Chủ đề : mặt cầu trong Oxyz Người thực hiện: Lâm Thành Phương I.. Phương trình mặt cầu.. Các dạng bài tập.. lập phương trình mặt cầu.. Lập phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính.. t
Trang 1Chủ đề : mặt cầu trong Oxyz Người thực hiện: Lâm Thành Phương
I Định nghĩa:
( S ) = { M(x,y,z) /IM −R(const)} I ( a , b c ) cố định.
Diện tích mặt cầu : S = 4 πR 2
Thể tích khối cầu : V =
3
4 πR 3
II Phương trình mặt cầu
1.phương trình chính tắc : (S) có tâm I ( a.b,c), bán kính R
(S) : ( x – a) 2 + ( y – b) 2 + ( z – c) 2 = R 2
Khai triển (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz +d = 0 ( d = a 2 + b 2 + c 2 – R 2 ))
2.Dạng: (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 là mặt cầu khi ta có:
a 2 + b 2 + c 2 –d 〉0 và khi đó R = a2 +b2 +c2 −d
III Các dạng bài tập.
1 lập phương trình mặt cầu.
a) lập phương trình mặt cầu nhận I (1 , 3, -2 ) làm tâm và đi qua M ( 2 ,1 ,3 ).
*M ∈ (S) nên : IM = R = ( 2 − 1 ) 2 + ( 1 − 3 ) 2 + ( 3 − ( − 2 )) 2 = 30
*Mặt cầu (S): ( x – 1) 2 + ( y – 3) 2 + ( z -+ 2) 2 = 30
b) Cho A (1 , 0 ,3) , B (-2 ,1 ,4) Lập phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính.
• AB là đường kính nên tâm I là trung điểm AB ⇒ I ( ,72
2
1 , 2
1
−
)
2
AB
=
2
) 3 4 ( ) 0 1 ( ) 1 2
2 11
• (S): (x +
2
1
) 2 + (y -
2
1
) 2 + (z -
2
7
) 2 =
4 11
c) Cho A (2 , 4 , -1) , B (1 , 4 , -1) , C (2 , 4 , 3) , D (2 , 2 , -1) Lập phương trình mặt cầu qua A , B , C , D.
• (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2ax -2by – 2cz + d = 0
• A , B, C , D ∈ (S) Ta có :
= + +
−
−
= +
−
−
−
= + +
−
−
= + +
−
−
0 2
4 4 9
0 6
8 4 29
0 2
8 2 18
0 2
8 4 21
d c b a
d c b a
d c b a
d c b a
⇔
=
− +
=
− +
=
−
0 20 8 4
0 11 8 2
0 3 2
c b
c a a
2
3
, b =3 , c =1 , d =7
• (S): x 2 + y 2 + z 2 – 3x – 6y – 2z + 7 = 0
d) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A (3 , 2 , 6) , B (3 , -1 ,0) ,
C (0 , -7 , 3) , D (-2 , 1 , -1) ( tương tự bài trên).
Trang 2e) Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I (0 , 4 , 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):
2x + y -2z +8 = 0
• (S) có bán kính R = d (I , (P) ) = 2 2 2
) 2 ( 1 2
8 3 ).
2 ( 4 0 2
− + +
+
− + +
= 2
• (S) : (x – 0) 2 + (y – 4) 2 + (z – 3) 2 = 4
•
f) Viết phương trình mặt cầu (S) qua 3 điểm : A (0, 8 , 0) , B (4, 6 , 2) , C (0 , 12 , 4) và có tâm trên (Oyz).
* ( Oyz) có phương trình : x = 0
* I ∈ (Oyz) : I (0 , b , c).
