Bài giảng môn học phương trình vi phân

CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ⎧ dS I ⎪ dt = − β N S ⎪ ⎪⎪ dI = β I S − gI N ⎨ dt ⎪ dR = gI ⎪ ⎪ dt ⎪⎩ N = S + I + R dx = a − bx dt dy = bx − cy dt 3.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một: A DẠNG: Hệ khơng ( ẩn hàm – hệ số ) ⎧ x1 ' = a x1 + b x2 + f1( t ) ⎨ ⎩ x2 ' = c x1 + d x2 + f ( t ) Hệ f1, f 2 đồng không Điều kiện ban đầu: x1( t0 ) = b1, x2 ( t0 ) = b2 Nghiệm tổng quát: xi = ϕi ( t, C1 , C2 ) , i = 1, thỏa mãn hệ phương trình Nghiệm riêng: VD1: HPTVP cấp dx1 = x1 − 3x2 dt dx2 = x1 − x2 dt Nghiệm tổng quát: 2t −5t x1( t ) = c1e + c2e x2 ( t ) = c1e 2t + c2e −5t Với điều kiện ban đầu: x1 ( ) = , x2 ( ) = −1 ⇒ c1 = c2 = −3 Do đó, nghiệm riêng x1( t ) = 3e − e 2t −5t x2 ( t ) = 2e 2t − 3e −5t VD2: HPTVP tuyến tính cấp khơng nhất: x′ = x + y − y' = x + y + 7t Nghiệm tổng quát x( t ) = c1e + c2e t y( t ) = −2c1e + 4c2e t + t −1 7t 7t − 3t + ĐỊNH LÝ Sự tồn nghiệm hệ tuyến tính Giả sử hàm f1, f liên tục khoảng mở I chứa điểm t0 Hệ có nghiệm I thoả mãn x1( t0 ) = b1, x2 ( t0 ) = b2 3.2 Phương pháp khử: CÁCH GIẢI Khử biến hàm từ phương trình vi phân cấp ( cấp hai), đưa phương trình vi phân cấp cao chứa biến hàm Giải phương trình vi phân cấp cao Sử dụng phép khử tìm biến cịn lại VD3 Giải hệ phương trình vi phân dx = 4x − 3y dt (1) dy = 6x − y dt (2) thỏa mãn x ( ) = 2, y ( ) = −1 VD 10( tiếp) d X ⎡ −3⎤ =⎢ X ⎥ dt ⎣ −7 ⎦ ⎡3e ⎤ ⎡e ⎤ X ( t ) = c1 ⎢ 2t ⎥ + c2 ⎢ −5t ⎥ nghiệm tổng ⎣ 2e ⎦ ⎣3e ⎦ 2t có quát −5 t D PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ RIÊNG, GIÁ TRỊ RIÊNG B1: Giải phương trình đặc trưng A − λ I = để tìm giá trị riêng λ1 ,λ2 , B2: *) Trường hợp λi thực phân biệt: !" !" " Giải ( A − λi I ) v i = , tìm véc tơ riêng ( thực) v i HPT có nghiệm riêng (thực) độc lập tuyến tính !" λ t X i (t ) = v ie i *) Trường hợp λi thực lặp λ1 = λ2 : !" " Giải ( A − λ1 I ) v = , tìm véc tơ riêng thứ !" ( thực) v !" ! !" Tìm véc tơ riêng thứ hai : ( A − λ2 I ) v = v HPT có nghiệm riêng (thực) độc lập tuyến tính !" λ t X1 ( t ) = v1e !" !" ! λt X ( t ) = v1 t + v e ( ) *) Trường hợp λi ,λi phức: !" vi !" " Giải ( A − λi I ) v i = , tìm véc tơ riêng ( phức) !" λ t Hệ PT có nghiệm phức X i ( t ) = v i e i () ( ( )) () ( ( )) Tìm X1 t = Re X i t ; X t = Im X i t hai nghiệm (thực) độc lập tuyến tính B3: Nghiệm tổng quát X ( t ) = ∑ ci X i ( t ) i để VD 11: Giải hệ phương trình vi phân x1′ = x1 + x2 x2′ = x1 − x2 VD12 Giải hệ phương trình vi phân dx1 = x1 − x2 dt dx2 = x1 + x2 dt thỏa mãn x1( ) = 10, x2 ( ) = −5 VD13 Giải hệ phương trình vi phân ⎡ −2 ⎤ ⎥ x x′ = ⎢ ⎢ −1 −4 ⎥ ⎣ ⎦ BÀI TẬP VỀ NHÀ: (5.4) Trang 82-83: (5.6) Trang 121: 3, 5, 7, 9, 11, 13 2, ÔN TẬP CUỐI KÌ: Hình thức thi: Tự luận - Thời gian: 60 phút Câu ( 2,5 điểm) : Giải phương trình vi phân cấp • Phương trình vi phân với biến số phân li • Phương trình nhất(đẳng cấp) • Phương trình vi phân tồn phần Câu ( 2,5 điểm): Giải phương trình vi phân cấp hai đổi biến hạ bậc • PT tuyến tính cấp y ( x) • Phương trình Bernoully y ( x) • Phương trình vi phân cấp khuyết y • Phương trình cấp khuyết x Câu ( 2,5 điểm): Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với hệ số • PTVP cấp ba • PTVP cấp hai khơng o Phương pháp hệ số bất định o Phương pháp biến thiên tham số Câu ( 2,5 điểm): Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính KHƠNG nhất: o Phương pháp khử o Phương pháp toán tử vi phân tuyến tính Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính o Phương pháp véc tơ riêng, giá trị riêng ĐỀ THI ( 60 phút) Câu 1: Giải PTVP cấp một: xy + y − x y' = Câu 2: Giải PTVP cấp một: y' + y = e x y Câu 3: Giải PTVP cấp hai: y'' + y' + y = + sinx Câu 4: Giải HPTVP: x1′ = −4 x1 + x2; x2′ = x1 − x2 thỏa mãn x1 ( ) = 3, x2 ( ) = −5 ĐỀ THI ( 60 phút) dy y y π Câu 1: Giải PTVP cấp một: = + ta n , y (1) = dx x x Câu 2: Giải PTVP cấp hai: y' y''− − x ( x − 1) = 0, y ( ) = 1, y' ( ) = x −1 Câu 3: Giải PTVP cấp ba: ( 3) y + 10 y'' + 25 y' = 0; y ( ) = 3, y' ( ) = 4, y ( ) = Câu 4: Giải HPTVP: x' = − x + y + t, y' = −2 x − y ĐỀ THI ( 60 phút) ( Câu 1: Giải PTVP cấp một: e + ye + e + xe x Câu 2: Giải PTVP cấp một: (x xy y yx ) y' = − 1) y' + ( x − 1) y = 1 Câu 3: Giải PTVP cấp hai: y'' + y = sin x Câu 4: Giải HPTVP: x'' + 13 y' − x = sint y'' − x' − y = ... phương trình vi phân cấp • Phương trình vi phân với biến số phân li • Phương trình nhất(đẳng cấp) • Phương trình vi phân tồn phần Câu ( 2,5 điểm): Giải phương trình vi phân cấp hai đổi biến hạ bậc... b1, x2 ( t0 ) = b2 3.2 Phương pháp khử: CÁCH GIẢI Khử biến hàm từ phương trình vi phân cấp ( cấp hai), đưa phương trình vi phân cấp cao chứa biến hàm Giải phương trình vi phân cấp cao Sử dụng phép... Giải hệ phương trình vi phân x1′ = x1 + x2 x2′ = x1 − x2 VD12 Giải hệ phương trình vi phân dx1 = x1 − x2 dt dx2 = x1 + x2 dt thỏa mãn x1( ) = 10, x2 ( ) = −5 VD13 Giải hệ phương trình vi phân ⎡