skkn một số định hướng biến đổi giúp học sinh khắc phục khó khăn trong giải phương trình lượng giác thpt trần an chiêm

Ý thức được tầm quan trọng như vậy nhưng việc dạy và học về lượng giác nói chung và phương trình lượng giác nói riêng ở các trường phổ thông vẫn còn gặp nhiều khó khăn đặc biệt là những

PHẦN I:LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Lượng giác là một nội dung quan trọng của chương trình toán phổ thông, nó liên quan đến nhiều nội dung khác của toán như tích phân, đạo hàm, hình học bổ trợ cho nhiều môn khoa học quan trọng khác như vật

lí và cả trong đời sống thực tế

Trong kì thi tuyển sinh vào đại học và cao đẳng phương trình lượng giác

là một nội dung kiến thức thường xuyên được sử dụng

Ý thức được tầm quan trọng như vậy nhưng việc dạy và học về lượng giác nói chung và phương trình lượng giác nói riêng ở các trường phổ thông vẫn còn gặp nhiều khó khăn đặc biệt là những trường vừa chuyển đổi từ hệ bán công sang công lập như trường tôi

Qua thực tế nhiều năm giảng dạy và rút kinh nghiệm tôi gặp những trở ngại sau:

-Công thức lượng giác nhiều, thời lượng cho việc rèn luyện bài tập để nhớ công thức theo phân phối chương trình là rất hạn chế

-Tài liệu, bài tập về phương trình lượng giác rất nhiều nhưng chủ yếu là bài tập và lời giải khô khan, phạm vi biến đổi, sử dụng công thức quá rộng học sinh khó định hướng Khi gặp một phương trình lượng giác không biết chọn công thức nào, không biết bắt đầu từ đâu

Thực chất với những học sinh có khả năng tiếp thu khá trở lên thì

phương trình lượng giác không có gì đáng ngại, thực tế đó cũng là câu xếp hạng dễ trong các đề thi, tuy nhiên với đại đa số học sinh còn lại thì ghi nhớ một loạt công thức rồi chọn công thức nào để biến đổi thì quả là một vấn đề lớn nên thường những em này bị tụt hậu lại phía sau và dần dần có cảm giác sợ lượng giác, sẽ ngại ngay cả khi được ôn tập lại và mang tâm lý này lây lan sang cả các khoá học tiếp theo nên nhiều học sinh chưa học lượng giác đã có tâm lý ngại lượng giác

Trước đây, khi dạy lượng giác tôi đã áp dụng phương pháp cho học sinh học thuộc lòng công thức bằng cách chép công thức nhiều lần và giao bài tập về nhà thật nhiều để học sinh vận dụng công thức có kiểm tra thường xuyên và bất chợt nhưng hiệu quả vẫn chưa như mong đợi, chỉ những học sinh có khả năng tiếp thu khá mới có chuyển biến tích cực còn số còn lại càng ngày càng ngại hơn, sau quá trình dài tìm tòi, học hỏi, rút

HỌC SINH KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN TRONG GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH LƯỢNG GIÁC để áp dụng trong giảng dạy và đã thu được một

số kết quả khả quan nên tôi mạnh dạn viết sáng kiến này để đồng nghiệp tham khảo và góp ý

Đề tài của tôi áp dụng cho mọi đối tượng học sinh song trọng tâm hướng tới là đối tượng học sinh có sức học trung bình

Trong đề tài này, để giảm tải tôi đã mạnh dạn loại bớt một số công thức luợng giác (VD:Hệ thống công thức của các góc có liên quan đặc biệt có thể được xử lý bằng hệ thống công thức cộng, một số công thức của các hàm tan, cot được xử lý bằng hệ thống công thức của sin, cos )

Vấn đề trọng tâm nhất của đề tài là chia việc biến đổi lượng giác liên miên lâu nay thành 5 định hướng biến đổi chính để giúp học sinh một mặt được rèn luyện công thức một cách có hệ thống, có trọng tâm không tràn lan khi biến đổi lượng giác trong từng nguyên tắc mà giáo viên đã nêu ra sẵn, mặt khác giúp học sinh có cái nhìn tổng quát sau khi học song các nguyên tắc biến đổi từ đó biết phải bắt đầu từ đâu trong một bài giải phương trình lượng giác bất kỳ Đây là mục tiêu chính mà tôi hướng tới khi áp dụng đề tài này trong giảng dạy

