Một số phương pháp và các bài tập về tọa độ đường thẳng

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M4;1 và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA OB+ nhỏ nhất.. Trong mặt phẳng v

TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d x1: -7y+17 0= ,

d x y2: + - = Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d d5 0 1 2, một tam giác cân tại giao điểm của d d1 2,

· Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d 1 , d 2 là:

Câu 2 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1: 2x y- + = 5 0

d2: 3x+6 – 7 0y = Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng

đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường

* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x: -3y - = 5 0

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d x y: 3 + - = ; d x5 0 : -3y - = 5 0

Câu hỏi tương tự:

a) d x1: -7y+17 0= , d x y2: + - = , P(0;1) 5 0 ĐS: x+3y - = ; x y3 0 3 - + = 1 0

Câu 3 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y + + = , d5 0 2: 3x y+ + = và điểm 1 0

I(1; 2)- Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt d d1 2, lần lượt tại A và B sao cho

+ Với t 2 a b 2 b 4,a 2

-= Þ - = Þ = = Þ D: 7x y - - = 9 0

Câu 4 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y1: + + = , 1 0

d2: 2 – –1 0x y = Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho 2MA MB uuur uuur r+ =0

· Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1)

Từ điều kiện 2MA MB uuur uuur r+ =0

tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0

Câu 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0) Lập phương trình đường thẳng (d)

đi qua M và cắt hai đường thẳng d x y1: + + =1 0, d x2: –2y+ = lần lượt tại A, B sao cho 2 0

íî

Câu 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1) Lập phương trình đường thẳng (d)

đi qua M và cắt hai đường thẳng d1: 3x y- - =5 0, d x y2: + - = lần lượt tại A, B sao cho 4 0

-uuur uuur uuur uuur

2( 1) 3( 1)(1) 2(3 6) 3(3 ) 2 ; , (2;2)

2 22

Câu 7 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1) Viết phương trình đường thẳng d đi

qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA+3OB) nhỏ nhất

· PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): x y

a b + = (a,b>0) 1M(3; 1) Î d Cô si ab

Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(4;1)

và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA OB+ nhỏ nhất

· x+2y - = 6 0

Câu 9 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2)

và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho

OA2 OB2

9 + 4

nhỏ nhất

· Đường thẳng (d) đi qua M (1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên

A a ( ;0); (0; ) với B b a b ¹0 Þ Phương trình của (d) có dạng x y

Dấu bằng xảy ra khi

Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(3;1)

và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2)

· x+3y- =6 0;x y - - = 2 0

Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) và tạo

với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S 4=

· Gọi A a( ;0), (0; ) ( ,B b a b ¹ là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: 0) d x y

ì + =ï

í

ï =î

Û b a ab ab

28

Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng d x: 2 +3y+ = 4 0Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 45 0

-=+

khi H º M, hay D là đường thẳng đi qua M

và vuông góc với AM Þ Phương trình D: x y 2 0 + - =

Câu hỏi tương tự:

a) Với M(1; 2) - , d1: 3x y + + = , d x5 0 2: -3y + = 5 0 ĐS: D:x y + + = 1 0

Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( ) : –3 – 4 0d x y = và đường tròn ( ) :C x2+y2–4y = Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm 0A(3; 1)

· M Î (d) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; 2 – b)

N Î (C) Þ (2 – 3b) 2 + (2 – b) 2 – 4(2 – b) = 0 Þ b 0; b 6

5

Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M 38 6; , N 8 4;

169 156 45 0

313

é

=ê

ê = ë

Câu 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x: -3y - = và điểm N(3;4) 6 0

Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích

bằng15

2

· Ta có ON uuur=(3;4)

, ON = 5, PT đường thẳng ON: 4x-3y = Giả sử M m0 (3 +6; )m Î d

Câu 19 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d x: -2y+ = Tìm 2 0

trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC

Câu 20 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y1: + - = , d x y3 0 2: + - = và 9 0điểm A(1;4) Tìm điểm B d C dÎ 1, Î sao cho tam giác ABC vuông cân tại A 2

· Gọi B b( ;3- Îb) d C c1, ( ;9- Î c) d2 Þ AB uuur=(b- - -1; 1 b)

, AC uuur= -( 1;5c -c)

DABC vuông cân tại A Û AB AC

AB AC. 0

í =î

uuur uuur

b 2 b 2 c 2 c 2

( 1)( 1) ( 1)(5 ) 0( 1) ( 1) ( 1) (5 )

