Phương trình lượng giác ôn thi CĐ ĐH 2011

Bài 1: Giải phương trình: sinx + sin x + sin3 x + sin x = cosx + cos x + cos x + cos x Giải: sinx + sin x + sin3 x + sin x = cosx + cos x + cos x + cos x ⇔ ( sinx − cosx ) + ( sin x − cos x ) + ( sin x − cos x ) + ( sin x − cos x ) = ⇔ ( sinx − cosx ) + ( sin x − cos x ) + ( sinx − cosx ) ( + sinxcosx ) + ( sin x − cos x ) = ⇔ ( sinx − cosx ) ( + ( sinx + cosx ) + sinxcosx ) =  sinx − cosx = ⇔  + ( sinx + cosx ) + sinxcosx = π Với sinx − cosx = ⇔ x = + kπ ; k ∈ Z Với + ( sinx + cosx ) + sinxcosx = ( 1) t −1 Đặt t = sinx + cosx với t ∈  − 2,  sinxcosx = ( 1)  t = −1 ⇔ t + 4t + = ⇔  t = −3 ( loai ) Với t = −1 ⇔ sinx + cosx = −1 π 3π π    π ⇔ cos  x − ÷ = − = cos = s in  − ÷) (hoặc ⇔ s in  x − ÷ = − 4 4    4  x = π + m2π ⇔ ;m∈Z  x = − π + m2π  π   x = + kπ  Kết luận:  x = π + m2π ; k , m ∈ Z  π  x = − + m2π  Bài 2: Giải phương trình: 2cos3 x ( 2cos x + 1) = Giải: ( 1) ⇔ 2cos3x ( cos x − 1) = ⇔ 2cos3 x ( − 4s in x ) = ( ) Nhận xét x = kπ ( k ∈ Z ) nghiệm phương trình ta có: ( 2) ⇔ 2cos3x ( 3sinx − 4s in3 x ) = sinx ⇔ 2cos3 xsin3 x = sinx ⇔ sin6 x = sinx m2π  x =  6 x = x + m2π ⇔ ;m∈Z ⇔  ;m∈Z 6 x = π − x + m2π  x = π + m2π  7 Chọn nghiệm x ≠ kπ ( k ∈ Z ) m2π = kπ ⇔ 2m = 5k ⇔ m = 5t ; t ∈ Z + Khi π m2π = kπ ⇔ + 2m = k ⇔ k = ( m − 3k ) + hay k = 2l + hay m = 7l + 3; l ∈ Z + Khi + 7 m2π π m2π ; ( m ≠ 5t ) ; x = + ; ( m ≠ 7l + 3) ; m, l , t ∈ Z Vậy phương trình có nghiệm x = 7 Bài 3: Giải phương trình: cos x ( cosx − 1) = ( + sinx ) sinx + cosx Giải: π π π   Điều kiện: sinx + cosx ≠ ⇔ 2cos  x − ÷ ≠ ⇔ cos  x − ÷ ≠ ⇔ x ≠ + kπ ; k ∈ Z 4 4   Khi đó, phương trình cho tương đương với: ( − sin2 x ) ( cosx − 1) = ( + sinx ) ( sinx + cosx ) ⇔ ( + sinx ) ( + cosx + sinx + sinxcosx ) = ⇔ ( + sinx ) ( + cosx ) ( + sinx ) = π  x = − + 2mπ  sinx = −1  ⇔ ⇔ ( thoadk ) ; m, l ∈ Z cosx = −1  x = π + 2lπ  π Vậy phương trình có nghiệm x = − + 2mπ ; x = π + 2lπ ; m, l ∈ Z Bài 4: Giải phương trình: sin x − sin x + sinx + cosx − = Giải: ( 1) ⇔ sin x − sinxcosx + sinx + cosx − = ⇔ 2sin x − ( 2cosx − 1) sinx + cosx − = ( ) Xét phương trình (2) phương trình bậc theo sinx, ta có: ∆ = ( 2cosx − 1) − ( cosx − 1) = 4cos x − 12cosx + = ( 2cosx − ) 2 Phương trình (2) có nghiệm là: sin x = 0,5 sinx = cosx - π  x = + kπ  π ;k ∈ Z Với sinx = = sin ⇔  π x = + 2kπ  π  Với sinx = cosx − ⇔ sinx − cosx = −1 ⇔ 2sin  x − ÷ = −1   x = l π  π   π ⇔ sin  x − ÷ = − = sin  − ÷ ⇔  ;l ∈ Z  x = 3π + l 2π 4   4  Vậy Bài 5: Giải phương trình: 3sin x ( 2cosx + 1) + = cos3 x + cos x − 3cosx Giải: ( 