Kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình – Đặng Thành Nam

“Những điều cần biết LTĐH – Kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình” của thủ khoa ĐH Kinh tế Quốc dân Đặng Thành Nam. Đây là một cuốn sách tập hợp rất đầy đủ và công phu các nguồn tài liệu về các bài toán hệ phương trình, cung cấp đủ các dạng toán, phương pháp và kỹ thuật giải đồng thời là các bài toán hay và khó đòi hỏi tính tư duy sáng tạo của học sinh. Mục tiêu của cuốn sách này là giúp các em học sinh có thể giải được trọn điểm dạng bài hệ phương trìnhmột trong những dạng bài tập có tính phân loại cao trong đề thi tuyển sinh Đại học THPT Quốc gia môn Toán.

www.TaiLieuLuyenThi.com CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC BỔ SUNG KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Nộ i dung chương nà y đề cậ p đế n cá c nội dung - Phương trình, bấ t phương trình bậ c nhấ t bậ c hai - Cá c phương trình bậ c ba, bậ c bốn ng đặ c biệ t - Cá c phương trình dạng phâ n thứ c đặ c biệ t - Phương phá p giả i phương trình bậ c ba, bậ c bốn tổ ng t - Hệ phương trình bả n gồ m hệ bậ c nhấ t hai ẩ n, hệ bậ c nhấ t ba ẩ n, hệ gồ m mộ t phương trình bậ c nhấ t hai ẩ n mộ t phương trình bậ c hai hai ẩ n - Hệ phương trình bậ c hai hai ẩ n dạng tổ ng t Đâ y nhữ ng kiế n thứ c bả n cầ n thiế t trướ c tiế p cậ n với hệ phương trình nên hy vọng cung cấ p đủ kỹ nă ng giả i phương trình hệ phương trình trước đến với hệ phương trình dạng nâng cao Chủ Đề 1: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Phương trình bậc ax + b = 0, (a ≠ 0) + Nế u a = 0, b ≠ phương trình vô nghiệm + Nế u a = 0, b = 0, phương trình vô số nghiệm b + Nế u a ≠ ⇔ x = – nghiệ m củ a phương trình a Bấ t phương trình bậ c nhấ t ax + b >  b  b + Nếu a > ⇔ x > − ⇒ S =  − ; +∞  a  a   b b + Nếu a < ⇔ x < − ⇒ S =  −∞ ; − a a  Phương trình bất phương trình bậc hai a) Phương trình bậ c hai ax2 + bx2 + c = 0, (a ≠ 0) Đònh thứ c ∆ = b2 – 4ac + Nế u ∆ = b2 – 4ac < 0, phương trình vô nghiệ m b + Nế u ∆ = b2 – 4ac, phương trình có nghiệm nhấ t x = − 2a + Nếu ∆ = b – 4ac > 0, phương trình có hai nghiệm phâ n biệ t: www.TaiLieuLuyenThi.com x1,2 = −b ± ∆ ax2 + bx + c = a(x – x )(x – x ) 2a b) Bấ t phương trình bậ c hai f(x) = ax bx + c+ 0,(a > 0) ≠ + Nế u ∆ = b2 4ac − 0≤khi a.f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R + Nế u ∆ = b2 4ac − 0>khi f(x) = có hai nghiệ m phân biệ t x < x   x > x2  f(x) > ⇔ a(x − x1 )(x − x ) > ⇔  - Nế u a > ⇒   x < x1   f(x) < ⇔ a(x − x1 )(x − x2 ) > ⇔ x1 < x < x  f(x) > ⇔ a(x − x1 )(x − x2 ) > ⇔ x1 < x < x   x > x2 - Nế u a < ⇒   f(x) < ⇔ a(x − x1 )(x − x2 ) > ⇔  x < x   Chủ Đề 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Phương trình dạng 4x3 + 3x = m Hà m số f(x) = 4x3 3x + có f '(x) = 12x +0, >x ∀R ∈nê n phương trình 4x3 + 3x = m có khô ng mộ t nghiệm Ta ng minh phương trình có nghiệ m nhấ t 1 Đặ t m =  a3 2 1 − a3  ⇔ a =m m±2 + 1  1     1 Khi   a −   +   a −   =  a3 −  =m a  a   a3  2  2  1 1 Do x =  a − nghiệm củ a phương trình hay phương trình có nghiệm  2 a 1 1 nhấ t x =  a  − 2 a Ví dụ Giả i phương trình 4x3 + 3x = Lời giải Hà m số f(x) = 4x3 +3x −2 có f '(x) = 12x có tố i đa mộ t nghiệm nê n phương trình +0, >x ∀ ∈ www.TaiLieuLuyenThi.com 1 1 Đặ t =  a3 −  ⇔a =3 2 a3  Chọ n a = +2 ⇒ −= a ±5 −3 1  1     1 Khi :   a −   +   a −   =  a3 −  a  a   a3  2  2  Vậ y: phương trình có nghiệ m nhấ t: 1 1 x =  a −  =  2 a 2 +5 −5   +2 Phương trình dạng 4x3 − 3x = m α α 3cos −nê n 3 α + 2π α − 2π cos = ,x3 = cos 3 α cos α = cos3 TH1: Nế u m ≤ đặ t m = cos α phương trình có ba nghiệ m x1 = cos ,x2 1 TH2: Nế u m > đặ t m =  a3 2 1 +  a3  1  1 1  Khi  a3 +  =   a +  2 a  a  2  3 ⇔ a =m m±2 − 1   3−  a +  a  2  1 1 Vì x =  a + mộ t