phương trình lượng giác nâng cao có đáp án

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I.. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1... PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1... PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX asinx b cosxc 1.. Đ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1 Tóm tắt lý thuyết cần ghi nhớ

 Các phương trình sin xm, cos xm có nghiệm khi |m| 1  và vô nghiệm khi |m| 1 

 Phương trình tan xm Điều kiện:

2

x  k

; đặt tanm

 Phương trình cot xm Điều kiện xk ; đặt cot m

2 Bài tập có lời giải

1 Giải các phương trình sau:

a)sin 3 3

2

x b)2 cos(2 ) 2

6

x 

c)3 tan( ) 3

6

x  

d)sin 5xcos 2x

2 Giải phương trình: 2

tan x tan tan 3x x 2 (2) Điều kiện: cos 0

cos 3 0

x x







(2) tan (tan tan 3 ) 2 tan sin( 3 ) 2 tan sin 2 2

cos cos 3 cos cos 3

2

2

4 2

Ta thấy

4 2

x  k

thỏa yêu cầu điều kiện bài toán

Vậy nghiệm của phương trình là

4 2

x  k

(k )

3 Giải phương trình cos3 tan 5x xsin 7x (3)

Điều kiện cos 5x0 (*)

(3)cos 3 sin 5 sin 7 cos 3 sin 5 sin 7 cos 5 1(sin 8 sin 2 ) 1(sin12 sin 2 )

x

2

20 10

x k



 



  



2

2



 



2

u v k



 



      

2

2



 



2

u v k





 



      

tanx tan   x  k (k ) tanu tanv  u v k k

cotx cot   x  k (k ) cotu cotv  u v k k

Kiểm tra điều kiện:

 Với

2

xk

thay vào (*) ta có: cos 5 0

2

   

  phải là số chẵn Đặt k2m (m ) 2

x k m m

    (m )

 Với

20 10

x  k 

20 k10 4 k 2

      

Nếu k là số chẵn k=2n cos 0

4 n

   

  luôn đúng

Nếu k là số lẻ thì k=2n+1 cos (2 1) cos 3 0

       

Vậy nghiệm của phương trình là ( , )

20 10

x m

k m







  



4 Giải phương trình tanxcotx4 (4)

x

x









(4) sin cos 4 1 4 sin cos 1 sin 2 1

5 12

k





5 Giải phương trình  2 

2sin 3 1 4sinx  x  1 (5)

2sin 3 1 4(1 cosx x) 1 2sin 3 (4cosx x 3) 1

Ta dễ thấy cosx=0 không phải là nghiệm Nên nhân 2 vế cho cosx ta có:

3

2sin 3 (4cosx x 3cos )x  cosx

Áp dụng công thức nhân ba: 3

cos3a 4cos a 3cosa ta được:

2

14 7

2 2

10 5



  





6 Giải phương trình cos cos 2 cos 4 cos8 1

16

x x x x (6)

Ta dễ thấy sinx=0 không là nghiệm của (6) Nhân 2 vế của (6) với 16sinx ta được:

(6)

2

15 16sin cos cos 2 cos 4 cos8 sin sin16 sin

2

x k

k m



















m     p p  m p

 2 8 1

k

        

m      q q   m q

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

2

, 15 , 15

2 , 17 8,

17 17









7 Giải phương trình

(tan cot )

x

(7)

Điều kiện sin 2x0

(7)

2 2

(vi phạm điều kiện) Vậy phương trình vô nghiệm

2.8 Giải phương trình 2

5 3sin x4cosx  1 2cosx (8) Điều kiện: 1 2 cos 0 cos 1

2

5 3(1 cos x) 4cosx 1 4cosx 4cos x cos x 1 cosx 1 x  k2 , k

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Giải các phương trình sau:

1.1 tanx cotx 2(sin 2x cos 2 )x ĐS: ;

x  m x  m

1.2

cot tan

16(1 cos 4 ) cos 2

x x



16 8

x  k

cos10x 2cos 4x 6cos3 cosx x cosx 8cos cos 3x x

Hd: đặt nhân tử chung, cung nhân ba, tích thành tổng, hạ bậc… ĐS: xk2

sin cos cos sin

4

8 2

  

sin x cos x cos 4x ĐS:

2

xk

sin cos cot cot

x x x  x

  

1.7 sin cot 5 1

cos 9

k

sin xcos 3x cos xsin 3x sin 4x ĐS:

12

xk 

1.9 2sin 3 1 2 cos 3 1

x  k x  k

cos cos 3 sin sin 3

4

8

x  k

  