1) ⇔ 3sin2 x ( 2cosx + 1) = ( cos3 x − cosx ) + ( cos x − 1) − ( 2cosx + 1) ⇔ 3sin x ( 2cosx + 1) = −2 sin x.sinx − sin x − ( 2cosx + 1) ⇔ 3sin x ( 2cosx + 1) = −4 sin x.cosx − sin x − ( 2cosx + 1) ⇔ 3sin x ( 2cosx + 1) = −2 sin x ( 2cosx + 1) − ( 2cosx + 1) ⇔ ( 2cosx + 1) ( ) 3sin x + sin x + =  2cosx + = ⇔  3sin x + sin x + = 2π  x= + k 2π  ;k ∈Z Với ⇔ 2cosx + = ⇔ cosx = − ⇔   x = − 2π + k 2π  Với ⇔ 3sin x + 2sin x + = ⇔ 3sin x + cos x = −2 sin x + cos x = −1 2 π  ⇔ sin  x − ÷ = −1 6  π π ⇔ x − = − + 2lπ π ⇔ x = − + lπ ; l ∈ Z ⇔ Vậy Bài 6: Giải phương trình: 2cos5 x.cos3 x + sinx = cos8 x; ( x ∈ R ) Giải: ( 1) ⇔ cos8 x + cos x + sinx = cos8 x ⇔ − sin x + sinx = π   x = + 2kπ   sinx = π  ⇔ ⇔  x = − + kπ ; k ∈ Z   sinx = −    x = 7π + 2kπ  Bài 7: Giải phương trình: sinx + 6cosx − 3sin x + cos x = Giải: ( 1) ⇔ 9sinx + 6cosx − sinxcosx + − 2sin x = ⇔ ( 6cosx − 6sinxcosx ) − ( 2sin x − 9sinx + ) = ⇔ 6cosx ( − sinx ) − ( sinx − 1) ( 2sinx − ) = ⇔ ( − sinx ) ( 6cosx + sinx − ) = 1 − sinx = ⇔ 2 6cosx + 2sinx = ( VN ) ( + < ) π + k 2π Bài 8: Giải phương trình: 2cos6 x + 2cos x − 3cos x = sin2 x + Giải: ⇔ sinx = ⇔ x = ( 1) ⇔ 4cos5 xcosx = 2sinxcosx + 3cos x ( ) ⇔ 2cosx 2cos5 x − sinx − 3cosx = cosx = ⇔  2cos5 x = sinx + 3cosx π   x = + kπ ; k ∈ Z ⇔  cos5 x = sinx + cosx π   x = + kπ ; k ∈ Z ⇔ cos5 x = cos  x − π   ÷  6  π   x = + kπ ; k ∈ Z  π kπ ⇔ x = − +  24   x = π + k 2π  42 Bài 9: Giải phương trình: π  2cos3 xcosx + ( + sin x ) = 3cos  x + ÷ 4  Giải: ( 1)  π   ⇔ cos x + cos x + ( + sin x ) = 1 + cos  x + ÷÷    ⇔ cos x + 3sin4 x + cos x + 3sin x = π π   ⇔ sin  x + ÷+ sin  x + ÷ = 6 6   π  ⇔ 2sin  x + ÷cosx = 6  π  cosx = x = + kπ  ⇔  ⇔ π   sin  x + ÷ =  x = − π + kπ   6  18 Bài 10: Giải phương trình: sin x + cos x = cos 4 x π  π  tan  − x ÷.tan  + x ÷ 4  4  Giải: Điều kiện: π kπ x≠ + π  π  π  π  Ta có: tan  − x ÷.tan  + x ÷ = tan  − x ÷.cot  − x ÷ = 4  4  4  4  ( 1) ⇔ sin x + cos x = cos 4 x ⇔ − sin x = cos 4 x ⇔ − ( − cos x ) = cos 4 x ⇔ 2cos 4 x − cos x − = cos x = π ⇔ ⇔ cos8 x = ⇔ x = k ; k ∈ Z cos x = − ( VN )  Kết hợp với điều kiện ta nghiệm phương trình x = k Bài 11: Giải phương trình:  5π  2cos  − x ÷sinx =  12  Giải: ( 1)   5π  5π  ⇔  sin  x − =1 ÷+ sin 12  12 ÷    5π  5π π  ⇔ sin  x − = = sin ÷+ sin 12  12  5π  π 5π  ⇔ sin  x − ÷ = sin − sin 12  12  5π  π   π   π  ⇔ sin  x − ÷ = 2cos sin  − ÷ = sin  − ÷ 12    12   12  5π π π    x − 12 = − 12 + k 2π  x = + kπ ⇔ ⇔ ;k ∈Z  x − 5π = π + π + k 2π  x = 3π + kπ   12 12 Bài 12: Giải phương trình: sin2 x π  cotx + = sin  x + ÷ sinx + cosx 