nghiệm củ a phương trình  2 a Ta ng minh x nghiệm nhấ t củ a phương trình Thậ t vậ y ta có : 4x3 − 3x = 4x30 Phương trình 4x2 + 4x x + 4x20 ( +4x x +4x 3−) < x >1 − = có ∆ ' = 12 (1 x −) 3x − ⇔ ( x x−0 ) 4x2 2 = 0 Vậ y phương trình có nghiệm nhấ t: 3 1 1 m + m2 − + m − m2 − x = a +  = 2 a Phương trình dạng x3 + px = q TH1: Nế u p = ⇒ x3 = q ⇔ x = TH2: Nế u p > đặ t x = q p t đưa phương trình ng: 4t + 3t = m www.TaiLieuLuyenThi.com TH3: Nế u p < đặ t x = p t− đưa phương trình ng: 4x3 − 3x = m Phương trình bậc ba dạng tổng quát ax3 + bx2 + cx + d = 0, (a ≠ 0) Phương pháp phân tích nhân tử Nế u phương trình có nghiệm x ta phâ n tích: ( ) ax3 + bx2 + cx + d = ( x −x ) ax2 +( b +ax ) x +c +bx +ax20 Từ để giả i phương trình bậ c ba trê n ta giả i phương trình bậ c hai: ax2 + ( b + ax ) x + c + bx + ax20 = Phương pháp Cardano Chia hai vế phương trình cho a đ ưa phương trình dạng: x3 + ax2 + bx + c = Bằ ng cá ch đặ t y = x a − luô n đưa phương trình dạng tắ c: y3 + py + q = (1) p = q – a2 , q = c + G  x, x − a2  =   PP → Ta cần xét p, q ≠ p = hoặ c q = phương trình đơn giản, tiế p tụ c đặ t y = u + v thay o (1), ta đượ c: u  v   p u  v   q   u  v  3uv  p u  v   q  Ta chọ n u, v cho 3uv + p = u3 + v3 + q =  3 p3 3uv + p = = − u v  ⇔  Vậ y : ta có hệ phương trình  27  u + v + q =  3  u + v −= q Theo đònh lý Vi–é t u, v hai nghiệm phương trình X3 + qX − Đặ t ∆ = q2 p3 = (3) 27 p3 + 27 q q + Nế u ∆ > (3) có hai nghiệm u3 =− + ∆ , v3 =− − ∆ 2 q q phương trình (2) có nghiệm nhấ t y = − + ∆ + − − ∆ nê n 2 phương trình (1) có nghiệm thự c nhấ t x = a q q + − + ∆ +3 − − ∆ 2 www.TaiLieuLuyenThi.com + Nế u ∆ = (3) có nghiệm ké p u = v = − q phương trình (2) có q q hai nghiệm thự c có mộ t nghiệ m ké p y1 = − ; y2 = y3 = 2 Do đó: (1) có hai nghiệ m thự c, có mộ t nghiệ m ké p: a q a q x1 = + − ;x =x3 = + 3 + Nế u ∆ < (3) có nghiệm phứ c, giả sử u , v (1) có ba nghiệm phức:  y= u0 + v0   − ( u0 + v0 ) + i y2 =   − ( u0 + v0 ) − i  y3 =   a x1 = + u0 + v0   a u0 − v0 ) ⇒ x2 = − ( u + v0 ) + i (   a u − v )  x3 = − ( u + v ) − i (  ( u − v0 ) ( u − v0 ) Ngoài hai cá ch trê n giả i phương trình bậ c ba bằ ng phương pháp lượ ng giá c hó a hoặ c biến đổi đưa đẳ ng thứ c a3 = b3 Chủ Đề 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Phương trình dạng trùng phương ax + bx2 + = c 0, ( a ≠ ) Đặ= t t x , ( t ≥ ) phương trình trở thành: at + bt + c = Đâ y phương trình bậ c hai biế t cá ch giả i 4 Phương trình dạng ( x − a ) + ( x − b ) = c Đặ t t= x − a+b phương trình trở nh: 4  b−a  a−b c đưa t +  +t +  =     phương trình ng trù ng phương 4 Ví dụ Giả i phương trình ( x − ) + ( x − ) = 82 Lời giải 4 Đặ t t= x − phương trình trở thành: ( t + ) + ( t − ) = 82 www.TaiLieuLuyenThi.com ( )( )  t =−1  x − =−1  x =3 ⇔ ⇔ ⇔ t + 24t − 25 =0 ⇔ t − t + 25 =0 ⇔  = x−4 = t = x Vậ y phương trình có hai nghiệm là= x 3,x = m với a + d = b + c Phương trình dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = Đặt t = ( x + a )( x + d ) t = ( x + b )( x + c) đưa phương trình bậc hai với ẩn t 24 Ví dụ Giả i phương trình x ( x − 1)( x − )( x − 3) = Lời giải Đặt t = x ( x − 3) = x2 − 3x ⇒ ( x − 1)( x − ) = x2 − 3x + = t + phương trình trở thành:  x2 − 3x = t = x = −6 −6 −1 ⇔ ⇔ t ( t + ) =24 ⇔ t + 2t − 24 =0 ⇔  =  t 4= x  x − 3x = Vậ y: phương trình có hai nghiệm x = −1, x = 4 Phương trình dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = ex với ad = bc = m Viế t lạ i phương trình dướ i ng: ( x + a )( x + d )  ( x + b )( x + c )  = ex ( )( ) ⇔ x2 + ( a + d ) x + ad x2 + ( b + c ) x + bc = ex2 Xé t trườ ng hợ p x = xem thỏa mã n phương trình hay không Vớ i x ≠ chia hai vế củ a phương trình cho x2 , ta đượ c:    ad bc + a + d  x + + b + c = e x + x x    Đặ t t =x + ad bc đưa