Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 10

WWW.ToanCapBa.Net PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Chủ đề 1 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I.. Phương trình tổng quát của đường thẳng : Định lý :Trong mặt phẳ

WWW.ToanCapBa.Net PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Chủ đề 1 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Các định nghĩa về VTCP và PVT của đường thẳng:

1 VTCP của đường thẳng :

arlà VTCP của đường thẳng (∆) ⇔đn  ≠a có giá song song hoặc trùng với ( )a 0



∆



r

nr là VTPT của đường thẳng (∆) ⇔đn  ≠n có giá vuông góc với ( )n 0



∆



r

* Chú ý:

• Nếu đường thẳng (∆) cĩ VTCP ar =( ; )a a1 2 thì cĩ VTPT là nr= −( a a2; )1 hoặc nr =( ;a2 −a1)

• Nếu đường thẳng (∆) cĩ VTPT nr =( ; )A B thì cĩ VTCP là ar= −( ; )B A hoặc ar =( ;B A− )

* Nhận xét :

Đường thẳng ( )∆ đi qua hai điểm A, B thì ta chọn :uuurAB=(x B−x y A; B−y A) làm VTCP của ( )∆ .

Bài tập áp dụng :

1 Cho đường thẳng ( )∆ đi qua hai điểm A(1;-2), B(-1;3) Tìm một VTCP và một VTPT của ( )∆

2: Cho tam giác ABC biết ( 1; 2), (5;7), (4; 3)A − B C −

1 Tìm một VTCP và một VTPT của các đường cao của tam giác

2 Tìm một VTCP và một VTPT của các đường trung trực của tam giác

II Phương trình đường thẳng :

1 Phương trình tổng quát của đường thẳng :

a Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và cĩ VTPT nr=( ; )A B là:

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 1

) (∆

n

n y

a

a (∆)

a

n

) (∆

( ) : (∆ A x x− 0)+B y y( − 0) 0= (*)

b Phương trình tổng quát của đường thẳng :

Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy) Phương trình đường thẳng (∆) có dạng :

Ax + By + C = 0 với A2+B2 ≠0

Chú ý:

Từ phương trình (∆):Ax + By + C = 0 ta luôn suy ra được :

1 VTPT của (∆) là nr=( ; )A B

2 VTCP của (∆) là ur= −( ; ) hay u ( ;B A r = B A− )

3 M x y0( ; ) ( )0 0 ∈ ∆ ⇔Ax0+By C0 + =0

⇒Cách tìm tọa độ của M x y0( ; )0 0 Ta chọn x =xo ,thế vào phương trình Ax + By + C = 0 tìm

yo.

Mệnh đề (3) được hiểu là :

Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó

nghiệm đúng phương trình của đường thẳng

Bài tập áp dụng :

Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng biết phương trình tổng quát của nó là 5x−2y+ =3 0

Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua M(-1;2) và song song ( ) : 2∆ x−3y+ =4 0

Bài 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua N(-1;2) và vuông góc ( ) : 2∆ x−3y+ =4 0

Bài 4: Cho hai điểm A(-1;2) và B3;4) Tìm điểm C trên đường thẳng x-2y+1=0 sao cho tam giác

ABC vuông ở C

2 Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng :

a Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy) Đường thẳng (∆) qua M0(x0;y0) và nhận ru=( ; )a b làm

VTCP sẽ có :

+

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 2

)

; ( 0 0

0 x y M

)

;

( y x M x O

)

; ( 0 0

0 x y M

)

; (A B

n=

x y

O

)

; ( B A

a= −

)

; (B A

a= −

)

;

( y x M

a

x y

O

Phương trình tham số là :  = +

0 ( ) : x x at (t )

y y bt

( ) :x x y y

∆ = Điều kiện : 0

0

a b

≠

≠

Chú ý:







0

0

( ) : ( )

t

Chú ý:Từ phương trình (∆):Ax + By + C = 0 ta luôn suy ra được :

1 VTPT của (∆) là nr =( ; )A B

2 VTCP của (∆) là ur= −( ; ) hay u ( ;B A r = B A− )

Ghi nhớ:

Phương

trình

tổng

quát

Tọa độ của điểm M( x yo; o) thuộc đthẳng ∆

VTPT

∆ =

uur ( ; )

Phương

trình

tham số

Tọa độ của điểm M( x yo; o) thuộc 

VTCP

∆ =

uur ( ; )

 = +



0 0

x x at

y y bt

Phương

trình

chính

tắc

Tọa độ của điểm M( x yo; o) thuộc 

VTCP

∆ =

uur ( ; )

3 Các dạng khác của phương trình đường thẳng :

a Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x A ;y A ) và B(x B ;y B ) :

( ) : A A

AB

− − (AB x x) : = A (AB y y) : = A

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 3

C

h

ú

ý

:

Tọa độ M thuộc

đường thẳng.

