Bài giảng môn học phương trình vi phân (đại học thủy lợi)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO ( tiếp) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai a DẠNG A( x )y" + B( x )y' + C( x )y = F( x ) • F ( x ) ≡ phương trình • F ( x ) ≠ phương trình khơng • Phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số Ay" + By' + Cy = F( x ) VD3: Nhận dạng PTVP tuyến tính cấp hai nhất, khơng nhất, có hệ số : −1 a) e y" + (cos x )y' + ( + x )y = tan x x b) e x y" + (cos x )y' + ( + x )y = −1 c) y" + y' − y = tan x d) y" = yy' b ĐỊNH LÝ 1: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Giả sử p, q f hàm liên tục khoảng mở D chứa điểm a Khi phương trình y" + p( x )y' + q( x )y = f ( x ) có (một một) nghiệm khoảng D thỏa mãn điều kiện y( a ) = b0 , y'( a ) = b1 c Sự độc lập tuyến tính hai hàm f(x) g(x) gọi độc lập tuyến tính D W(f,g) = f g f' g' ≠ , ∀x ∈ D f(x) g(x) gọi phụ thuộc tuyến tính chúng khơng độc lập tuyến tính VD4: a) Chứng tỏ y1( x ) = e , y2 ( x ) = e 2x 3x độc lập tuyến tính ∀x ∈! b) Chứng tỏ y1( x ) = x, y2 ( x ) = x ln x độc lập tuyến tính ∀ x > c ĐỊNH LÝ : A ( x ) y" + B ( x ) y' + C ( x ) y = (1) Nếu y1 y2 hai nghiệm (riêng) PT (1) Y = c1 y1( x ) + c2 y2 ( x ) nghiệm PT(1) Nếu y1 y2 hai nghiệm độc lập tuyến tính nghiệm tổng quát PT(1) Y = c1 y1( x ) + c2 y2 ( x ) VD5 PTVP y" − y' + y = • có y1( x ) = e , y2 ( x ) = e 2x 3x nghiệm PT nên y( x ) = C1e + C2 e nghiệm 2x 3x • có y1( x ),y2 ( x ) độc lập tuyến tính Vậy y( x ) = C1e + C2 e nghiệm tổng quát 2x 3x VD6 Cho PTVP x y"− xy'+ y = y1( x ) = x, y2 ( x ) = x ln x Chứng minh y( x ) = C1 y1( x ) + C2 y2 ( x ) = C1x + C2 x ln x nghiệm tổng quát 2.4 Phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số DẠNG : Ay" + By' + Cy = (1) CÁCH GIẢI: • Viết phương trình đặc trưng Ar + Br + C = • Giải phương trình (2) (2) b ĐỊNH LÝ : Nghiệm tổng qt phương trình khơng : y(x) = yc + yp • y c hàm bù PT không (nghiệm tổng quát phương trình nhất) • y p nghiệm riêng PT khơng VD10: Phương trình y" − y' + y = x có • y c = e2 x ( c1 cos x + c2 sin x ) • yp = x + nên nghiệm tổng quát phương trình y(x) = yc + yp = e ( c1 cos x + c2 sin x ) + x + 2x c ĐỊNH LÝ : Nguyên lí chồng chất nghiệm riêng phương trình khơng Nếu P0 y( n ) + + Pn−1 y ' + Pn y = F1 ( x ) có nghiệm riêng y P P0 y (n) + + Pn−1 y ' + Pn y = F2 ( x ) có nghiệm riêng y P P0 y (n) + + Pn−1 y' + Pn y = F1 ( x ) + F2 ( x ) có nghiệm riêng yP = y P + y P VD11 • Phương trình y" − y' + y = x có y P = x + 1 x • Phương trình y" − y' + y = e có y P = e x y" − y' + y = x + e có x Suy ra, phương trình x nghiệm riêng y P = y P + y P = x + + e 2 2.7 Bài tốn tìm nghiệm riêng phương trình tuyến tính cấp n khơng nhất: A Phương pháp hệ số bất định: Điều kiện: Chỉ áp dụng hàm F(x) tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) tích hàm: đa thức x, hàm mũ eax , cos bx sin bx VD12: a ) y′′ + y = 2e x x b ) y′′ + y = x cos x + sin x CÁCH GIẢI: • • Tìm hàm bù yc Viết nghiệm riêng dạng hình thức: ( bảng trang sau) • Thay nghiệm riêng y p đạo hàm vào phương trình, đồng hệ số tìm nghiệm riêng yp F(x) s ax x e Qm ( x ) e Pm ( x ) ax (s số nghiệm PTĐT trùng với a) x e ( Qk ( x ) cosbx + Rk ( x ) sinbx ) s ax e ( Pm ( x ) cos bx ax + H n ( x ) sinbx ) với đk: k = max( m,n ) (s số nghiệm PTĐT trùng với a+bi) VD13: Giải phương trình vi phân a) y ′′ − y ′ + y = 10x b) y ′′ − y ′ + y = e x c) y ′′ − y ′ + y = e cos 2x x d) y ′′ − y ′ + y = e + 10x x e) y ′′ + y' = 10x f) y ′′ + y' = e + 10x x VD 14 Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân (3) y + y ′′ = 3e + cos x + 2sin x x BÀI TẬP VỀ NHÀ: ( 2.5) Trang 232: 3, 5, 9, 11, 13, 17, 31, 33, 35, 37 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO ( tiếp) 2.7 Bài tốn tìm nghiệm riêng phương trình tuyến tính cấp n khơng nhất: B Phương pháp biến thiên tham số giải () PTVP P0 y + P1 y'+ P2 y = F x '' VD 15 a ) y′′ + y' + y = 4e b ) y′′ + y = tan x x CÁCH GIẢI: • Tìm hàm bù có dạng yc = c1 y1 + c2 y2 • Tính W(y1 , y ) = y1 y2 y1 ' y2 ' • Nghiệm riêng y p ( x ) = − y1 ( x ) ∫ y2 ( x ) f ( x ) y1 ( x ) f ( x ) dx + y2 ( x ) ∫ dx W ( x) W ( x) VD16 Tìm nghiệm riêng phương trình x ′′ a ) y + y' + y = 4e b ) y′′ + y = tan x c ) y′′ + y′ + y = 2x 1+ e Giải BÀI TẬP VỀ NHÀ: ( 2.5) Trang 234: 49, 53, 54 CHÚ Ý: 1 sec x = , csc x = cos x sin x ...2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai a DẠNG A( x )y" + B( x )y' + C( x )y = F( x ) • F ( x ) ≡ phương trình • F ( x ) ≠ phương trình khơng • Phương trình tuyến tính cấp... riêng phương trình vi phân (3) y + y ′′ = 3e + cos x + 2sin x x BÀI TẬP VỀ NHÀ: ( 2.5) Trang 232: 3, 5, 9, 11, 13, 17, 31, 33, 35, 37 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO ( tiếp) 2.7 Bài tốn... VD11 • Phương trình y" − y' + y = x có y P = x + 1 x • Phương trình y" − y' + y = e có y P = e x y" − y' + y = x + e có x Suy ra, phương trình x nghiệm riêng y P = y P + y P = x + + e 2 2.7 Bài