phương trình bậ c hai vớ i ẩ n t =x + x x Ví dụ Giả i phương trình ( x + )( x + 3)( x + )( x + ) = 30x Lời giải Phương trình cho tương đương vớ i: ( )( ) ( x + )( x + )  ( x + 3)( x + ) = 30x2 ⇔ x2 + 8x + 12 x + 7x + 12 = 30x     Nhậ n thấy x = khô ng thỏa mãn phương trình Xé t x ≠ chia hai vế củ a phương trình cho x2 , ta đượ c: www.TaiLieuLuyenThi.com    12 12 30  x + +  x + +  = x x    ( ) 12 Đặ t t = x + , t ≥ phương trình trở thành: x  t = −2 ( t + 8)( t + 7) =30 ⇔ t + 15t + 26 =0 ⇔ t = −13  Đố i chiế u vớ i điều kiệ n nhận nghiệm t = −13 ⇔ x + 12 = −13 x  x = −1 ⇔ x2 + 13x + 12 =0 ⇔   x = −12 Vậ y phương trình có hai nghiệm x = −12,x = −1 e d Phương trình dạng ax + bx + cx + dx + e = với =   a b TH1: Nế u e = đưa phương trình: ( ) ax + bx3 + cx2 + dx = x ax3 + bx2 + cx + d= , phương trình tích có a phương trình bậ c ba ng tổ ng t biết cá ch giải TH2: Nế u e ≠ ⇒ x = khô ng nghiệm củ a phương trình Xé t x ≠ chia hai vế phương trình cho x2 ta đượ c: ax2 + e    d e  d  +  bx +  + c = ⇔ a  x +  + b x + + c= x bx  x ax     d d2 d e d ⇒ t = x2 + + = x2 + + đưa phương trình 2 bx b b b x ax bậ c hai với ẩn t Đặ t t = x + Ví dụ Giả i phương trình x + 3x3 − 6x2 + 6x + = Lời giải Nhậ n thấy x = khô ng thỏa mãn phương trình Xé t x ≠ chia hai vế phương trình cho x2 , ta đượ c:   2 2 = ⇔  x +  +  x +  − 10 = x + 3x − + + x x x x   t = 2 Đặ t t = x + , t ≥ 2 phương trình trở thành: t + 3t − 10 =0 ⇔  x  t = −5 www.TaiLieuLuyenThi.com Đố i chiế u vớ i điều kiệ n nhận nghiệm: t =−5 ⇔ x + −5 ± 17 =−5 ⇔ x2 + 5x + =0 ⇔ x = x Vậ y phương trình có hai nghiệm x = −5 ± 17 Phương trình dạng x = ax + bx + c TH1: Nế u ∆= b2 − 4ac= biế n đổ i đưa phương trình dạng:  b  = x4 a  x +  2a   TH2: Nế u ∆= b2 − 4ac ≠ ta chọ n số thự c m cho: ( ) ( x =  x2 − m + m  = x2 − m   ( ⇔ x2 − m ) = ) ( ) + 2m x − m + m = ax + bx + c ( a − 2m ) x2 + bx + c + m ( ) Ta chọ n m cho: b2 − ( a − 2m ) c + m = Ví dụ Giả i phương trình x = 7x2 − 3x − Lời giải Phương trình cho tương đương vớ i: ( x + 1) 2   3± x + = 3x − x =   1 ⇔ =  3x −  ⇔    x + =−3x +   −3 ± x =  2  Vậ y phương trình có bố n nghiệ m x = 3± −3 ± = ,x 2 Phương trình bậc bốn tổng quát ax + bx3 + cx2 + dx + e = b Cách 1: Đặ t x = − + t đưa phương trình ng: t = αt + βt + λ 4a Cách 2: Viế t lạ i phương trình dướ i ng: 4a2 x + 4bax3 + 4cax + 4dax + 4ae = ( ⇔ 2ax2 + bx 10 ) =( b 2 ) − 4ac x2 − 4adx − 4ae www.TaiLieuLuyenThi.com + Hệ có nghiệm (3) có nghiệ m u ≥ Ta có : (3) ⇔ m(u4 − 3u2 + − 2u3 + 4u) = 1⇔ = f(u) = u4 − 2u3 − 3u2 + 4u + m Ta có : f '(u) = 4u3 − 6u2 − 6u + 4;f '(u) = ⇔ u = 2,( u ≥ 2) Lậ p bảng biế n thiê n củ a f(u) ta suy (3) có nghiệm thỏa mãn ( u ≥ 2) khi: m > ≥ −3 ⇔   m ≤ −1 m  m ≥ Vậ y giá trò cầ n tìm m :  m ≤ −  Bài Tìm m để hệ phương trình sau:   72x + x +1 − 72 + x +1 + 2012x ≤ 2012    x − (m + 2)x + 2m + ≥ (1) (2) có nghiệm Lời giải Điề u kiện: x ≥ −1 Khi ta có : (1) ⇔ 72x + ⇔ 72x + x +1 x +1 − 72+ x +1 + 1006(2x + x += 1) 72+ + 2012x ≤ 2012 x +1 + 1006(2 + x + 1) ⇔ f(2x + x + 1) ≤ f(2 + x + 1)(*) Vớ i f(t) = 7t + 1006t , ta có f '(t) = 7t ln + 1006 > , suy f(t) đồ ng biế n trê n R, từ (*) ⇒ 2x + x + ≤ + x + ⇔ −1 ≤ x ≤ Vậ y hệ phương trình có nghiệm (2) có nghiệm x ∈ [ − 1;1] ⇔ x2 − (m + 2)x + 2m + ≥ có nghiệm x ∈ [ − 1;1] ⇔ = m ≥ g(x) Ta có : g'(x) = x2 − 2x + ;x ∈ [ − 1;1] ⇔ m ≥ g(x) x−2 x∈[−1;1] x2 − 4x + (x − 2)2 ⇒ g'(x) = ⇔ x = − ∈ [ − 1;1] Ta có : g(−1) = −2;g(2 − 3) = − 3;g(1) = −2 ⇒ g(x) = g(±1) = −2 x∈[−1;1] Vậ y m ≥ −2 giá trò cần tìm 856 www.TaiLieuLuyenThi.com Bài Xá c đònh giá trò tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thự c  2 (x + ) x + 2x + + (x + ) x + + 2x + ≥ 2  log (3 x + 1) ≤ log (m − 2x)  m2 +1 m +1 (1) (2) Lời giải u =  Đặ t  v=  u2 = x2 + v2 − u2 − ⇒ ⇒x= 