Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân, đạo hàm riêng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC Giảng viên hướng dẫn: TS Vũ Trọng Lưỡng BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN CÁC BÀI TOÁN DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, ĐẠO HÀM RIÊNG Thuộc nhóm ngành khoa học: Tự nhiên Sơn La, tháng 05 năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN CÁC BÀI TOÁN DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, ĐẠO HÀM RIÊNG Thuộc nhóm ngành khoa học: Tự nhiên Sinh viên thực hiện: Vũ Thị Hồng Nhung Giới tính: Nữ Dân tộc: Kinh Nguyễn Thị My Giới tính: Nữ Dân tộc: Kinh Nguyễn Thị Ngoan Giới tính: Nữ Dân tộc: Kinh Vũ Thị Ngọc Mai Giới tính: Nữ Dân tộc: Kinh Nguyễn Như Quỳnh Giới tính: Nữ Dân tộc: Kinh Lớp: K55 ĐHSP Toán Khoa: Toán – Lý – Tin Năm thứ 3/Số năm đào tạo: Ngành học: Sư phạm Toán Sinh viên chịu trách nhiệm chính: Vũ Thị Hồng Nhung Người hướng dẫn: TS Vũ Trọng Lưỡng Sơn La, tháng 05 năm 2017 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu I Các toán dẫn đến phương trình vi phân 11 Một số mô hình toán học vật lý, học, kĩ thuật 11 1.1 Định luật thứ hai Newton chuyển động 11 1.2 Phương trình chuyển động hành tinh Hệ Mặt Trời 15 1.3 Phương trình vi phân cho mạch điện 17 1.4 Phương trình phóng xạ 19 Một số mô hình toán học sinh thái học quần thể 19 2.1 Mô hình quần thể đơn loài 19 2.2 Mô hình thú mồi 20 2.3 Mô hình cạnh tranh hai loài 22 II Các toán dẫn đến phương trình đạo hàm riêng 23 Phương trình dao động dây 23 Phương trình dao động màng 27 Phương trình truyền nhiệt 32 Sự khuếch tán không gian ba chiều 34 Phương trình Laplace 35 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 LỜI CẢM ƠN Lời chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy T.S Vũ Trọng Lưỡng, người định hướng nghiên cứu hướng dẫn tận tình chúng em, giúp đỡ chúng em tài liệu nghiên cứu động viên chúng em có nghị lực hoàn thành đề tài Trong trình làm đề tài, chúng em nhận giúp đỡ thầy cô giáo khoa Toán - Lý - Tin, đặc biệt thầy cô tổ môn Giải tích, Phòng KHCN & HTQT, thư viện trường Đại học Tây Bắc, bạn sinh viên lớp K55 ĐHSP Toán Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên quý thầy cô, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để chúng em hoàn thành đề tài Nhân dịp chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn giúp đỡ quý báu nói Sơn La, tháng năm 2016 Nhóm sinh viên thực Vũ Thị Hồng Nhung Nguyễn Thị My Vũ Thị Ngọc Mai Nguyễn Thị Ngoan Nguyễn Như Quỳnh MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình vi phân đạo hàm riêng nội dung mẻ, thú vị sinh viên thường gặp nhiều khó khăn việc nghiên cứu học tập nội dung Đặc biệt việc học tập nghiên cứu mô hình giải tích dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng trình tượng vật lí, hóa, sinh, kiến thức sử dụng nhiều giải tích ứng dụng Các toán phương trình vi phân đạo hàm riêng toán hay có nhiều ứng dụng khoa học