1.11 1 tan x2 2 sinx ĐS: 2

x  k 

3 sin 2x 2cos x 2 2 2cos 2  x ĐS:

2

x  k

 

(1 tan ) cos  x x  (1 cot )sinx x 2sin 2x ĐS:

4

x  m

sin x cos x sin xcotx cos xtanx 2sin 2x

(Hd: Đặt nhân tử chung, BĐT Cauchy… ĐS: 2

4

x  k 

xk  x  k 

2sin 3 1 8sin 2 cos 2

4

   

5

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Tĩm tắt lý thuyết cần ghi nhớ

Phương trình bậc hai đối với một số lượng giác cĩ dạng: 2

at   bt c a Trong đĩ t {sin , cos , tan , cot }u u u u

Cách giải: Đặt điều kiện (nếu cĩ), đặt ẩn phụ, đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu cĩ) Giải pt bậc 2

2 Bài tập cĩ lời giải

1 Giải phương trình 2

2sin 2x 3sin 2x  1 0 (1) Đặt tsinxđiều kiện t 1.Ta cĩ:

(1) 2

2t 3t 1 0

4 2

(nhận) nhận)



       

       





2 Giải phương trình 2 2

4sin 2x 6sin x 3cos 2x  9 0 (2)

(2) 4(1 cos 2 ) 6 3cos 2 9 0 2 cos 2 3cos 2 1 0

2

x

cos 2 1

2 2

1

cos 2

3 2

3

x







 





  

3 Giải phương trình 1 1 2

cosx sin 2x  sin 4x (3) Điều kiện

sin 2 0 sin 4 0

4 sin 4 0

x

x











1 1 2 1 1

cosx 2sin cosx x 4sin cos cos 2x x x 2sinx 2sin cos 2x x

sin 1

sin

2

2 2

x

x

 





   





       





4 Giải phương trình 3(tanx cot )x  2(2 sin 2 )  x (4)

Điều kiện cos 0 sin 2 0

sin 0

x

x x





cos sin sin cos sin 2

2

(4) 3 2(2 sin 2 ) sin 2 2sin 2 3 0

sin 2 3 (

x

x x







5 Giải phương trình 2 2

4sin x 3tan x 1 (5) Điều kiện

2

x  k

4sin xcos x 3sin x cos x sin 2x 3(1 cos x) cos x 0

sin 2 4 cos 3 0 1 cos 2 4 3 0 cos 2 2 cos 2 2 0

2

x

2 cos 2 1 3 (voâ nghieäm)

x

x



  



BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Giải các phương trình sau:

2.1

2 cos (2sin 3 2) 2 cos 1

1

1 sin 2

x

 

2.2 tan cot 1

cos

x

6

x  k 

cos cos 2 cos 3 cos 4

2

k

      

sin 5cos sin

x

10

x k  x   m 

2.5

2 sin (3 2 2 cos ) 2sin 1

1

1 sin 2

x

3

x  k x  m 2.6 tanxtan 2xsinx ĐS: xk

cos 2x sin x 2cosx  1 0 ĐS: x (2k 1)

2.8 5cosx cos 2x 2sinx 0 ĐS:

3

x   k

xk   x  k  x  k 

3cos 4x 2cos 3x 1 ĐS: 1arccos1 21

xk   x  m

cos x sinx 3sin xcosx 0 ĐS: arctan(1 2)

4

x  k x  m

2.12 2 3

2 cos 1 3cos 2

2

x

x

4

x k  x   k

2.13 cos cos 4x xcos 2 cos3x x0 ĐS: 1arccos1 17

x  k  x  m

2.14 3

2 k 4 m 4 l

        

2.15 1 sin 2 1 sin 2 4 cos

sin

x x

6 k 3 m

     

III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX asinx b cosxc

1 Tóm tắt lý thuyết cần ghi nhớ

a x b xc a b 

(Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 2

a b c )

CÁCH GIẢI:

Cách 1:

Biến đổi biểu thức asinx b cosx về dạng Csin(x) hoặc Ccos(x) trong đó:

2 2

Khi đó ta có (1)Csin(x) c hoặc Ccos(x) c Đây là phương trình lượng giác cơ bản

Cách 2:

sin cos sin bcos c

Đặt tan b

a

  , khi đó ta có: sinx bcosx c sinx tan cosx c

  sin cosx cos sinx ccos sin x ccos

2 Bài tập có lời giải

1 Giải phương trình 3sinx 3 cosx 3 (1)

(1) 3 sin cos 3 3sin 1cos 3 sin sin cos cos 3

2 2

2 2

6



          

