ x = + kπ  cos2x=3(vn) Ghi chú:Hạ bậc kết hợp biến đổi tích thành tổng VD4:Giải phương trình: 11 4(sin x + cos x ) + sin x − = ⇔ 4(1 − sin x.cos x) + sin x − = ⇔ − sin 2 x + sin x = ⇔ − (1 − cos4x) + sin x = ⇔ sin x + cos4x=-1 ⇔ cos(4x- π )=- π π  x = + k ⇔ x = − π + k π   Ghi chú: Học sinh yếu thường dựa vào công thức hạ bậc(bậc với sin, cos) để “bịa” công thức hạ bậc bậc cao cần lưu ý học sinh hạ bậc bậc cao cần kết hợp với đẳng thức Bài tập tương tự để học sinh vận dụng: π 5π 9x 1)cos3x+sin7x=2sin ( + ) − 2cos 2 π x 2)cos4x.sinx-sin 2 x = 4sin ( − ) − 2 π 2π 3)cos ( x + ) + cos ( x + ) = (s inx+1) 3 Định hướng 4:Biến đổi hàm lượng giác: Trong phương trình lượng giác có nhiều hàm lượng giác khác nhau, thấy chúng liên quan đến hàm trung gian (học sinh cần vận dụng linh hoạt công thức để thấy hàm trung gian này)thì biến đổi hàm trung gian đặt ẩn phụ VD1:Giải phương trình: cos2x+sin x + 2cosx+1=0 ⇔ 2cos x +1 − cos x + 2cosx=0 ⇔ cos x + 2cosx+1=0 ⇔ cosx=-1 ⇔ x=π +k2π VD2:Giải phương trình: 12 cos x − cos2x+2sin x = (1 + cos2x) (1-cos2x)3 ⇔ − cos2x+ =0 4 Đặt cos2x=t ( −1 ≤ t ≤ ) ta được: (1 + t ) (1 − t )3 −t + = ⇔ −t + 4t − 5t + = 4 t = 2(l ) ⇔ ⇒ cos2x=1 ⇔ x=kπ t =1  Ghi : Khi biến đổi đến hàm trung gian đặt ẩn phụ ngay, học sinh phải biến đổi đại số Định hướng :Chuyển tan, cot sin, cos : Chuyển hàm tan, cot hàm sin, cos dễ xử lý lượng giác Nhớ đặt điều kiện trước giải đối chiếu điều kiện sau giải VD1 : Giải phương trình : 13 c otx-tanx+4sin2x= sin2x cosx ≠ π  DK : sinx ≠ ⇔sin x ≠ ⇔ x ≠ k sin2x ≠  cosx s inx − + sin x = sinx cosx sin x 2 ⇔ 2cos x − sin x + sin x = ⇔ 2cos2x+2(1-cos4x)=2 ⇔ 2cos2x-2cos4x=0 Pt ⇔ ⇔ 2cos2x-2(2cos 2x-1)=0 ⇔ -4cos 2 x + 2cos2x+2=0   x = kπ cos2x=1  π  ⇔ ⇔ x = + kπ cos2x=   π  x = − + kπ  π  x = + kπ  Đối chiếu điều kiện ta :   x = − π + kπ   Ghi : -Sau đưa tan, cot sin, cos khử mẫu toán trở nên quen thuộc, ta dùng nguyên tắc biến đổi học để xử lý tiếp -Việc đối chiếu điều kiện để loại nghiệm ngoại lai học sinh nên dùng đường trịn lượng giác VD2 :Giải phương trình : + sin x + cos2x = s inx.sin2x 1+cot x DK:sinx ≠ ⇔ x ≠ kπ 1+sin2x+cos2x PT ⇔ = s inx.sin2x sin x 14 ⇔ (1+sin2x+cos2x)sin x = s inx.sin2x ⇔ sin x(1+sin2x+cos2x-2 2cosx)=0 sin x = 0(l ) ⇔ 1+sin2x+cos2x-2 2cosx=0  ⇔ s inx.cosx+2cos x − 2cosx=0 ⇔ 2cosx(sinx+cosx- 2)=0 π  cosx=0 ⇔ x= + kπ  ⇔ sinx+cosx= ⇔ sin( x + π ) = ⇔ x = π + k 2π   4 π π Đối chiếu điều kiện ta x = + k 2π ; x = + kπ Ghi : Với phương trình lượng giác có ẩn mẫu, việc nêu đối chiếu điều kiện quan trọng kể điều kiện không làm ảnh hưởng tới nghiệm Sau giới thiệu cho học sinh năm nguyên tắc biến đổi trên, cho học sinh vận dụng ngun tắc q trình giải phương trình lượng giác với định hướng đưa dạng phương trình tích học sinh cần nhớ thêm số nhóm biểu thức lượng giác có chung nhân tử để thuận tiện trình phát nhân tử chung    cos2x   Nhóm :1+tanx  có nhân tử sinx+cosx  1+cotx  π  sin( x + )   + sin x 15   − sin x  cos2x   Nhóm :1-tanx  có nhân tử sinx-cosx  1-cotx  π  sin( x − )   Nhóm :1-cos2x, sin x, tan x có nhân tử (1-cosx).(1+cosx) Nhóm :1+cos2x, cos x,cot x có nhân tử (1+sinx).(1-sinx) VD1:Giải phương trình: cosx.(sin x − s inx+4) − =0 2sinx+ π  x ≠ − + k 2π   Dk : s inx+ ≠ ⇔ s inx ≠ ⇔  x ≠ 4π + k 2π   Pt ⇔ cosx.