(*) Û

b

c c

+ Với b c 2= - , thay vào (1) ta được c=4,b = 2 Þ B (2;1), (4;5) C

+ Với b= -c , thay vào (1) ta được c=2,b = - 2 Þ B( 2;5), (2;7)- C

Þ PA PB 4+ £ Dấu "=" xảy ra Û PA = PB Û P là trung điểm của cung » AB

Û P(2; 1) hoặc P(0; –1) Û m 1= hoặc m 2= Vậy PA PB+ lớn nhất Û m 1= hoặc

m 2=

Câu 22 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (D): x–2 –2 0y = và hai điểm A( 1;2)- ,

B(3;4) Tìm điểm MÎ(D) sao cho MA2 2+ MB2 có giá trị nhỏ nhất

· Giả sử M M t(2 2; )+ t Î ÞD uuur AM=(2 3;t+ t-2), BM uuur=(2 1;t- t-4)

Câu 23 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d x y: 2 - + = và 2 điểm A3 0 (1;0), (2;1) B

Tìm điểm M trên d sao cho MA MB+ nhỏ nhất

· Ta có: (2x A-y A+3).(2x B-y B+ =3) 30 0> Þ A, B nằm cùng phía đối với d

Gọi A ¢ là điểm đối xứng của A qua d Þ A ( 3;2)¢ - Þ Phương trình A B x¢ : +5y - = 7 0

Với mọi điểm M Î d, ta có: MA MB MA MB A B+ = ¢+ ³ ¢

Mà MA MB¢ + nhỏ nhất Û A¢, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của A¢B với d

Câu 3 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1: 2x y+ - = , 3 0

d2: 3x+4y + = , d5 0 3: 4x+3y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d2 0 1 và

D - + = và điểm A(–2; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường

thẳng D , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng D¢

-PT đường tròn cần tìm: (x-1)2+ y( +3)2 =25

Câu 5 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D: 4x-3y+ = và 3 0

x y

' : 3 4 31 0

D - - = Lập phương trình đường tròn C ( ) tiếp xúc với đường thẳng D tại điểm

có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với D Tìm tọa độ tiếp điểm của C' ( ) và 'D

· Gọi I a b ( ; ) là tâm của đường tròn (C) C ( ) tiếp xúc với D tại điểm M(6;9) và C ( ) tiếp

xúc với D¢ nên

Vậy: ( ) : (C x-10)2+ -(y 6)2 =25 tiếp xúc với D tại N' (13;2)

hoặc ( ) : (C x+190)2+ -(y 156)2 =60025 tiếp xúc với D tại N' ( 43; 40)-

-Câu 6 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A(2; 1)- và tiếp xúc với các trục toạ độ

Câu 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( ) : 2d x y- - = Lập phương 4 0

trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d)

· Gọi I m m( ;2 - Î4) ( )d là tâm đường tròn cần tìm Ta có: m 2m 4 m 4,m 4

3 – 4 + = Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (D) 8 0

· Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực d của đoạn AB

é =ê

=êë

5 , có tâm thuộc d và tiếp xúc với D

· Tâm I Î d Þ I( 2- +a 3; )a (C) tiếp xúc với D nên:

d I( , )D = R a 2 2 10

510

ì - - =ï

í - + + =ïî

Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x-1)2+ -(y 2)2 = và điểm 4

K(3;4) Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao

cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C)

· (C) có tâm I (1;2) , bán kính R 2 = S D IAB lớn nhất Û DIAB vuông tại I Û AB 2 2=

Mà IK 2 2= nên có hai đường tròn thoả YCBT

+ ( ) có bán kính R T1 1= = R 2 Þ T( ) : (1 x-3)2+ -(y 4)2= 4

3 5

2

é

- = Þ = ê

-ê

ê - = - Þ =ë

· Gọi A d= 1Çd B d2, = 1ÇOy C d, = 2ÇOy Þ A(3;0), (0; 4), (0;4)B - C Þ DABC cân đỉnh A

và AO là phân giác trong của góc A Gọi I, R là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp DABC

đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2)

· Gọi I, I 1 , I 2 , R, R 1 , R 2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C 1 ), (C 2 ) Giả sử I a a ( ; –1)Î d (C) tiếp xúc ngoài với (C 1 ), (C 2 ) nên II1= +R R II1, 2= +R R2ÞII1–R1=II2–R2