Để giúp học sinh thấm sâu hơn từng nguyên tắc biến đổi, sau mỗi ví dụ đặc trưng tôi đều có ghi chú cần thiết giải đáp các băn khoăn về việc lựa chọn công thức biến đổi, có phần bài tập tương tự để học sinh áp dụng làm tại nhà để củng cố chắc hơn nữa

Tuy vậy tôi vẫn luôn khuyến khích học sinh làm theo các hướng khác nếu được, sử dụng công thức khác nếu có thể, đặc biệt là những học sinh

có khả năng cao hơn, hoặc những học sinh đã rèn luyện tốt những

nguyên tắc biến đổi này rồi

PHẦN II:NỘI DUNG

1.CƠ SỞ LÝ LUẬN

Biến đổi lượng giác trong giải phương trình lượng giác là vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác để làm cho các phương trình lượng giác khác lạ dần trở về các phương trình lượng giác quen thuộc đã biết cách giải

Định hướng biến đổi trong giải phương trình lượng giác là biến đổi tuân thủ theo các dấu hiệu đặc trưng phát hiện từ phương trình lượng giác, giúp học sinh trả lời được câu hỏi: Với phương trình lượng giác này phải bắt đầu từ công thức lượng giác nào?, đó là tiền đề cho giải thành công phương trình lượng giác

Trong đề tài này tôi trình bày 5 định hướng sau:

1.Biến đổi về cùng một cung lượng giác

2.Biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

3.Hạ bậc

4.Biến đổi về cùng một hàm lượng giác

2.THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI :

Trong chương trình Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, phần phương trình lượng giác chia thành phương trình lượng giác thường gặp (có cách giải cụ thể cho từng dạng) và một số phương trình lượng giác khác(chỉ nêu một số ví dụ định hướng việc biến đổi trong giải các phương trình lượng giác ở dạng quan trọng này) điều này làm cho học sinh cảm nhận việc biến đổi lượng giác trong giải phương trình lượng giác rất mơ hồ, chung chung Phần bài tập minh hoạ ít

Vì vậy để cho ‘’Một số phương trình lượng giác khác’’ được cụ thể hơn tôi đã phân loại chúng theo các hướng biến đổi thông thường, hay sử dụng để học sinh có được việc tiếp cận rõ ràng hơn với phương trình lượng giác

Trước đây, để giải quyết vấn đề này tôi đã đưa ra nhiều bài tập cùng loại (vận dụng công thức tương tự nhau) để học sinh làm và từ đó dần dần định hướng biến đổi khi gặp phương trình lượng giác bất kỳ

Tuy nhiên đây chỉ là việc phân loại bài tập, để có được kỹ năng học sinh phải làm một lượng lớn bài tập tương tự, dễ gây cảm giác nhàm chán, mất hứng thú học tập

Với đề tài ‘’ Một số định hướng biến đổi trong giải phương trình lượng giác’’ học sinh vừa được rèn luyện công thức lượng giác (trong từng nguyên tắc cụ thể) vừa tạo phản xạ tốt trong việc vận dụng công thức lượng giác để giải phương trình lượng giác, khắc phục được việc biến đổi lan man trong giải phương trình lượng giác Dần dần tự trả lời được

vì sao dùng công thức này mà không dung công thức kia

3.GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN :

Định hướng 1 :Biến đổi về cùng một cung lượng giác:

Trong phương trình lượng giác có nhiều cung khác nhau ta tìm cách biến đổi về cùng một cung nếu có thể

+Nếu gặp loại cung chứa  dạng mx+nthì có thể dùng công thức cộng, công thức của các góc liên quan đặc biệt

+Nếu gặp loại cung gấp đôi thì dùng hệ thống công thức nhân đôi hoặc

hạ bậc

Chú ý: Nếu cung chứa  nhưng không cho ra giá trị lượng giác đặc biệt thì sẽ xử lý bằng đặt ẩn phụ (chọn cung nhỏ làm ẩn mới, biểu diễn các cung còn lại theo ẩn mới này)

VD1:Giải phương trình:

7 os(2x- )=sin(4x+3 )

2

os2x.cos sin 2 sin sin 4 os3 +cos4x.sin3

-sin2x=-sin4x sin4x=sin2x x=k

x=

c

k



















Ghi chú: Với đối tượng học sinh khả năng tiếp thu còn hạn chế tôi luôn chọn giải pháp dùng công thức cộng trong trường hợp này mà không dùng công thức của các góc liên quan đặc biệt vì học sinh phải nhớ ít công thức hơn, áp dụng trực tiếp công thức và có máy tính hỗ trợ

Bài tập tương tự để học sinh vận dụng:

