Một số bài tập về BĐT ôn thi ĐH có lời giải

Trương Văn Đại, THPT Nguyễn Trung TrựcBẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC MỘT SỐ BĐT ĐƠN GIẢN HAY DÙNG 1.. Khai triển, chuyển vế ta được ngay BĐT này... Tìm GTNN của biểu thức: M Giải... Áp

Trang 1

Trương Văn Đại, THPT Nguyễn Trung Trực

BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC MỘT SỐ BĐT ĐƠN GIẢN HAY DÙNG

1 Với a, b, c tùy ý ta luôn có a2 b2 c2  ab bc ca   Đẳng thức xảy ra kvck a = b = c.

CM Ta có (ab)2 + (bc)2 + (ca)2  0 Khai triển, chuyển vế ta được ngay BĐT này

2 Với a, b, c tùy ý ta luôn có ( a b c   )2  3( ab bc ca   ) Đẳng thức xảy ra kvck a = b = c.

CM Ta có ( a b c   )2  a2 b2 c2 2 ab  2 bc  2 ca  ( ab bc ca   ) 2  ab  2 bc  2 ca  3( ab bc ca   )

3 Với a, b, c, d, e, f tùy ý ta luôn có |a.d + b.e + c.f|  ( a2 )( ) b2  c2 d2  e2  f2 Đẳng thức xảy ra kvck a : b : c = d : e : f.

CM Xét u   ( ; ; ) a b c , v   ( ; ; ) d e f ta có u v a d b e c f      và | | u   a2 b2 c2,| | v   d2 e2 f2

( a b )( ) 4

 Đẳng thức xảy ra kvck a = b

CM Ta có a b   2 ab và 1 1 2

a b   ab nên

1 1 ( a b )( ) 4

a b

  Đẳng thức xảy ra kvck a = b

= c

CM Ta có a b c    33abc và 1 1 1 3 3

a b c    abc nên

 

6 Với mọi x, y, không âm ta luôn có (1  x )(1  y ) (1   xy )2

CM Ta có (1+x)(1+y) = 1 + (x + y) + xy Áp dụng BĐT Cô-si ta được (1  x )(1  y ) 1 2   xy  ( xy )2   (1 xy )2 Đẳng thức xảy ra kvck x = y

Tổng quát, với a, b, c không âm ta có ( a b a c  )(  ) (  a  bc )2 Từ đây suy ra a b   a c   2 a  bc .

7 Với mọi x, y, z không âm ta luôn có (1  x )(1  y )(1  z ) (1  3 x y z )3

CM Ta có (1+x)(1+y)(1+z) = 1 + (x + y + z) + (xy + yz + zx) + xyz Áp dụng BĐT Cô-si ta được

(1  x )(1  y )(1  z ) 1 3   x y z  3 ( ) x y z  ( ) x y z   (1 x y z ) Đẳng thức xảy ra kvck x = y = z

Tổng quát, với a, b, c, d không âm ta có ( a b a c a d  )(  )(  ) (  a 3bcd )3 Từ đây suy ra

3 3 3

a b   a c   a d   a  bcd .

8 Với mọi x, y, z không âm ta luôn có ( x y z   )3  9( x3 y3 z3)

CM Ta có ( x y z   )3  x3 y3 z3 3 x y2  3 x z2  3 xy2 3 xz2 3 y z2  3 yz2 6 xyz

Trang 2

Mà

3 3 3

3

3 3

3

3 3

3

y

x

y y

x z z

y z

y y

z x



 





nên ( x y z   )3  9( x3 y3 z3) Đẳng thức xảy ra kvck x = y = z

9 Với mọi x, y mà (x + y)  0 ta luôn có ( x  y )3  4( x3 y3) Đẳng thức xảy ra kvck x = y

CM Với mọi số x, y ta có

2

4

x y

xy   Đẳng thức xảy ra kvck x = y Do (x + y)  0 nên

3

4

x y

xy x y    Do

đó,

x  y  x y   xy x y   x y    x y   

10 Cho a, b, c không âm, f(x) xác định trên [0 ; + ∞) CMR nếu f a ( )  f b ( ) 2 (  f ab ) thì

3 ( ) ( ) ( ) 3 ( ).

f a  f b  f c  f abc

BT 1) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa xyz = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

M

Giải Ta có

2 4

x

y z



2 4

y

z x



2 4

z

x y



2

x y z

M       x y z

xyz

x y z

BT 2) Chứng minh rằng với x  [1 ; 1] thì 3(1  x )2 3(1  x )2  2.