2 Giải phương trình 3 cos 2x sin 2x 2 (2)

(2) cos 2 sin 2 cos cos 2 sin sin 2 cos

cos 2 cos

5

x



3 Giải phương trình 2 2(sinx cos ) cosx x  3 cos 2x (3)

(3) 2 2 sin cos 2 2 cos 3 cos 2 2 sin 2 2 2 3 cos 2

2

x

2 sin 2x ( 2 1) cos 2x 3 2

Ta thấy:

2 2 2

( 2) ( 2 1) 5 2 2 (3 2) 11 6 2

c





Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Giải các phương trình sau:

3.1 4sin 2x3cos 2x12sinx3 ĐS:k

cos x sin x 3 sin 2x 1 ĐS: ;

3

k  k

 

4 cos x sin x  3 sin 4x 2 ĐS: ;

4 k 2 12 k 2

     



3sin 3x 4sin 3x 3 cos9x 1 ĐS: 2 ;7 2

18 k 9 54 k 9

sin cos

4 4

x x 

( 1) 1

k

k



3.6sinx 3 cosx sinx 3 cosx  2 ĐS: 2 ; 2

6 k 2 k

3.7 Cho phương trình cosx2 2 sinx m 1

a) Định m để phương trình có nghiệm

b) Định m để phương trình có nghiệm thuộc 0;

3



 

 

 

3.8 Cho phương trình sinx m cosx1

a) Giải phương trình khi m  3

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

2sin x m sin 2x 2(2 m) cos x 4 có nghiệm thuộc ;

4 2

 

IV PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Cách giải 1:

Kiểm tra xem cosx0 có phải là nghiệm hay không Nếu phải thì

2

x  k

là họ nghiệm Với cosx0, chia hai vế phương trình đã cho ta được phưng trình bậc hai theo tanx:

Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc để đưa về dạng bậc nhất theo sinx, cosx

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Giải các phương trình sau:

4sin x 3 3 sin 2x 2cos x 4

2sin x 3 sin 2x 4cos x  3 2

sin x 2sin xcosx 3cos x 0

3cos x 2sin 2x sin x  2 3

Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có nghiệm

sin sin 2 3 cos 1

(m  2) cos x 4 sin cosm x xm  3

cos x sin cosx x 2sin xm

V PHƯƠNG TRÌNH a(sinxcos )x bsin cosx xc

Cách giải:

4

đk:t  2 2

1 2sin cos sin cos

2

t

Thay vào phương trình đã cho, ta được:

2

2 1

2

t

Ví dụ 1: Giải phương trình 3(sinxcos ) 2sin 2x  x 3 0 (1)

4

    Điều kiện | |t  2

Ta có:

2

2 1

2

t

2 2 2

1 2 sin( ) 1

4

arcsin( ) 2 1

2

4 2

1 arcsin( ) 2

4

2 2

t

x





   





  





Ví dụ 2: Giải phương trình sinxcosx4sin cosx x 1 0 (2)

a) sin cos 2 sin( ), | | 2

4

2

(sin cos ) 1 2sin cos sin cos

2

t

2

2 1

2

t

1

2 sin( ) 1 3

4 (

2 loại)

t

x t



 





 

 2

2

2

x k x











  



VI MỘT SỐ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC

Những phương trình lượng giác cơ bản, những phương trình lượng giác mẫu mực được trình bày trong mục 5. đã cĩ phương pháp giải rõ ràng và cụ thể Tuy nhiên, trong thực tế giải tốn chúng ta cịn gặp rất nhiều phương trình lượng giác khác khơng nằm trong những dạng trên

và khơng cĩ phương pháp vạn năng nào chung cho mọi trường hợp Dù vậy, chúng ta cĩ thể nêu

ra một vài phương pháp chung cho việc giải những phương trình lượng giác

a) Biến đổi phương trình đã cho về những phương trình lượng giác cơ bản, mẫu mực mà

ta đã biết cách giải (quy lạ về quen)

Ví dụ: Giải phương trình cos5 sin 4x xcos3 sin 2x x

sin(4 5 ) sin(4 5 ) sin(3 2 ) sin(2 3 )

sin 9 sin sin 5 sin

sin 9 sin 5

14 7

x k





 



 



  



b) Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích (rất thường sử dụng)

Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về dạng tích ( ) ( ) 0 ( ) 0

( ) 0

f x

f x g x

g x





   



Ví dụ: Giải phương trình sinxsin 2xsin 3xcosxcos 2xcos3x

sin 2 2sin 2 cos cos 2 2 cos 2 cos

sin 2 (1 2 cos ) cos 2 (1 2 cos )