kĩ thuật đời sống Vì vậy, chúng em chọn đề tài nghiên cứu toán dẫn đến phương trình vi phân đạo hàm riêng MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Đề tài thực nhằm củng cố nâng cao kiến thức phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng - Tìm hiểu tổng hợp có hệ thống toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng hóa học, sinh học, vật lí ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Các toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Sưu tầm, đọc nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp kiến thức Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày với giáo viên hướng dẫn từ tổng hợp kiến thức trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua thực kế hoạch hoàn thành đề tài CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI Với mục đích phần mở đầu, ký hiệu kiến thức liên quan đề tài chia làm hai chương với nội dung sau: Chương I: Các toán dẫn đến phương trình vi phân Bao gồm: Một số mô hình toán học vật lí, học, kĩ thuật - Định luật thứ hai Newton chuyển động - Phương trình dao động lắc - Phương trình chuyển động hành tinh Hệ Mặt Trời - Phương trình vi phân cho mạch điện - Phương trình phóng xạ Một số mô hình toán học sinh thái học quần thể - Mô hình quần thể đơn loài - Mô hình thú mồi - Mô hình cạnh tranh hai loài Chương II: Các toán dẫn đến phương trình đạo hàm riêng Bao gồm: - Phương trình dao động dây - Phương trình dao động màng - Phương trình truyền nhiệt - Phương trình truyền sóng - Sự khuếch tán không gian ba chiều - Phương trình Laplace KÍ HIỆU VÀ KIẾN THỨC LIÊN QUAN KÍ HIỆU Giả sử Ω tập mở Rn x ∈ Ω hàm số u : Ω → R Khi ta kí hiệu: ∂u ( uxi (x)) đạo hàm riêng u theo biến xi điểm x ∂xi ∂ 2u (x) ( uxj xi (x)) đạo hàm riêng cấp hai u theo biến xj , xi điểm x ∂xj ∂xi Dm u = ∂αu cho |α| = α1 + α2 + + αn = m tập hợp tất đạo hàm ∂xα1 ∂xαnn riêng cấp m hàm u Ở α = (α1 , , αn ) ∈ Nn gọi đa số Khi m = ta kí hiệu ∇ vectơ gradient ∂2 gọi toán tử Laplace i=1 ∂xi n ∆ = Ω ⊂ Rn gọi miền Ω tập mở tập liên thông Giả sử Ω miền bị chặn Rn , kí hiệu ∂Ω biên Ω Ta nói Ω thuộc lớp C k điểm x0 ∈ ∂Ω tồn lân cận Ux0 điểm x0 Rn cho ∂Ω ∩ Ux0 nằm siêu mặt xi = f (x1 , , xi−1 , xi+1 , , xn ) Với f ∈ C k (G), G miền biến thiên đối số Ta nói Ω trơn thuộc lớp C k , với k Ta nói miền Ω trơn khúc biên hợp hữu hạn mặt cong trơn Đối với miền ta có công thức Ostrogradsky - Gauss sau n Ω i=1 ∂ui dx = ∂xi n ui vi ds ∂Ω i=1 Ở u = (u1 , u2 , , un ) hàm vectơ từ Ω vào Rn ui ∈ C (Ω), v = (v1 , v2 , , ) vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ∂Ω Trong trường hợp u hàm vô hướng đặt uj = 0, j = i ui = u công thức Ostrogradsky - Gauss trở thành công thức Gauss-Green ∂u dx = ∂xi Ω uvi ds ∂Ω Từ công thức thay u uv, u, v ∈ C (Ω) ta có công thức tích phân phần sau u Ω ∂v dx = − ∂xi v Ω ∂u dx + ∂xi uvvi ds ∂Ω Bây ta xét công thức Ostrogradsky - Gauss trường hợp n = hàm vectơ → − u (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) với