(sin x − s inx+4) − = ⇔ 2s inx.cos x − s inx.cosx+4cosx-2=0 ⇔ sinx.cosx(2cosx-1)+2(2cosx-1)=0 ⇔ (2cosx-1)(sinx.cosx+2)=0 π  x = + k 2π   cosx= ⇔ ⇔   x = − π + k 2π sin2x=-4(VN)   π Đối chiếu điều kiện ta x= + k 2π VD2:Giải phương trình: 16 (2 − 3)cos2x-2sin ( x − 4sin x − 13π ) = −1 DK : 4sin x − ≠ ⇔ cos2x ≠ 13π )) = − 4sin x ⇔ (2 − 3)cos2x+sin2x=2-2(1-cos2x) PT ⇔ (2 − 3)cos2x-(1-cos(2 x − ⇔ (2- 3)cos2x+sin2x-2cos2x=0 π ⇔ sin2x- 3cos2x=0 ⇔ sin(2x- )=0 π π ⇔ x= + k Đối chiếu với điều kiện ta x= 2π + kπ VD3:Giải phương trình: Sin2x.cosx+sinx.cosx=cos2x+sinx+cosx ⇔ 2s inx.cos x + s inx.cosx=2cos x − + s inx+cosx ⇔ 2cos x(s inx-1) + cosx(sinx-1)=sinx-1 ⇔ (sinx-1)(2cos x+cosx-1)=0 π  x = + k 2π  sinx=1 π 2π   x= +k   π 3 ⇔  cosx= ⇔  x = ± + k 2π ⇔     x = π + k 2π  x = π + k 2π  cosx=-1       Bài tập tương tự để học sinh vận dụng: 17 π π ) − sin(2 x − ) = 1 2) sin x − cos8 x = cos 2 x − cos2x 2 π 3)2sin ( x − ) = sin x − t anx x π x 4)sin ( − ) tan x − cos = x 5)3s inx+cos2x+sin2x=4sinx.cos 2 1)2 sin( x + 4.KẾT QUẢ THỰC HIỆN: Kết qua kiểm tra lớp dạy sau: Năm Lớp Tổng Điểm trở Điểm từ đến Điểm học số lên Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ lượng lượng lượng 2006- 11A7 50 8% 21 42% 25 50% 2007 11A8 52 9,6% 24 46,2% 23 44,2% 2007- 11C1 48 14,6% 24 50% 17 35,4% 2008 11C3 52 11,5% 26 50% 20 38,5% 2009- 11B10 52 11 21,2% 34 65,4% 13,4% 2010 11B11 50 12 24% 31 62% 14% 2010- 11C1 48 20 41,7% 24 50% 8,3% 2011 11C2 52 24 46,2% 25 48,1% 5,7% (Các năm học 2006-2007, 2007-2008 chưa áp dụng đề tài; năm học 2009-2010, 2010-2011 áp dụng đề tài) 18 PHẦN III.KẾT LUẬN: Sau tiến hành giảng dạy theo đề tài thu số kết luận sau: 1.Nhìn chung, học sinh nắm định hướng, kỹ biến đổi để giải phương trình lượng giác cụ thể 2.Học sinh hứng thú học tập hơn, chủ động giải phương trình lượng giác, khơng cịn tình trạng thiếu định hướng biến đổi Số học sinh có học lực trung bình có kỹ giải tập phương trình lượng giác 3.Cơng thức lượng giác củng cố vận dụng tốt hơn, học sinh thấy rõ ý nghĩa, vai trị cơng thức lượng giác 4.Dù kiểm nghiệm qua giảng dạy đề tài không tránh khỏi hạn chế Rất mong quý thầy cô đồng nghiệp góp ý, trao đổi để giúp cho nguyên tắc, định hướng biến đổi giải phương trình lượng giác ngày đạt hiệu cao Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hố, ngày tháng năm 2013 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 19 Trần Thái Sơn TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1.Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 Nâng cao-NXB Giáo dục Sách giáo viên Đại số Giải tích 11 Nâng cao-NXB Giáo dục 3.Giải toán lượng giác 10 -Trần Thành Minh (chủ biên)-NXB Giáo dục 4.Giải toán lượng giác chọn lọc 10-11-12 -Nguyễn Cam-NXB trẻ 5.Tốn ơn thi đại học (Tập III-Hình học, Lượng giác)-Dỗn Minh Cường, Nguyễn Hắc Hải,Nguyến Đức Hồng, Đỗ Đức Thái, Phan Doãn ThoạiNXB Đại học sư phạm 6.Báo Toán học tuổi trẻ-NXB Giáo dục 7.Các đề thi đại học, cao đẳng Các đề thi thử trường 20 ... dạng) số phương trình lượng giác khác(chỉ nêu số ví dụ định hướng việc biến đổi giải phương trình lượng giác dạng quan trọng này) điều làm cho học sinh cảm nhận việc biến đổi lượng giác giải phương. .. nắm định hướng, kỹ biến đổi để giải phương trình lượng giác cụ thể 2 .Học sinh hứng thú học tập hơn, chủ động giải phương trình lượng giác, khơng cịn tình trạng thiếu định hướng biến đổi Số học sinh. .. thức lượng giác (trong nguyên tắc cụ thể) vừa tạo phản xạ tốt việc vận dụng công thức lượng giác để giải phương trình lượng giác, khắc phục việc biến đổi lan man giải phương trình lượng giác