2  Giải: Điều kiện: sinx ≠ ∧ sinx + cosx ≠ ( 1) Khi đó: ⇔ cosx sinxcosx + − 2cosx = sinx sinx + cosx π ;k ∈ Z cosx 2cos x − =0 sinx sinx + cosx 2cosx   ⇔ cosx  − ÷=  sinx sinx + cosx  ⇔    ÷ 2cosx ÷= ⇔ cosx  − π ÷   sinx sin  x + ÷÷      π    sin  x − ÷− 2cosxsinx ÷   ÷= ⇔ cosx  π   sinx.sin  x + ÷ ÷  ÷ 4     π    sin  x − ÷− sin x ÷   ÷= ⇔ cosx   sinx.sin  x + π  ÷  ÷  4 ÷    cosx = ⇔   sin  x + π ÷− sin x =   4 π gcosx = ⇔ x = + k 2π ; k ∈ Z π  π  x = x + + 2mπ ; m ∈ Z x = + 2mπ ; m ∈ Z   π π 2tπ  gsin x = sin  x + ÷ ⇔  ⇔ ⇔x= + ;t ∈ Z 4   x = π −  x + π  + 2nπ ; n ∈ Z  x = π + 2nπ ; n ∈ Z  ÷   4  π π 2tπ ;t ∈ Z Kết hợp với điều kiện ta nghiệm phương trình x = + k 2π ; k ∈ Z ; x = + Bài 13: Giải phương trình: + sin x + = +1+ 2cos x sin2 x tanx Giải: Điều kiện: x ≠ kπ ( 1) + tan x ) + − = cotx ( sin x ( sin x + cos x ) ⇔ 3tan x + − = 2cotx s inxcosx Khi đó: ⇔ ⇔ 3tan x + 2tanx + − = π  tanx = − x = − + kπ  ⇔  ;k ∈ Z ⇔ π tanx =  x = + kπ   Kết hợp với điều kiện ta nghiệm phương trình x = Bài 14: Giải phương trình: tan3 x − 2tan x + tan5 x = với x ∈ ( 0, 2π ) Giải: Điều kiện: cos3x ≠ 0, cos x ≠ 0, cos5 x ≠ ( 1) sin8 x sin x −2 =0 cos3 xcos5 x cos x sin4 xcos x − sin xcos3 xcos5 x ⇔ =0 cos3 xcos xcos5 x Khi đó: ⇔  cos x − cos3 xcos5 x  ⇔ 2sin x  ÷=  cos3 xcos xcos5 x   + cos8 x − cos x − cos8 x  ⇔ 2sin x  ÷= cos3 xcos xcos5 x   sin x =0 cos3 xcos xcos5 x kπ   sin x = x=  sin x = kπ  ⇔ ⇔ ⇔ ;k ∈ Z ;k ∈Z ⇔ x =   sinx =  sin x =  x = kπ ⇔ 2sin x Do x ∈ ( 0, 2π ) nên phương trình có nghiệm là: π 5π 3π 7π x = ;x = π;x = ;x = ;x = 4 Bài 15: Giải phương trình: sin2 x + sinx − 1 − = 2cot x sinx sin x Giải: Điều kiện: sin2 x ≠ ( 1) ⇔ sin 2 x + sinxsin x − cosx − = 2cos x ⇔ − ( − sin 2 x ) + sin xcosx − cosx = 2cos x ⇔ −cos 2 x + cosx ( sin x − 1) = 2cos x ⇔ −cos 2 x − cosxcos x = 2cos x ⇔ cos x ( −cos x − cosx − ) = ⇔ cos x ( 2cos x + cosx + 1) = cos x = ⇔  2cos x + cosx + = ( VN ) ⇔ cos x = π ⇔ x = + kπ ; k ∈ Z π kπ + ;k ∈Z π kπ + ;k ∈Z Bài 16: Giải phương trình: ⇔x= π  sin2 x + ( + cos3x ) sinx − 2sin  x + ÷ = 4  Giải: ( 1) π  ⇔ sin x + sinx + 2sinxcos3x = − cos  x + ÷ 2  ⇔ sin x + sinx + sin x − sin x = + sin x ⇔ sinx = π ⇔ x = + k 2π ; k ∈ Z Bài 17: Giải phương trình: ( − 2sinx ) cosx ( + 2sinx ) ( − sinx ) = Giải: Điều kiện: sinx ≠ sinx ≠ ( ∗) ( 1) Khi đó: ⇔ ( − sinx ) cosx = ( + 2sinx ) ( − sinx ) ⇔ cosx − 3sinx = sin x + 3cos x ⇔ cosx − 3sinx = sin x + 3cos x π π   ⇔ cos  x + ÷ = cos  x − ÷ 3 6   π π 2π ⇔ x = + k 2π x = − + k ;( k ∈ Z ) 18 Kết hợp với (*) ta nghiệm phương trình: x = − Bài 