bài giảng hệ phương trình vi phân cấp 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ĐỊNH NGHĨA F 1 (t,x 1 ,x 2 ,…, x n , x 1 ’,x 2 ’,…,x n ’) = 0 …. F n (t,x 1 ,x 2 ,…, x n , x 1 ’,x 2 ’,…,x n ’) = 0 Hệ tổng quát x 1 ’ = f 1 (t,x 1 ,x 2 ,…, x n ) …. x n ’ = f n (t,x 1 ,x 2 ,…, x n ) Hệ chính tắc t : biến x 1 , x 2 , …, x n : ẩn hàm BÀI TOÁN CAUCHY x 1 ’ = f 1 (t,x 1 ,x 2 ,…, x n ) ……………………… x n ’ = f n (t,x 1 ,x 2 ,…, x n ) Tìm nghiệm hệ Thỏa điều kiện x 1 (t 0 ) = α 1 ………… x n (t 0 ) = α n Hệ n ptvp cấp 1 tương đương 1 ptvp cấp n nên hệ nghiệm có n hằng số tự do. PHƯƠNG PHÁP KHỬ ' '( ) 2 ' '( ) 3  = = +   = = − + −   t t x x t y e y y t x y e B 1 : xây dựng một ptvp cấp n theo 1 hàm chọn trước. B 2 : giải ptvp cấp n vừa tìm được và rút về hệ với (n – 1) hàm Vd: (1) (2) ' 3 ' 2 3 ' ' 2 ' 2 t t t t t y x y e y y e y e x y e x y e   ′′ ′′ = − + − = − − + −   ⇒ ⇒   = + = +     (3) (3) " 3 ' 2 2⇔ − + = − t y y y e Tt cấp 2 hệ số hằng 2 1 2 2⇔ = + + t t t y C e C e te (2) ' 3⇒ = − + − t x y y e 2 1 2 2 (4 3) t t t C e C e t e= + + − 2 1 2 2 1 2 2 2( 1) 3( 2 ) = − − − + + + + − t t t t t t t C e C e t e C e C e te e 2 1 2 2 1 2 2 (4 3) 2  = + + −   = + +   t t t t t t x C e C e t e y C e C e te Cách khử cho hệ 2 pt (tuyến tính) 1. Lấy đạo hàm pt (1) theo t được (3) 2. Thay y’ từ pt (2) vào (3) được (4) 3. Rút y từ (1) thay vào (4) 4. Pt kết quả là pt cấp 2 theo ẩn hàm x và biến t 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) x a x b y f t y a x b y f t ′ = + +   ′ = + +  (1) (2) Nếu xuất phát từ pt (2), ta có pt cấp 2 theo y ( ) 3 ( ) 2 4 t x t x y e y t x y t  ′ = + +  ′ = + +  Ví dụ: (1) (2) Đạo hàm pt (1) theo t 3 t x x y e ′′ ′ ′ = + + ( ) (2) 43 2 t x x ex y t ′′ ′ ⇒ = + ++ + ( ) (1) 3 32 4 t t x x x e ex x t ′′ ′ ⇒ = + + − + + ′ − 7 10 3 t x x x e t ′′ ′ ⇒ − + = − + 7 10 3 t x x x e t ′′ ′ − + = − + 5 2 1 2 3 1 7 4 10 100 t t t x C e C e e t= + − + + 5 2 1 2 5 2 1 2 3 3 1 5 2 4 10 3 1 7 3 4 10 100 t t t t t t t t y x x e C e C e e C e C e e t e ′ = − − = + − +   − + − + + −  ÷   5 2 1 2 1 3 11 2 2 10 100 t t t C e C e e t= − + − − HỆ PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG 1 ( ) ( )    ÷  ÷  ÷   M n x t x t 1 ( ) ( ) ′    ÷  ÷  ÷ ′   M n x t x t 1 ( ) ( )    ÷  ÷  ÷   M n f t f t X’(t) = AX(t) + F(t) 11 1 1 : ma traän vuoâng caáp n    ÷ =  ÷  ÷   L L L L L n n nn a a A a a (Hệ ẩn hàm ) ' '( ) 2 1/ ' '( ) 3 t t x x t y e y y t x y e  = = +   = = − + −   ( ) ( ) ( ) x t X t y t   =  ÷   0 2 1 3 A   =  ÷ −   ( ) t t e F t e   =  ÷  ÷ −   Ví dụ [...]