Một số phương pháp và các bài tập về tọa độ đường thẳng

http://trithuctoan.blogspot.com/ Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 1 TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng dxy 1 :7170 -+= , dxy 2 :50 +-= . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với dd 12 , một tam giác cân tại giao điểm của dd 12 , . · Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d 1 , d 2 là: xyxy x y ( ) x y ( ) 1 2222 2 7175 3130 340 1(7)11 D D -++- é+-= =Û ê = ë +-+ Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 1 D hoặc 2 D . KL: xy 330 +-= và xy 310 -+= Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng dxy 1 :2 50 -+= . dxy 2 :3 6 –7 0 += . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d 1 , d 2 . · d 1 VTCP a 1 (2; 1) =- r ; d 2 VTCP a 2 ( 3 ; 6 ) = r Ta có: aa 12 . 2.3 1.6 0 =-= u ur u ur nên dd 12 ^ và d 1 cắt d 2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: dAxByAxByAB :(2)(1)020 -++=Û+-+= d cắt d 1 , d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I Û khi d tạo với d 1 ( hoặc d 2 ) một góc 45 0 AB AB AABB BA AB 022 2222 2 3 cos 45 3 8 3 0 3 2(1) - é = Û=Û =Û ê =- ë ++- * Nếu A = 3B ta có đường thẳng dxy :3 50 +-= * Nếu B = –3A ta có đường thẳng dxy :350 = Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. dxy :3 50 +-= ; dxy :350 = . Câu hỏi tương tự: a) dxy 1 :7170 -+= , dxy 2 :50 +-= , P (0;1) . ĐS: xy 330 +-= ; xy 310 -+= . Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng dxy 1 :3 50 ++= , dxy 2 :3 10 ++= và điểm I ( 1 ; 2 ) - . Viết phương trình đường thẳng D đ i qua I và cắt dd 12 , lần lượt tại A và B sao cho AB 22 = . · Giả sử AaadBbbd 12 (; 3 5) ; (; 3 1) Î Î ; IAaaIBbb (1;33); (1;31) = = + uur uur I, A, B thẳng hàng bka IB kIA bka 1(1) 31(33) ì - = - Þ=Û í -+= î uur uur · Nếu a 1 = thì b 1 = Þ AB = 4 (không thoả) . · Nếu a 1 ¹ thì b baab a 1 31(33)32 1 - -+= Û= - - AB b a a b t t 2 222 ()3()422(34)8 éù =-+-+=Û++= ëû (với tab =- ) . tttt 2 2 512402; 5 Û + + = Û =- =- + Với tabba 220,2 =- Þ - =- Þ = =- xy :10 ÞD++= http://trithuctoan.blogspot.com/ PP to trong mt phng Trn S Tựng Trang 2 + Vi tabba 2242 , 5555 =ị-=ị= = xy :7 90 ịD = Cõu 4. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho hai ng thng dxy 1 :10 ++= , dxy 2 :210 = . Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M(1;1) ct (d 1 ) v (d 2 ) tn g ng ti A v B sao cho MA MB 20 += uuur uuur r . ã Gi s: A(a; a1), B(b; 2b 1). T iu kin MA MB 20 += uuur uuur r tỡm c A(1; 2), B(1;1) suy ra (d): x 1 = 0 Cõu 5. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 0). Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M v ct hai ng thng dxy dxy 12 :10,:220 ++=+= ln lt ti A, B sao cho MB = 3MA. ã Ad AaaMAaa BdBbb MB b b 1 2 () (;1 ) ( 1;1 ) ()(22;) (2 3; ) ỡ ỡ ẻ ùỡ = ị ớớớ ẻ- =- ợ ù ợ ợ uuur uuur . T A, B, M thng hng v MB MA 3 = ị MB MA 3= uuur uuur (1) hoc MB MA 3=- uuur uuur (2) (1) ị A dxy B 21 ; ():510 33 (4;1) ỡ ổử ù ỗữ ị = ớ ốứ ù ợ hoc (2) ị ( ) A dxy B 0 ; 1 ():10 (4;3) ỡ - ị = ớ ợ Cõu 6. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 1). Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M v ct hai ng thng dxy dxy 12 :3 50,: 40 =+-= ln lt ti A, B sao cho MA MB 230 = . ã Gi s Aaad 1 (;35) -ẻ , Bbbd 2 (;4) -ẻ . Vỡ A, B, M thng hng v MA MB 23 = nờn MA MB MA MB 23(1) 23(2) ộ = ờ =- ở uuur uuur uuur uuur + ab a AB ab b 5 55 2 ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) ; , ( 2 ; 2 ) 2 2(3 6) 3(3 ) 22 2 ỡ ổử ùỡ -=- = ị ớớ ỗữ -=- ợ ốứ ù = ợ . Suy ra dxy :0 -= . + aba AB abb 2(1) 3(1) 1 (2) (1; 2), (1;3) 2(3 6) 3(3 ) 1 ỡỡ-= = ị- ớớ -= = ợợ . Suy ra dx :10 -= . Vy cú dxy :0 -= hoc dx :10 -= . Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im M(3; 1). Vit phng trỡnh ng thng d i qua M ct cỏc tia Ox, Oy ti A v B sao cho OA OB (3) + nh nht. ã PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), tia Oy ti B(0;b): xy ab 1 += (a,b>0) M(3; 1) ẻ d Cụ si ab abab 3131 12.12 - =+ị . M OA OB a b ab 332312 +=+= ab a OA OB b ab min 3 6 (3)12 311 2 2 ỡ = ù ỡ = ị+= ớớ = == ợ ù ợ Phng trỡnh ng thng d l: xy xy 1360 62 +=+-= http://trithuctoan.blogspot.com/ Trn S Tựng PP to trong mt phng Trang 3 Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(4;1) v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho giỏ tr ca tng OA OB + nh nht. ã xy 260 +-= Cõu 9. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng d i qua im M(1; 2) v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O sao cho OA OB 22 94 + nh nht. ã ng thng (d) i qua M ( 1 ; 2 ) v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O, nờn AaBb (;0);(0;) vi ab .0 ạ ị Phng trỡnh ca (d) cú dng xy ab 1 += . Vỡ (d) qua M nờn ab 12 1 += . p dng bt ng thc Bunhiacụpski ta cú : abab ab 22 22 12132194 1.1.1 39 ổửổửổửổử =+=+Ê++ ỗữỗữỗữỗữ ốứốứốứốứ ab 22 949 10 + OA OB 22 949 10 + . Du bng xy ra khi ab 132 :1: 3 = v ab 12 1 += ab 20 10, 9 == ị dxy :29200 +-= . Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(3;1) v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti B v C sao cho tam giỏc ABC cõn ti A vi A(2;2). ã xyxy 3 60; 20 +-= = Cõu 11. Trong mt phng vi h ta (Oxy). Lp phng trỡnh ng thng d qua M (2;1) v to vi cỏc trc ta mt tam giỏc cú din tớch bng S 4 = . ã Gi AaBbab ( ;0), (0; ) ( , 0) ạ l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra: xy d ab :1 += . Theo gi thit, ta cú: ab ab 21 1 8 ỡ += ù ớ ù = ợ baab ab 2 8 ỡ += ớ = ợ . ã Khi ab 8 = thỡ ba 28 += . Nờn: badxy 1 2 ; 4 : 2 4 0 ==ị+-= . ã Khi ab 8 =- thỡ ba 28 +=- . Ta cú: bbb 2 440222 +-==-. + Vi ( ) ( ) bdxy 222:1221240 =-+ị-++-= + Vi ( ) ( ) bdxy 222:1221240 = ị++-+= . Cõu hi tng t: a) MS (8;6), 12 = . S: dxy :32120 = ; dxy :38240 -+= Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(2; 1) v ng thng d cú phng trỡnh xy 