on thi TN-DH

Chủ đề : mặt cầu trong Oxyz Người thực hiện: Lâm Thành Phương I . Định nghĩa: ( S ) = { } )(/),,( constRIMzyxM − . I ( a , b . c ) cố định. Diện tích mặt cầu : S = 4 π R 2 . Thể tích khối cầu : V = 3 4 π R 3 . II . Phương trình mặt cầu . 1.phương trình chính tắc : (S) có tâm I ( a.b,c), bán kính R . (S) : ( x – a) 2 + ( y – b) 2 + ( z – c) 2 = R 2 Khai triển (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz +d = 0 ( d = a 2 + b 2 + c 2 – R 2 )) 2.Dạng: (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 là mặt cầu khi ta có: a 2 + b 2 + c 2 –d 〉 0 và khi đó R = dcba −++ 222 III . Các dạng bài tập. 1. lập phương trình mặt cầu. a) lập phương trình mặt cầu nhận I (1 , 3, -2 ) làm tâm và đi qua M ( 2 ,1 ,3 ). *M ∈ (S) nên : IM = R = 222 ))2(3()31()12( −−+−+− = 30 *Mặt cầu (S): ( x – 1) 2 + ( y – 3) 2 + ( z -+ 2) 2 = 30 b) Cho A (1 , 0 ,3) , B (-2 ,1 ,4) . Lập phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính. • AB là đường kính nên tâm I là trung điểm AB ⇒ I ( 2 7 , 2 1 , 2 1− ) • R = 2 AB = 2 1 222 )34()01()12( −+−+−− = 2 11 • (S): (x + 2 1 ) 2 + (y - 2 1 ) 2 + (z - 2 7 ) 2 = 4 11 c) Cho A (2 , 4 , -1) , B (1 , 4 , -1) , C (2 , 4 , 3) , D (2 , 2 , -1) . Lập phương trình mặt cầu qua A , B , C , D. • (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2ax -2by – 2cz + d = 0 • A , B, C , D ∈ (S). Ta có :        =++−− =+−−− =++−− =++−− 02449 068429 028218 028421 dcba dcba dcba dcba ⇔      =−+ =−+ =− 02084 01182 032 cb ca a ⇔ a= 2 3 , b =3 , c =1 , d =7 • (S): x 2 + y 2 + z 2 – 3x – 6y – 2z + 7 = 0 d) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A (3 , 2 , 6) , B (3 , -1 ,0) , C (0 , -7 , 3) , D (-2 , 1 , -1). ( tương tự bài trên). e) Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I (0 , 4 , 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + y -2z +8 = 0 • (S) có bán kính R = d (I , (P) ) = 222 )2(12 83).2(40.2 −++ +−++ = 2 • (S) : (x – 0) 2 + (y – 4) 2 + (z – 3) 2 = 4 • f) Viết phương trình mặt cầu (S) qua 3 điểm : A (0, 8 , 0) , B (4, 6 , 2) , C (0 , 12 , 4) và có tâm trên (Oyz). * ( Oyz) có phương trình : x = 0 * I ∈ (Oyz) : I (0 , b , c). * (S) qua A , B , C nên ta có :      = = 22 22 ICIA IBIA ⇔    =− −=+− 9688 844 cb cb ⇔    = = 5 7 c b * I(0 , 7 , 5) , R= IA = 222 )5(10 −++ = 26 * (S) : ( x – 0) 2 + ( y – 7) 2 + ( z – 5) 2 = 26 g) Lập phương trình mặt cầu có R = 2 và tiếp xúc (Oyz), tâm I trên Ox • I ( a , 0 , 0) • (S) tiếp xúc (Oyz) nên R = IO = 2 chứng tỏ I (2 , 0 , 0) • (S) : ( x – 2) 2 + (y – 0) 2 + (z – 0) 2 = 4 h) Lập phương trình mặt cầu có tâm I (1 , 2 , 3) và tiếp xúc (Oyz) • (S) tiếp xúc (Oyz) nên R = d ( I , (Oyz) ) • ( Oyz) : x = 0 ⇒ R = 1 1 = 1 • (S) : (x – 1) 2 + (y – 2) 2 + (z – 3) 2 =1 l) Lập phương trình mặt cầu tâm I (1 , -2 , 3) và tiếp