P, Q, R ∈ C (Ω), tổng ∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z − − gọi divergence → u , ký hiệu div → u Đó đại lượng vô hướng Công thức Ostrogradsky - Gauss viết dạng vectơ sau → − − u→ n ds − div → u dxdydz = Ω ∂Ω hay ( ∂P ∂Q ∂R + + )dxdydz = ∂x ∂y ∂z Ω (P cos α + Q cos β + R cos γ)ds ∂Ω − với → n = (cos α, cos β, cos γ) Công thức Ostrogradsky - Gauss phát biểu sau − Thông lượng trường vectơ → u (x, y, z) qua mặt ∂Ω hướng tích phân bội − ba div → u miền Ω ĐẠO HÀM Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a; b), x0 ∈ (a; b) Giới hạn hữu hạn (nếu có) tỷ số f (x) − f (x0 ) x −→ x0 gọi đạo hàm hàm số cho x0 , kí hiệu x − x0 f (x0 ) hay y (x0 ) Như f (x0 ) = lim x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 Nếu đặt x − x0 = ∆x∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ta có ∆y ∆x→0 ∆x f (x0 ) = lim Đại lượng ∆x gọi số gia đối số x0 đại lượng ∆y gọi số gia tương ứng hàm số PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Một phương trình vi phân thường (gọi tắt phương trình vi phân) phương trình chứa ẩn hàm x = x(t) biến độc lập t ∈ R đạo hàm x, x , x”, ẩn hàm Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm ẩn hàm có mặt phương trình Như vậy, phương trình vi phân cấp n có dạng F (t, x, x , , xn ) = (0.1) Ở F hàm biết Phương trình (0.1) gọi phương trình tuyến tính F hàm tuyến tính hàm biến x, x , , , xn , trường hợp ngược lại, phương trình (0.1) gọi phi tuyến Phương trình (0.1) gọi otonom F không phụ thuộc tường minh vào t, tức F = F (x, x , , xn ), gọi không otonom F phụ thuộc tường minh vào t Nói riêng, phương trình vi phân cấp viết dạng F (t, x, x ) = (0.2) Hàm x = x(t), t ∈ I, gọi nghiệm hiện( gọi nghiệm tường minh) (0.2) F (t, x(t), x (t)) = (0.1) Hệ thức ψ(t, x) = gọi nghiệm ẩn (0.2) xác định ta x2 Y = T0 ∂ 2u dx ∂x2 x1 Ta gọi p(x, t) ngoại lực tác động vào dây, song song với trục u phân phối đơn vị chiều dài Khi đó, hình chiếu trục u ngoại lực tác dụng lên đoạn M1 M2 dây x2 P = p(x, t)dx x1 Gọi ρ(x) tỉ trọng dài sợi dây (mật độ phân bố vật chất theo chiều dài) Khi lực quán tính Z đoạn M1 M2 bằng: x2 Z=− ρ(x) ∂ 2u dx ∂t2 x1 Như tổng hình chiếu xuống trục u lực tác động vào đoạn M1 M2 bằng: x2 T0 Y +Z +P = x1 ∂ 2u ∂ 2u − ρ(x) + p(x, t) dx = ∂x2 ∂t2 Vì x1 , x2 trị số bất kỳ, nên từ với giả thiết đại lượng dấu tích phân liên tục, ta suy đại lượng phải không, ρ(x) ∂ 2u ∂ 2u = T + p(x, t) ∂t2 ∂x2 (1.1) Đây phương trình dao động dây Nếu dây đồng chất, tức ρ = const (1.1) có dạng ∂ 2u 2∂ u = a + f (x, t) ∂t2 ∂x2 (1.2) với T0 ρ a= 25 (1.3) f (x, t) = p(x, t) ρ Nếu ngoại lực tác động, nghĩa p(x, t) = 0, (1.2) trở thành ∂ 2u ∂u =a ∂t2 ∂x2 (1.4) Phương trình (1.1) có vô số nghiệm Vì vậy, để xác định nghiệm, cần ấn định thêm điều kiện phụ Đứng phương diện vật lý điều rõ ràng Rõ ràng sợi dây thời điểm ban đầu t = có hình dạng khác nhau, vận tốc điểm dây khác chế độ hai đầu dây khác (gắn chặt hay