* (S) qua A , B , C nên ta có :
=
=
2 2
2 2
IC IA
IB IA
⇔
=
−
−
= +
−
96 8 8
8 4 4
c b
c b
⇔
=
=
5
7
c b
* I(0 , 7 , 5) , R= IA = 0 2 + 1 2 + ( − 5 ) 2 = 26
* (S) : ( x – 0) 2 + ( y – 7) 2 + ( z – 5) 2 = 26
g) Lập phương trình mặt cầu có R = 2 và tiếp xúc (Oyz), tâm I trên Ox
• I ( a , 0 , 0)
• (S) tiếp xúc (Oyz) nên R = IO = 2 chứng tỏ I (2 , 0 , 0)
• (S) : ( x – 2) 2 + (y – 0) 2 + (z – 0) 2 = 4
h) Lập phương trình mặt cầu có tâm I (1 , 2 , 3) và tiếp xúc (Oyz)
• (S) tiếp xúc (Oyz) nên R = d ( I , (Oyz) )
• ( Oyz) : x = 0 ⇒ R =
1
1
= 1
• (S) : (x – 1) 2 + (y – 2) 2 + (z – 3) 2 =1
l) Lập phương trình mặt cầu tâm I (1 , -2 , 3) và tiếp xúc (P) : x – y + 2z – 1 =0
( tương tự câu e) )
2 Bài toán liên quan vị trí của (S) với (P) , với d.
* Cần nhớ :
• (S) : I , R
• (P) : Ax + By + Cz + D = 0
+ d ( I , P ) = R thì (P) tiếp xúc (S) tại 1 điểm ( tiếp diện ).
+ d ( I , P ) 〉 R thì (P) và (S) không có điểm chung.
+ d ( I , P ) 〈 R thì (P) cắt (S) bởi (C) : tâm H , bán kính r
a) xét vị trí tương đối của (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 6x – 2y + 4z +5 = 0 và mặt phẳng (P) :
x + 2y + + z – 1 = 0
Trang 3* (S) : I ( 3 , 1 , -2) , R = 3
* d( I , P ) = 2 2 2
1 2 1
1 ) 2 ( 1 2 3
+ +
−
− + +
=
6
2
〈 R nên (P) (S) = C ( H , r )
* Tìm r , H : r 2 = R 2 – d 2 ( d = d (I , P) )
H = ∆ ∩(P) với ∆ đi qua I và ⊥ (P)
b) cho (α ) : 2x -2y – z +9 = 0
(S) : x 2 + y 2 + z 2 – 6x +4y - 2z – 86 = 0 chứng tỏ (α ) cắt (S) theo 1 đường tròn
(C ) tâm H bán kính r Tìm H , r.
* Cần nhớ :
Cho (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
d :
+
=
+
=
+
=
ct z z
bt y y
at x x
0 0
0
thay x , y z vào (S) ta được PT : At 2 + Bt + C = 0 (1)
* Nếu (1) vô nghiệm thì : d và (S) không có điểm chung.
* Nếu (1) có 1 nghiệm thì d tiếp xúc (S).
* Nếu (1) có 2 nghiệm phân biệt thì d cắt (S) tại 2 điểm.
c) cho A (1 -1 , 0) , B (1 , 3 , 2) , C (4 , 3 , 2) , D (4 , -1 , 2) Lập phương trình mặt cầu qua A , B , C , D Viết phương trình tiếp diện tại của (S) tại A
* (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 5x -2y – 2z + 1 =0
* I (
2
5
, 1 , 1) ; R =
2 29
* (P) tiếp xúc (S) nên ⊥ IA : IA=(
-2
3
, -2 , -1) là PVT, ta có : (P) : 3x + 4y + 2z + 1 - 0
d) Tìm giao điểm của đường thẳng d :
+
=
−
=
+
=
t z
t y
t x
4 1
2 1 1
và (S) : x 2 + y 2 + z 2 - 2x – 4y – 6z =0
Thay x , y , z của d vào (S) : 21t 2 – 12t – 9 =0 ⇔
−
=
=
7 3
1
x x
Ta có : M (2 , -1 , 5) ; N (
7
5 , 7
13 , 7
e) Lập phương trình mặt cầu qua A (0 , 1 , 0) , B (1 , 0 , 0) , C (0 , ,0 , 1) và có tâm I trên Mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0
Trang 4• (S) qua A , B , C ; I trên (P) nên ta có :
=
−
−
−
−
= + +
= + +
= + +
0 3
0 2
1
0 2
1
0 2
1
C B A
D C
D B
D A
⇔
=
−
=
−
=
−
=
1 1 1 1
D C B A
• (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2x – 2y – 2z + 1 = 0
f) Cho mặt cầu (S) : ( x -
2
3
) 2 + ( y – 3) 2 + ( z – 1) 2 = (
2
21) 2 Viết phương trình tiếp diện của (S) biết nó song song mp ( ABC) với A ( 2 , 4 , -1) , B (1 , 4 , -1) , C (2 , 2 , -1).