1) osx-2sin( - )=3

2 2

2)sin(2x+ )-3cos(x- )=1+2sinx

VD2:

Giải phương trình:

sin(3 ) sin 2 sin( )

sin 3 os3x=sin2x(sinx+cosx)

sin3x-cos3x=sin2x.sinx+sin2x.cosx

(sin 3 os3x) (s inx+cosx) sin(3 ) sin( )

x c



Ghi chú: Gặp cung /4 nên nhớ đến công thức sinacosa= 2 sin( )

4

a , cung /4 cũng là dấu hiệu trong quá trình vận dụng công thức biến đổi

VD3:giải phương trình: 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0

2

2

1 s inx+cosx+2sinx.cosx+2cos 1 0

s inx+cosx+2sinx.cosx+2cos 0

s inx.(1+2cosx)+cosx.(1+2cosx)=0 (1+2cosx)(sinx+cosx)=0

2

2 sinx+cosx=0

4

x x





















Ghi chú:

+Gặp cung gấp đôi nhau ta đưa về cùng một cung bằng công thức nhân đôi, hạ bậc

+Với ví dụ này ta có một lớp bài tập tương tự mà có cách xử lý đặc trưng sau:

Trong phương trình có 4 hàm sin2x, cos2x, sinx, cosx thì nhóm sin2x với sinx (hoặc cosx) các hạng tử còn lai đi với nhau và dùng định lý viét để phân tích

VD 4:Giải phương trình;

2

2sin 2 os2x=7sinx+2cosx-4 (2sin2x-2cosx)+(-cos2x-7sinx+4)=0 2cosx(2sinx-1)+(2sin x-7sinx+3)=0 2cosx(2sinx-1)+(2sinx-1)(sinx-3)=0 (2sinx-1)(2cosx+sinx-3)=0

2

5

6

x c

































Bài tập tương tự để học sinh vận dụng:

2

1) sin 2 os2x=3sinx+cosx-2 2)sinx+2cosx+cos2x-2sinx.cosx=0 3)1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 4)9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8 5)sin2x+cos2x-3sinx-cosx+1=0 6)3sinx+2cosx=2+3tanx

7) 3(2 os osx-2) s inx.(3-2cosx)

x c



VD5: Giải phương trình: sin(3 2 ) 2sin( )

Đặt

5 x t x 5 t





  

Ta có phương trình:

sin( 2 ) 2sin sin 2 2sin 2sin ( ost-1) 0 sin 0

t k











Vậy ( )

x  k   m m k

Định hướng 2:Tích thành tổng và ngược lại:

Trong phương trình lượng giác nếu xuất hiện tích các hàm sin, cos thì biến đổi thành tổng với mục đích xuất hiện các nhóm giống nhau để rút gọn

Ngược lại, tổng các hàm sin, cos thì biến đổi thành tích với mục đích xuất hiện nhân tử chung

Chú ý: Dấu hiệu áp dụng:Tổng(hiệu) hai cung liên quan đến cung thứ 3 VD1:Giải phương trình:

3 os5x-2sin3x.cos2x-sinx=0

3 os5x-sin5x=2sinx sin(5x- )=sin(-x)

3 x=

2

c c

k













 



Lưu ý sự liên hệ cung trong phương trình: Ban đầu thì dấu hiệu

3x+2x=5x hoặc (3x-2x=x) khi còn hai loại cung là 5x và x (liên hệ

không đẹp) thì cô lập mỗi loại cung ở một vế, tiếp theo thường là xử lý nhóm a.sinx+b.cosx

VD2:Giải phương trình:

sin(4 ).sin 6 sin(10 )

(sin 4 os4x).sin 6 sin10 os10x sin6x.sin4x+sin6x.cos4x=sin10x-cos10x sin10x-cos10x=sin2x+cos2x

2 sin(10 ) 2 sin(2 )









 



Ghi chú: Ta đã xử lý cung trước khi biến đổi tích thành tổng

VD3:Giải phương trình:

osx+cos2x+cos3x+cos4x=0

2cos os 2 os os 0

2 os 2 osx.cos 0

c

Lưu ý sự liên hệ cung: x+4x=2x+3x (hoặc 2x-x=4x-3x)

VD4:Giải phương trình:

2

sin 5 s inx+2sin 1 sin 5 s inx=cos2x 2sin3x.cos2x=cos2x cos2x.(2sin3x-1)=0

x





x=

2

k

















Ghi chú: Hạ bậc rồi tổng thành tích (chú ý liên hệ cung: 5x-x=2.2x)

Bài tập tương tự để học sinh vận dụng:

1) os2x+2sinx.sin2x=2cosx

2)cos4x+sin3x.cosx=sinx.cos3x

3)1+sinx+cos3x=cosx+sin2x+cos2x

4)sin8x+cos4x=1+2sin2x.cos6x

5)cos2x-2sin2x.sin4x-2cos3x.cos9x=1

c

Định hướng 3:Hạ bậc:

Nhiều công thức lượng giác ở dạng bậc nhất đối với các hàm sin, cos, vì vậy khi gặp các bậc cao hơn thì ta tìm cách hạ bậc để bước tiếp theo có nhiều công thức biến đổi hơn

Chú ý: Khi hạ bậc thường phải kết hợp với cả hằng đẳng thức

VD1:Giải phương trình:

sin 3 os 4 sin 5 os 6

1 os6x-(1+cos8x)=1-cos10x-(1+cos12x) cos12x-cos6x=cos8x-cos10x

-2sin9x.(sin3x+sinx)=0

c

 





x=k

9 x=k

2 x=

























Ghi chú: Khi có bậc cao mà không thấy ngay nhân tử chung hoặc không đặt ẩn phụ thì trước hết ta hạ bậc để tiện biến đổi sau này

VD2:Giải phương trình

x  x   

2 4

1 os(2x+ ) 1 os(2x+ ) 3 s inx

os(2x+ )-cos(2x+ )=1-sinx

os2x+ sin 2 os2x- sin 2 1 s inx

x=k cos2x+sinx-1=0 sinx.(1-2sinx)=0 x= 2

6 5

2 6

c

k













 













  



Ghi chú: Bài này hạ bậc rồi kết hợp biến đổi cung

VD3:Giải phương trình

2

2

os5x.cosx=cos4x.cos2x+3cos 1 os6x+cos4x=cos6x+cos2x+3.(1+cos2x)+2 cos4x-4cos2x-5=0

2cos 2 4 os2x-6=0 cos2x=-1

cos2x=3(vn) 2

c

x c

x  k











Ghi chú:Hạ bậc kết hợp biến đổi tích thành tổng

VD4:Giải phương trình:

4 4

2

4(sin os ) sin 4 2 0 4(1 2sin os ) sin 4 2 0

2 2sin 2 sin 4 0

2 (1 os4x) sin 4 0

1 sin 4 os4x=-1 cos(4x-

x c





 



 

  



Ghi chú: Học sinh yếu thường dựa vào công thức hạ bậc(bậc 2 với sin, cos) để “bịa” ra công thức hạ bậc bậc cao hơn vì vậy cần lưu ý học sinh khi hạ bậc bậc cao cần kết hợp với các hằng đẳng thức

Bài tập tương tự để học sinh vận dụng:

1) os3x+sin7x=2sin ( ) 2 os

7 2) os4x.sinx-sin 2 4sin ( )

4 2 2

3) os ( ) os ( ) (s inx+1)

x

x

 



Định hướng 4:Biến đổi về cùng một hàm lượng giác:

Trong phương trình lượng giác có nhiều hàm lượng giác khác nhau, nếu thấy chúng cùng liên quan đến một hàm trung gian (học sinh cần vận dụng linh hoạt các công thức để thấy hàm trung gian này)thì biến đổi về hàm trung gian đó rồi đặt ẩn phụ

VD1:Giải phương trình:

2

2

os2x+sin 2 osx+1=0 2cos 1 os 2 osx=0 cos 2 osx+1=0

cosx=-1 x= +k2



VD2:Giải phương trình:

4 6

os os2x+2sin 0 (1 os2x) (1-cos2x)

c

c



Đặt cos2x=t (   1 t 1) ta được:

3 2

(1 ) (1 )

2( )

os2x=1 x=k 1

t l

c









Ghi chú : Khi biến đổi đến hàm trung gian thì đặt ẩn phụ ngay, khi đó học sinh chỉ phải biến đổi đại số

Định hướng 5 :Chuyển tan, cot về sin, cos :

Chuyển hàm tan, cot về hàm sin, cos thì dễ xử lý lượng giác hơn Nhớ đặt điều kiện trước khi giải và đối chiếu điều kiện sau khi giải

VD1 : Giải phương trình :

2 2 2

2

c otx-tanx+4sin2x=

sin2x

2 sin2x 0

4 sin 2

2 os2x+2(1-cos4x)=2 2cos2x-2cos4x=0 2cos2x-2(2cos 2x-1)=0 -4cos 2 2 os2x+2=0

c

c

x

c

x c













cos2x=1

cos2x=-2

3

x k















Đối chiếu điều kiện ta được : 3

3















  