Tọa độ VTCP

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(-2;1), C1;5) Viết phương trình ba cạnh của tam giác

b Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và cĩ hệ số gĩc k:

Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng ∆ Gọi α =( , )Ox ∆ thì k tg= α được gọi là hệ số gĩc củađường thẳng ∆

Định lý 1: Phương trình đường thẳng ∆ qua M x y cĩ hệ số gĩc k là :0( ; )0 0

y - y = k(x - x ) 0 0 (1)

Chú ý 1: Phương trình (1) khơng cĩ chứa phương trình của đường thẳng đi qua M0 và vuơng gĩc

Ox nên khi sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng đi qua M0 và vuơng gĩc Ox là

x = x0

Chú ý 2: Nếu đường thẳng ∆ cĩ phương trình y ax b= + thì hệ số gĩc của đường thẳng là k a=

Định lý 2: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số gĩc của hai đường thẳng ∆ ∆1, 2 ta cĩ :

• ∆ ∆1// 2 ⇔ k1=k2

• ∆ ⊥ ∆1 2 ⇔ k 1k2 = −1

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Viết phương trình đường thẳng qua A(-1;2) và vuơng gĩc với đường thẳng x−3y+ =4 0

c Phương trình đt đi qua một điểm và song song hoặc vuơng gĩc với một đt cho trước:

Kiến thức thường sử dụng:

i Phương trình đường thẳng ( ) //( ): Ax+By+C=0 có dạng: Ax+By+m =0∆1 ∆ 1 ĐK: (m1 ≠C)

ii Phương trình đường thẳng ( ) ( ): Ax+By+C=0 có dạng: Bx-Ay+m =0∆ ⊥ ∆1 2

Chú ý: m m được xác định bởi một điểm cĩ tọa độ đã biết nằm trên 1; 2 ∆ ∆1; 2

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 4

x

y

0

x y

O x0 1

M

0

∆ Ax By C

)

;

( y x M x y

0

y

0

∆ Ax By m

x y

0

∆ Ax By C

1

M

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:

1

= +

b

y a x

Dạng toán

Bài toán: Cho điểm M(x y0; 0) và đường thẳng ( ) :∆ ax by c+ + =0.Tìm hình chiếu vuông góc của

M lên ( )∆

Phương pháp:

 Bước 1:Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) đi

qua M và vuông góc ∆.Khi đó ta có :

( ; ) ( ; )

uuuurd = nuuur∆ = a b ⇒ nuuurd = − b a .

 Bước 2:Gọi H = (d) I ∆ ,tọa độ H là nghiệm hệ phương trình: d

∆



Giải pt tìm tọa độ H ⇒H là điểm cần tìm

VD : Cho điểm M(2;-3) và đường thẳng ( ) : 2∆ x y+ − =1 0.Tìm hình chiếu vuông góc của M lên ( )∆

BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua M(-1;2) và song song ( ) : 2∆ x−3y+ =4 0

Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua N(-1;2) và vuông góc ( ) : 2∆ x−3y+ =4 0

Bài 3: Cho tam giác ABC biết ( 1; 2), (5;7), (4; 3)A − B C −

1 Viết phương trình các đường cao của tam giác

2 Viết phương trình các đường trung trực của tam giác

Bài 4: Cho tamgiác ABC với A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5).

a) Viết phương trình đường vuông góc kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC

b) Tính diện tích tam giác ABK

III Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 5

1

∆

x y

O

2

∆

2

1 //∆

∆

1

∆

x y

O

2

∆

2

∆ caét

1

∆

x y

O

2

∆

2

1 ≡ ∆

∆

d

∆

H M

Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1

A x B y C

A x B y C

Vị trí tương đối của ( ) và ( )∆1 ∆2 phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình :

1 1 1

0 0

A x B y C

A x B y C



(1)

A x B y C

A x B y C





Chú ý: Nghiệm duy nhất (x;y) của hệ (1) chính là tọa độ giao điểm M của ( ) và ( )∆1 ∆2

Định lý 1:

Hệ (1) vô nghiệm ( )//( ) Hệ (1) có nghiệm duy nhất ( ) cắt ( ) Hệ (1) có vô số nghiệm ( ) ( )

i ii iii

⇔ ∆ ≡ ∆

 Định lý 2: Nếu A B C khác 0 thì2; ;2 2

A ( ) cắt ( )

A A ( ) // ( )

A A ( ) ( )

A

B i

B

ii

iii

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Cho tam giác ABC cĩ phương trình ba cạnh là