• (S) : I ( , 3 , 1
2
3
) , R =
2 21
• Tiếp diện (P) nhận [AB, AC] làm PVT , viết dạng PT ( chưa biết D )
• Dùng d ( I , (P) ) = R tìm D
g) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm trên đường thẳng d :
−
=
=
=
1
0
z y
t x
và tiếp xúc với
hai mặt phẳng (P) : 3x + 4y + 3 = 0 ; (Q) : 2x + 2y – z + 39 = 0
• I ∈ d nên : I ( t , 0 , -1)
• d ( I , (P) ) = d ( I , (Q) ) ⇔
16 9
3 3
+
+
t
=
1 4 4
9 1 2
+ +
+ +
t
⇔ 9 (t+1 ) = 5 ( 2t +40 ) hoặc
9 ( t+ 1) = 5 ( -2t – 40) ⇒ t = -191 hoặc t = -11
* t = -191 , (S 1 ) có I 1 (-191, 0 ,1) R 1 = 114
* t = -11 , (S 2 ) có I 2 (-11, 0 , 1) R 2 = 6
h) Viết phương trình mặt cầu có tâm trên d :
=
− +
−
= + + +
0 1
0 1
z y x
z y x
và tiếp xúc 2 mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q) : x + 2y + 2z + 7 =0
* (P) // (Q) nên d ( P , Q) = 2R , gọi I (x 0 , y 0 , z 0 )
* I ∈ d và d (I ,P) = d ( I, Q) nên :
{
3
7 2 2 3
3 2 2
0 1
0 1
0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
+ + +
= + + +
=
− +
−
= + + +
z y x z
y x
z y x
z y x
*
+ + +
−
= + + +
=
− +
−
= + + +
) 7 2 2 ( 3 2 2
0 1
0 1
0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
z y x z
y x
z y x
z y x
⇔
−
=
−
=
=
3 1
3
0 0
z y x
i) cho (S) : x 2 + y 2 + z 2 + 2x – 4y – 6z + 5 = 0 viết phương trình tiếp diện của (S) biết tiếp
Trang 5diện chứa d :
=
−
=
−
−
0 1
0 1 2
z
y x
• (S) có I ( -1 , 2 , 3) , R = 3
i) Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc d :
=
−
=
− +
0 2
0 1
y
z x
và cắt (P) : y – z = 0 theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 4
• (S) có R = 4 , I ∈ (P) và I ∈d nên ta có hệ với I ( x , y , z ):
=
−
=
=
− +
0 2
0 1
z y y
z x
⇔
=
=
−
=
2 2 1
z y
x
⇒ (S) : ( x + 1)2 + ( y – 2)2 + ( z – 2)2 = 16
l) Cho (P) : 5x – 4y + z – 6 = 0 , (Q) : 2x – y + z + 7 = 0 và d :
= + +
−
=
− +
−
0 3
0 3 2
z y x
z y x
Viết phương
=
− +
−
= + +
−
=
− +
−
0 6 4
5
0 3
0 3 2
z y x
z y x
z y x
⇔
=
=
=
1 0 1
z y x
1 1 4
7 1 2
+ +
+ +
=
6
10
• r2 = 20 ; R2 = h2 + r2 = 1006 + 20 = 1103
• (S) : ( x – 1)2 + ( y – 0 )2 + ( z – 1)2 =
3 110
BÀI TẬP TỰ LÀM
1) Tìm tâm và bán kính đường tròn :
= +
− +
= +
− +
− + +
0 1 2 2
0 1 2 2 6
2 2 2
z y x
z y x z y x
2) Cho (S) : x2 + y2 + z2 -2z =0 và (P) : y + z – 1 =0
a) chứng tỏ (P) cắt (S)
b) Xác định tâm , bán kính đường tròn giao tuyến ( C )
3) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d :
4 1
1 1
x
=
+
=
−
−
và tiếp xúc mặt Cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 67 = 0