xúc (P) : x – y + 2z – 1 =0 ( tương tự câu e) ) 2. Bài toán liên quan vị trí của (S) với (P) , với d. * Cần nhớ : • (S) : I , R • (P) : Ax + By + Cz + D = 0 + d ( I , P ) = R thì (P) tiếp xúc (S) tại 1 điểm ( tiếp diện ). + d ( I , P ) 〉 R thì (P) và (S) không có điểm chung. + d ( I , P ) 〈 R thì (P) cắt (S) bởi (C) : tâm H , bán kính r a) xét vị trí tương đối của (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 6x – 2y + 4z +5 = 0 và mặt phẳng (P) : x + 2y + + z – 1 = 0 * (S) : I ( 3 , 1 , -2) , R = 3 * d( I , P ) = 222 121 1)2(1.23 ++ −−++ = 6 2 〈 R nên (P)  (S) = C ( H , r ) * Tìm r , H : r 2 = R 2 – d 2 ( d = d (I , P) ) H = )(P∩∆ với ∆ đi qua I và ⊥ (P) b) cho ( α ) : 2x -2y – z +9 = 0 (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 6x +4y - 2z – 86 = 0 . chứng tỏ ( α ) cắt (S) theo 1 đường tròn (C ) tâm H bán kính r . Tìm H , r. * Cần nhớ : Cho (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 d :      += += += ctzz btyy atxx 0 0 0 thay x , y . z vào (S) ta được PT : At 2 + Bt + C = 0 (1) * Nếu (1) vô nghiệm thì : d và (S) không có điểm chung. * Nếu (1) có 1 nghiệm thì d tiếp xúc (S). * Nếu (1) có 2 nghiệm phân biệt thì d cắt (S) tại 2 điểm. c) cho A (1 . -1 , 0) , B (1 , 3 , 2) , C (4 , 3 , 2) , D (4 , -1 , 2) . Lập phương trình mặt cầu qua A , B , C , D. Viết phương trình tiếp diện tại của (S) tại A . * (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 5x -2y – 2z + 1 =0 * I ( 2 5 , 1 , 1) ; R = 2 29 * (P) tiếp xúc (S) nên ⊥ IA : IA =( - 2 3 , -2 , -1) là PVT, ta có : (P) : 3x + 4y + 2z + 1 - 0 d) Tìm giao điểm của đường thẳng d :      += −= += tz ty tx 41 21 1 và (S) : x 2 + y 2 + z 2 - 2x – 4y – 6z =0 Thay x , y , z của d vào (S) : 21t 2 – 12t – 9 =0 ⇔     −= = 7 3 1 x x Ta có : M (2 , -1 , 5) ; N ( 7 5 , 7 13 , 7 4 − ) e) Lập phương trình mặt cầu qua A (0 , 1 , 0) , B (1 , 0 , 0) , C (0 , ,0 , 1) và có tâm I trên Mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0 • (S) qua A , B , C ; I trên (P) nên ta có :        =−−−− =++ =++ =++ 03 021 021 021 CBA DC DB DA ⇔        = −= −= −= 1 1 1 1 D C B A • (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2x – 2y – 2z + 1 = 0 f) Cho mặt cầu (S) : ( x - 2 3 ) 2 + ( y – 3) 2 + ( z – 1) 2 = ( 2 21 ) 2 . Viết phương trình tiếp diện của (S) biết nó song song mp ( ABC) với A ( 2 , 4 , -1) , B (1 , 4 , -1) , C (2 , 2 , -1). • (S) : I ( 1,3, 2 3 ) , R = 2 21 • Tiếp diện (P) nhận [ ] ACAB, làm PVT , viết dạng PT ( chưa biết D ) • Dùng d ( I , (P) ) = R tìm D g) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm trên đường thẳng d :      −= = = 1 0 z y tx và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) : 3x + 4y + 3 = 0 ; (Q) : 2x + 2y – z + 39 = 0 • I ∈ d nên : I ( t , 0 , -1) • d ( I , (P) ) = d ( I , (Q) ) ⇔ 169 33 + +t = 144 912 ++ ++t ⇔ 9 (t+1 ) = 5 ( 2t +40 ) hoặc 9 ( t+ 1) = 5 ( -2t – 40) ⇒ t = -191 hoặc t = -11 * t = -191 , (S 1 ) có I 1 (-191, 0 ,1) R 1 = 114 * t = -11 , (S 2 ) có I 2 (-11, 0 , 1) R 2 = 6 h) Viết phương trình mặt cầu có tâm trên d :    =−+− =+++ 01 01 zyx zyx và tiếp xúc 2 mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q) : x + 2y + 2z + 7 =0 * (P) // (Q) nên d ( P , Q) = 2R , gọi I (x 0 , y 0 , z 0 ) * I ∈ d và d (I ,P) = d ( I, Q) nên : { 3 722 3 322 01 01 000000 000 000 +++ = +++ =−+− =+++ zyxzyx zyx zyx *      +++−=+++ =−+− =+++ )722(322 01 01 000000 000 000 zyxzyx zyx zyx ⇔      −= −= = 3 1 3 0 0 z y x i) cho (S) : x 2 + y 2 + z 2 + 2x – 4y – 6z + 5 = 0 viết phương trình tiếp diện của (S) biết tiếp diện chứa d :    =− =−− 01 012 z yx • Tiếp diện (P) thuộc chùm m ( 2x – y – 1) + n ( z – 1) = 0 • (S) có I ( -1 , 2 , 3) , R = 3 • d ( I ,(P) ) = 3 • 2m + n = 0 chọn m = 1 , n = -2 • (P) : 2x – y – 2z + 1 = 0 i) Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc d :    =− =−+ 02 01 y zx và cắt (P) : y – z = 0 theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 4 . • (S) có R = 4 , I ∈ (P) và I ∈ d nên ta có hệ với I ( x , y , z ):      =− = =−+ 0 2 01 zy y zx ⇔      = = −= 2 2 1 z y x ⇒ (S) : ( x + 1) 2 + ( y – 2) 2 + ( z – 2) 2 = 16 l) Cho (P) : 5x – 4y + z – 6 = 0 , (Q) : 2x – y + z + 7 = 0 và d :    =++− =−+− 03 032 zyx zyx .Viết phương trình mặt cầu (S) với tâm I = d ∩ (P) , (Q) cắt (S) theo đường tròn có diện tích là 20 π . • I ( x, y , z) là nghiệm của hệ :      =−+− =++− =−+− 0645 03 032 zyx zyx zyx ⇔      = = = 1 0 1 z y x • h = d ( I , Q) = 114 712 ++ ++ = 6 10 , r bán kính dường tròn có diện tích 20 π : 20 π = 20r 2 • r 2 = 20 ; R 2 = h 2 + r 2 = 6 100 + 20 = 3 110 • (S) : ( x – 1) 2 + ( y – 0 ) 2 + ( z – 1) 2 = 3 110 BÀI TẬP TỰ LÀM 1) Tìm tâm và bán kính đường tròn :    =+−+ =+−+−++ 0122 01226 222 zyx zyxzyx 2) Cho (S) : x 2 + y 2 + z 2 -2z =0 và (P) : y + z – 1 =0 a) chứng tỏ (P) cắt (S) . b) Xác định tâm , bán kính đường tròn giao tuyến ( C ). 3) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d : 41 1 1 13 zyx = + = − − và tiếp xúc mặt Cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2x – 4y – 6z – 67 = 0. . Chủ đề : mặt cầu trong Oxyz Người thực hiện: Lâm Thành Phương I . Định nghĩa: ( S ) = { } )(/),,( constRIMzyxM − . I ( a , b . c ) cố định. Diện tích mặt. 2 3 ) 2 + ( y – 3) 2 + ( z – 1) 2 = ( 2 21 ) 2 . Viết phương trình tiếp diện của (S) biết nó song song mp ( ABC) với A ( 2 , 4 , -1) , B (1 , 4 , -1) , C (2 , 2 , -1). • (S) : I ( 1,3, 2 3 ). Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc d :    =− =−+ 02 01 y zx và cắt (P) : y – z = 0 theo thi t diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 4 . • (S) có R = 4 , I ∈ (P) và I ∈ d nên ta có