Û a( -3)2+ +(a 3)2 -2 2= (a-5)2+ +(a 5)2 -4 2 Û a = 0 Þ I(0; –1), R = 2

Þ Phương trình (C): x2+ +(y 1)2 = 2

Câu 17 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp DABC

+ ( ) : 3D2 x y b + + = tiếp xúc (C) 0 Ûd I( , )D2 =R b 3 1 b 2 3

2

-Û = Û = ± + Kết luận: ( ) : 3D2 x y+ ± +2 3 0=

Câu 19 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2-6x-2y+ = và 5 0đường thẳng (d): 3x y+ - = Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp 3 0tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc 45 0

· (C) có tâm I(3; 1), bán kính R = 5 Giả sử (D): ax by c+ + =0 (c¹0)

Từ: d I

d

( , ) 5

2cos( , )

2

D D

D D

Câu 20 Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn C( ) : (x-1)2+ -(y 1)2 =10 và đường thẳng

d x y: 2 - - = Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn C2 0 ( ) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng dmột góc 45 0

· (C) có tâm I (1;1) bán kính R= 10 Gọi n r=( ; )a b là VTPT của tiếp tuyến D a( 2+b2 ¹0),

Vì ·( , ) 45D d = 0 nên a b

a2 b2

2 5

-=+

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: 3x y+ + =6 0;3x y+ -14 0= ; x-3y- =8 0; x-3y+12 0=

Câu 21 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1): x2+y2–2 –2 –2 0x y = , (C2): x2+y2–8 –2x y+16 0=

· (C 1 ) có tâm I1(1; 1), bán kính R 1 = 2; (C 2 ) có tâm I2(4; 1) , bán kính R 2 = 1

Ta có: I I1 2 = =3 R R1+ 2 Þ (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)

Þ (C 1 ) và (C 2 ) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy

* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: ( ) :D y ax b= + Û( ) :D ax y b - + = ta có: 0

Vậy, có 3 tiếp tuyến chung: ( ) :1 x 3, ( ) :2 y 2 x 4 7 2, ( )3 y 2 x 4 7 2

-Câu 22 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): (x-2)2+ -(y 3)2 = và 2

(C’): (x-1)2+ -(y 2)2 = Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) 8

· (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R= 2; (C¢) có tâm I¢(1; 2) và bán kính R' 2 2=

Ta có: II'= 2 = R R- ¢ Þ (C) và (C ¢) tiếp xúc trong Þ Tọa độ tiếp điểm M(3; 4)

Vì (C) và (C¢) tiếp xúc trong nên chúng có duy nhất một tiếp tuyến chung là đường thẳng qua điểm M(3; 4), có véc tơ pháp tuyến là II uur¢ = - -( 1; 1)

Ta có: I I1 2 = > =5 4 R R1+ 2 Þ C ( ),( ) ngoài nhau Xét hai trường hợp: 1 C2

+ Nếu d // Oy thì phương trình của d có dạng: x c 0+ =

b a

ê = = ê

-ê = - =êë

Giả sử tiếp tuyến chung D của C ( ), ( ) có phương trình: ax by c1 C2 + + =0 (a2+b2 ¹0)

D là tiếp tuyến chung của C ( ), ( ) Û 1 C2 d I d I1 R R1

( , )( , )

D D

= êë

-

Þ D:y + = hoặc 2 0 D: 4x-3y - = 9 0

Câu 25 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2+4 3x - = Tia Oy cắt (C) tại điểm 4 0

A Lập phương trình đường tròn (T) có bán kính R¢ = 2 sao cho (T) tiếp xúc ngoài với (C) tại

2

uur uur

Vậy: ( ) : (T x- 3)2+ -(y 3)2 = 4

Câu 26 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2= và phương trình: 1

x2+y2–2(m+1)x+4my–5 0= (1) Chứng minh rằng phương trình (1) là phương trình của

đường tròn với mọi m Gọi các đường tròn tương ứng là (Cm) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C)

1( , )

2( , ) 2

ì

=ï

Câu 28 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2–6x+ = Tìm điểm 5 0

M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60 0

· (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2 Gọi M(0; m) Î Oy

Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB Þ ·

· AMB AMB

0 0

Vì MI là phân giác của · AMB nên:

(1) Û ·AMI = 300 MI IA

0sin30

Û = Û MI = 2R Û m2+ = Û9 4 m= ± 7

(2) Û · AMI = 600 MI IA

0sin 60

Û = Û MI = 2 3

3 R Û m

2 9 4 3

3+ = Vô nghiệm Vậy có hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0;- 7)