2 x + 2x + > v = x + 2x + x2 + > Thay vào (1), ta đượ c: v u (v2 − u2 + 1) + (v2 − u2 − 1) + v2 − u2 ≥ 2 ⇔ (v − u)(u + v + 1)2 ≥ ⇔ v − u ≥ ⇔ x ≥ −1 Điề u kiện: m + > ⇔ m ≠ Khi phương trình (2) tương đương vớ i: m ≠ ⇔ m ≥= f(x) x + 2x + 1;x ≥ −1(m ≠ 0)  0 < x + ≤ m − 2x Vậ y hệ phương trình có nghiệm (2) có nghiệ m x ≥ −1 , điề u nà y tương đương vớ i m ≥ f(x) x∈[−1;+∞ ] Ta có : f '(x) = 2+ x ⇒ f '(x) = 0⇔x= −1 Lậ p bả ng biế n thiê n hà m số f(x) ta suy f(x) =f(0) =1 ⇒ m ≥ x∈[−1;+∞ ] Vậ y giá trò cầ n tìm m : (1; +∞) Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x2 − 3x − ≤  x − x x − m − 15m ≥ (1) (2) Lời giải Ta có (1) ⇔ (x + 1)(x − 4) ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ Phương trinh: (2) ⇔ m + 15m ≤ f(x) =x3 − x x Vậ y hệ phương trình có nghệm khi, bấ t phương trình (2) có nghiệm thuộ c [ − 1;4] , m + 15m ≤ max f(x) x∈[−1;4] 857 www.TaiLieuLuyenThi.com x3 + 3x2 (−1 ≤ x < 0) Xé t hà m số f(x) = x3 − x x =  x − 3x (0 ≤ x ≤ 4) 3x2 + 6x(−1 ≤ x < 0) Ta có f '(x) = ⇒ f '(x) = ±2 0⇔x= 0;x =  3x − 6x(0 ≤ x ≤ 4) Ta có f(−= 1) 2;f(0) = 0;f(−= 2) 4;f(2) = −4;f(4) = 16 Từ suy ra: max f(x) = f(4) = 16 x∈[−1;4] Vậ y hệ bấ t phương trình có nghiệm : m + 15m ≤ 16 ⇔ −16 ≤ m ≤ Vậ y m ∈  −16,1 giá trò cần tìm Bài Tìm m để hệ phương trình sau: x3 − y3 + 3y2 − 3x − =  x + − x − 2y − y + m = (1) (2) có nghiệm thự c Lời giải −1 ≤ x ≤ Điề u kiện  0 ≤ y ≤ Đặ t t = x + ⇒ t ∈  0;2  , phương trình (1) trở nh: t − 3t =y3 − 3y (*) Xé t hà m số f(u) = u3 − 3u2 trê n đoạ n  0;2  , ta có : f '(u) = 3u2 − 6u ≤ 0, ∀u ∈  0;2  , suy f(u) nghòch biến trê n đoạ n  0;2  Do phương trình (*) tương đương vớ i f(t) = f(y) ⇔ t = y ⇔ y = x + Khi x2 + − x − 2y − y2 + m =0 ⇔ x2 − − x + m =0 (i) Đặ t v = Xé t − x ⇒ v ∈  0;1 ⇒ (i) ⇔ v2 + 2v − 1= m hà m số g(v) = v2 + 2v − liê n tục trê n đoạ n g'(v)= 2v + > 0, ∀v ∈  0;1 Suy g(v) = g(0) = −1; max g(v) = g(1) = v∈ 0;1 v∈ 0;1 Vậ y hệ phương trình có nghiệm −1 ≤ m ≤ 858  0;1 , ta có www.TaiLieuLuyenThi.com 2 xy − y + x + y = Bài 10 Tìm m để hệ phương trình sau  có nghiệm thực m  − x + − y = Lời giải y ( x − 1) ≥  Điề u kiện: x ≤ y ≤  Khi phương trình thứ nhấ t củ a hệ biế n đổ i nh: y + y ( x − 1) + ( x − 1) = (1) Nế u x < 1;y < ta có (1) tương đương vớ i: − ( − x + −y ) = vô nghiệm, nê n hệ vô nghiệm Vậ y ≤ x ≤ 5;0 ≤ y ≤ (1) tương đương vớ i: ( x −1 + y ) = ⇔ x − + y = , đặ t t = y ∈  0;1 ⇒ x = t − 4t + Thay vào phương trình thứ hai hệ ta đượ c m= 4t − t + − t (*) Xé t hà m số f(t) = Ta có f '(t) = 4t − t + − t liê n tụ c trê n đoạ n  0;1 2−t 4t − t − ⇔ 3t + 4t − = ⇔ t = Ta có = f(0) 1;f(1) = t 1− t ;f '(t) =0 ⇔ ( − t ) − t =t 4t − t ∈  0;1   2 3;f =   3 Vậ y để hệ có nghiệ m phương trình (*) có nghiệm, tương đương vớ i m thuộ c tập giá trò củ a hàm số f(t) trê n đoạ n  0;1 từ suy   m∈ ,  giá trò cần tìm   859 www.TaiLieuLuyenThi.com Bài 11 Tìm giá trò củ a m để hệ phương trình sau có nghiệm: ( )  x y − 3x − ≥ mx y − x −    8x2 − 3xy + 4y2 + xy = 4y  Lời giải Nhận xét Nhậ n thấ y phương trình thứ nhấ t củ a a tham số phứ c tạ p, vậ y việ c tìm mố i liê n hệ giữ a x y khô ng khả quan Ta biến đổ i từ phương trinh hai, để ý đâ y phương trình đẳ ng cấ p vậ y rú t đượ c x theo y Điề u kiện: y ≥ 0,x ≤ Nhậ n thấy y = khô ng nghiệ m củ a hệ phương trình, ta xé t y > phương trình thứ củ a hệ tương đương với: x x x 8x2 − 3xy + 4y2 + xy = 4y ⇔   − + + = , đến đâ y ta đặ t y y y t= x ta đưa phương trình: y 0 ≤ t ≤ 8t − 3t + = − t ⇔  ⇔ t = 1⇔ x = y 2 8t − 3t + = 16 − 8t + t Khi thay vào phương trình thứ nhấ t hệ ta đượ c bấ t phương trình: x3 − 3x − ≥ mx x ( ) − x − ⇔ x3 − 3x − ≥ m ( ) x (1 − x ) − x Nhậ n thấ y x = không nghiệm bấ t phương trình nê n, xé t < x ≤ Khi m ≥ + 3x − x3  x − x − x2      ≥ + 3x − x3 x x = f(x) (1) Ta tìm đượ c giá trò nhỏ nhấ t củ a hàm f(x) ( 0,1 bằ ng Tạ i x = dấ u bằ ng (1) xảy bằ ng Từ suy để hệ có nghiệm m ≥ Bài 12 Chứng minh với a > , hệ phương trình sau có nghiệm ex − ey = ln(1 + x) − ln(−3x + y)  a y − x = 860 www.TaiLieuLuyenThi.com Lời giải Điề u kiện: x > −1, −3x + y > Thay y= x + a từ phương trình thứ hai vào phương trình đầu hệ ta đượ c: ( )  x +1  ex − ex + a= ln ( x + 1) − ln ( −2x + a ) ⇔ ex − ea − ln  = (1)  −2x + a  Ta ng minh phương trình (1) có nghiệm vớ i a > hệ phương trình có nghiệm với mọ i a > ( )  x +1   a Xé t hà m số f(x) = ex − ea − ln   trê n  −1;  2  −2x + a   ( ) Ta có : f '(x) = e x − ea −  a+2 a < 0, ∀x ∈  −1;  ,a > 2 ( 2x + a )( x + 1)   a Mặ t c lim f(x) = +∞; lim f(x) = −∞ ⇒ ∃ x ∈  −1;  cho f(x ) = + − 2  x →−1 a x→  a Do phương trình (1) có nghiệm nhấ t trê n  −1;  Ta có điề u phải 2  ng minh Bài 13 Tìm cá c giá trò tham số m để hệ phương trình sau có hai nghiệm thự c phâ n biệt x3 − y3 + 6y2 + = 3x + 9y   2 x + ln − x − 3ln 4y − y − + m = ( ) ( ) Lời giải Điề u kiện: x < 1,4y − y − > ⇔ −1 < x < 1,1 < y < ⇒ x,y − ∈ ( −1;1) Phương trình thứ nhấ t củ a hệ tương đương vớ i: x3 − 3x = ( y − ) − ( y − ) (1) Xé t hà m số f(t)= t − 3t trê n ( −1;1) , ta có : f '(t) = 3t − < 0, ∀t ∈ ( −1;1) nê n f(t) hà m nghòch biế n trê n ( −1;1) Do (1) ⇔ f(x) = f(y − 2) ⇔ x = y − ⇔ y = x + Thay y= x + o phương trình thứ hai hệ ta đượ c: ( ) m= ln − x − x (2) 861 www.TaiLieuLuyenThi.com Để hệ phương trình có hai nghiệ m phâ n biệt ⇔ (2) có hai nghiệm phâ n biệt ( ) thuộ c khoả ng ( −1;1) Xé t hàm số g(x)= ln − x − x trê n ( −1;1) , ta có:   0⇔x= − 2x = −2x  + 1 ;g'(x) = 1− x 1− x  Lậ p bả ng biế n thiê n suy để (2) có hai nghiệm phâ n biệ t ⇔ m < g'(x) = − 4x Vậ y giá trò cầ n tìm tham số m ( −∞;0 ) C BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Tìm m để hệ phương trình sau có ba nghiệ m phâ n biệ t: x2 y − x2 + y =   2 m x y x y + − =  ( ) Lời giải Hệ phương trình cho tương đương vớ i:   x2 + x2 + y = y = x +1 ⇔ x +1  2 m x + y − x y =  4 ( m − 1) x + ( m − 3) x + 2m − =  ( ) (1) (2) Đặ t t = x (1) trở nh: ( m − 1) t + ( m − 3) t + 2m − = Để hệ phương trình có ba nghiệm phâ n biệ t ⇔ (2) có mộ t nghiệm dương mộ t nghiệ m m − ≠  ∆=' ( m − 3) − ( 2m − )( m − ) >  ⇔ 2m − = ⇔m=  ( m − 3)  − >0 S = m −1  Vậ y giá trò cầ n tìm tham số m = Bài Tìm cá c giá trò củ a m để hệ phương trình sau đâ y có nghiệm thự c thỏa  −5 x + y + x y + xy + xy = + m mã n x2 + y > :  x + y + xy(1 + 2x) = −5 + m  862 www.TaiLieuLuyenThi.com Lời giải ( )  x + y + xy x + y + = m − Hệ phương trình cho tương đương vớ i:   x2 + y + xy =m −  ( = u x2 + y Đặ t  , ( u > ) hệ phương trình trở nh v = xy )   u + v ( u + 1) = m −   u2 + v = m −    5 2 v = m − − u v = m − − u 4   ⇔ ⇔     5 2  u + ( u + 1)  m − − u  = m − u m − u − u −  =    4 4    v = m − − u (do u > ) ⇔  m = u2 + u +  Ta có u2 + u + Vớ i m > 1 > , ∀u > ⇒ m > 4 hệ phương trình luô n có nghiệm thỏ a mãn điề u kiệ n x2 + y > = u x2 + y ⇒ v= x u − x2 ⇔ x3 − ux + v= Thậ t vậ y  v = xy ( ) Phương trình bậ c ba có nghiệm nê n hệ luô n có nghiệm Vậ y hệ phương trình có nghiệm thỏ a mã n x2 + y > m > 2x − y − m = Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhấ t:  x + xy = Lời giải Điề u kiện: xy ≥ Phương trình thứ hai hệ tương đương vớ i: x ≤ xy =1 − x ⇔  xy = x − 2x + 863 www.TaiLieuLuyenThi.com Nhậ n thấy x = khô ng thỏa mãn hệ phương trình Xét x ≠ suy y = x2 − 2x + Thay vào phương trình thứ hệ ta được: x x2 − 2x + x + 2x − =m⇔m= (1) x x 2x − Hệ phương trình có nghiệ m ⇔ (1) có nghiệm thỏ a mã n ≠ x ≤ Xé t hà m số f(x) = Ta có : f '(x)= + x2 + 2x − trê n ( −∞;0 )  ( 0;1 x x2 > 0, ∀x ∈ ( −∞;0 )  ( 0;1 nê n f(x) đồ ng biế n trê n mỗ i khoảng xá c đònh Lậ p bả ng biế