Phương pháp và bài tập về phương trình lượng giác nâng cao

WWW.ToanCapBa.Net Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao KIẾN THỨC CẦN NHỚ A.CÁC CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.CƠNG THỨC CỘNG cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb tan(a + b) = tan(a - b) = 2.CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a –1 = 1 – 2sin 2 a sin2a = 2.sina.cosa tan2a = 3.CƠNG THỨC HẠ BẬC cos 2 a = sin 2 a = 4.CƠNG THỨC NHÂN BA sin3x = 3sinx – 4sin 3 x cos3x = 4cos 3 x – 3cosx 5.CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH cosa + cosb = 2.cos .cos cosa - cosb = -2.sin .sin sina + sinb = 2.sin .cos sina - sinb = 2.cos .sin 6.CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG cosa.cosb = [cos(a - b) + cos(a + b)]; sina.sinb = [cos(a - b) - cos(a + b)] cosa.sinb = [sin(a - b) + sin(a + b)] 7.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x rad -π - - - - - - - 0 π độ -180 o -150 o -135 o -120 o -90 o -60 o -45 o -30 o 0 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o sin 0 - - - -1 - - - 0 1 0 cos -1 - - - 0 1 0 - - - -1 tan 0 1 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0 cot || 1 0 - -1 - || 1 0 - -1 - || B.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC. I:LÍ THUYẾT . 1/Phương trình lượng giác cơ bản . sin u = sin v ⇔    +−= += ππ π 2 2 kvu kvu ( k ∈ Z ) cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z ) tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) 2/ Phương trình đặc biệt : sinx = 0 ⇔ x = kπ, sinx = 1 ⇔ x = 2 π + k2π, sinx = -1 ⇔ x = - 2 π + k2π cosx = 0 ⇔ x = 2 π + k π, cosx = 1 ⇔ x = k2π, cosx = -1 ⇔ x = π + k2π . 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a 2 + b 2 ≠ 0 Cách 1: Chia cả hai vế của Pt(1) cho + 2 2 a b ta được : GV: Nguyễn Quang Tánh WWW.ToanCapBa.Net 1 WWW.ToanCapBa.Net Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao ϕ ϕ ϕ ⇔ + = + + + ⇔ + = + ⇔ − = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) cos sin cos .cos sin .sin cos( ) . a b c Pt x x a b a b a b c x x a b c x a b Đâylàphươngtrìnhlượng giác cơ bản Cách 2 : - Xét phương trình với x = π + k2π , k ∈ Z xem có phải là nghiệm của pt(1) hay không? - Xét x ≠ π + k2π đặt t = tan 2 x khi đó:  =   + =  − −  =  +  2 2 2 2 2 sin 2 1 tan 1 1 cos 1 t x t t và x t t x t ta được PT bậc hai theo t: (c + b)t 2 – 2at + c – b = 0 (2) Cách 3 : acosx + bsinx = c ⇔ )cos(. 22 ϕ −+ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ asinx +bcosx = c ⇔ )sin(. 22 ϕ ++ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ . Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a 2 + b 2 - c 2 ≥ 0 . Bài tập :Giải các phương trình sau: 1. 2sincos3 =− xx , 2. 1sin3cos −=− xx 3. xxx 3sin419cos33sin3 3 +=− , 4. 4 1 ) 4 (cossin 44 =++ π xx 5. )7sin5(cos35sin7cos xxxx −=− , 6. tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x − = + 7. 3(1 cos 2 ) cos 2sin x x x − = 8. 2 1 sin 2 sin 2 x x+ = 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác : Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx. Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 . Bài tập: Giải các phương trình sau: 1. 2cos 2 x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin 4 x + cos 4 x) = 2sin2x – 1 5. sin 4 2x + cos 4 2x = 1 – 2sin4x 6. x x 2 cos 3 4 cos = 7. 2 3 3 2tan cos x x = + 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 9. 2 6sin 3 cos12 4x x+ = 10. 4 2 4sin 12cos 7x x+ = GV: Nguyễn Quang Tánh WWW.ToanCapBa.Net 2 WWW.ToanCapBa.Net Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao 5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin 2 x +b sinx cosx + c cos 2 x = d . Cách 1 : • Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . • Xét cos 0x ≠ chia hai vế của phương trình cho cos 2 x rồi đặt t = tanx. Cách 2: Thay sin 2 x = 2 1 (1 – cos 2x ), cos 2 x = 2 1 (1+ cos 2x) , sinxcosx = 2 1 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x . b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x = 2 π + kπ ,k∈Z. Chú ý: = + = + 2 2 2 2 * (sin cos ) * (1 tan ) cos d d d x x d x x Bài tập : 1. 2sin 2 x – 5sinx.cosx – cos 2 x = - 2; 2. 3sin 2 x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos 2 x = 0 2. 4sin 2 x +3 3 sin2x – 2cos 2 x = 4; 4. 6sinx – 2cos 3 x = 5sin2x.cosx. 5. 2 2 1 sin sin 2 2cos 2 x x x+ − = 6/ Phương trình dạng : a( cosx ± sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . Đặt t = cosx + sinx , điều kiện 22 ≤≤− t khi đó sinx.cosx = 2 1 2 −t Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t . Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinx.cosx + c = 0 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện 22 ≤≤− t khi đó sinx.cosx = 2 1 2 t − Bài tập : Giải các phương trình sau : 1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 7. Các phương trình lượng giác khác. Bài 1: Giải các phương trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos 2 x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg 2 x + 3 = xcos 3 , 6/ 4sin 4 +12cos 2 x = 7 Bài 2 : Giải các phương trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx 2/ x x 2 cos 3 4 cos = ĐS : x = k3π , x= ± 4 π +k3π , x = ± 4 5 π +k3π GV: Nguyễn Quang Tánh WWW.ToanCapBa.Net 3 WWW.ToanCapBa.Net Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao 3/ 1+ sin 2 x sinx - cos 2 x sin 2 x = 2cos 2 ( − 4 π 2 x ) ĐS: sinx =1 v sin 2 x = 1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = - 4 π + k π 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = xcos 1 ĐS : x = k2π , x = ± 3 π +k2π 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos 2 x ĐS : cosx = 0 , cos 2x = 2 1 7/ 2cos 2 2x +cos 2x = 4sin 2 2xcos 2 x 8/ cos 3x – cos 2x = 2 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan 2 x 10/ sin2x+ 2tanx = 3 11/ sin 2 x + sin 2 3x = 3cos 2 2x HD :đặt t =cos 2x 12/ tan 3 ( x - 4 π ) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x = 4 π + kπ 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx. 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x = 4 π + kπ 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX. Giải các phương trình sau : 1/ sin 2 x + 2sin 2x –3 +7cos 2 x = 0 . 2/ cos 3 x – sin 3 x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos 3 x 4/ sin 3 x + cos 3 x = 2( sin 5 x + cos 5 x ) ĐS : x= 4 π + 2 π k 5/ sin 3 (x - 4 π ) = 2 sinx ĐS : x = 4 π +kπ 6/ 3cos 4 x – sin 2 2x + sin 4 x = 0 ĐS :x = ± 3 π + kπ v x= 4 π + 2 π k 7/ 3sin 4 x +5cos 4 x – 3 = 0 . 8/ 6sinx – 2cos 3 x = 5sin 2x cosx III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG . Giải các phương trình sau : 1/ cos 3 x + sin 3 x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos 3 x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin 3 x + cos 3 x = 2 3 sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 5/ sin 3 x – cos 3 x = 1 + sinxcosx 6/ 3 10 cossin sin 1 cos 1 =+++ xx xx 7/ tanx + tan 2 x + tan 3 x + cotx+cot 2 x +cot 3 x = 6 8/ x 2 sin 2 + 2tan 2 x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 9/ 1 + cos 3 x – sin 3 x = sin 2x 10/ cos 3 x – sin 3 x = - 1 GV: Nguyễn Quang Tánh WWW.ToanCapBa.Net 4 WWW.ToanCapBa.Net Kin Thc C Bn Bi Tp Phng Trỡnh Lng Giỏc Nõng Cao 11/ 2cos 2x + sin 2 x cosx + cos 2 x sinx = 2( sinx + cosx ). IV.PHệễNG TRèNH TCH VAỉ PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAC KHAC . Giaỷi caực phửụng trỡnh sau: 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx 4cosx 2/ sin 2x cos 2x = 3sinx +cosx 2 3/ sin 2 x + sin 2 3x 3cos 2 2x = 0 4/ cos3x cos 3 x sin3xsin 3 x = cos 3 4x + 4 1 5/ sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 2sinx 6/ cos3x 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x + cos 4 x 8/ sin 4 x + cos 4 x cos 2 x = 1 2sin 2 x cos 2 x 9/ 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin 3 x. 10/ x x xx sin cos1 sincos = + 11/ sin 2 ) 42 ( x tan 2 x cos 2 2 x = 0 12/ cotx tanx + 4sinx = xsin 1 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin 2 x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan 2 x + tan2x ) 15/ 32cos) 2sin21 3sin3cos (sin5 += + + + x x xx x 16/ sin 2 3x cos 2 4x = sin 2 5x cos 2 6x 17 / cos3x 4cos2x +3cosx 4 = 0. 18/ 2 4 4 (2 sin 2 )sin3 tan 1 cos x x x x + = 19/ tanx +cosx cos 2 x = sinx (1+tanx.tan 2 x ) 20/ cotx 1 = 2 cos2 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x + + GV: Nguyn Quang Tỏnh WWW.ToanCapBa.Net 5 . WWW.ToanCapBa.Net 2 WWW.ToanCapBa.Net Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao 5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin 2 x +b sinx cosx. – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao ϕ ϕ ϕ ⇔ + = + + + ⇔ + = + ⇔ − = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) cos sin cos .cos sin .sin cos( ) . a b c Pt x x a b a b a b c x x a b c x a b Đâylàphươngtrìnhlượng. ) cos 2sin x x x − = 8. 2 1 sin 2 sin 2 x x+ = 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác : Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0 với u(x) = sinx hay