Câu 29 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng D định bởi:

C x2 y2 x y x y

( ) : + -4 -2 =0; D: +2 -12 0= Tìm điểm M trên D sao cho từ M vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600

· Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R= 5

Gọi A, B là hai tiếp điểm Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 60 0 thì IAM là nửa tam giác đều suy ra IM=2R=2 5

Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình: (x-2)2+ -(y 1)2 =20

Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng D, nên tọa độ của M nghiệm đúng hệ phương trình:

=êë

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M 6;3 hoặc M 6 27( ) ;

· (C) có tâm I(1; –2), R = 3 ABIC là hình vuông cạnh bằng 3ÞIA 3 2=

· (C) có tâm I(1; 2)- , bán kính R 3= DPAB đều Þ PI =2AI =2R=6 Þ P nằm trên đường tròn (T) có tâm I, bán kính r 6= Do trên d có duy nhất một điểm P thoả YCBT nên d là tiếp

tuyến của (T) Þ d I d( , ) 6 11 m 6 m m 1941

5

= Û = Û ê = -ë

Câu 32 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn ( ) :C x2+y2-18x-6y+65 0=

và ( ) :C x¢ 2+y2 = Từ điểm M thuộc đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C¢), 9gọi A, B là các tiếp điểm Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng 4,8

· (C’) có tâm O 0;0 , bán kính ( ) R OA 3= = Gọi H AB OM= Ç Þ H là trung điểm của AB

Câu 33 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x-1)2+ +(y 2)2 = M là điểm 4

di động trên đường thẳng d y x: = + Chứng minh rằng từ M kẻ được hai tiếp tuyến MT1 1,

MT2 tới (C) (T1, T2 là tiếp điểm) và tìm toạ độ điểm M, biết đường thẳng T T1 2 đi qua điểm

A(1; 1)-

· (C) có tâm I(1; 2)- , bán kính R = Giả sử M x x2 ( ;0 0+ Î 1) d

IM= (x0-1)2+(x0+3)2 = 2(x0+1)2+ > = 8 2 R Þ M nằm ngoài (C) Þ qua M kẻ được

2 tiếp tuyến tới (C)

Gọi J là trung điểm IM Þ J x0 1;x0 1

A(1; 1) - nằm trên T T1 2 nên 1-x0+ +(3 x0)-x0- = 3 0 Û x0 = 1 Þ M(1;2)

Câu 34 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( –1)x 2+ +(y 1)2=25 và điểm M(7; 3) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho MA = 3MB

· P M C/( ) =27 0> Þ M nằm ngoài (C) (C) có tâm I(1;–1) và R = 5

-Câu 35 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2)

và cắt đường tròn (C) có phương trình (x-2)2+ +(y 1)2=25 theo một dây cung có độ dài bằng l 8=

= êë

-· a = 0: chọn b = 1 Þ d: y – 2 = 0 -· a = 3b

4

- : chọn a = 3, b = – 4 Þ d: 3x – 4 y + 5 = 0 Câu hỏi tương tự:

· (C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5 PT đường thẳng D có dạng: x y c3 + + =0, c ¹ 2

Vì D cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên:

Vậy phương trình D cần tìm là: x y3 + +4 10 1 0- = hoặc x y3 + -4 10 1 0- =

Câu hỏi tương tự:

a) ( ) : (C x-3)2+ -(y 1)2= , d x3 : 3 -4y+2012 0= , l=2 5

ĐS: D: 3x-4y + = ; 5 0 D: 3x-4y-15 0=

Câu 37 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) :(C x+4)2+ -(y 3)2 =25 và đường thẳng D: 3x-4y+10 0= Lập phương trình đường thẳng d biết d^( )D và d cắt (C) tại A, B sao cho AB = 6

· (C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5 Gọi H là trung điểm AB, AH = 3 Do d^D nên

-Vậy PT các đường thẳng cần tìm là: 4x+3y+27 0= và x4 +3y-13 0=

Câu 38 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2-2x-2y- = và điểm 3 0

M(0; 2) Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có

24 5 5547

-=êê

- +

ê =êë

Câu 40 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2-6x+2y- = và điểm 6 0

A(3;3) Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách

giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C)