Giải Xét f x ( ) 3 (1  x )2 3(1  x )2 ta có / 3 2 3 2

( )

3 1 3 1

f x



  và f x/( ) 0   x  0

Vì f(1) = f(1) = 3 4, f(0) = 2 nên max ( )[ 1;1] f x f (0) 2

BT 3) Cho 2 số thực dương x, y Chứng minh

2 9 (1 x ) 1 y 1 256

          

  

.

(1  a )(1  b ) (1   ab ) , đẳng thức xảy ra kvck a = b

                          

BT 4) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa 3

4

x y z    Chứng minh rằng: 3 x  3 y 3 y  3 z 3 z  3 x  3.

( 3 )1.1

3

x  y     , 3 ( 3 ) 1 1

( 3 )1.1

3

y  z     và 3 ( 3 ) 1 1

( 3 )1.1

3

Cộng 3 BĐT này ta được ĐPCM

BT 5) Cho x, y, z dương và x + 2y + 4z = 12 Tìm GTLN của biểu thức: 2 8 4

P

Trang 3

P

a b b c c a

ra kvck a = b = c = 4

BT 6) Cho 3 số thực x, y, z không âm thỏa x3 y3 z3  3 Tìm GTLN của tổng S = x + y + z.

Giải Theo BĐT Côsi ta có

3 3 3

x x

z z

   



  



 







nên x + y + z  3 Đẳng thức xảy ra kvck x = y = z =1

Cách 2 : Ta có ( x y z   )3  x3 y3 z3 3 x y2  3 x z2  3 xy2 3 xz2 3 y z2  3 yz2 6 xyz

Mà

3 3 3

3

3 3

3

3 3

3

y

x

y y

x z z

y z

y y

z x



 





nên S3 9( x3 y3 z3) 27  Đẳng thức xảy ra kvck x = y = z = 1

BT 7) Cho ABC có A 90  0 và sin 2sin sin tan

2

A

2 sin

A M

B



sin 2sin sin tan

2

A

sin 2 2sin cos 2sin sin

2

A

2

A

1 cos  A  cos( B C  ) cos(  B C  )  cos(B  C) =1  B = C Mặt khác, 0

A 90  nên 450  B = C < 900

0

B C

M





BT 8) Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa x y z    3 Chứng minh rằng : 1 1 1 3

1  x  1  y  1  z  2.

1

x x



1

y y



1

z z



3 4

x y z

3

x y z

Cách 2 : Với các số dương a, b, c, ta có 1 1 1 9

.

VT

x y z

BT 9) Cho ABC có 3 góc nhọn Chứng minh tan2 A cot B  tan2B cot C  tan2C cot A  tan A  tan B  tan C

.

Với x, y dương, theo BĐT Cô si ta có

2

x

2 2

x

x y

Vì A, B, C nhọn nên tgA, tgB, tgC, cotgA, cotgB, cotgC là các số dương Áp dụng BĐT vừa nêu ta được

tan cot tan cot tan cot

tan tan tan

Trang 4

2(tan A tan B tan ) (tan C B tan C tan ) A

BT 10) Cho x, y, z không âm và x y z    3 Tìm GTLN của biểu thức:

P  xy yz zx    xy  yz zx   xy yz   zx

Giải Cách 1 : Ta có P  (1 1 1)[(2   xy yz zx   ) (  xy  2 yz zx  ) (  xy yz   2 )] 2 3 zx  xy yz zx  

3 x y z    x y z    Đẳng thức xảy ra kvck x = y = z = 1.

Cách 2 : Ta có

2

xy yz zx









nên 2.P  6 + 2(xy + yz + zx)  12  P  6

Cách 3 : Áp dụng BĐT ( a b c   )2  3( a2 b2 c2) ta được P2  3.4(xy + yz + zx)  36

BT 11) Cho ABC có 3 góc nhọn thỏa

cos cos cos sin sin sin

CM A, B, C nhọn nên cos ,cos ,cos A B C  0 Áp dụng BĐT 1 1

( a b )( ) 4,

a b

cos cos cos cos sin cos sin

Tương tự cho các cặp còn lại, ta được VT  VP Dấu “” xảy ra khi và chỉ khi

cos cos cos

A B C





Vậy ABC đều.