18: Giải phương trình: ( + 2sinx ) cosx = + sinx + cosx Giải: ( 1) ⇔ ( + 4sinx + sin x ) cosx = + sinx + cosx ⇔ 4sinxcosx + sin xcosx − ( sinx + 1) = ⇔ 2sin x + sin xsinx − ( sinx + 1) = ⇔ 2sin x ( + sinx ) − ( sinx + 1) = ⇔ ( sinx + 1) ( 2sin x − 1) =  sinx = −1  sinx + = ⇔ ⇔  sin x =  sin x − =  π   x = − + k 2π ⇔ ( k ∈Z)  x = π + kπ ∨ x = 5π + kπ  12 12 Bài 19: Giải phương trình: π 2π +k ;( k ∈ Z ) 18 sinx + cosxsin x + 3cos3x = ( cos x + sin3 x ) Giải: ( 1) ⇔ sinx − sin3 x + cosxsin x + 3cos3x = 2cos x ⇔ ( − sin x ) sinx + cosxsin x + 3cos3x = 2cos x ⇔ sinxcos x + cosxsin x + 3cos3x = 2cos x ⇔ sin3 x + 3cos3 x = 2cos x π  ⇔ cos  x − ÷ = cos x 6  π π ⇔ x = x − + k 2π ⇔ x = −3 x + + k 2π 6 π π 2π ⇔ x = − + k 2π ⇔ x = x + +k ;( k ∈ Z ) 42 Bài 20: Giải phương trình: 3cos5 x − sin3 xcos x − sinx = Giải: ( 1) ⇔ 3cos5 x − ( sin5 x + sinx ) − sinx = ⇔ 3cos5 x − ( sin5 x + sinx ) − sinx = cos5 x − sin5 x = sinx 2 π  ⇔ sin  − x ÷ = sinx 3  π π ⇔ − x = x + k 2π − x = π − x + k 2π 3 π π π π ⇔ x = + k x = − + k ; ( k ∈ Z ) 18 ⇔ Bài 21: Giải phương trình: π  ( + sinx + cos x ) sin  x + + tanx  ÷ 4 = cosx Giải: Điều kiện: cosx ≠ + tanx ( 1) π  ⇔ sin  x + ÷( + sinx + cos x ) = ( + tanx ) cosx Khi đó:  4 ⇔ ( sin x + cosx ) ( + sinx + cos x ) = ⇔ sinx + cos x = ⇔ 2sin x − sinx − = ⇔ sinx = (loại) ⇔ sinx = − sin x + cosx cosx cosx π 7π + k 2π ⇔ x = + k 2π ; ( k ∈ Z ) 6 Bài 22: Giải phương trình: 5x 3x 4cos cos + ( 8sinx − 1) cos x = 2 ⇔x=− Giải: ⇔ 2cos x + 8sin2 x − = ⇔ 4sin 2 x − 8sin x + = ⇔ sin x = (vô nghiệm) ⇔ sin x = 2 π 5π ⇔ x = + kπ ⇔ x = + kπ ; ( k ∈ Z ) 12 12 Bài 23: Giải phương trình: ( sinx + cos x ) cos x + cos x − sinx = Giải: ( 1) ⇔ sinx cos x − sinx + cos xcosx + 2cos x = ⇔ cos xsinx + ( cosx + ) cos x = ⇔ ( sinx + cosx + ) cos x = ⇔ sinx + cosx + = (vô nghiệm) cos x = π π ⇔ x = + k ;( k ∈ Z ) Bài 24: Giải phương trình: sin2 x − cos x + 3sinx − cosx − = Giải: ( 1) ⇔ sinxcosx − cosx − ( − sin x ) + 3sinx − = ⇔ 2sinxcosx − cosx − ( − sin x ) + 3sinx − = ⇔ ( 2sinx − 1) ( cosx + sinx + ) = ⇔ sinx + cosx + = (vô nghiệm) sinx = π 5π + k 2π x = + k 2π ; ( k ∈ Z ) 6 Bài 25: Giải phương trình: 1  7π  + = sin  − x÷ 3π  sinx    sin  x − ÷   Giải: 3π   Điều kiện: sinx ≠ sin  x − ÷ ≠   ( 1) 1 + = −2 ( s inx + cosx ) Khi đó: ⇔ sinx cos x ⇔x=   ⇔ ( s inx + cosx )  + 2 ÷=  s inxcosx  π gs inx + cosx = ⇔ x = − + kπ π 5π g + 2 = ⇔ sin x = − ⇔ x = − + kπ x = + kπ ; ( k ∈ Z ) s inxcosx 8 Bài 26: Giải phương trình: sin3x − 3cos3x = 2sin x Giải: ( 1) ⇔ sin3x − cos3x = sin x 2 π  ⇔ sin  x − ÷ = sin