· (C) có tâm I(3; –1), R = 4 Ta có: A(3 ;3) Î (C)

b a2 b2 a2 b2 a b

4 2 2

Û = + Û = Û = ± Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1

Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là: x y 6 0 + - = hoặc x y - = 0

Câu 41 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): x2+y2 =13 và (C2):

x 2 y2

( -6) + =25 Gọi A là một giao điểm của (C1) và (C2) với y A > 0 Viết phương trình

đường thẳng d đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau

· (C 1 ) có tâm O(0; 0), bán kính R 1 = 13 (C 2 ) có tâm I 2 (6; 0), bán kính R 2 = 5 Giao điểm A(2; 3) Giả sử d: a x( - +2) b y( - =3) 0 (a2+b2 ¹0) Gọi d1=d O d d( , ), 2=d I d( , )2

· Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3 Þ Phương trình d: x-3y + = 7 0

Câu 42 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: mx+4 0y= , đường tròn (C):

x2+y2-2x-2my m+ 2-24 0= có tâm I Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại

hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12

· (C) có tâm I m (1; ) , bán kính R = 5 Gọi H là trung điểm của dây cung AB

= ±êë

Câu 43 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) :C x2+y2 = , đường thẳng 1

d x y m

( ) : + + = Tìm m để C0 ( ) cắt d( ) tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất

· (C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1 (d) cắt (C) tại A, B Ûd O d( ; ) 1<

m sao cho ( ) cắt C d ( ) tại hai điểm phân biệt A và B Với giá trị nào của m thì diện tích tam

giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó

· C ( ) có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3

(d) cắt ( ) tại 2 điểm phân biệt A, B C Ûd I d( , )< R Û 2 2- m+ -1 2 3 2< +m2

Tìm m để D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích DIAB lớn nhất

· (C) có tâm là I (–2; –2); R = 2 Giả sử D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B

Kẻ đường cao IH của DIAB, ta có: S DABC = ·

-=+ Û 15m

2 – 8m = 0 Û m = 0 hay m = 8

15

Câu hỏi tương tự:

a) Với ( ) :C x2+y2-2x+4y - = , 4 0 D: 2x my+ + -1 2 0= ĐS: m= -4 b) Với ( ) :C x2+y2-2x-4y - = , 5 0 D:x my+ - = 2 0 ĐS: m= -2

Câu 47 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x–5 –2 0y = và đường tròn (C):

x2+y2+ 2x- 4y- = 8 0 Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương) Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho

tam giác ABC vuông ở B

· Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình

î Vì x A > nên ta được A(2;0), B(–3;–1) 0

Vì · ABC=900 nên AC là đường kính đường tròn, tức điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I của đường tròn Tâm I(–1;2), suy ra C(–4;4)

Câu 48 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ): x2+y2+2x-4y- = và 8 0đường thẳng (D ): x2 -3y- = Chứng minh rằng (1 0 D ) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt

A, B Tìm toạ độ điểm M trên đường tròn (C ) sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất

· (C) có tâm I(–1; 2), bán kính R = 13 d I( , ) 9 R

13

D = < Þ đường thẳng ( D ) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt Gọi M là điểm nằm trên (C), ta có S ABM 1AB d M ( , )

2

D = D Trong đó

AB không đổi nên S D ABM lớn nhất Û d M( , )D lớn nhất

Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với ( D ) PT đường thẳng d là

D = Như vậy d M( , )D lớn nhất Û M trùng với Q

Vậy tọa độ điểm M(–3; 5)

Câu 49 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2-2x-4y- = và A(0; 5 0–1) Î (C) Tìm toạ độ các điểm B, C thuộc đường tròn (C) sao cho DABC đều

· (C) có tâm I(1;2) và R= 10 Gọi H là trung điểm BC Suy ra AI uur=2.IH uur

D đều Þ I là trọng tâm Phương trình (BC): x+3y-12 0=

Vì B, C Î (C) nên tọa độ của B, C là các nghiệm của hệ phương trình:

è ø è ø hoặc ngược lại

Câu 50 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x-3)2+ -(y 4)2 =35 và điểm A(5; 5) Tìm trên (C) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

· (C) có tâm I(3; 4) Ta có: AB ACìíîIB IC== Þ AI là đường trung trực của BC DABC vuông cân

tại A nên AI cũng là phân giác của · BAC Do đó AB và AC hợp với AI một góc 45 0

Gọi d là đường thẳng qua A và hợp với AI một góc 45 Khi đó B, C là giao điểm của d với 0

