1/Phương trình lượng giác cơ bản.. 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx... Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao .. Bài tập :Giải các phương trình sau:
Trang 1Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao
KIẾN THỨC CẦN NHỚ A.CÁC CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1.CƠNG THỨC CỘNG cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
tan(a + b) = tan(a - b) =
2.CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI cos2a = cos 2 a – sin 2 a
= 2cos 2 a –1
= 1 – 2sin 2 a
sin2a = 2.sina.cosa tan2a =
3.CƠNG THỨC HẠ BẬC
4.CƠNG THỨC NHÂN BA
5.CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH cosa + cosb = 2.cos cos
cosa - cosb = -2.sin sin
sina + sinb = 2.sin cos sina - sinb = 2.cos sin 6.CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
cosa.cosb = [cos(a - b) + cos(a + b)];
sina.sinb = [cos(a - b) - cos(a + b)]
cosa.sinb = [sin(a - b) + sin(a + b)]
7.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
x độ -180rad -o -150- o -135- o -120- o -90-o -60-o -45- o -30-o 00 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o
B.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
I:LÍ THUYẾT
1/Phương trình lượng giác cơ bản
sin u = sin v
2
2
k v u
k v u
( k Z ) cos u = cos v u = v + k2 ( k Z ) tanu = tanv u = v + k ( k Z ) cotu = cotv u = v + k ( k Z )
2/ Phương trình đặc biệt :
sinx = 0 x = k, sinx = 1 x =2 + k2, sinx = -1 x = - 2 + k2
cosx = 0 x = 2 + k , cosx = 1 x = k2, cosx = -1 x = + k2
3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a 2 + b 2 0
Trang 2Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao
.
c
c x
Đây làphươngtrìnhlượng giáccơ bản
Cách 2 :
- Xét phương trình với x = + k2 , k Z xem có phải là nghiệm của pt(1) hay không?
- Xét x + k2 đặt t = tan 2x khi đó:
2
2 2
2
2
1 1
cos
1
t x
t
t t
x
t
ta được PT bậc hai theo
t:
(c + b)t 2 – 2at + c – b = 0 (2)
b a
a
asinx +bcosx = c 2 2 sin( )
b x
a = c với cos 2 2
b a
a
Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm a2 + b2 - c2 0
Bài tập :Giải các phương trình sau:
1 3 cosx sinx 2 , 2 cosx 3 sinx 1
3 3 sin 3x 3 cos 9x 1 4 sin 3 3x
, 4 ) 14
4 ( cos sin 4 4
x
5 cos 7x sin 5x 3 (cos 5x sin 7x), 6 tanx 3cotx4(sinx 3 cos )x
7 3(1 cos 2 ) cos
2sin
x
x x
sin 2 sin
2
x x
4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0
với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx
Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2 2cos2x – 8cosx +5 = 0
3 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1
5 sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6 x cos 2 x
3
4
3 2 tan cosx x 8 5tan x -2cotx - 3 = 0
9 6sin 32 xcos12x4 10 4sin4x12cos2x7
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
Trang 3Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao
Cách 1 :
Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm
Xét cosx 0 chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tanx
sinxcosx = 21 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x
b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương
trình trong trường hợp cos x = 0 hay x = 2 + k ,kZ
cos
d
x
Bài tập :
1 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2; 2 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0
2 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4; 4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx
sin sin 2 2cos
2
x x x
6/ Phương trình dạng : a( cosx sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện 2 t 2 khi đó sinx.cosx =
2
1 2
t
Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t
Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinx.cosx + c = 0
Đặt t = cosx - sinx , điều kiện 2 t 2 khi đó sinx.cosx =
2
1 t2
Bài tập : Giải các phương trình sau :
1 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2 sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7 Các phương trình lượng giác khác.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = cos3 x , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : đặt t =sinx
2/ x cos 2 x
3
4
cos ĐS : x = k3 , x= 4 +k3 , x = 54 +k3
3/ 1+ sin 2x sinx - cos 2x sin2x = 2cos2 (
4
2
x
) ĐS: sinx =1 v sin 2x = 1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = - 4 + k
5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = 1 ĐS : x = k2 , x = +k2
Trang 4Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =12
7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x
8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan 2x
10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :đặt t =cos 2x
12/ tan3( x - 4 ) = tanx - 1 ĐS : x = k v x = 4 + k
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x = 4 + k
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
II PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.
Giải các phương trình sau :
1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0
2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x= 4 +k2
5/ sin3(x - 4 ) = 2 sinx ĐS : x = 4 +k
6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ĐS :x = 3 + k v x= 4 +k2
7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0
8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx
III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG
Giải các phương trình sau :
1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin3x + cos3x = 23sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/ sin cos 103
sin
1 cos
1
x
7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6
8/ sin 2 x
2
+ 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1
11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx )
IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Giải các phương trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 14 5/ sin4
2
x
+ cos4
2
x
= 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x
Trang 5Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao
9/ 3sin3x - 3cos 9x = 1 + 4sin3x 10/ x
x
x x
sin cos
1
sin cos
11/ sin2 )
4 2
(x
tan2x – cos2
2
x
= 0 12/ cotx – tanx + 4sinx = sin1x
13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x )
2 sin 2 1
3 sin 3 cos (sin
x
x x
x 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 18/ 4 2
4
(2 sin 2 )sin 3
cos
x
x
19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan 2x ) 20/ cotx – 1 = cos 2 2 1
x