BT 12) Cho a, b, c >0 và a + b + c = 3 Chứng minh rằng : 2 1 2 1 2 1

1

a  bc b   ac c   ab  .

  với x , y, z > 0 Ta được

1

a  bc b   ac c   ab  a  bc b   ac c   ab  a b c   

BT 13) Cho x, y, z không âm, thỏa x + y + z = 4 Tìm GTLN của P  2 x y   2 y z   2 z x  .

Giải Áp dụng BĐT ( a b c   )2  3( a2 b2 c2) ta được P2  3.(2x + y + 2y + z + 2z + x) = 36 Đẳng thức xảy ra kcvk

x = y = z = 4/3

BT 14) Cho 2 số thực x, y thỏa x 2 + y 2 + xy = 3 Tìm GTLN NN của biểu thức :M  x4 y4 xy x y (  )2.

Giải Đặt S = x + y, P = xy, ĐK : S2  4 P

x2 + y2 + xy = 3 S2 P   3 S2     P 3 0 P  3 Đẳng thức có thể xảy ra, chẳng hạn khi x =  y = 3

ĐK : S2  4 P  P + 3  4P  P  1 Đẳng thức có thể xảy ra, chẳng hạn khi x = y = 1

Tóm lại, tập giá trị của P là [3 ; 1]

Ta có,

M  x  y  x y  xy x y   S  P  P  P S  P   P  P  P P    P

Vì P  [3 ; 1] nên M  [6 ; 18]

Trang 5

Min M = 6, đạt khi x = y = 1 Max M = 18, đạt khi x =  y = 3

BT 15) Cho x, y, z dương thỏa mãn x y4 4 y z4 4  z x4 4  3 x y z4 4 4 Tìm GTLN của

2 2 2

P

 

Giải Từ giả thiết ta suy ra

4 4 4 4 4 4

(1)

x y y z z x

Ta có x6 y4  2 x y3 2  0 nên 6 4 12 2

2

x

2

y

y  z  y z và 6 4 12 2

2

z

z  x  z x

Từ đây suy ra

2 2 2

 

(2)

3 2

P

Mặt khác, theo (1) và BĐT ab bc ca a    2 b2 c2 ta được 21 2 2 21 2 21 14 14 14

3 (3)

x y  y z  z x  x  y  z  .

Từ (2) và (3) ta được P  9

2 Đẳng thức xảy ra kvck x = y = z = 1 Vậy max P = 9/2.

BT 16) Cho x y   3( x  2  y   1 1) 0  Tìm GTLN và GTNN của A  ( x  2)( y  1).

Giải

BT 17) Cho x, y, z dương, thỏa đẳng thức 1 1 1

1

x  y  z  Chứng minh:

4

 

CM Ta có 1 1 1

1

x  y  z   xy + yz + zx = xyz Do đó,

x yz   x  xyz  x  xy yz zx    x y x z  

(1)

x

Tương tự:

(2)

y

y zx

(3)

z

z xy

Cộng (1), (2) và (3) ta được đpcm

2

q

p  q  Xác định tam giác ABC sao cho biểu thức W = p.cosA + q(cosB + cosC) lớn nhất.

=

2

=

2

Đẳng thức xảy ra kvck

2

B C













Trang 6

Vậy max W =

2

2q p

p  khi ABC cân đỉnh A và có góc A thỏa sin 2 2

p



BT 19) Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa x y z    1 Tìm GTLN của 9

4

A xy yz zx     xyz.

Giải Ta có

2

3 2 2

A x y z    yz  x  x y z     x  x  x    x   x  x  x 

GTLN của f x ( )  9 x3 6 x2 x  4 trên [0 ; 1] bằng 4, đạt tại x = 0 hoặc 1

3

x  Do đó, GTLN của A bằng 1

4, đạt

3

x    y z hoặc x = 0, 1

2

y z   (và các hoán vị)

BT 20) Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa x y z    1 Tìm GTLN của

P

, a b c , , 0

1  x  1  y  1  z  3    x y z  4 Đẳng thức

4

P xy yz zx     xyz

Theo bài toán trên, GTLN của P bằng 1

4, đạt được khi

1 3

x    y z hoặc x = 0, 1

2

y z   (và các hoán vị)

BT 21) Cho 4 số thực dương x, y, z, t thỏa x y z t     2 Tìm GTNN của

       

            

.