...  Pn1 Pn 2 K Pnn   yn  C1eλ1t  P K Pn   x1  P 11 12 1    x  P λ2t P22 K P2 n C2e    2  =  21             xn  Pn1 Pn 2 K Pnn  Cn eλnt    C1eλ1t  P K Pn   x1  P 11 12 1    x  P λ2t P22 K P2 n C2e  2  21   =             xn  Pn1 Pn 2 K Pnn  Cn eλnt    P 1 Pn P2  P C1eλ1t P C2eλ2t K P nC2eλnt  11 12 1   λnt λ1t λ2t...  2 1 = 1, P =  ÷, 1 1  1 1 = 2, P2 =  ÷,  1 Các nghiệm đltt của hệ thuần nhất  2 2t  1  X1 = e  ÷, X 2 = e  ÷ 1  1 t Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất  2 2t  1  X 0 = C1 X1 + C2 X 2 = C1e  ÷+ C2e  ÷ 1  1 t Tìm Xr bằng pp biến thiên hằng số: Trong X0 xem C1 và C2 là các hàm cố theo t Tìm C1 và C2 từ hệ: C 1( t)X1 + …+ C’n(t)Xn = F(t)  et  t  2 2t  1  ′ ′ ⇔ C1e ... Pk ′  x1 = 2 x2 (1)  ′  x2 = − x1 + 3x2  0 2 A= ÷,  1 3  P ( λ ) = det ( A − λ I ) = λ 2 − 3λ + 2 Trị riêng và VTR của A:  2 1 = 1, P =  ÷, 1 1 Nghiệm tổng quát:  1 1 = 2, P2 =  ÷,  1  x1  t  2 2t  1 X =  ÷ = C1e  ÷+ C2e  ÷ 1   1  x2  (2) ′  x1 = x1 + x2 + 2 x3  ′  x2 = x1 + x2 + 2 x3  x′ = 2 x + 2 x + 4 x  3 1 2 3 1 λ 1 2 1 1− λ 2 2 2 4−λ A − λI =  1 = 0 ⇔... ⇔ λ2 = 6 1 1 2 ⇔ X ′ =  1 1 2 ÷X  ÷  2 2 4÷   A = λ 2 (6 − λ ) = 0 ( A − λ1I ) P = 0  1 1 2   p1  ⇔  1 1 2 ÷ p2 ÷ = 0  ÷ ÷  2 2 4 ÷ p ÷   3  Chọn vector riêng:  1  2 P =  1 , P2 =  0 ÷ 1  ÷  ÷  0÷  1     1 2   p1   −5 ( A − λ2 I ) P = 0 ⇔  1 −5 2 ÷ p2 ÷ = 0  ÷ ÷  2 2 −2 ÷ p ÷   3  Chọn VTR: P3 = ( 1 1 2 ) T X1 = eλ1t P , X 2 = eλ1t P2 , 1 3 ⇒ X =... / 3  = 1/ 3 1/ 3 ÷    2 0 D= 0 5÷    y1   2 / 3 1 / 3   x1  Y = P X ⇔  ÷=  y 2   1 / 3 1 / 3 ÷ x 2 ÷    1  2 et − t   2 / 3 1 / 3   et   3 3÷ 1 P F= ÷ ÷ ÷ =  1  1 / 3 1 / 3   t   et + t ÷ 3 3 Hệ vi t lại theo y1, y2 Y′ = DY + P −1F  2 et − t  ′  y1   2y1   3 3÷ ⇔  ÷=  ÷ ÷+  1 ′2   5y 2   t t ÷ y e + 3 3  y′ = 2 y + 2 e t − t 1  1 3 3 ⇔... y′2 = 5y 2 + 1 et + t  3 3  y = − 2 et + t + 1 + C e2 t 1  1 3 6 12 ⇒  y 2 = − 1 e t − t + 1 + C 2 e5 t  12 15 75 ⇒ X = PY  x1   1 1   y1  hay  ÷ =  x 2   1 2 ÷ y 2 ÷    Cấu trúc nghiệm hệ tt không thuần nhất X0 : nghiệm