(C) và AB = AC Vì IA (2;1) uur=

¹ (1; 1), (1; –1) nên d không cùng phương với các trục toạ độ

r

é =ê

= êë

-+ Với a = 3, thì u (1;3) r= Þ Phương trình đường thẳng d: x t

ì = +ï

TĐP 03: CÁC ĐƯỜNG CÔNIC

Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x2 y2 1

25 16+ = A, B là các điểm trên (E) sao cho: AF BF1+ 2= , với F F8 1 2, là các tiêu điểm Tính AF BF2+ 1

Câu 4 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x2 y2 1

100 25+ = Tìm các điểm M Î (E) sao

cho · F MF1 2 =1200 (F1, F2 là hai tiêu điểm của (E))

Û x = 0 (y= ± 5) Vậy có 2 điểm thoả YCBT: M 1 (0; 5), M 2 (0; –5)

Câu 5 Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm F1( 3;0); ( 3;0)- F2 và đi qua điểm

Câu 6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E): 4x2+16y2 =64 Gọi F2 là tiêu điểm bên phải của (E) M là điểm bất kì trên (E) Chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F2 và tới đường thẳng :x 8

0 0

8353

ì

=ï

Û í

ï = î

-Vậy, maxS MAB 9 khi M 8; 5

3 3

è ø

Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp ( ) :E x2 y2 1

9 + 4 = và hai điểm A(3;–2), B(–3; 2) Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất

· PT đường thẳng AB: x2 +3y = Gọi C(x; y) 0 Î (E), với x>0,y > 0 Þ x2 y2 1

Câu 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip ( ) :E x2 y2 1

25+ 9 = và điểm M(1;1) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt elip tại hai điểm A B, sao cho M là trung điểm của AB

· Nhận xét rằng M OxÏ nên đường thẳng x 1= không cắt elip tại hai điểm thỏa YCBT Xét đường thẳng D qua M(1; 1) có PT: y k x= ( - + Toạ độ các giao điểm 1) 1 A B, của D và E

ì

í

ï = - +î

Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x2 y2 1

8 + 2 = Tìm điểm M Î (E) sao cho

Vậy các điểm thoả YCBT là: (2;1),( 2;1),(2; 1),( 2; 1)- - - -

Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x2 y2 1

8 + 2 = Tìm điểm M Î (E) sao cho tổng hai toạ độ của M có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

ï + =î

ï + = î

Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x2 y2 1

9 + 3 = và điểm A(3;0) Tìm trên

(E) các điểm B, C sao cho B, C đối xứng qua trục Ox và DABC là tam giác đều

· Không mất tính tổng quát, giả sử B x y C x( ; ), ( ;0 0 0 -y0) với y0 > 0

Do A OxÎ , B và C đối xứng qua Ox nên DABC cân tâị A

Suy ra: DABC đều Û d A BC( ,( )) 3BC

d mx ny1: - = , d nx+my0 2: = , với m0 2+n2¹ Gọi M, N là các giao điểm của d0 1 với (E),

P, Q là các giao điểm của d2 với (E) Tìm điều kiện đối với m n, để diện tích tứ giác MPNQ đạt giá trị nhỏ nhất

· PTTS của d d1 2, là: d y mt x nt1

1

1:ì =í =î , d x mt

y nt 2

2

2

:ì = -í =î + M, N là các giao điểm của d1 và (E)

Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H)

· (H) có các tiêu điểm F1( 5;0); (5;0)- F2 HCN cơ sở của (H) có một đỉnh là M( 4; 3),

Giả sử phương trình chính tắc của (E) có dạng: x y

· (H) có một tiêu điểm F ( 13;0) Giả sử pttt (d): ax + by + c = 0 Khi đó: 9a 2 – 4b 2 = c 2 (*) Phương trình đường thẳng qua F vuông góc với (d) là (D): b( x- 13) – a y = 0

Toạ độ của M là nghiệm của hệ: ax by c

bx ay 13b

ì + =

-í - =î

Bình phương hai vế của từng phương trình rồi cộng lại và kết hợp với (*), ta được x 2 + y 2 = 9

Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y2 = và điểm I(0; 2) Tìm toạ độ x

hai điểm M, N Î (P) sao cho IMuuur=4IN uur

Vậy, có 2 cặp điểm cần tìm: M (4;–2), (1;1) hay M N (36;6), (9;3) N

Câu 17 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y2 =8x Giả sử đường thẳng d đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x x1, 2 Chứng minh: AB = x1+x2+ 4