Ghi chú : -Sau khi đưa tan, cot về sin, cos và khử mẫu thì bài toán trở nên quen thuộc, ta dùng các nguyên tắc biến đổi đã học để xử lý tiếp -Việc đối chiếu điều kiện để loại nghiệm ngoại lai học sinh nên dùng đường tròn lượng giác

VD2 :Giải phương trình :

2

2

1 sin 2 os2x

2 s inx.sin2x 1+cot

1+sin2x+cos2x

1 sin

x c x

x





2

2

2

(1+sin2x+cos2x)sin 2 s inx.sin2x sin (1+sin2x+cos2x-2 2cosx)=0 sin 0( )

1+sin2x+cos2x-2 2cosx=0 2s inx.cosx+2cos 2 2 osx=0 2cosx(sinx+cosx- 2)=0

cosx=0 x=

2

x x

k









 









 



Đối chiếu điều kiện ta được 2 ;

x  k  x  k

Ghi chú : Với phương trình lượng giác có ẩn ở mẫu, việc nêu và đối chiếu điều kiện là rất quan trọng kể cả khi điều kiện không làm ảnh

hưởng tới nghiệm

Sau khi giới thiệu cho học sinh năm nguyên tắc biến đổi trên, tôi cho học sinh vận dụng các nguyên tắc đó trong quá trình giải phương trình lượng giác với định hướng chính là đưa về dạng phương trình tích vì vậy học sinh cần nhớ thêm một số nhóm biểu thức lượng giác có chung nhân tử

để thuận tiện hơn trong quá trình phát hiện nhân tử chung

Nhóm 1 :

1 sin 2

os2x 1+tanx

1+cotx

2 sin( )

4

x c

x 





















có nhân tử sinx+cosx

Nhóm 2 :

1 sin 2

os2x 1-tanx

1-cotx

2 sin( )

4

x c

x 





















có nhân tử sinx-cosx

Nhóm 3 :1-cos2x, sin , tan 2x 2xcó nhân tử (1-cosx).(1+cosx)

Nhóm 4 :1+cos2x, cos ,cot 2x 2 x có nhân tử (1+sinx).(1-sinx)

VD1:Giải phương trình:

2

os (sin 2 s inx+4) 2

0 2sinx+ 3

2

: 2s inx+ 3 0 s inx

4 2

2 3

os (sin 2 s inx+4) 2 0

2s inx.cos s inx.cosx+4cosx-2=0

sinx.cosx(2cosx-1)+2(2cosx-1)=0

(2cosx-1)(sinx.cosx+2)=0

1 cosx=

2 s

Dk

x













 











2 3

3











 

 





Đối chiếu điều kiện ta được x= 2

3 k







VD2:Giải phương trình:

2

2

2

13 (2 3) os2x-2sin ( )

4sin 1

1 : 4sin 1 0 os2x

2 13 (2 3) os2x-(1-cos(2 )) 1 4sin

2 (2 3) os2x+sin2x=2-2(1-cos2x)

(2- 3)cos2x+sin2x-2cos2x=0

sin2x- 3 os2x=0 sin(2x- )=0

6 x=

x

c

c

k











 



Đối chiếu với điều kiện ta được x=23 k

VD3:Giải phương trình:

Sin2x.cosx+sinx.cosx=cos2x+sinx+cosx

2

2

2sinx.cos sinx.cosx=2cos 1 s inx+cosx

2cos (sinx-1) osx(sinx-1)=sinx-1

(sinx-1)(2cos x+cosx-1)=0

2

2

















 









Bài tập tương tự để học sinh vận dụng:

8 8 2

2

1 1)2sin( ) sin(2 )

3)2sin ( ) 2sin t anx

4 4)sin ( ) tan os 0

5)3s inx+cos2x+sin2x=4sinx.cos

2

x c

x





4.KẾT QUẢ THỰC HIỆN:

Kết quả qua các bài kiểm tra ở các lớp dạy như sau:

Năm

học

Lớp Tổng

số

Điểm 8 trở lên

Điểm từ 5 đến 7

Điểm dưới 5

Số lượng

Tỷ lệ Số

lượng

Tỷ lệ Số

lượng

Tỷ lệ

2006-2007

2007-2008 11C111C3 4852 76 14,6% 2411,5% 26 50%50% 1720 35,4%38,5%

2009-2010

2010-2011

(Các năm học 2006-2007, 2007-2008 chưa áp dụng đề tài; các năm học 2009-2010, 2010-2011 được áp dụng đề tài)