x 3  π  3 x − = x + k 2π ⇔ 3 x − π = π − x + k 2π  π   x = + k 2π ⇔ ;( k ∈ Z )  x = 4π + k 2π  15 Bài 27: Giải phương trình: sin3 x − 3cos x = sinxcos x − 3sin xcosx Giải: ( 1) ⇔ sinx ( cos x − sin x ) + 3cosx ( cos x − sin x ) = ( ) ⇔ cos x sinx + 3cosx = cos x = ⇔  sinx + 3cosx = π π gcos x = ⇔ x = + k ; ( k ∈ Z ) π π  gsinx + 3cosx = ⇔ sin  x + ÷ = ⇔ x = − + kπ ; ( k ∈ Z ) 3  Bài 28: Giải phương trình: sinx ( + cos x ) + sin x = + 2cosx Giải: ( 1) ⇔ sinxcos x + sin x = + 2cosx ⇔ ( 2cosx + 1) ( sin x − 1) =  2cosx + = ⇔  sin x − = 2π ⇔ x=± + k 2π ; ( k ∈ Z ) π gsin x − = ⇔ sin2 x = ⇔ x = + kπ ; ( k ∈ Z ) g2cosx + = ⇔ cosx = − Bài 29: Giải phương trình: ( + sin x ) cosx + ( + cos x ) sinx = + s in2 x Giải: ( 1) ⇔ ( sinx + cosx ) ( + sinxcosx ) = ( sinx + cosx ) ⇔ ( sinx + cosx ) ( − sinx ) ( − cosx ) = π    π x = − + kπ  sin  x + ÷ =  4  sinx + cosx =    π  ⇔ 1 − sinx = ⇔  sinx = ⇔  x = + 2kπ ; ( k ∈ Z )   1 − cosx = cosx =  x = k 2π     Bài 30: Giải phương trình: sin 2 x − sin7 x − = s inx Giải ( 1) ⇔ sin7 x − s inx + 2sin 2 x − = ⇔ 2cos xsin3 x − cos x = ⇔ cos x ( 2sin3x − 1) = π π  cos x = x = + k ⇔ ⇔ ;( k ∈ Z )  sin3 x =  x = π + k 2π ∨ x = 5π + k 2π   18 18 Bài 30: Giải phương trình: x x   s in + cos ÷ + 3cosx = 2 2  Giải ( 1) ⇔ + s inx + 3cosx = π π  ⇔ co s  x − ÷ = = cos 6  π π ⇔ x = + k 2π ∨ x = − + k 2π ; ( k ∈ Z ) Bài 31: Giải phương trình: ( cos x + sin x ) − sinxcosx − 2sinx =0 Giải Điều kiện: sinx ≠ 2 ( ∗) ( 1) ⇔ ( cos x + sin x ) − sinxcosx =   ⇔ 1 − sin 2 x ÷− sin2 x =   2 ⇔ 3sin x + sin x − = ⇔ sin x = π ⇔ x = + kπ ; ( k ∈ Z ) 5π + 2mπ ; ( m ∈ Z ) Kết hợp (*) nên x = Bài 32: Giải phương trình: x  cotx + sinx 1 + tanxtan ÷ = 2  Giải x Điều kiện: simnx ≠ 0, cosx ≠ 0, cos ≠ x   sinx sin ÷ cosx ⇔ + sinx 1 + =4 x÷ sinx  cosx cos ÷  2 x x cosxcos + sinxsin cosx 2 =4 ⇔ + sinx x sinx cosxcos cosx sinx ⇔ + =4 sinx cosx 1 ⇔ + = ⇔ sin x = sinxcosx π   x = 12 + kπ ⇔ ; ( k ∈ Z ) , thỏa mãn (*)  x = 5π + kπ  12 ( 1) Bài 33: Giải phương trình: cos3 x + cos x − cosx − = Giải ( 1) ⇔− 2sin xsinx − 2sin x = ⇔ sinx ( sin x + sinx ) = ⇔ sin x ( 2cosx + 1) =  sinx = ⇔  2cosx + = gsinx = ⇔ x = kπ ; ( k ∈ Z ) gcosx = − 2π ⇔ x=± + k 2π ; ( k ∈ Z ) Bài 34: Giải phương trình: cos xcos x − cos x = Giải ( 1) ⇔ ( + cos x ) cos x − ( + cos x ) = ( ∗) ⇔ cos xcos x − = ⇔ cos8 x + cos x − = ⇔ 2cos x + cos x − = cos x = ⇔ cos x = − (l )  π ⇔ cos x = ⇔ x = k ; ( k ∈ Z ) Bài 35: Giải phương trình: + sinx + cosx + sin x + cos x = Giải ( 1) ⇔ sinx + cosx + 2sinxcosx + 2cos x = ⇔ sinx + cosx + 2cosx ( sinx + cosx ) = ⇔ ( sinx + cosx ) ( 2cosx + 1) =  sinx + cosx = ⇔  2cosx + = π π  gsinx + cosx = ⇔ sin  x + ÷ = ⇔ x = − + kπ ; ( k ∈ Z ) 4  2π gcosx = − ⇔ x = ± + k 2π ; ( k ∈ Z ) Bài 36: Giải phương trình: π   4 π cos x + sin x + cos  x − ÷sin  3x − ÷− = 4  4  Giải ( 1) 1  π  ⇔ − sin xcos x +  sin  x − ÷+ sin x  − = 2  2  2 ⇔ − sin x − cos x + sin x − = ⇔ − sin 2 x − ( − sin 2 x ) + sin x − = ⇔ sin 2 x + sin x − = s in x = ⇔ s in x = −2(l ) π ⇔ sin x = ⇔ x = + kπ ; ( k ∈ Z ) Bài 37: Giải phương trình: 5sinx − = ( − sinx ) tan x Giải Điều kiện: cosx ≠ ⇔ x ≠ ( 1) π + kπ ; ( k ∈ Z ) 3sin x ( − sinx ) − sin x ⇔ 2sin x + 3sinx − = ⇔ 5sinx − = ( ∗)  s inx =  ⇔  s inx = −2(l ) π 5π ⇔ sinx = ⇔ x = + k 2π ∨ x = + k 2π ; ( k ∈ Z ) , thỏa mãn (*) 6 Bài 38: Giải phương trình: ( 2cosx − 1) ( 2sinx + cosx ) = sin2 x − sinx Giải ( 1) ⇔ ( 2cosx − 1) ( sinx + cosx ) = 2sinxcosx − sinx ⇔ ( 2cosx − 1) ( 2sinx + cosx ) = sinx ( 2cosx − 1) ⇔ ( 2cosx − 1) ( sinx + cosx ) =  2cosx − = ⇔  sinx + cosx = π gcosx = ⇔ x = ± + k 2π ; ( k ∈ Z ) π π  gsinx + cosx = ⇔ sin  x + ÷ = ⇔ x = − + kπ ; ( k ∈ Z ) 4  Bài 39: Giải phương trình: cotx − = Giải cos x + sin x − sin x + tanx  sinx ≠  Điều kiện: cosx ≠ tanx ≠  ( ∗) ( cos x − sin2 x ) + sinx sinx − cosx cosx −1 = ( ) sinx sinx 1+ cosx cosx − sinx ⇔ = cosx ( cosx − sinx ) + sinx ( sinx − cosx ) sinx ⇔ ( cosx − sinx ) ( − sinxcosx + sin x ) = ( 1) ⇔ cosx − sinx = ⇔ 1 − sinxcosx + sin x = π + kπ ; ( k ∈ Z ) , thỏa điều kiện (*) g1 − sinxcosx + sin x = ⇔ − sin x + sin x = ⇔ sin x + cos x = 3(VN ) Bài 40: Giải phương trình: cotx − tanx + sin x = sin2 x Giải gcosx = sinx ⇔ tanx = ⇔ x =  sinx ≠ cosx ≠ Điều kiện:  ( 1) ( ∗) cosx sinx − + sin2 x = sinx cosx sin x 2 cos x − sin x ⇔ + 4sin x = sinxcosx sin x 2cos x ⇔ + sin2 x = sin x sin x ⇔ 2cos x + sin x = ⇔ 2cos 2 x − cos x − =  x = kπ cos x =  ⇔ ⇔ ;( k ∈ Z )  x = ± π + kπ cos x = −   ⇔ Kết hợp điều kiện (*) ta nghiệm (1) x = ± π + kπ ; ( k ∈ Z ) Bài 41: Giải phương trình: π 2 x x sin  − ÷tan x − cos = 2 4 Giải Điều kiện: cosx ≠ ( ∗) ( 1)  π   sin x  ⇔ 1 − cos  x − ÷ = ( + cosx ) 2   cos x  ⇔ ( − sinx ) sin x = ( + cosx ) cos x ⇔ ( − sinx ) ( − cosx ) ( + cosx ) = ( + cosx ) ( − sinx ) ( + sinx ) ⇔ ( − sinx ) ( + cosx ) ( sinx + cosx ) = π  x = + k 2π   sinx =   ⇔ cosx = −1 ⇔  x = π + k 2π ; ( k ∈ Z )  tanx = −1 π  x = − + kπ   x = π + k 2π ;( k ∈ Z ) Kết hợp điều kiện (*) ta nghiệm (1)  π x = − + kπ  Bài 42: Giải phương trình: sin 3x − cos x = sin x − cos x Giải ( 1) − cos x + cos8 x − cos10 x + cos12 x − = − 2 2 ⇔ ( cos12 