Bài giảng phương trình vi phân

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO BÀI A CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP § 1.1 Các phương trình vi phân mơ hình tốn học • • Phương trình vi phân Một số dạng tốn I ĐẶT VẤN ĐỀ • Các quy luật vũ trụ viết theo ngôn ngữ Tốn học • Mơn Đại số đủ để giải nhiều tốn tĩnh • Tuy nhiên, hầu hết tượng tự nhiên đáng quan tâm lại liên quan tới biến đổi thường mô tả phương trình có liên quan đến thay đổi lượng, phương trình vi phân II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Định nghĩa Phương trình chứa hàm chưa biết hay nhiều đạo hàm gọi phương trình vi phân ( ) ( Định nghĩa F x, y, y ′, y ′′, , y (n) = y (n) = F x, y, y ′, y ′′, , y (n −1) ) phương trình vi phân cấp n Nghiệm phương trình vi phân hàm số thỏa mãn phương trình Ví dụ y ′′ + 3y ′ + 7y = x Các mơ hình tốn Hình 1.1.4 Q trình mơ hình tốn Ví dụ Suất biến đổi theo thời gian dân số P ( t ) nhi ều tr ườ ng hợ p n gi ản vớ i t ỷ lệ sinh, t không đổi th ườ ng t ỷ lệ vớ i s ố dân Ngh ĩa là: dP = kP dt (1) với k số tỷ lệ Hình 1.1.2 Quy luật nước Torricelli Phương trình (1) mơ tả q trình nước khỏi bể chứa Ví dụ Quy luật Torricelli nói suất biến đổi theo thời gian khối lượng nước V bể chứa (Hình 1.1.2) tỷ lệ với bậc hai độ sâu y nước bể: dV = −k y dt với k số Nếu bể chứa hình trụ trịn xoay với diện tích đáy A, V = Ay , d V/dt = A (dy /dt) Khi ph ương trình có ng: dy = −h y dt đ ó h = k/A số Ví dụ Quy luật giảm nhiệt Newton phát biểu sau: Suất biến đổi thời gian nhiệt độ T(t) vật thể tỷ lệ với hiệu số T nhiệt độ A mơi trường xung quanh (Hình 1.1.1) Nghĩa là: dT = −k (T − A) dt (2) đó, k số dương Nhận thấy T > A, dT/dt < 0, nhiệt độ hàm giảm theo t vật thể nguội Nhưng T < A, dT/dt > 0, T s ẽ t ăng lên Hình 1.1.1 Quy luật giảm nhiệt Newton, Phương trình (2) mơ tả hịn đá nóng bị nguội nước Vậy, quy luật vật lý diễn giải thành phương trình vi phân Nếu ta biết giá trị k A, ta tìm cơng thức tường minh cho T(t), dựa vào cơng thức đó, ta dự đốn nhiệt độ sau vật thể Định nghĩa Bài toán giá trị ban đầu dy = f ( x, y ) , dx y(x0) = y0 III MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN Kiểm tra hàm số nghiệm phương trình vi phân • 5(tr 23) y' = y + 2e−x, y = ex − e−x +) y' = ex + e−x +) y + 2e−x = ex + e−x = y' • (tr 23) Các hàm y1 = excosx, y2 = exsinx, y'' − 2y' + 2y = +) y1′ = ex(cosx − sinx) +) y1′′ = − 2exsinx +) y1′′ + 2y1 = −2exsinx + 2excosx = 2ex(cosx − sinx) = y1′ +) Tương tự có: y 2′ = ex(sinx + cosx); y 2′′ = 2excosx y 2′′ + 2y2 = 2excosx + 2exsinx = y 2′ Kiểm tra hàm số nghiệm phương trình vi phân với điều kiện ban đầu cho trước • 17(tr 23) y' + y = 0, y(x) = ce−x, y(0) = +) y' = −ce−x, y' + y = +) y(0) = ⇔ c = +) y = 2e−x • 23(tr 24) xy' + 3y = 2x5, y(x) = +) y ′ = x + cx −3 , y(2) = x − 3cx −4 +) xy ′ + y = 5 1  x − 3cx −3 +  x + cx  = 2x5 