230 += . Lp phng trỡnh ng thng (D) qua A v to vi d mt gúc cú cos 1 10 = . ã PT ng thng ( D ) cú dng: axby (2)(1)0 ++= ax by a b 2 0 ++= ab 22 (0) +ạ Ta cú: ab ab 22 21 cos 10 5 ( ) a - == + 7a 2 8ab + b 2 = 0. Chon a = 1 ị b = 1; b = 7. ị ( D 1 ): x + y 1 = 0 v ( D 2 ): x + 7y + 5 = 0 http://trithuctoan.blogspot.com/ PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 4 Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (2;1) và đường thẳng dxy :2340 ++= . Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 0 45 . · PT đường thẳng ( D ) có dạng: axby (–2)(1)0 +-= Û ax by a b –(2 )0 ++= ab 22 (0) +¹ . Ta có: ab ab 0 22 23 cos45 13. + = + Û aabb 22 52450 = Û ab ab 5 5 é = ê =- ë + Với ab 5 = . Chọn ab 5 , 1 == Þ Phương trình xy :5 110 D +-= . + Với ab 5 =- . Chọn ab 1 , 5 ==- Þ Phương trình xy :530 D -+= . Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng dxy :2 20 = và điểm I ( 1 ; 1 ) . Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng 0 45 . · Giả sử phương trình đườ ng thẳng D có dạng: ax by c 0 ++= ab 22 (0) +¹ . Vì · d 0 (,)45 D = nên ab ab 22 2 1 2 .5 - = + ab ba 3 3 é = Û ê =- ë · Với ab 3 = Þ D : xyc 30 ++= . Mặt khác dI (;)10 D = c4 10 10 + Û= c c 6 14 é = Û ê =- ë · Với ba 3 =- Þ D : xyc 30 -+= . Mặt khác dI (;)10 D = c2 10 10 -+ Û= c c 8 12 é =- Û ê = ë Vậy các đường thẳng cần tìm: xy 360; ++= xy 3140 +-= ; xy 380; = xy 3120 -+= . Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d 1 , d 2 có phương trình lần lượt là xy 320 ++= và xy 340 -+= . Gọi A là giao điểm của d 1 và d 2 . Viết phương trình đường thẳng đ i qua M, cắt 2 đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt tại B , C ( B và C khác A ) sao cho AB AC 22 11 + đạt giá trị nhỏ nhất. · AddA 12 (1;1) =ÇÞ Ta có dd 12 ^ . Gọi D là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu vuông góc của A trên D . ta có: AB AC AH AM 2222 1111 +=³ (không đổi) Þ AB AC 22 11 + đạt giá trị nhỏ nhất bằng AM 2 1 khi H º M, hay D là đường thẳng đi qua M và vuông góc với AM. Þ Phương trình D : xy 20 +-= . Câu hỏi tương tự: a) Với M ( 1 ; 2 ) - , dxy 1 :3 50 ++= , dxy 2 :350 -+= . ĐS: xy :10 D ++= . Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng dxy ():–3–40 = và đường tròn Cxyy 22 ():–40 += . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1). · M Î (d) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; 2 – b) N Î (C) Þ (2 – 3b) 2 + (2 – b) 2 – 4(2 – b) = 0 Þ b b 6 0 ; 5 == http://trithuctoan.blogspot.com/ Trn S Tựng PP to trong mt phng Trang 5 Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M N 38 6 8 4 ;,; 5555 ổửổử - ỗữỗữ ốứốứ Cõu 17. Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 1) v ng thng D : xy 2340 ++= . Tỡm im B thuc ng thng D sao cho ng thng AB v D hp vi nhau gúc 0 45 . ã D cú PTTS: xt yt 13 22 ỡ = - ớ =-+ ợ v VTCP u (3;2) =- r . Gi s Btt ( 1 3 ; 2 2 ) D +ẻ . AB 0 (,)45 D = ị AB u 1 cos( ; ) 2 = u u ur r AB u AB u .1 . 