Tìm toạ độ ba đỉnh A, B, C

Bài 2: Cho tamgiác ABC cĩ đỉnh A(2;2) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.Biết rằng

các đường thẳng 9x-3y-4=0 và x+y-2=0 lần lượt là các đường cao của tam giác xuất phát từ

B và C

Bài 3: Tuỳ theo m, hãy biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

1 2

d mx y m

d x my

+ − − =

Bài 4: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau,và tìm tọa độ giao điểm (nếu cĩ):

1 2

d x y

+ − =

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Cho hai điểm A(-1;3), B(1;2) Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng qua A, B

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 6

WWW.ToanCapBa.Net Bài 2: Các điểm P(2;3); Q(4;-1); R(-3;5) là các trung điểm của các cạnh của một tam giác Hãy lập

phương trình chính tắc của các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác đĩ

Bài 3: Các điểm A(2;3) và đường thẳng ( ) : 2∆ x y+ − =1 0.Hãy lập phương trình của đường thẳng ( ')∆ đối xứng ( )∆ qua M

Chủ đề 2 :

KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC

I Gĩc giữa hai đường thẳng

Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1

A x B y C

A x B y C

Gọi ϕ (00 ≤ ≤ϕ 900) là gĩc giữa ( ) và ( )∆1 ∆2 ta cĩ :

2 1 22 1 22 2

cos

A A B B

Hệ quả:

( ) ( ) ∆ ⊥ ∆1 2 ⇔ A1 2A +B B1 2 =0

II Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :

Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) :∆ Ax By C+ + =0 và điểm M x y0( ; )0 0

Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( )∆ được tính bởi cơng thức:

d M( 0; ) Ax0 2By0 2 C

∆ =

+

DẠNG 1:Tính Gĩc Giữa Hai Đường Thẳng Phương pháp:

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 7

1

∆

x y

O

2

∆

ϕ

x

y

O

) ( ∆

0

M

H

Để tìm góc giữa hai đường thẳng 1 1 1 1

b y c

b y c

∆ + + = ta thực hiện các bước sau:

Bước 1:Tìm tọa độ hai vec-tơ chỉ phương của ∆ ∆1; 2

1 2 1 2

cos

a a b b

Bước 3:Sử dụng máy tính suy ra góc ϕ

Phân biệt góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vec-tơ chỉ phương của chúng:

Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai vec-tơ chỉ phương của chúng

1 2 1 2

cos

a a b b

1 2 1 2

cos

a a b b

DẠNG :Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng Phương pháp:

Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng góc giữa hai đường thẳng : ax∆ + + =by c 0 ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xem đường thẳng đã cho ở dạng nào ,chuyển về dạng tổng quát.

Bước 2: Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( )∆ được tính bởi công thức:

+ +

∆ =

+

d M

a b

DẠNG :Tính Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Song Song ta có thể sử dung công thức:

b y c

b y c

∆ + + =

1; 2 c2 c 2

d

a b

−

∆ ∆ =

+

Dạng toán thường gặp :

+Tính độ dài đường cao của tam giác khi biết tọa độ 3 đỉnh của tam giác đó

+Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng ax+by+c= 0 một khoảng bằng h cho trước

+Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách đều C và B

Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai vec-tơ chỉ phương của chúng

1 2 1 2

cos

a a b b

1 2 1 2

cos

a a b b

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 8

Chủ đề 3 :

ĐƯỜNG TRỊN

I Phương trình đường trịn:

1 Phương trình chính tắc:

Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình của đường trịn (C) tâm I(a;b), bán kính R là :

( ) : (C x a− )2+ −(y b)2 =R2 (1)

Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường trịn

Đặc biệt: Khi I ≡O thì ( ) :C x2 +y2 =R2 (hay: y= ± R2−x2 )

Phương trình tổng quát:

Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình : x2+y2−2ax−2by c+ =0 với a2+b2− >c 0 là phương

trình của đường trịn (C) cĩ tâm I(a;b), bán kính R= a2+b2−c

Dạng tốn: Viết phương trình tiếp tuyến của đường trịn:

Dạng 1:Tiếp tuyến tại M nhận IMuuur=( ; )A B làm vtpt nên phương trình cĩ dạng:

A x x( − 0)+B y y( − 0) 0=

Dạng 2: Tiếp tuyến song song hoặc vuơng gĩc với đường thẳng d cho trước :

Sử dụng gt:

•

( ) //(d): Ax+By+C=0 phương trình đường thẳng ( )có dạng: Ax+By+m =0

ĐK: (m1≠C)