4  25 c +) y(2) = ⇔ + = ⇒ c = 8(1 − 8) = − 56 3) Tìm nghiệm có dạng cho trước dự đốn nghiệm • 15 (tr 23) Tìm nghiệm phương trình y'' + y' − 2y = dạng y = erx +) y' = rerx, y'' = r2erx +) r2erx + rerx − 2erx = ⇔ r2 + r − = ⇔ r = r = −2 +) y1 = ex, y2 = e− 2x • 39(tr 25) Hãy dự đốn nghiệm phương trình sau xy' + y = 3x2 +) Vế phải đa thức bậc hai +) Dự đoán: y = cx2 +) y' = 2cx, thay vào có x 2cx + cx2 = 3x2 ⇔ 3cx2 = 3x2, ∀ x ⇔ c = +) y = x2 nghiệm § Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng dạng tích phân • Nghiệm tổng qt, nghiệm riêng • Một số dạng tốn • Phương trình vi phân cấp Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng Định nghĩa dy = f (x) dx (1) y = g(x, C) nghiệm tổng quát (1) ⇔ g(x, C) thoả mãn (1) với C tuỳ ý Định nghĩa Hàm y thoả mãn phương trình dy = f ( x ) với điều kiện y(x0) = y0 dx gọi nghiệm riêng Ví dụ dy = 2x + dx Phương trình vi phân cấp hai: F ( x, y, y ′, y ′′) = y ′′ = f ( x, y , y ′) Ví dụ y ′′ + xy ′ + e x y = sin x Vận tốc, gia tốc, gia tốc số - Phương trình chuyển động: x = f(t) vận tốc: v = dx dt gia tốc: a = dv = d 2x dt dt () - Định luật Newton: F = ma ⇒ x ′′ = F t ⇒ x(t) m - Gia tốc số: a = F số, m dv = a ⇒ dv = a dt ⇒ v = at + c ⇒ dx = at + c ⇒ x = a t + c t + c 1 dt dt Ví dụ Một đĩa bay rơi xuống bề mặt Mặt trăng với vận tốc 450m/s Tên lửa hãm nó, cháy, tạo gia tốc 2,5m/s2 (gia tốc trọng trường mặt trăng coi bao gồm gia tốc cho) Với độ cao so với bề mặt Mặt trăng tên lửa cần kích hoạt để đảm bảo "sự tiếp đất nhẹ nhàng", tức v = chạm đất? Hình 1.2.4 Đĩa bay Ví dụ • Phương trình: v(t) = 2,5t − 450 • Đáp số: x0 = 40,5 km Do tên lửa hãm nên kích ohạt đĩa bay độ cao 40,5km so với bề mặt Mặt trăng, tiếp đất nhẹ nhàng sau phút giảm tốc Ví dụ Bài tốn người bơi Hình 1.2.5 Bài tốn người bơi Phương trình vi phân cho quỹ đạo người bơi qua sông Các dạng tốn 1) Tìm nghiệm phương trình thoả mãn điều kiện ban đầu • 7(tr 35) +) dy = +) y = dy 10 = , y(0) = dx x + 10 x2 + 10 dx ∫ x2 + dx = 10 tan−1 x + C +) y(0) = ⇔ + C = ⇔ C = +) y = 10 tan−1x ( dy v = − x2 dx v s a ) • 9(tr 35) +) dy = dy = , y(0) = dx 1− x 1− x +) y = ∫ 1− x2 dx dx = sin−1x + C +) y(0) = ⇔ + C = ⇔ C = +) y = sin−1x Tìm hàm vị trí x(t) chất điểm chuyển động với gia tốc a(t) cho trước, biết vị trí ban đầu x0 = x(0) vận tốc ban đầu v0 = v(0) • 13(tr 35) a(t) = 3t, v0 = 5, x0 = +) v'(t) = a(t) = 3t ⇒ v = 3t dt = t + C +) v0 = ⇔ = C ⇒ v = t + ∫ t3 3  +) x'(t) = v(t) ⇒ x =  t +  dt = + 5t + C 2  ∫ t3 + 5t • 15(tr 35) a(t) = 4(t + 3)2, v0 = −1, x0 = +) v'(t) = a(t) ⇒ v ( t ) = 4(t + 3)2 dt = (t + 3)3 + C v(0) = − = 33 + C ⇒ C = − 37 +) v = ( t + ) − 37 4  +) x'(t) = v(t) ⇒ x ( t ) =  (t + 3)3 − 37  dt = ( t + ) − 37t + C 3  x0 = 34 + C ⇒ C = −26 +) x ( t ) = ( t + ) − 37t − 26 +) x0 = ⇔ = C ⇒ x = ∫ ∫ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO Bài 1B § 1.3 Trường