tổng quát hệ pt thuần nhất X = X 0 + Xr X’(t) = AX(t) (1) Xr : nghiệm riêng hệ pt không thuần nhất Cấu trúc nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất X0 = C1X1 + C2X2 +... k k =1 X 3 = eλ2t P3 = e6t P2  1  2 1 0t  ÷ + C e 0t  0 ÷ + C e 6t  1 ÷ = C1e 1  ÷ 2  ÷ 3  ÷  0÷  1  2÷        C1 + 2C2 + C3e6t   x1   ÷ 6t ⇔  x2 ÷ =  −C1 + C3e ÷  ÷ x ÷   −C2 + 2C3e6t ÷ ÷  3    x1 (t ) = 3x1 + x 2 + e t ′ ( 2)   x′ (t ) = 2 x1 + 4 x 2 + t 2 3 1 A = 2 4÷    2t + 1  F= 3t ÷   Chéo hóa A  1 1 P= 1 2 ÷   Đặt : P 1  2 / 3 1 /... { Xk , k = 1, ,n }: hệ nghiệm độc lập tuyến tính của (1) PP biến thiên hằng số tìm Xr n X 0 ( t ) = ∑ Ck e k =1 λk t Pk = C1 X 1 + C2 X 2 + L + Cn X n X r ( t ) = C1 ( t ) X1 + C2 ( t ) X 2 + L + Cn ( t ) X n Ci tìm từ hệ pt: C 1( t)X1 + …+ C’n(t)Xn = F(t) Ví dụ  x1 = 2 x2 + et  ′ (1)  x2 = − x1 + 3 x2 − et  ′  Hệ thuần nhất: ′  x1 = 2 x2 (2)  ′  x2 = − x1 + 3 x2  0 2 A= ÷,  1 3   et... λn   yn   ′  y1  λ 0 K 0  y1  1  y′   0 λ K 0  y  2  2 =  2        ′     yn   0 0 K λn  yn  ′ y1 (t ) = λ y1 (t ) 1 y′ (t ) = λ y (t )  2 2 2 ⇔  yn (t ) = λ yn (t )  ′ n  y1 (t ) = C1eλ1t  λt  y2 (t ) = C2e 2 ⇔   λnt  yn (t ) = Ck e X = PY P K P n   y1   x1  P 11 12 1  x  P P22 K P2 n   y2     2  =  21       ...  P21C1e =    λnt  λ2t  P C eλ1t Pn 2C2e K PnnC2e   n1 1 X = C1Pe 1 λ1t + C2 P2e λ2t + L + Cn Pne λnt CẤU TRÚC NGHIỆM TỔNG QUÁT HỆ X’ = AX Định lý: Hệ X’ = AX(t), ma trận A có n giá trị riêng thực 1, λ2 … λn (kể cả trị riêng bội), và n vector riêng P1, P2 , … , Pn độc lập tuyến tính ⇒ Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất: n X ( t ) = [ x1 ( t ) , x2 ( t ) , K , xn ( t ) ] = ∑ ck e T k =1 λk . HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ĐỊNH NGHĨA F 1 (t,x 1 ,x 2 ,…, x n , x 1 ’,x 2 ’,…,x n ’) = 0 …. F n (t,x 1 ,x 2 ,…, x n , x 1 ’,x 2 ’,…,x n ’) = 0 Hệ tổng quát x 1 ’ = f 1 (t,x 1 ,x 2 ,…,.                K K K 1 P 2 P n P 1 2 1 1 2 2 n t t t n n X C Pe C P e C P e λ λ λ = + + +L 1 2 1 2 1 2 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 2 n n n t t t n t t t n t t t n. ÷   5 2 1 2 1 3 11 2 2 10 10 0 t t t C e C e e t= − + − − HỆ PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG 1 ( ) ( )    ÷  ÷  ÷   M n x t x t 1 ( ) ( ) ′    ÷  ÷  ÷ ′   M n x t x t 1 ( ) ( ) 