· Theo công thức tính bk qua tiêu: FA x= 1+ , FB x2 = 2+2Þ AB FA FB x x= + = 1+ 2+ 4

Câu 18 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho Elip (E): x2+5y2 = , Parabol P x5 ( ) : =10y2 Hãy viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ( ) :D x+3y- = , đồng thời 6 0tiếp xúc với trục hoành Ox và cát tuyến chung của Elip (E) với Parabol (P)

· Đường thẳng đi qua các giao điểm của (E) và (P): x = 2

TĐP 04: TAM GIÁC

Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho DABC biết: B(2; –1), đường cao qua A có phương

trình d1: 3 – 4x y+27 0= , phân giác trong góc C có phương trình d2: x+2 –5 0y = Tìm toạ

+ Đường AC qua C và B’ nên có phương trình: y –3 =0

+ Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: y x A

Câu 2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM

và phân giác trong BD Biết H( 4;1),M 17;12

5

è ø và BD có phương trình x y 5 0+ - = Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC

· Đường thẳng D qua H và vuông góc với BD có PT: x y - + = 5 0 D ÇBD I= ÞI(0;5) Giả sử D ÇAB H '= D BHH ' cân tại B Þ I là trung điểm của HH'ÞH'(4;9)

Câu 3 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(4; 3) Biết phương trình

đường phân giác trong (AD): x+2y - = , đường trung tuyến (AM): x5 0 4 +13y-10 0= Tìm toạ độ đỉnh B

· Ta có A = AD Ç AM Þ A(9; –2) Gọi C¢ là điểm đối xứng của C qua AD Þ C¢ Î AB

Ta tìm được: C¢(2; –1) Suy ra phương trình (AB): x 9 y 2

2 9 1 2

- = +

- - + Û x+7y + = 5 0

Viết phương trình đường thẳng Cx // AB Þ (Cx): x+7y-25 0=

Câu 4 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2, A(2;–3), B(3;–2) Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng (d): 3 – – 4 0x y =

Þ C(–2; –10) hoặc C(1;–1)

Câu 5 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(2; –3), B(3; –2), có diện tích bằng 3

2 và trọng tâm G thuộc đường thẳng D : x y3 – –8 0= Tìm tọa độ đỉnh C

-Câu 6 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d x: +2y- = và hai điểm 3 0

A( 1;2)- , B(2;1) Tìm toạ độ điểm C thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC

Câu hỏi tương tự:

a) Với d x: -2y - = , A(1; 0), B(3; -1) , 1 0 S ABC = 6 ĐS: C(7;3) hoặc C( 5; 3) - -

Câu 7 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –3), B(3; –2), diện tích tam giác bằng 1,5 và trọng tâm I nằm trên đường thẳng d: 3x y- - = Tìm toạ độ điểm C 8 0

· Vẽ CH ^ AB, IK ^ AB AB = 2 Þ CH = S ABC

Giả sử I(a; 3a – 8) Î d Phương trình AB: x y 5 0 - - =

d I AB( , ) =IK Û 3 2- a = 1 Û aé =ê =ëa 12 Þ I(2; –2) hoặc I(1; –5)

+ Với I(2; –2) Þ C(1; –1) + Với I(1; –5) Þ C(–2; –10)

Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;0), (0;2) , diện tích tam B

giác bằng 2 và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng d: y x= Tìm toạ độ điểm C

Câu 9 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 5); B(4; –3), đường phân

giác trong vẽ từ C là d x: +2y- = Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác 8 0ABC

· Gọi E là điểm đối xứng của A qua d Þ E Î BC Tìm được E(1;1)

-Vậy phương trình đường tròn là: x2 y2 x 5y 99 0

+ - - - =

Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là

M( 1;2)- , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I(2; 1)- Đường cao của tam giác kẻ từ A có phương trình 2x y+ + = Tìm toạ độ đỉnh C 1 0

· PT đường thẳng AB qua M và nhận MI uuur=(3; 3)

ì

= - +ï

í

ï = +î

d x y: + - = Xác định toạ độ các đỉnh A, B của tam giác ABC 2 0

· Gọi I a b ( ; ) là trung điểm của AB, G là trọng tâm DABC Þ CG 2CI

2 13

2 13

-ï

-ï =î

4

ì + - =ï

í - + + =ïî