n thiê n suy để phương trình (1) có nghiệ m nhấ t thuộ c khoảng ( −∞;0 )  ( 0;1 ⇔ m > Vậ y giá trò cầ n tìm tham số m ( 2;+∞ ) Bài Tìm m để hệ phương trình sau có hai nghiệ m thự c thự c phâ n biệ t: (4x2 + 1)x + (y − 3) − 2y =  − 2y + − 2y + − x + − x = m  Lời giải Phương trình thứ nhấ t củ a hệ tương đương vớ i: Điề u kiện: x ≤ 6,y ≤ 8x3 + 2x = ( − 2y ) + − 2y ⇔ − 2y = 2x Thay vào phương trình thứ hai hệ ta đượ c: 2x + 2x + − x + − x = m (1) Vậ y hệ phương trình có hai nghiệm thự c phâ n biệ t ⇔ (1) có hai nghiệ m thự c phâ n biệt Ý tưởng Rõ rà ng toá n nà y ng ta khô ng thể đặ t bấ t kỳ ẩ n phu nà o mà xé t trự c tiế p hà m số bên vế trá i mong rằ ng phương trình đạ o hà m giải đượ c nghiệm Điề u kiện ≤ x ≤ 864 www.TaiLieuLuyenThi.com Xé t hà m số f ( x) = Ta có f ′( x= ) = 1    +   (2 x)2  x + x + − x + − x trê n [0; 6] (2 x) + 2x 1  −  (2 x)3  2x − 6− x (6 − x) − 6− x   + −  (6 − x)3   x  =  − x  +  + (6 − x)2  1 2x +  −   2x   − x    − x  Suy f ( x) = ⇔ − x = x ⇔ x = f′(x) dương (0; 2) âm (2; 6) Bả ng biế n thiê n x f′(x) + f(x) – 2+6 + 12 6+2 Nhìn o bả ng biế n thiên suy để phương trình có hai nghiệ m phâ n biệ t + ≤ m < + Vậ y giá trò cầ n tìm tham số + ≤ m < +  Nhận xét Nhìn o bả ng biế n thiên suy ra: + Phương trình có nghiệm nhấ t khi= m + hoặc: + 12 < m < + Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thự c: x3 − y3 + 3y2 − 3x − =  − x − − x + 2y − y + m = Lời giải −1 ≤ x ≤ Điề u kiện  0 ≤ y ≤ Đặ t t = x + ⇒ t ∈  0;2  , phương trình (1) trở nh: t − 3t =y3 − 3y (*) Xé t hà m số f(u) = u3 − 3u2 trê n đoạ n  0;2  , ta có : f '(u) = 3u2 − 6u ≤ 0, ∀u ∈  0;2  , suy f(u) nghòch biế n trê n đoạ n  0;2  865 www.TaiLieuLuyenThi.com Do phương trình (*) tương đương vớ i f(t) = f(y) ⇔ t = y ⇔ y = x + Khi − x2 − − x + 2y − y + m =0 ⇔ − x + − x + m =0 (i) Đặ t v= − x ⇒ v ∈  0;1 ⇒ (i) ⇔ −v2 − 2v + 1= m Xé t hàm số g(v) = − v2 − 2v + liê n tục đoạ n  0;1 , ta có g'(v) =−2v − < 0, ∀v ∈  0;1 Suy g(v) = g(1) = −2; max g(v) = g(0) = v∈ 0;1 v∈ 0;1 Vậ y hệ phương trình có nghiệm −2 ≤ m ≤ Bài Tìm cá c giá trò tham số m để hệ sau có nghiệm   y + + y  =  x + + x     − x3 − 3y − ≥ m( x − − y )3  Lời giải Điề u kiện: x ≥ 0,y ≥ −1,2x + y ≥ Phương trình thứ nhấ t củ a hệ tương đương vớ i: x + + x2 = (−y) + + (− y)2 ⇔ x = −y Thay y = − x o phương trình thứ hai hệ ta đượ c: − x3 + 3x − ≥ m( x − x + 1)3 (1) Hệ phương trình có nghiệm ⇔ (1) có nghiệ m Ý tưởng Ta phả i khử tham số tự làm đượ c điề u nà y việ c nhân o hai vế bấ t phương trình vớ i biể u thứ c liê n hợp củ a ( x − x + 1)3 ( x + x + 1)3 để ý ( x − x + 1)3 ( x + x + 1)3 = −1 bấ t phương trình đổ i dấ u Điề u kiện: x ≥ Khi nhâ n vế bấ t phương trình vớ i ( x + x − 1)3 > , bấ t phương trình trở nh: m ≥ ( x − x + )( x + x − )3 Xé t hà m số f ( x ) = ( x − x + )( x + x − )3 trê n [1; +∞) Suy để bấ t phương trình có nghiệm m ≥ f ( x) x∈[1; +∞ ) 866 www.TaiLieuLuyenThi.com u( x ) = x − x + ≥ Viế t lạ i f ( x) = u( x).v( x) ,  v( x ) = ( x + x − ) > Ta có u′( x)= 3x2 − > 0; v′( x)= 3 +   x , ∀x ≥   ( x + x − 1) > x −1  Suy f ′( x) = u′( x)v( x) + v′( x)u( x) > Hàm số f(x) đồng biế n trê n khoả ng [1; +∞) Do f ( x ) = f (1) = 1, ∀x ≥ Để bất phương trình có nghiệ m x∈[ 1; +∞ ) m ≥ Vậ y giá trò cầ n tìm củ a m (1; +∞) Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thự c: ( ) ( ) ( x − y ) x2 + xy + y2 + = −3 x − 2y + 9y +    11 + ( 2x − y ) − y2 = 2m + + 2y − x2  Lời giải Phương trình thứ nhấ t củ a hệ tương đương vớ i: x3 − y3 + ( x − y ) = −3x2 + 6y2 + 9y + 3 ⇔ ( x + 1) + x + = ( y + ) + y + ⇔ x + = y + ⇔ y = x − Thay y= x − o phương trình thứ hai hệ ta đượ c: ( ) 11 + 2x − ( x − 1) − ( x − 1) = 2m + + ( x − 1) − x ⇔ − x2 + 4x + 12 = 2m + −x + 2x + ⇔ 2m = − x2 + 4x + 12 − −x + 2x + (1) Điề