bài giảng phương trình vi phân cấp 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Bài toán dẫn về phương trình vi phân [ ] 0 ( ) 20 , (0) 100 dT k T t T C dt = − = Vận tốc nguội lạnh của một vật trong không khí tỷ lệ với hiệu giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí. Tìm quy luật giảm nhiệt của vật nếu nhiệt độ của không khí là 20 0 C và nhiệt độ ban đầu của vật là 100 0 C. Quy luật giảm nhiệt ⇔ sự thay đổi nhiệt độ theo thời gian Gọi nhiệt độ của vật là hàm số T theo biến thời gian t ⇒ PTVP BÀI TOÁN DẪN VỀ PTVP 1 ( ) 2 ( )= ∫ x y t dt xy x ( ) 2 ( ) 2 '( )y x y x xy x= + 2 '( ) ( ) 0xy x y x⇔ + = (1) 1y = Đạo hàm 2 vế Lưu ý: 1 x M(x,y) Tìm pt đường cong đi qua điểm (1, 1) nếu với đoạn [1, x] bất kỳ, diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong này bằng tích 2 lần tọa độ điểm M(x,y) thuộc đường cong (x>0, y>0) 1 BÀI TOÁN DẪN VỀ PTVP 0 400 /v m s= 20cm 100 /m s Giả thiết: lực cản của tường tỷ lệ bình phương vận tốc. Hỏi: thời gian viên đạn xuyên tường. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1.PTVP là phương trình mà hàm phải tìm nằm dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân 2.Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn hàm. 3.Nếu ẩn hàm là hàm 1 biến ⇒ PTVP thường. Nếu ẩn hàm là hàm nhiều biến ⇒ PTVP đạo hàm riêng. 4.Hệ PTVP là hệ gồm nhiều PTVP và nhiều ẩn hàm. NGHIỆM CỦA PTVP Xét ptvp thường cấp n: F(x,y,y’,…,y (n) ) = 0 (1) 1.Hàm số y = ϕ(x,c 1 ,…,c n ) thỏa mãn (1) với c i là các hằng số gọi là nghiệm tổng quát của (1). Nếu cho c i các giá trị cụ thể ta được nghiệm riêng của (1). 2.Hàm φ(x,c 1 ,…,c n , y) = 0 thỏa mãn (1) gọi là tích phân tổng quát của (1) (y được tìm ở dạng ẩn) Nếu cho c i các giá trị cụ thể ta đươc tích phân riêng của (1). NGHIỆM CỦA PTVP 3.Đồ thị của hàm nghiệm gọi là đường cong tích phân. 4.Hàm y = y(x) thỏa (1) nhưng không phải là nghiệm riêng được gọi là nghiệm kỳ dị của (1). Bài toán Cauchy cho ptvp cấp 1 Xét ptvp cấp 1: F(x, y, y’) = 0 (1) y’ = f(x, y) (2)Hoặc (2) Gọi là pt đã giải ra được đối với đạo hàm. Bài toán tìm hàm y thỏa (1) hoặc (2) với điều kiện ban đầu y(x 0 ) = y 0 Gọi là bài toán Cauchy. MỘT SỐ DẠNG PTVP CẤP 1 • Phương trình tách biến • Phương trình đẳng cấp • Phương trình tuyến tính cấp 1 • Phương trình vi phân toàn phần • Phương trình Bernoulli. PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN Phương trình có thể tách y và x về 2 vế khác nhau gọi là phương trình tách biến. f(y) dy = g(x) dx Phương pháp giải: tích phân 2 vế Nhận dạng: y’ = f(y)g(x) [...]