độ dốc đường cong nghiệm • Sự tồn tại, nghiệm • Một số dạng tốn I Đặt vấn đề • Cần có khẳng định định tính nghiệm phương trình vi phân • Xét dy = f ( x, y ) ⇒ y = f(x, y(x)) ⇒ y = ∫ f ( x, y ( x ))dx chưa phải nghiệm dx II Sự tồn nghiệm Định lí Sự tồn nghiệm dy = f ( x, y ) , f(a) = b dx (1) với f(x, y), fy(x, y) liên tục hình chữ nhật R ⊃ (a, b) bên trong, khoảng mở I chứa a tốn (1) có nghiệm xác định I Chú ý - Việc vi phạm điều kiện định lí phá vỡ tính • dy =2 y dx • fy ( x, y ) = gián đoạn (0 ; 0) y • Có hai nghiệm thoả mãn: y1 = x2; y2 = - Vi phạm giả thiết định lí làm tốn vơ nghiệm • x dy = 2y , y(0) = dx • Nghiệm: dy = dx ⇒ ln|y| = 2ln|x| + ln|c| ⇒ y = cx2 y x • y(0) = 1, khơng có c ⇒ vơ nghiệm - Có hay khơng phương trình vi phân khơng thoả mãn giả thiết có nghiệm? III Dạng toán bản: Kiểm tra tồn nghiệm phương trình vi phân cấp • 11(52) dy = x y , y(1) = −1 dx +) f(x, y) = 2x2y2 liên tục hình chữ nhật +) f'y(x, y) = 4x2y liên tục hình chữ nhật +) Tồn nghiệm khoảng mở chứa điểm • 19(52) dy = ln (1 + y ) , y(0) = dx +) f(x, y) = ln(1 + y2) liên tục hình chữ nhật +) fy′ ( x, y ) = 2y 1+ y liên tục hình chữ nhật +) Tồn nghiệm khoảng mở chứa điểm • 15(52) dy = x − y , y(2) = dx +) f ( x, y ) = x − y khơng liên tục hình chữ nhật khơng xác định với y > x +) Không thoả mãn định lí • 13(52) dy = y , y(0) = dx +) f ( x, y ) = y liên tục hình chữ nhật − +) fy′ ( x, y ) = y khơng liên tục hình chữ nhật chứa +) khơng thoả mãn định lí dy +) / = dx ⇒ x = y / + C y y(0) = ⇒ = 3 +C⇒C= − 2  3 3 2 +) x = y − ⇒ y =   x +   2 2 3  2  +) y =  x + 1 3  có § 1.4 Phương trình vi phân phân li biến số ứng dụng • Phương trình vi phân phân li biến số • Một số dạng tốn I Đặt vấn đề - ax2 + bx + c = ⇒ x = −b ± ∆ ∆ ≥ 2a - Có hay khơng cách giải phương trình vi phân? II Phương trình vi phân phân li biến số 1) Định nghĩa f(y) dy = g(x) dx 2) Cách giải ∫ f ( y )dy = ∫ g ( x )dx F ( y ) = ∫ g ( x ) dx Định nghĩa • K(x, y) = thoả mãn phương trình vi phân gọi nghiệm ẩn • y = f(x, c) thoả mãn phương trình vi phân gọi nghiệm tổng quát • y = ϕ(x) thoả mãn phương trình vi phân khơng thể nhận từ nghiệm tổng quát với C gọi nghiệm kì dị 3) Một số ứng dụng a) Sinh trưởng tự nhiên thối hố • Sự tăng dân số: dP = ( β − δ ) x dt β tỉ lệ sinh, δ tỉ lệ chết b) Lãi luỹ tiến dA = rA dt A lượng đô la quỹ tiết kiệm thời điểm t, tính theo năm r tỉ lệ lãi luỹ tiến tính theo năm c) Sự phân rã phóng xạ dN = −kN dt k phụ thuộc vào loại đồng vị phóng xạ d) Giải độc dA = −λ A dt λ số giải độc thuốc f (t + ) + f (t −) Từ Định lý 1có thể phát biểu cách khác sau: Chuỗi Fourier hàm trơn khúc f hội tụ với t tới giá trị trung bình định lí Đó lý để viết : f (t ) = ∞ a nπ t nπ t f (t ) = + (an cos + bn sin ) n =1 L L ∑ Dạng toán Khai triển hàm liên tục khúc cho chu kì tồn phần thành chuỗi Fourier −2, • 1(tr 328) f ( t ) =  2, −3 < t < 0