u kiện: −1 ≤ x ≤ Hệ phương trình có nghiệm ⇔ (1) có nghiệ m trê n  −1;3 Xé t hà m số f(x) = −x2 + 4x + 12 − −x + 2x + liê n tụ c trê n  −1;3 , ta có : −x + −x + − f '(x) = ;f '(x) = − x + 4x + 12 − x + 2x + ⇔ ( − x + ) − x2 + 2x + = ( − x + 1) − x + 4x + 12 ( − x + 1)( −x + ) ≥  ⇔ ⇔x= 2 2 ( − x + ) − x + 2x + = ( − x + 1) − x + 4x + 12  ( ) ( ) 867 www.TaiLieuLuyenThi.com Ta có : f(= −1) 7,f(0) = 3,f(3) = 15 ⇒ f(x) = f(0) = 3; max f(x) = f(3) = 15 x∈ −1;3 x∈ −1;3 Vậ y phương trình có (1) có nghiệ m ⇔ ≤ 2m ≤ 15 ⇔ 15 ≤m≤ 2 15 ≤m≤ 2 Vậ y hệ phương trình có nghiệm x3 + ( y + ) x2 + 2xy = −2m − Bài Tìm m để hệ sau có nghiệ m thự c  x + 3x + y = m Lời giải ( )  x2 + 2x ( x + y ) = −2m −  Hệ phương trình cho tương đương vớ i:  x + 2x + x + y = m Đặ t u = x2 + 2x = ( x + 1) − ≥ −1,v = x + y hệ phương trình trở nh: v= m − u  uv = −2m − v= m − u  ⇔ ⇔  −2m − m = u − (1) m u + v =  u ( m − u ) = u+2  Hệ phương trình có nghiệm ⇔ (1) có nghiệ m u ∈ 1; +∞ ) Xé t hà m số f(u) = f '(u) = u2 + 4u + = ( u + 2) u2 − trê n 1; +∞ ) , ta có : u+2 ( u + 1)( u + 3) ≥ 0, ∀u ≥ −1 nên ( u + 2) f(u) hà m đồ ng biến trê n 1; +∞ ) Suy f(u) ≥ f(−1) = −2, ∀u ≥ −1 Vậ y (1) có nghiệm ⇔ m ≥ −2 Vậ y giá trò cầ n tìm tham số −  2; +∞ )   Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhấ t x ∈  − ;1   x2 − x = y   3 − x2 − x3 + x2 − y  ( 868 ) +1 = m www.TaiLieuLuyenThi.com Lời giải Điề u kiện: −1 ≤ x ≤ Từ phương trình thứ nhấ t củ a hệ suy x2 − y = x Thay vào phương trình thứ hai hệ ta đượ c: − x − x3 + 2x + = m (1)   Hệ phương trình có nghiệ m nhấ t x ∈  − ;1 ⇔ (1) có nghiệ m     nhấ t trê n  − ;1     Xé t hà m số f ( x) = − x2 − x3 + x2 + trê n đoạ n  − ;1   Ta có f ′( x) = −3x 1− x −  − x +  − x2 x + 2x + x2 + x     − x2 Do x ∈  − ;1 ⇒ 3x + > ⇒   x + x +  3x + + x3 + x2 + 3x + > Vì f ′( x) = ⇔ x = Bả ng biế n thiê n – x f′(x) + f(x) – 3 − 22 –4 Dự a vào bả ng biế n thiên suy để phương trình có nghiệ m nhấ t m =   −4 ≤ m < − 22 + 3  Nhận xét Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: 3 − 22 ≤ m < 869 www.TaiLieuLuyenThi.com Bài 10 Chứ ng minh hệ phương trình sau luô n có hai nghiệm thự c vớ i mọ i m: ( ) (  2x3 − 3x2 + x x2 − x + + m + 2y3 − 3y2 + y   x2 − 2my = m+3 ) y2 − y + + m = Lời giải Phương trình đầ u củ a hệ đượ c viế t lạ i dướ i ng: ( 2y − 3y + y ) ⇔ ( 2y − 3y + y ) ( y2 − y + + m =− 2x3 − 3x2 + x y2 − y + + m =  (1 − x ) − (1 − x ) + − x    ) x2 − x + + m (1 − x ) − (1 − x ) + + m Suy y = − x thỏ a mãn phương trình đầ u hệ Thay y = − x o phương trình thứ hai hệ ta đượ c: x2 − 2m (1 − x ) = m + ⇔ x2 + 2mx − 3m − = Phương trình có ∆ 'x = m + 3m + > 0, ∀m nê n luô n có hai nghiệm thự c phâ n biệt Ké o theo hệ luô n có hai nghiệm thự c (đpcm) 870 [...]... tính bỏ túi 3 Hệ phương trình hai ẩn gồm một phương trình bậc nhất và một phương mx + ny = a trình bậc hai:  2 2 d ax + bxy + cy = Rú t x theo y hoặ c rú t y theo x từ phương trình đầ u củ a hệ thế và o phương trình thứ hai củ a hệ đưa về giả i phương trình bậ c hai Chủ Đề 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN DẠNG TỔNG QUÁT A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Hệ phương trình bậ c hai hai ẩ n là hệ có dạ ng: a... o hai vế cá c phương trình củ a hệ từ đó suy ra hệ số bấ t đònh cầ n tìm h) Đạ o hàm lầ n lượ t theo biến x hoặ c theo y đố i vớ i mộ t trong hai phương trình  u= x − a đưa về hệ củ a hệ tìm ra nghiệm = x a,y = b khi đó đặ t ẩn phụ  v= y − b phương trình đẳ ng cấ p B BÀI TẬP MẪU Bài 1 Giả i hệ phương trình Lời giải Cách 1: Sử dụng phương phá p thế Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta đượ c: 5x... (1) (2) a) Nế u mộ t trong hai phương trình là bậ c nhấ t thì dễ dà ng giả i hệ bằng phương phá p thế a b b) Nế u 1 = 1 bằ ng cá ch