2 = u u ur r r t tt t 2 15 13 169 156 45 0 3 13 ộ = ờ = ờ ờ =- ở . Vy cỏc im cn tỡm l: BB 12 32 4 22 32 ;,; 13 13 13 13 ổửổử ỗữỗữ ốứốứ . Cõu 18. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng dxy :360 = v im N ( 3 ; 4 ) . Tỡm ta im M thuc ng thng d sao cho tam giỏc OMN (O l gc ta ) cú din tớch bng 15 2 . ã Ta cú ON ( 3 ; 4 ) = uuur , ON = 5, PT ng thng ON: xy 430 -= . Gi s Mmmd ( 3 6 ; ) +ẻ . Khi ú ta cú ONM ONM S S dMON ON dMON ON 2 1 (, ). (, ) 3 2 D D === mm mmm 4.(3 6) 3 13 3 9 24 15 1; 53 +- - =+==-= + Vi mM 1(3;1) =-ị- + Vi mM 13 13 7 ; 33 ổử =ị- ỗữ ốứ Cõu 19. Trong mt phng to Oxy , cho im A (0;2) v ng thng dxy :220 -+= . Tỡm trờn ng thng d hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng B v AB = 2BC . ã Gi s BbbCccd (2 2; ), (2 2; ) ẻ . Vỡ D ABC vuụng B nờn AB ^ d d AB u .0 = u u ur r B 26 ; 55 ổử ỗữ ốứ ị AB 25 5 = ị BC 5 5 = BC c c 2 1 125 300 180 5 =-+= 5 5 cC cC 1(0;1) 747 ; 555 ộ = ị ờ ổử ờ = ị ỗữ ốứ ở Cõu 20. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng dxy 1 :30 +-= , dxy 2 :90 +-= v im A ( 1 ; 4 ) . Tỡm im BdCd 12 , ẻẻ sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A. ã Gi BbbdCccd 12 (;3),(;9) -ẻ-ẻ ị AB b b (1;1) = u u ur , AC c c (1;5) = uuur . D ABC vuụng cõn ti A AB AC AB AC .0 ỡ = ớ = ợ uuur uuur bcbc bbcc 2222 ( 1)( 1) ( 1)(5 ) 0 (1)(1)(1)(5) ỡ- + -= ớ -++=-+- ợ (*) Vỡ c 1 = khụng l nghim ca (*) nờn http://trithuctoan.blogspot.com/ PP to trong mt phng Trn S Tựng Trang 6 (*) bc b c c bbcc c 2 2222 2 ( 1)(5 ) 1(1) 1 (5 ) (1) (1)(1)(5)(2) (1) ỡ + - -= ù -ù ớ - ù +++=-+- ù - ợ T (2) bc 22 ( 1) ( 1) +=- bc bc 2 ộ =- ờ =- ở . + Vi bc 2 =- , thay vo (1) ta c cb 4 , 2 == ị BC (2;1), (4;5) . + Vi bc =- , thay vo (1) ta c cb 2 , 2 ==- ị BC ( 2; 5), (2; 7) - . Vy: BC (2;1), (4;5) hoc BC ( 2; 5), (2; 7) - . Cõu 21. Trong mt phng to Oxy, cho cỏc im A(0; 1) B(2; 1) v cỏc ng thng cú phng trỡnh: dmxmym 1 :(1)(2)2 0 ++= ; dmxmym 2 :(2)(1)350 ++= . Chng minh d 1 v d 2 luụn ct nhau. Gi P = d 1 ầ d 2 . Tỡm m sao cho PA PB + ln nht. ã Xột H PT: mxmym mxmym (1)(2)2 (2 ) ( 1) 3 5 ỡ - + - = - ớ -+-=-+ ợ . Ta cú mm Dmm mm 2 31 12 20, 21 22 ổử ==-+>" ỗữ ốứ ị dd 12 , luụn ct nhau. Ta cú: AdBddd 1212 (0;1) , (2; 1) , ẻ-ẻ^ ị D APB vuụng ti P ị P n m trờn ng trũn ng kớnh AB. Ta cú: PA PB PA PB AB 2222 ()2()216 +Ê+== ị PA PB 4 +Ê . Du "=" xy ra PA = PB P l trung im ca cung ằ AB P(2; 1) hoc P(0; 1) m 1 = hoc m 2 = . Vy PA PB + ln nht m 1 = hoc m 2 = . Cõu 22. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng (D): xy 2 2 0 = v hai im A (1;2) - , B ( 3 ; 4 ) . Tỡm im M ẻ (D) sao cho MA MB 22 2 + cú giỏ tr nh nht. ã Gi s M MttAMttBMtt (2 2; ) (2 3; 2), (2 1; 4) D + ẻị =+- = uuur uuur Ta cú: AM BM t t f t 222 2 15 4 43 ( ) +=++= ị ftf 2 min ( ) 15 ổử =- ỗữ ốứ ị M 26 2 ; 15 15 ổử - ỗữ ốứ Cõu 23. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng dxy :2 30 -+= v 2 im AB ( 1 ; 0 ) , ( 2 ; 1 ) . Tỡm im M trờn d sao cho MA MB + nh nht. ã Ta cú: AABB xyxy (2 3).(2 3) 30 0 -+-+=> ị A, B nm cựng phớa i vi d. Gi A Â l im i xng ca A qua d ị A (3;2) Â - ị Phng trỡnh ABxy :570 Â +-= . Vi mi im M ẻ d, ta cú: MA MB MA MB A B ÂÂ +=+ . M MA MB Â + nh nht A Â , M, B thng hng M l giao im ca A Â B vi d. Khi ú: M 817 ; 11 11 ổử - ỗữ ốứ . http://trithuctoan.blogspot.com/ Trn S Tựng PP to trong mt phng Trang 7 TP 02: NG TRềN Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, gi A, B l cỏc giao im ca ng thng (d): xy 250 = v ng trũn (C): xyx 22 20 50 0 +-+= . Hóy vit phng trỡnh ng trũn (C) i qua ba im A, B, C(1; 1). ã A(3; 1), B(5; 5) ị (C): xyxy 22 48100 + += Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng 3 2 , A(2; 3), B(3; 2), trng tõm ca DABC nm trờn ng thng dxy :380 = . Vit phng trỡnh ng trũn i qua 3 im A, B, C. ã Tỡm c C ( 1 ; 1 ) 1 - , C 2 ( 2; 10) + Vi C 1 ( 1 ; 1 ) - ị (C): 22 xyxy 11 11 16 0 333 +-++= + Vi C 2 ( 2; 10) ị (C): 22 xyxy 91 91 416 0 333 +-++= Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ba ng thng: dxy 1 :2 30 +-= , dxy 2 :3450 ++= , dxy 3 :4320 ++= . Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc d 1 v tip xỳc vi d 2 v d 3 . ã Gi tõm ng trũn l Itt (;32) - ẻ d 1 . Khi ú: dId dId 23 )(,) (, = tt tt 34(32)5 5 43(32)2 5 +-+ = +-+ t t 2 4 ộ ờ ở = = Vy cú 2 ng trũn tho món: xy 22 49 25 (2)(1)=-++ v xy 22 9 (4)(5) 25 -++=. Cõu hi tng t: a) Vi dxy 1 :6100 = , dxy 2 :3450 ++= , dxy 3 :4350 = . S: xy 22 ( 10) 49 -+= hoc xy 222 10 70 7 43 43 43 ổửổửổử -++= ỗữỗữỗữ ốứốứốứ . Cõu 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng D : xy 380 ++= , xy ':34100 D -+= v im A(2; 1). Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng thng D , i qua im A v tip xỳc vi ng thng DÂ. ã Gi s tõm Itt (38;) ẻ D Ta cú: dIIA (,) D Â = tt tt 22 22 3 ( 3 8 ) 4 1 0 (382)(1) 34 + = ++- + t 3 =- ị IR ( 1 ; 3 ) , 5 -= PT ng trũn cn tỡm: x y 22 (1)(3)25 -++= . Cõu 5. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng xy :4330 D -+= v xy ':34310 D = . Lp phng trỡnh ng trũn C () tip xỳc vi ng thng D ti im cú tung bng 9 v tip xỳc vi '. D Tỡm ta tip im ca C () v ' D . ã Gi Iab (;) l tõm ca ng trũn (C). C () tip xỳc vi D ti im M (6; 9) v C () tip xỳc vi D Â nờn http://trithuctoan.blogspot.com/ PP to trong mt phng Trn S Tựng Trang 8 aa b a b dI dI aa IM u abab 54 34 3 3 3 4 31 (, ) (, ') 433685 45 5 ( 3 ; 4 ) 3(6)4(9)0 34 54 D DD ỡỡ + ỡ = ùù -+=-= ớớớ ^= ợ ùù -+-=+= ợợ u u ur r aa ab a ab b 25 150 4 6 85 10; 6 54 3 190; 156 4 ỡ -=- ùộ == - ớ ờ =-= = ở ù ợ Vy: Cxy 22 ( ) : ( 10) ( 6) 25 -+-= tip xỳc vi ' D ti N (13;2) hoc Cxy 22 ( ) : ( 190) ( 156) 60025 ++-= tip xỳc vi ' D ti N ( 43; 40) Cõu 6. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn i qua A (2; 1) - v tip xỳc vi cỏc trc to . ã Phng trỡnh ng trũn cú dng: xayaaa xayaab 222 222 ()()() ()()() ộ -++= ờ -+-= ờ ở a) ị aa 1 ; 5 == b) ị vụ nghim. Kt lun: xy 22 (1)(1)1 -++= v xy 22 ( 5) ( 5) 25 -++= . Cõu 7. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng dxy ():240 = . Lp phng trỡnh ng trũn tip xỳc vi cỏc trc ta v cú tõm trờn ng thng (d). ã Gi Immd (;24)() -ẻ l tõm ng trũn cn tỡm. Ta cú: mmmm 4 244, 3 =-== . ã m 4 3 = thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy 22 4416 339 ổửổử -++= ỗữỗữ ốứốứ . ã m 4 = thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy 22 ( 4) ( 4) 16 -+-= . Cõu 8. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(1;1) v B(3;3), ng thng (D): xy 3480 += . Lp phng trỡnh ng trũn qua A, B v tip xỳc vi ng thng (D). ã Tõm I ca ng trũn nm trờn ng trung trc d ca on AB d qua M(1; 2) cú VTPT l AB (4;2) = u u ur ị d: 2x + y 4 = 0 ị Tõm I(a;4 2a) Ta cú IA = d(I,D) aaa 2 11 8 5 5 10 10 -=-+ 2a 2 37a + 93 = 0 a a 3 31 2 ộ = ờ = ờ ở ã Vi a = 3 ị I(3;2), R = 5 ị (C): (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 25 ã Vi a = 31 2 ị I 31 ;27 2 ổử - ỗữ ốứ , R = 65 2 ị (C): xy 2 2 31 4225 (27) 24 ổử -++= ỗữ ốứ Cõu 9. Trong h to Oxy cho hai ng thng dxy :230 +-= v xy :350 D +-= . Lp phng trỡnh ng trũn cú bỏn kớnh bng 210 5 , cú tõm thuc d v tip xỳc vi D . ã Tõm I ẻ d ị Iaa (23;) -+ . (C) tip xỳc vi D nờn: dIR (,) D = a 2 210 5 10 - = a a 6 2 ộ = ờ =- ở http://trithuctoan.blogspot.com/ Trn S Tựng PP to trong mt phng Trang 9 ị (C): xy 22 8 (9)(6) 5 ++-= hoc (C): xy 22 8 (7)(2) 5 -++= . Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx 22 4340 ++-= . Tia Oy ct (C) ti A. Lp phng trỡnh ng trũn (CÂ), bỏn kớnh RÂ = 2 v tip xỳc ngoi vi (C) ti A. ã (C) cú tõm I (23;0) - , bỏn kớnh R= 4; A(0; 2). Gi I Â l tõm ca (C Â ). PT ng thng IA : xt yt 23 22 ỡ = ớ =+ ợ , IIA ' ẻ ị Itt (2 3 ; 2 2) Â + . AI I A t I 1 2'(3;3) 2 Â ==ị uur uur ị (C Â ) : xy 22 (3)(3)4 -+-= Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyy 22 450 += . Hóy vit phng trỡnh ng trũn (CÂ) i xng vi ng trũn (C) qua im M 42 ; 55 ổử ỗữ ốứ ã (C) cú tõm I(0;2), bỏn kớnh R = 3. Gi I l im i xng ca I qua M ị I Â 86 ; 55 ổử - ỗữ ốứ ị (C Â ): xy 22 86 9 55 ổửổử -++= ỗữỗữ ốứốứ Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xyxy 22 2420 +-++= . Vit phng trỡnh ng trũn (CÂ) tõm M(5; 1) bit (CÂ) ct (C) ti hai im A, B sao cho AB 3 = . ã (C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R 3 = . PT ng thng IM: xy 34110 = . AB 3 = . Gi Hxy (;) l trung im ca AB. Ta cú: HIM IH R AH 22 3 2 ỡ ẻ ù ớ =-= ù ợ xy xy 22 34110 9 (1)(2) 4 ỡ - - = ù ớ -++= ù ợ xy xy 129 ; 510 11 11 ; 510 ộ =- =- ờ ờ ờ ==- ở ị H 129 ; 510 ổử ỗữ ốứ hoc H 11 11 ; 510 ổử - ỗữ ốứ . ã Vi H 129 ; 510 ổử ỗữ ốứ . Ta cú RMHAH 222 43 Â =+= ị PT (C Â ) : xy 22 (5)(1)43 -+-= . ã Vi H 11 11 ; 510 ổử - ỗữ ốứ . Ta cú RMHAH 222 13 Â =+= ị PT (C Â ) : xy 22 (5)(1)13 -+-= . Cõu 13. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy 22 (1)(2)4 -+-= v im K ( 3 ; 4 ) . Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú tõm K, ct ng trũn (C) ti hai im A, B sao cho din tớch tam giỏc IAB ln nht, vi I l tõm ca ng trũn (C). ã (C) cú tõm I ( 1 ; 2 ) , bỏn kớnh R 2 = . IAB S D ln nht D IAB vuụng ti I AB 22 = . M IK 22 = nờn cú hai ng trũn tho YCBT. + T 1 () cú bỏn kớnh RR 1 2 == ị Txy 22 1 ():(3)(4)4 -+-= http://trithuctoan.blogspot.com/ PP to trong mt phng Trn S Tựng Trang 10 + T 2 () cú bỏn kớnh R 22 2 (3 2) ( 2) 2 5 =+= ị Txy 22 1 ():(3)(4)20 -+-= . Cõu 14. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC vi cỏc nh: A(2;3), BC 1 ;0 , (2;0) 4 ổử ỗữ ốứ . ã im D(d;0) d 1 2 4 ổử << ỗữ ốứ thuc on BC l chõn ng phõn giỏc trong ca gúc A khi v ch khi ( ) ( ) d DB AB ddd D C A C d 2 2 2 2 9 1 3 4 4 41631. 2 43 ổử +- ỗữ - ốứ ==ị-=-ị= - +- Phng trỡnh AD: xy xy 23 10 33 +- =+-= - ; AC: xy xy 23 3460 43 +- =+-= - Gi s tõm I ca ng trũn ni tip cú tung l b. Khi ú honh l b 1 - v bỏn kớnh cng bng b. Vỡ khong cỏch t I ti AC cng phi bng b nờn ta cú: ( ) bb bbb 22 3146 35 34 -+- =-= + ị bbb bbb 4 35 3 1 35 2 ộ -=ị=- ờ ờ ờ -=-ị= ở Rừ rng ch cú giỏ tr b 1 2 = l hp lý. Vy, phng trỡnh ca ng trũn ni tip D ABC l: xy 22 111 224 ổửổử -+-= ỗữỗữ ốứốứ Cõu 15. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng (d 1 ): xy 43120 = v (d 2 ): xy 43120 +-= . Tỡm to tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc cú 3 cnh nm trờn (d 1 ), (d 2 ) v trc Oy. ã Gi AddBdOyCdOy 1212 ,,=ầ =ầ =ầ ị ABC (3;0), (0; 4), (0; 4) - ị D ABC cõn nh A v AO l phõn giỏc trong ca gúc A. Gi I, R l tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip D ABC ị IR 44 ;0, 33 ổử = ỗữ ốứ . Cõu 16. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng thng d : xy 10 = v hai ng trũn cú phng trỡnh: (C 1 ): xy 22 (3)(4)8 -++= , (C 2 ): xy 22 ( 5) ( 4) 32 ++-= . Vit phng trỡnh ng trũn (C) cú tõm I thuc d v tip xỳc ngoi vi (C 1 ) v (C 2 ). ã Gi I, I 1 , I 2 , R, R 1 , R 2 ln lt l tõm v bỏn kớnh ca (C), (C 1 ), (C 2 ). Gi s Iaad (;1) ẻ . (C) tip xỳc ngoi vi (C 1 ), (C 2 ) nờn II R R II R R II R II R 11221122 , =+ =+ ị = aaaa 2222 ( 3) ( 3) 2 2 ( 5) ( 5) 4 2 -++-=-++- a = 0 ị I(0; 1), R = 2 ị Phng trỡnh (C): xy 22 (1)2 ++= . Cõu 17. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(3; 7), B(9; 5), C(5; 9), M(2; 7). Vit phng trỡnh ng thng i qua M v tip xỳc vi ng trũn ngoi tip DABC. . hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: xy –5 –2 0 = và đường tròn (C): xyxy 22 2480 ++ = . Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương) độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 4 Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (2;1) và đường thẳng dxy :2340 ++= . Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường. điểm I ( 1 ; 1 ) . Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng 0 45 . · Giả sử phương trình đườ ng thẳng D có dạng: ax by