( a b c d  )(  )  ac ad bc bd ac      2 ad bc bd   ( ac  bd ) (đây chính

là BĐT Bunhiacốpxki) Đẳng thức xảy ra kvck ad = bc Do đó,

4

.

       

1 1

.

x z

y t

x t

























x y z t xyzt      (đẳng thức xảy ra kvck x=y=z=t) nên 4 1

[0; ] 2

u  xyzt 

( )

u

  có

2 /

2

u



[0; ]

2 .

[ ( )]

2

x     y z t

Trang 7

BT 22) Cho x, y không âm thỏa x + y = 1 Tìm max, min của P  1  x2008  1  y2008 .

Giải P  1  x2008  1 (1   x )2008, x  [0;1]

2007 2008 2007 2008

/

1004 1004.(1 )

P



/ 0 2007 1 2008 2007 1 2008 ( 4014 4014) 2008 2008( 2006 2006) 0

Ta có x > y và x < y đều không thỏa (*) do đó x = y =1

2.

BT 23) Cho 4 số thực dương x, y, z, t thỏa xyzt = 1 Tìm GTLN của biểu thức

P

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta được:

x  y  z        x y  y z  z x

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

xy z xyz x yz

 x4 y4 z4  1 x4 y4 z4 xyzt xyz x y z t  (    ) 0 

Tương tự:

y  z  t   yzt x y z t    (2)

z  t  x   ztx x y z t    (3)

t  x  y   txy x y z t    (4)

Cộng (1), (2), (3), (4) ta được 1

1

P

x y z t xyzt xyzt yztx txyz

Vậy maxP 1 khi x     y z t 1

BT 24) Cho a , b không âm CMR

( 1)( 1)

2.



CM Ta dùng BĐT (1  x )(1  y )(1  z ) (1  3 x y z )3, với mọi x, y, z không âm Áp dụng BĐT trên ta được :

(1 )(1 1)(1 1) (1 )

(1 )(1 )(1 1) (1 )

(1 )(1 )(1 ) (1

0 0 0 )











 Nhân theo vế ta được : [2(1  a3)(1  b3)]3 [(1  a )(1  b2)(1  a b2 )]3

Khai căn bậc 3 và chia hai vế cho (1 + a) ta được BĐT cần chứng minh

BT 25) Cho x, y, z là các số không âm và x + y + z = 1 Tìm GTLN của biểu thức: S = x 2 y + y 2 x + z 2 x.

Giải Giả sử x là số lớn nhất trong ba số x, y , z Ta có:

Trang 8

S  x y y z z x x y y z        x y xyz   

3 4 4

x y z  

27

MaxS 

BT 26) Cho a, b, c dương và a + b + c = 3 CMR

2

9 3

2 3



abc c

c b a abc b

c b a abc a

c b a

.

CM Ta có 3 = a + b + c  33abc nên 3abc  1 Đẳng thức xảy ra kvck a = b = c = 1

a  abc  b  abc  c  abc      

Vì a2   1 2 a, nên

1

Tương tự, 21

1

b

1

c

c    (3) Cộng (1), (2), (3) ta được

3

a b c

 

2

a  abc  b  abc  c  abc  Đẳng thức xảy ra kvck a = b = c = 1 Từ đây suy ra BĐT cần CM

BT 27) Cho x, y z là các số dương và 3

2

x y z

CM Cách 1 : Theo BĐT Côsi ta có 1 4( 2 ) 4



4

x y z

 

4

x y z

 

2

x y z    nên 1

x y z  

x y z

 

4

x y z

Cách 2 : Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương, dễ dàng chứng minh được:

x  y  y  z  z  x  x  y  y  z  z  x  x y z  

x y z

   

( )

f t t

t

(0; ] 2

Trang 9

Ta có

2 /

2

t



(0; ]

2 Vì vậy,

( ) ( ) , (0; ]

f t  f    t

Do đó, VT  f(t)  7/2 Đẳng thức xảy ra kvck

1 3

2 2

x y z







  



BT 28) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi bằng 3 Tìm GTNN của

T =

Giải a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác nên a, b, c và (a + b  c), (b + c  a), (c + a  b) dương.

Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương ta được

3

a b c c

a c b b

c b a a

  



 







  





a b c  

  3( )

2

a  b  c

 T  3/2

Đẳng thức xảy ra kvck

3

c

b

a

  

 



 



 





  

 





 a = b = c = 1 Vậy min T = 3/2

BT 29) Cho a, b, c dương và 2 2 2 3

4

( a b b c c a )( )( )

Giải Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta được ( a b b c c a  )(  )(  ) 2  ab 2 bc 2 ca  8 abc Đẳng thức xảy ra kvck a = b = c

Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương ta được 13 13 13 3

a  b  c  abc Đẳng thức xảy ra kvck a = b = c.

3

4

a b c  a  b  c  nên 3 2 2 2 1 1 1

8

abc

Từ (1) và (2), ta được T  25 Đẳng thức xảy ra kvck a = b = c = 1

2 Vậy min T = 25.

BT 30) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng x3 y3 z3    x y z

Trang 10

CM Ta có

3 3 3

1 1 3

   



  





  



nên x3 y3 z3 6  3( x y z   ). Mặt khác, x3 y3 z3 3 xyz  3 nên

3 3 3

2( x  y  z ) 6  Cộng hai vế của hai BĐT này ta được đpcm

BT 31) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ 1 Tìm GTNN của biểu thức:

1 1 1

A x y z

      .

x  y  z  x y z   Dấu bằng xảy ra KVCK x = y = z

( )

g t t

t

  giảm trên (0 ; 1] nên g(t)  g(1) =10 Suy ra, A  10 Dấu bằng xảy ra KVCK x = y = z và x + y + z = 1

BT 32) Cho x, y, z là ba số thỏa mãn x + y + z = 0 Chứng minh rằng 3 4x 3 4y 3 4z 6.

CM Cách 1 : Ta có 1 + 4x  2 4x nên 3 + 4x = 2 + (1 + 4x)  2(1+ 4x )  44 4x Do đó

3 4x 3 4y 3 4z 2( 4x 4y 4 ) 6 4z x y z  6.

Cách 2 : Ta có thể CM được BĐT 1  a  1   b 1   c 3 1 3 abc Chỉ việc áp dụng BĐT sau với

BT 33) (Đề dự bị 1 khối A, năm 2007) Cho x, y, z là các biến số dương Tìm GTNN của

P = 3 4( 3 3) 3 4( y3 3) 3 4( z3 3) 2( x2 y2 z2)

z

y

z

x

Giải Với mọi số a, b không âm, ta có

2 ( ) 4

a b

a  b  a b   ab a b   a b    a b    Đẳng thức xảy ra kvck a = b  0

Do đó, P  ( x y ) ( y z ) ( z x ) 2( x2 y2 z2)

Mặt khác,









Từ (1) và (2) ta được P  12 Đẳng thức xảy ra kvck

1

 











Vậy, min P =12 khi x = y = z = 1

Trang 11

BT 34) Cho x, y, z là ba số dương thỏa x.y.z =1 CMR

z

CM Sử dụng BĐT Cô-si cho hai số dương ta được :

x

y

z

Từ (1), (2), (3) ta được :

3

z

x

y

Dấu '=' xảy ra kvck x = y = z = 1

BT 35) Cho x y z t  , , , 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 41 41 41 41

( 1)

P xyzt

.

Giải Với a, b ≥ 1 ta luôn có 1 2 1 2 2

1  a  1  b  1  ab (chỉ cần quy đồng, chuyển vế, đặt thừa số ta được

2

( a b  ) ( ab  1) 0  , BĐT này đúng)

Với x = y = z = t = 1 thì đẳng thức xảy ra Do đó min P = 4

BT 36) Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = 3 Tìm GTNN của biểu thức : 2 2 2

R

Giải Ta có

R a b c     ab bc ca       a b c a b c     

Đẳng thức xảy ra khi : a = 1 , b = 1 , c = 1 Vậy 3

min

2

R 

BT 37) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : x2 y2 z2  1 Hãy tìm GTLN của P = xy + yz +2zx.

P  y x z   zx  y x  z  x z   x  z  x z   y  y   y 

xét u  ( 2;1)và v y  (| | 1  y2;1/ 2  y2) ta có

2 2 2 2

| || | (2 1) ( 1 ) ( )

BT 38) Cho x, y, z dương thỏa x2 y2 z2  1 CMR 3 1

2

xy yz   zx   .

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	0,92 MB