loạ i bỏ x2 + y2 đưa về hệ phương trình bậc hai có a2 b 2 mộ t phương trình bậc nhấ t và giả i hệ bằ ng phương phá p thế c) Nế u mộ t trong hai phương trình là thuầ n nhấ t bậ c hai(chẳ ng hạn 2 2 0 phương trình d= 1 e= 1 f1 )khi đó phương trình đầu là a1x + b1y + c1xy... a2 b 2 c2 b2 a2 c2 Nế u tinh ý quan sá t hệ phương trình ta có thể đưa 1 hệ phương trình phứ c tạ p về hệ bậ c nhấ t hai ẩn như trê n và ta sử dụ ng cô ng thứ c nghiệm để giả i Dấu hiện nhận biết phương pháp: + Cá c phương trình của hệ chỉ là phương trình bậ c nhấ t hoặ c bậ c 2 củ a mộ t ẩ n x và y + Có 1 nhâ n tử lặp lạ i ở cả 2 phương trình củ a hệ và cá c thành phần cò n lại chỉ có dạ ng bậ c nhất... Vậ y hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x;y ) = ( −1;3); (1;3) Nhận xét Ta hoà n toàn dù ng phé p thế cho hệ phương trình trê n bằ ng cá ch rú t y = 23 − 2x 2 từ phương trình thứ hai củ a hệ và thế và o phương trình đầ u x2 + 6 củ a hệ ta có kế t quả tương tự Bài 3 (TSĐH Khối A 2008) Giải hệ phương trình:  2 5 3 2 x + y + x y + xy + xy =− 4  5 x 4 + y 2 + xy (1 + 2x ) = −  4 Lời giải. .. x2 + y2 − 4x + 2y = −3 Bài 1 Giả i hệ phương trình  2 2 12 x + y − xy + x − 2y = Lời giải Phân tích tìm lời giải: Cả hai phương trình của hệ có dạng phương trình bậc 2 củ a x hoặ c của y Vì vậ y ta có thể đưa về hệ phương trình bậ c nhấ t 2 ẩ n Ta có thể coi x là tham số hoặ c y là tham số Lờ i giả i dướ i đây ta coi x là tham số 2 Đặ= t a y= ,b y hệ phương trình trở thà nh: a + 2b = −x 2 +...  5 5  x2 + y2 + x + y − 4 = 0   Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là ( x;y = ) (1;1) ;  − 45 ; − 135      x2 − y2 − 2x + 2y + 3 = 0 Bài 2 Giả i hệ phương trình  2 0 y − 2xy + 2x + 4 = Lời giải Nhậ n thấy y = 1 khô ng thỏa mãn hệ phương trình Xé t y ≠ 1 rú t x = y2 + 4 từ phương trình thứ hai thay và o phương trình thứ 2y − 2 nhấ t củ a hệ ta đượ c: 2  y2 + 4  y2 + 4 + 2y + 3 =... tử lặp lạ iở cả 2 phương trình củ a hệ( có 2 că n thứ c; 2 biể u thứ c củ a x và y) Để rõ hơn bạn đọ c theo dõ i cá c ví dụ trình bà y dưới đâ y chắ c chắ n sẽ hình thà nh kỹ năng nhậ n diện hệ phương trình đượ c giả i bằ ng kỹ thuậ t này Chú ý Trong chương 1 các bà i toá n về hệ phương trình bậ c hai hai ẩ n dạng tổ ng quát tôi đã trình bà y kỹ thuậ t nà y Cầ n nhấ n mạ nh thêm rằ ng phương phá p này...   Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là :    = ( x;y )  5 +4 5 ; − 1 +4 5  ;  5 −4 5 ; −1 +4 5     Ghi chú (1) xem thêm kỹ thuậ t cộ ng, trừ lấ y tích hai phương trình củ a hệ Ngoài ra ta có thể giả i hệ phương trình trê n bằng số phứ c 5x2 ( y + 1) + y= y2 x + 6x + 1  Bài 8 Giả i hệ phương trình  1 −25x 2 + + 1 y2 + y (1 − 10x ) = x  Lời giải Phân tích tìm lời giải: Rõ rà... ⇒ = = 0 x 3 =  x 3,y Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là ( x;y= ) (1; −2 ); ( 3;0 ) Cò n nhiề u giả i khá c cho 1 hệ phương trình bậ c hai hai ẩ n dạng tổ ng quát đã trình bà y trong chương trướ c x 4 + 4x 2 + y 2 − 4y = 2 Bài 2 Giả i hệ phương trình  2 2 23 x y + 2x + 6y = Lời giải Nhận xét Coi x là tham số và y là ẩ n thì rõ rà ng cả 2 phương trình củ a hệ có dạ ng bậ c 2 và bậ c 1 củ ... i phương trình hệ phương trình trước đến với hệ phương trình dạng nâng cao Chủ Đề 1: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Phương trình bậc ax + b = 0, (a ≠ 0) + Nế u a = 0, b ≠ phương. .. v= y − b phương trình đẳ ng cấ p B BÀI TẬP MẪU Bài Giả i hệ phương trình Lời giải Cách 1: Sử dụng phương phá p Trừ theo vế hai phương trình hệ ta đượ c: 5x − 4y − xy = 15 Hệ phương trình cho... quan sá t hệ phương trình ta đưa hệ phương trình phứ c tạ p hệ bậ c nhấ t hai ẩn trê n ta sử dụ ng cô ng thứ c nghiệm để giả i Dấu nhận biết phương pháp: + Cá c phương trình hệ phương trình bậ