... − 1 u '+ 1 = 2u u 1 ⇒ u' = 2u udu dx ⇒ = u 1 2 x ⇒ u + ln u − 1 = + C 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP  y y y′ = f  ÷ Đổi biến: u = x x 2 Vd: xyy ' = x − xy + y y u = ⇒ y = ux x 2 Hay: y = ux x y ⇒ y ' = 1+ y x ⇒ y' = u'x + u 1 Pt trở thành: u ' x + u = − 1 + u u 1 u ⇒ u'x = ⇒ u + ln|u -1| =− ln|x| + u PT ĐƯA VỀ ĐẲNG CẤP  ax + by + c  y′ = f  ÷  a1 x + b1 y + c1  a b =0 a1 b1 a b ≠0 a1 b1 Bước 1: ...3y2y’ = 2x (1) Ví dụ y(0) = 1 (2) 2 (1) ⇔ 3y dy = 2 xdx ⇔ ∫ 3y dy = ∫ 2 xdx 2 3 2 ⇔ y = x + C (3) ( tích phân tổng quát ) Thay x = 0, y = 1 vào TPTQ ⇒ C = 1 Vậy tích phân riêng là: y3 = x2 + 1 hay nghiệm của (1) và (2) là: y = 3 2 x +1 xy’ = y (1) 1. y = 0 là 1 nghiệm của pt 2.y ≠ 0: chia 2 vế cho xy (không xét TH x = 0) dy dx (1) ⇔ = y x ⇔ ln y = ln x + c ⇔ ln y − ln x... xy2 + 2xy = xy(y + 2) (1) dy 1 1 1  (1) ⇒ = xdx ⇒ ∫  − ÷dy = ∫ xdx y ( y + 2) 2  y y + 2 y 2 ⇒ ln = x +c y+2 y x2 ⇒ = Ce y+2 DẠNG ĐƯA VỀ TÁCH BiẾN y’ = f(ax + by + c) Vd: y’ = (4x + y – 1) 2 Pt trở thành u '− 4 = u 2 Đặt: u = ax + by +c u = 4x + y − 1 ⇒ u ' = 4 + y ' du ⇒ 2 = dx u +4 1 u ⇒ arctan = x + c 2 2 4x + y 1 ⇔ arctan = 2x + C 2 DẠNG ĐƯA VỀ TÁCH BiẾN 3 y − 3x − 1 y′ = 2 y − 2x Đặt ẩn hàm... = C, với x y (t + 0)dt tdt U ( x, y ) = ∫ +∫ 2 2 (t + 0) (x + t) 1 0 x = ln | x + y | + 1 x+ y PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1 (1) y’ + p(x) y = q(x) Toàn bộ pt chỉ chứa hàm bậc 1 theo y và y’ (2) y’ + p(x) y = 0: pt thuần nhất Cấu trúc nghiệm tổng quát của (1) : y = y0 + yr • y0 là nghiệm tổng quát của (2) • yr là 1 nghiệm riêng của (1) Bước 1: tìm y0 y’ + p(x) y = 0 (dạng tách biến) y0 = Ce − ∫ p ( x ) dx... ( 0 x ⇔ ∫ t+e 2 ( 1 t/ y ) dt + 1 1.dt = C y ) x x/ y ⇔ + y e 1 + y 1 = C 2 Giải pt: ( x + 2 y )dx ydy + =0 2 2 (x + y ) (x + y ) 2  x + 2 y ′ 2( x + y) − 2( x + y) ( x + 2 y) ′ = Py 2÷ = 4  ( x + y)  y ( x + y) = 2 −2 y − 2 xy ( x + y) 4  ′ y −2 ( x + y ) y ′ Qx =  2÷ =  ( x + y)  x ( x + y) ( x + 2 y )dx ydy + = 0 là pt vi phân toàn phần 2 2 ( x + y) ( x + y) Tích phân tổng quát: U(x,y)... + c = 0  a1x + b1 y + c1 = 0 x = X + x0 Với cặp nghiệm (x0, y0), đặt : y = Y + y0 X Pt trở thành: Y ′ = g  ÷ Y  Bước 2: giải pt đẳng cấp và trả về x, y Ví dụ Giải pt: (2 x − 4 y + 6) + y '( x + y − 3) = 0 −2 x + 4 y − 6 ⇒ y' = x + y −3 −2 x + 4 y − 6 = 0 x = 1 ⇔  x + y − 3 = 0 y = 2 Đổi biến: x = X + 1, y = Y + 2, pt trở thành −2( X + 1) + 4(Y + 2) − 6 −2 X + 4Y Y'= ⇔Y'= X +1+ Y + 2 − 3... p ( x ) dx − p( x )C ( x )e (1) để xác định C(x) − ∫ p ( x ) dx + p( x ) yr = q( x ) ⇒ C '( x ) = q( x )e ∫ p ( x ) dx Chọn C ( x ) = ∫ q( x )e ⇒ yr = e − ∫ p ( x ) dx ∫ p ( x ) dx ∫ q ( x )e ∫ dx p ( x ) dx dx Công thức nghiệm ptvp tuyến tính cấp 1 y=e Vd: − ∫ p ( x ) dx ( ∫ q ( x )e 3 ∫ p ( x ) dx dx + C 1 / xy '− y = x 1 ⇔ y '− y = x 2 p(x) = -1/ x , q(x) = x2 x 1 1  − ∫ dx  ∫ x dx 2 x ⇔y=e dx... 4(Y + 2) − 6 −2 X + 4Y Y'= ⇔Y'= X +1+ Y + 2 − 3 X +Y −2 X + 4Y Y'= X +Y Y −2 + 4 X ⇒Y'= Y 1+ X Đổi biến: Y = UX ⇒ Y’ = U’X + U −2 + 4U −U + 3U − 2 U 'X +U = ⇒U 'X = 1+ U 1+ U 2 (U + 1) dU −dX ⇒ 2 = X U − 3U + 2 (U + 1) dU − dX = X U 2 − 3U + 2 2 3 ⇒ − ln(U − 1) + ln U − 2 = − ln | X | + c 3 (U − 2) C ⇒ = 2 X (U − 1) 3 ⇒ (Y − 2 X ) = C (Y − X ) (trả về x, y) 2 ( f ( x, y ) = sin xy + ln x + y ∂f f x′ (... ∫ x dx 2 x ⇔y=e dx + C ÷ ∫x e  ÷    x2   x 2 1 dx + C  = x = x∫ ÷  +C÷ x    2  ) 2 / y '− 2 xy = 1 − 2 x ⇔ y=e − ∫ −2 xdx ∫ −2 xdx dx + C ∫ (1 − 2 x )e 2 x2 ( ∫ (1 − 2 x )e x2 ( xe =e =e ( 2 2 − x2 ) − x2 dx + C + C = x + Ce ) x2 ) x 1 2 3 / y + ∫ y (t )cos(t ) dt = sin x + 1 Đạo hàm 2 vế 2 0  y '+ y cos x = sin x cos x ⇔  y (0) = 1 (Đk ban đầu tại cận dưới tp) ⇔ y=e =e − ∫ cos xdx... )dt 3 2 9 2 = x + 2 xy − y 2 2 Vậy tích phân tổng quát là 3 2 9 2 U ( x, y ) = x + 2 xy − y = C 2 2 Ví dụ Giải pt: x x  x y÷ y  x + e dx + e 1 − ÷dy = 0  ÷  y   P(x,y) Q(x,y) x y x ′ ′ Py = − 2 e = Qx y Chọn : ( x0 , y0 ) = (0 ,1) x y x0 y0 U ( x, y ) = ∫ P (t , y )dt + ∫ Q( x0 , t ) dt x x  x y÷ y  x + e dx + e 1 − ÷dy = 0  ÷  y   Tích phân tổng quát: x y U ( x, y ) = ∫ P (t , . tính cấp 1 • Phương trình vi phân toàn phần • Phương trình Bernoulli. PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN Phương trình có thể tách y và x về 2 vế khác nhau gọi là phương trình tách biến. f(y) dy = g(x) dx Phương. đạo hàm. Bài toán tìm hàm y thỏa (1) hoặc (2) với điều kiện ban đầu y(x 0 ) = y 0 Gọi là bài toán Cauchy. MỘT SỐ DẠNG PTVP CẤP 1 • Phương trình tách biến • Phương trình đẳng cấp • Phương trình. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Bài toán dẫn về phương trình vi phân [ ] 0 ( ) 20 , (0) 10 0 dT k T t T C dt = − = Vận tốc nguội lạnh của một vật