x + cos10 x ) − ( cos8 x + cos6 x ) = ⇔ ⇔ cosx ( cos11x − cos x ) = ⇔ cos x s in9 xsin x = π  x = k ⇔ s in9 xsin x = ⇔  ;( k ∈ Z ) x = k π  Bài 43: Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm phương trình: cos3 x − 4cos x + 3cosx − = Giải ( 1) ⇔ ( cos3 x + 3cosx ) − ( cos x + 1) = ⇔ 4cos x − 8cos x = ⇔ 4cos x ( cosx − ) = ⇔ cosx = π x = + kπ ; ( k ∈ Z ) x ∈ [ 0;14] ⇔ k = ∨ k = ∨ k = ∨ k = ⇔x= π 3π 5π 7π ∨x= ∨x= ∨x= 2 2 [...]... 4π + k 2π  15 5 Bài 27: Giải phương trình: sin3 x − 3cos 3 x = sinxcos 2 x − 3sin 2 xcosx Giải: ( 1) ⇔ sinx ( cos 2 x − sin 2 x ) + 3cosx ( cos 2 x − sin 2 x ) = 0 ( ) ⇔ cos 2 x sinx + 3cosx = 0 cos 2 x = 0 ⇔  sinx + 3cosx = 0 π π gcos 2 x = 0 ⇔ x = + k ; ( k ∈ Z ) 4 2 π π  gsinx + 3cosx = 0 ⇔ sin  x + ÷ = 0 ⇔ x = − + kπ ; ( k ∈ Z ) 3 3  Bài 28: Giải phương trình: 2 sinx ( 1 + cos 2 x ) +... 29: Giải phương trình: ( 1 + sin x ) cosx + ( 1 + cos x ) sinx = 1 + s in2 x 2 Giải: 2 ( 1) ⇔ ( sinx + cosx ) ( 1 + sinxcosx ) = ( sinx + cosx ) 2 ⇔ ( sinx + cosx ) ( 1 − sinx ) ( 1 − cosx ) = 0 π    π x = − + kπ  sin  x + ÷ = 0  4 4  sinx + cosx = 0    π  ⇔ 1 − sinx = 0 ⇔  sinx = 1 ⇔  x = + 2kπ ; ( k ∈ Z )  2  1 − cosx = 0 cosx = 1  x = k 2π     Bài 30: Giải phương trình: ... 8 + k 4 ⇔ ⇔ ;( k ∈ Z )  sin3 x = 1  x = π + k 2π ∨ x = 5π + k 2π  2  18 3 18 3 Bài 30: Giải phương trình: 2 x x   s in + cos ÷ + 3cosx = 2 2 2  Giải ( 1) ⇔ 1 + s inx + 3cosx = 2 π 1 π  ⇔ co s  x − ÷ = = cos 6 2 3  π π ⇔ x = + k 2π ∨ x = − + k 2π ; ( k ∈ Z ) 2 6 Bài 31: Giải phương trình: 2 ( cos 6 x + sin 6 x ) − sinxcosx 2 − 2sinx =0 Giải Điều kiện: sinx ≠ 2 2 ( ∗) ( 1) ⇔ 2 ( cos... 32: Giải phương trình: x  cotx + sinx 1 + tanxtan ÷ = 4 2  Giải x 2 Điều kiện: simnx ≠ 0, cosx ≠ 0, cos ≠ 0 x   sinx sin 2 ÷ cosx ⇔ + sinx 1 + =4 x÷ sinx  cosx cos ÷  2 x x cosxcos + sinxsin cosx 2 2 =4 ⇔ + sinx x sinx cosxcos 2 cosx sinx ⇔ + =4 sinx cosx 1 1 ⇔ + = 4 ⇔ sin 2 x = sinxcosx 2 π   x = 12 + kπ ⇔ ; ( k ∈ Z ) , thỏa mãn (*)  x = 5π + kπ  12 ( 1) Bài 33: Giải phương trình: ... gcosx = − 1 2π ⇔ x=± + k 2π ; ( k ∈ Z ) 2 3 Bài 34: Giải phương trình: cos 2 3 xcos 2 x − cos 2 x = 0 Giải ( 1) ⇔ ( 1 + cos 6 x ) cos 2 x − ( 1 + cos 2 x ) = 0 ( ∗) ⇔ cos 6 xcos 2 x − 1 = 0 ⇔ cos8 x + cos 4 x − 2 = 0 ⇔ 2cos 2 4 x + cos 4 x − 3 = 0 cos 4 x = 1 ⇔ cos 4 x = − 3 (l )  2 π ⇔ cos 4 x = 1 ⇔ x = k ; ( k ∈ Z ) 2 Bài 35: Giải phương trình: 1 + sinx + cosx + sin 2 x + cos 2 x = 0 Giải ( 1)... + kπ  4 Bài 42: Giải phương trình: sin 2 3x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x Giải ( 1) 1 − cos 6 x 1 + cos8 