• ( ) (d): Ax+By+C=0 ∆ ⊥ ⇒phương trình đường thẳng ( )có dạng: Bx-Ay+m =0 ∆ 2

Sử dụng điều kiện :∆ tiếp xúc đường trịn tâm I (a;b) ,bán kính R ⇔ d I( ;∆ =) R

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 9

x

y

O

)

;

( b a I R a

b

)

;

( y x M

(C) I(a;b)

)

(∆

)

;

( 0 0

0 x y

M

Giải tìm m ,phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Dạng 3:Tiếp tuyến đi qua A (x y 0; 0)

Phương pháp:

+Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm

+Do tiếp tuyến đi qua A (x y nên phương trình tiếp tuyến có dạng:0; 0)

Sử dụng điều kiện :∆tiếp xúc đường tròn tâm I (a;b) ,bán kính R ⇔ d I( ;∆ =) R

BÀI TẬP ỨNG DỤNG:

Bài 1: Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(1;3), B(3:-5)

Bài 2: Viết phương trình đường tròn có tâm I(-1;2) và tiếp xúc đường thẳng ( ) : 3∆ x−4y+ =2 0

Bài 3: Xác định tâm và bán kính của đường tròn ( ) :C x2+y2+2x−4y−20 0=

Bài 4: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(3;3), B(1;1),C(5;1)

Bài 5: Cho phương trình : x2+y2 +4mx−2my+2m+ =3 0 (1)

Bài 6: Định m để phương trình (1) là phương trình của đường tròn (Cm)

Xét đường tròn (C) qua ba điểm A(-1;2), B(2;0), C(-3;1) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là A(1;1); B(-1;2); C(0;-1).

Bài 2: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh là A(-1;7); B(4;-3); C(-4;1).

Bài 3: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm A(-1;1) và B(1;-3) có tâm nằm trên đường

thẳng (d):2x - y + 1 = 0

Bài 4: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(-1;-2) và tiếp xúc với đường thẳng

(d): 7x-y-5=0 tại điểm M(1;2)

Bài 5: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng 2x+y=0 và tiếp xúc với đường

thẳng x-7y+10=0 tại điểm A(4;2)

Bài 6: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng 4x +3y - 2 = 0 và tiếp

xúc với hai đường thẳng : x + y + 4 = 0 và 7x - y + 4 = 0

Bài 7: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy.

Bài 8: Cho đường tròn (C):(x-1)2 +(y-2)2=4 và đường thẳng (d):x-y-1=0 Viết phương trình

đường tròn (C') đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng (d) Tìm toạ độ giao điểm

của (C) và (C')

Bài 9: Cho điểm M(6;2) và đường tròn (C):x2+ −y2 2x−4y=0 Lập phương trình đường thẳng

(d) qua M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB= 10

Bài 10: Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C):x2+ −y2 2x−6y+ =9 0

1 Tiếp tuyến song song với đường thẳng x-y=0

2 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x-4y=0

Bài 11: Cho hai điểm A(2;0), B(6;4) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm

A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5 (TS.K.B2005)

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 10

Một số bài tập nâng cao

- -Bài 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(10;5), B(3;2), C(6;-5).

a/ Tìm tọa độ điểm D xác định bởi hệ thức : AD=3AB−2AC

b/ Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tìm giao điểm của đường tròn này với đường thẳng y = 5

Giải:

a / AD=3AB−2AC







−

−

−

−

=

−

−

−

−

=

−

⇔

) 5 5 ( 2 ) 5 2 ( 3 5

) 10 6 ( 2 ) 10 3 ( 3 10

D

D y x







=

−

=

⇔

16

3

D

D

y

x

Vậy tọa độ của điểm D(-3;16)

b/

0 ) 7 ( 3 3

7

)

7

;

3

(

)

3

;

7

(

=

− +

=

−

=

=

BC

BA

BC

BA

⇒Tam giác ABC vuông tại B

Do B =900 nên đường tròn ( C ) ngọai tiếp tam giác ABC có tâm I là trung điểm của AC

2

6 10

+

I

x x

x

0

2

5 5

+

I

y y

y

Đường tròn ( C) có tâm I(8;0) và bán kính R=IA= (10−8)2+52 = 29

Vậy phương trình ( C) là : (x−8)2+y2 =29

( C) cắt đường thẳng y = 5 tại M(x M;5)

Ta có:







=

=

⇔

= +

−

6 10

29 25 )

8

M

M

M

x

x

x

Vậy có hai giao điểm là M1(10;5) và M2(6;5)

Bài 2:Cho hai điểm A(1;6), B(-3; -4) Hãy tìm điểm M trên đường thẳng d: 2x–y–1= 0 sao cho :

MA + MB bé nhất

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 11