(sin 2 cos 2 )(1 2 cos ) 0

sin 2 cos 2 cos( 2 ) cos 2

1

2









Phương trình cơ bản

c) Đưa về cùng hàm lượng giác: Nếu phương trình đã cho có nhiều hàm lượng giác khác

nhau (sin , cos x x ) thì biến đổi phương trình về phương trình mới mà trong đó chỉ còn lại

một hàm lượng giác Lúc đó, có thể đặt ẩn phụ là hàm lượng giác đó

Ví dụ: Giải phương trình 3 12 tan 2 1 (1)

cot 2xcos 2x x

cos 2 0

4 2

x k x

x



 









(1)  3tan 2x  1 tan 2x tan 2x  6 tan 2x 4 tan 2x  5 0 (2)

Đặt ttan 2x

(2) 4 5 0

5 tan 2 5 arctan 5



  





d) Đưa về cùng một cung lượng giác: Nếu phương trình đã cho có nhiều cung lượng giác

khác nhau ( x, 2 ,3 x x ) thì biến đổi phương trình đã cho về phương trình mới mà tại đó chỉ còn lại một cung lượng giác Sau đó có thể dùng các công thức biến đổi lượng giác để đưa

về phương trình tích hay tìm cách đặt ẩn phụ…

Ví dụ: Giải phương trình 2

4cos xsin 4x4cos 2x2

1 cos 2

4 2 sin 2 cos 2 4 cos 2 2

2

2 2 cos 2 2 sin 2 cos 2 4 cos 2 2

2 sin 2 cos 2 2 cos 2 0

2 cos 2 (sin 2 1) 0

sin 2 1

4

x

x

x



  







 



e) Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về dạng: 2 2 0

0

0

A

B





    



Ví dụ: Giải phương trình 2

2

1

cos

x

Điều kiện:cos 0

2

x   x  k

2

1

cos sin 2 2sin 2 1 tan 2 tan 1 0

(sin 2 1) (tan 1) 0

sin 2 1 0 sin 2 1

x

f) Đánh giá các hàm hay biểu thức của phương trình:

2

A m

 







 



Ví dụ: Giải phương trình sin(xy) cos( xy)2

cos( ) 1, ,

  





Do đó: sin(xy) cos( xy)2

2

, 2

cos( ) 1

4 2

k l x

k l







  



BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để giải các phương trình sau:

a)sin sin 7x xsin 3 sin 5x x b)sin 5 cos3x xsin 9 cos 7x x

c)cos cos3x xsin 2 sin 6x xsin 4 sin 6x x0 d)sin 4 sin 5x xsin 4 sin 3x xsin 2 sinx x0

2 Dùng công thức biến đổi tổng thành tích để giải các phương trình sau:

a)sin 5x sin 3x sin 4x b)sinx sin 2x sin 3x 0

c)cosx cos3x 2cos5x 0 d)cos 22x 3cos18x 3cos14x cos10x 0

3 Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau:

sin sin 2 sin 3

2

sin 3xsin 4xsin 5xsin 6x

cos xcos 2xcos 3xcos 4x2

cos 3 cos 4 cos 5

2

8cos x 1 cos 4x

3cos 2x3sin xcos x0

4 Giải các phương trình sau:

     

c)tan 2 tan 1

x

     

    d)sin 2x2cotx3

5 Giải các phương trình sau:

tan( 15 ) cot( 15 )

3

c)sin 2x2cos 2x 1 sinx4cosx d) 4 4

3sin x5cos x 3 0

(2sinx cos )(1 cos )x  x  sin x f)1 sin cos 2  x x sinx cos 2x

6 Giải các phương trình sau:

a)tan cos sin 2 0

2

x

sin x3sin xcosxcos x1

sin cos sin cos

8

sin sin cos 4 cos 4

4

7 Biết rằng các số đo radian của ba góc của tam giác ABC là nghiệm của phương trình

2 3

2 3

x

x   CMR tam giác ABC là tam giác đều

8 Cho phương trình cos 2x(2m1) cosx m  1 0

a) Giải phương trình với 3

2

m

b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm ;3

2 2

x   

 

(2sinx 1)(2sin 2x   1) 3 4cos x

10 Giải các phương trình:

a)sin 2x12(sinxcos ) 12x  0 b) 3 3

sin xcos x1

11 Giải phương trình: 1 1 4sin 7

3

sin

2

x x

x



sin x 3 cos x sin cosx x 3 sin xcosx

13 Giải phương trình: 2sin (1 cos 2 ) sin 2x  x  x 1 2cosx

14 Giải các bất phương trình sau:

a)sin 2 1

2