x 1 − cos10 x 1 + cos12 x − = − 2 2 2 2 ⇔ ( cos12 x + cos10 x ) − ( cos8 x + cos6 x ) = 0 ⇔ ⇔ cosx ( cos11x − cos 7 x ) = 0 ⇔ cos x s in9 xsin 2 x = 0 π  x = k 9 ⇔ s in9 xsin 2 x = 0 ⇔  ;( k ∈ Z ) x = k π  2 Bài 43: Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng phương trình: cos3 x − 4cos 2... ⇔ x = + kπ ; ( k ∈ Z ) 4 Bài 37: Giải phương trình: 5sinx − 2 = 3 ( 1 − sinx ) tan 2 x Giải Điều kiện: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ ( 1) π + kπ ; ( k ∈ Z ) 2 3sin 2 x ( 1 − sinx ) 1 − sin 2 x ⇔ 2sin 2 x + 3sinx − 2 = 0 ⇔ 5sinx − 2 = ( ∗) 1  s inx =  ⇔ 2  s inx = −2(l ) 1 π 5π ⇔ sinx = ⇔ x = + k 2π ∨ x = + k 2π ; ( k ∈ Z ) , thỏa mãn (*) 2 6 6 Bài 38: Giải phương trình: ( 2cosx − 1) ( 2sinx + cosx ) = sin2 x... Giải phương trình: π   4 4 π 3 cos x + sin x + cos  x − ÷sin  3x − ÷− = 0 4  4 2  Giải ( 1) 1  π  3 ⇔ 1 − 2 sin 2 xcos 2 x +  sin  4 x − ÷+ sin 2 x  − = 0 2  2  2 2 ⇔ 2 − sin 2 x − cos 4 x + sin 2 x − 3 = 0 ⇔ − sin 2 2 x − ( 1 − 2 sin 2 2 x ) + sin 2 x − 1 = 0 ⇔ sin 2 2 x + sin 2 x − 2 = 0 s in 2 x = 1 ⇔ s in 2 x = −2(l ) π ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ x = + kπ ; ( k ∈ Z ) 4 Bài 37: Giải phương. .. 1) ⇔ cosx − sinx = 0 ⇔ 2 1 − sinxcosx + sin x = 0 π + kπ ; ( k ∈ Z ) , thỏa điều kiện (*) 4 1 g1 − sinxcosx + sin 2 x = 0 ⇔ 1 − sin 2 x + sin 2 x = 0 ⇔ sin 2 x + cos 2 x = 3(VN ) 2 Bài 40: Giải phương trình: 2 cotx − tanx + 4 sin 2 x = sin2 x Giải gcosx = sinx ⇔ tanx = 1 ⇔ x =  sinx ≠ 0 cosx ≠ 0 Điều kiện:  ( 1) ( ∗) cosx sinx 2 − + 4 sin2 x = sinx cosx sin 2 x 2 2 cos x − sin x 2 ⇔ + 4sin 2... 2cos 2 2 x − cos 2 x − 1 = 0  x = kπ cos 2 x = 1  ⇔ ⇔ ;( k ∈ Z )  x = ± π + kπ cos 2 x = − 1 3  2  ⇔ Kết hợp điều kiện (*) ta được nghiệm của (1) là x = ± π + kπ ; ( k ∈ Z ) 3 Bài 41: Giải phương trình: π 2 2 x 2 x sin  − ÷tan x − cos = 0 2 2 4 Giải Điều kiện: cosx ≠ 0 ( ∗) ( 1) 1  π   sin 2 x  1 ⇔ 1 − cos  x − ÷ = ( 1 + cosx ) 2 2 2   cos x 2  ⇔ ( 1 − sinx ) sin 2 x = ( 1 + ... 2cosx − 1) sinx + cosx − = ( ) Xét phương trình (2) phương trình bậc theo sinx, ta có: ∆ = ( 2cosx − 1) − ( cosx − 1) = 4cos x − 12cosx + = ( 2cosx − ) 2 Phương trình (2) có nghiệm là: sin x = 0,5... ( thoadk ) ; m, l ∈ Z cosx = −1  x = π + 2lπ  π Vậy phương trình có nghiệm x = − + 2mπ ; x = π + 2lπ ; m, l ∈ Z Bài 4: Giải phương trình: sin x − sin x + sinx + cosx − = Giải: ( 1) ⇔ sin... + 7 m2π π m2π ; ( m ≠ 5t ) ; x = + ; ( m ≠ 7l + 3) ; m, l , t ∈ Z Vậy phương trình có nghiệm x = 7 Bài 3: Giải phương trình: cos x ( cosx − 1) = ( + sinx ) sinx + cosx Giải: π π π   Điều