cho chuyển động theo quy luật đấy) dây dao động khác Vì để xác định quy luật dao động sợi dây, cần phải cho hình dáng sợi dây vận tốc điểm thời điểm ban đầu chế độ chuyển động hai đầu dây Đứng phương diện toán, hoành độ hai đầu dây x = x = l điều tương đương với việc tìm nghiệm phương trình (1.1) ρ(x) ∂ 2u ∂ 2u = T + p(x, t) ∂t2 ∂x2 thỏa mãn điều kiện     u(x, 0) = ϕ0 (x) (1.5)   ∂u   (x, 0) = ϕ1 (x) ∂t x l     u(0, t) = µ1 (t)    u(l, t) = µ2 (t) 26 (1.6) (1.5) gọi điều kiện ban đầu, (1.6) gọi điều kiện biên Nếu sợi dây dài mà ta quan tâm khảo sát khoảng dây xa đầu, chẳng hạn đầu x = l, khiến cho ảnh hưởng đầu bỏ qua được, ta coi đầu xa vô hạn điều kiện (1.5) (1.6) trở thành     u(x, 0) = ϕ (x) 0 x +∞ (1.7)   ∂u   (x, 0) = ϕ1 (x) ∂t (1.8) u(0, t) = µ(t) Nếu khoảng dây ta xét xa hai đầu, ta coi toán điều kiện biên Khi (1.5) trở thành     u(x, 0) = ϕ0 (x) −∞ x +∞ (1.9)   ∂u   (x, 0) = ϕ1 (x) ∂t Những điều kiện biên điều kiện ban đầu có nhiều dạng khác với dạng kể Bài toán tìm nghiệm phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.9) (không có điều kiện biên) gọi toán Cauchy phương trình (1.1), toán với điều kiện (1.5), (1.6) gọi toán hỗn hợp phương trình (1.1) Phương trình dao động màng Xét màng mỏng, cân nằm mặt phẳng xOy Bằng cách đó, ta làm màng dao động Ta nghiên cứu quy luật dao động màng Ta giả thiết màng mỏng, không cưỡng lại uốn, trọng lượng nhỏ so với lực căng mặt, bỏ qua trọng lượng 27 Giả thiết màng dao động ngang độ lệch điểm M (x, y) màng ký hiệu u Rõ ràng u = u(x, y, t) Hơn nữa, giả thiết dao động màng nhỏ ta bỏ qua bình phương tích đại lượng ∂u ∂u , ∂x ∂y Xét mảnh σ màng, vị trí cân bằng, giới hạn biên tuyến l Khi màng dao động mảnh σ chuyển thành σ giới hạn biên tuyến l Diện tích màng σ + u2x + u2y dxdy ≈ σ = dxdy = σ σ σ (do ta bỏ qua đại lượng u2x , u2y ) Như vậy, diện tích màng coi không đổi màng dao động Từ coi suất căng màng không thay đổi màng dao đông Cũng thiết lập phương trình dao động dây, ta thiết lập phương trình dao động màng cách dùng nguyên lý D’Alambert Ta cho không tổng hình chiếu xuống trục Ou lực gây nên lực căng, ngoại lực lực quán tính tác động vào mảnh màng σ Lực căng tác động vào mảnh σ gây nên phần màng lại Hơn nữa, tác động vào biên l σ , thẳng góc với biên l ấy, hướng phía σ tiếp xúc với màng Hãy xét điểm M (x, y, u) biên l vi phân ds điểm Gọi T suất căng màng lực căng tác động vào ds T ds µ , − → µ vectơ đơn vị thẳng góc với l M, tiếp xúc với màng, hướng phía σ 28 − Nếu gọi → n vectơ đơn vị pháp tuyến l điểm m (hình chiếu m mặt − xOy ) gọi → v vectơ đơn vị pháp tuyến hướng lên phía màng điểm M đặt → − − − t =→ v ∧→ n → − rõ ràng t vectơ tiếp xúc l M Hơn lại đặt → − → − − − − − θ = t ∧→ v = (→ v ∧→ n)∧→ v (2.1) − θ vectơ phương chiều với vectơ → µ nói → − → θ //− µ Ta tính hình chiếu xuống trục Ou lực gây nên lực căng tác động vào mảnh − − − µ xuống trục Ou T cos(→ µ,→ u )ds hình σ Rõ ràng hình chiếu phần lực căng T ds → chiếu tổng lực tác động lên toàn mảnh σ − − T cos(→ µ,→ v )ds Y = (2.2) l → − − − Ta tính cos(→ µ,→ u ) Muốn vậy, ta tính thành phần vectơ θ Ta có −ux → − v = + ux + uy −uy ≈ −ux + ux + uy ≈ −uy + ux + uy ≈1 − − cos(→ n,→ x) → − − − n = cos(→ n,→ y) Từ công thức tích vectơ kép → − − − − − − − − − − θ = (→ v ∧→ n)∧→ v = (→ v → v )→ n − (→ v → n )→ v, 29 dễ thấy − − − − − − − − cos(→ n,→ x ) − [ux cos(→ n,→ x ) + uy cos(→ n,→ y )]ux ≈ cos(→ n,→ x) → − − − − − − − − − θ ≈ cos(→ n,→ y − [ux cos(→ n,→ x ) + uy cos(→ n,→ y )]uy ≈ cos(→ n,→ y) − − − − ux cos(→ n,→ x ) + uy cos(→ n,→ y ) Như → − − − − − | θ |2 ≈ cos2 (→ n,→ x ) + cos2 (→ n,→ y)=1 tức → − − θ ≈→ µ Từ − − − − − − cos(→ µ,→ u ) ≈ ux cos(→ n,→ x ) + uy cos(→ n,→ y) Vậy (2.2) có dạng − − − − T [ux cos(→ n,→ x ) + uy cos(→ n,→ y )]ds ≈ Y ≈ (2.3) l − − − − T [ux cos(→ n,→ x ) + uy cos(→ n,→ y )]ds = ≈ l [ux dy − uy dx] = T =T [uxx + uyy ]dxdy σ l Ở uxx , uyy kí hiệu đạo hàm ∂ 2u ∂ 2u , ∂x2 ∂y Giả sử màng, tác động ngoại lực p(x, y, t) song song với trục Ou, phân phối đơn vị diện tích màng, ngoại lực tác động vào mảnh σ có hình chiếu xuống trục Ou P = p(x, y, t)dxdy (2.4) σ Gọi ρ(x, y) tỉ trọng màng (mật độ phân bố vật theo diện tích mặt) Khi đó, lực quán tính màng σ Z=− ρ(x, y) σ 30 ∂ 2u dxdy ∂t2 (2.5) Từ đó, nguyên lý D’Alambert, từ (2.3), (2.4), (2.5) ta có −ρ(x, y) ∂ 2u +T ∂t2 ∂ 2u ∂ 2u + ∂x2 ∂y + p(x, y, t) dxdy = (2.6) σ hay σ mảnh màng với giả thiết đại lượng dấu tích phân liên tục, nên từ (2.6) ta có ρ(x, y) ∂ 2u =T ∂t2 ∂ 2u ∂ 2u + ∂x2 ∂y + p(x, y, t) Phương trình viết dạng ∂ 2u = a2 ∂t2 ∂ 2u ∂ 2u + ∂x2 ∂y + f (x, y, t) (2.7) với a= p T ,f = ρ ρ Nếu ngoại lực, ta có phương trình ∂ 2u = a2 ∂t2 ∂ 2u ∂ 2u + ∂x2 ∂y (2.8) Cũng việc xét dao động dây, muốn xác định quy luật dao động màng, cần phải cho thêm điều kiện phụ, cụ thể cho độ lệch vận tốc ban đầu ( t = 0) màng u(x, y, 0) = ϕ0 (x, y) (2.9) ∂u (x, y, 0) = ϕ1 (x, y) ∂t (2.10) màng hữu hạn phải cho chế độ biên L màng u(x, y, t)|(x,y)∈L = µ(x, y, t) (2.11) Nhiều quy luật vật lý học khác đưa đến phương trình tương tự với (1.4)và (2.7) Chẳng hạn, quy luật dao động đàn hồi đồng chất biểu diễn phương trình (1.4) u(x, t) độ lệch phần tử dao động so với vị trí cân bằng, x 31 hoành độ phần tử ấy, quy luật dao động nhỏ chất khí lí tưởng với số giả thiết vật lý xác định tượng truyền âm biểu diễn phương trình ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + ∂x2 ∂y ∂z ∂ 2u = a2 ∂t2 (2.12) (x, y, z) tọa độ phần tử khí, u(x, y, z, t) độ lệch áp suất khí điểm (x, y, z) thời điểm t, so với áp suất lúc bình thường (x, y, z) Nhưng phương trình (1.4), (2.7), (2.11) thường gọi phương trình truyền sóng Hệ số a phương trình vận tốc truyền sóng Phương trình truyền nhiệt Giả sử nhiệt độ vật thể bị chặn Ω R3 điểm x = (x1 , x2 , x3 ) thời điểm t xác định hàm u(x, t) khả vi liên tục đến cấp hai theo x ∈ Ω cấp theo t ∈ (0, T ) Nếu phần vật thể có nhiệt độ khác nhau, bên vật thể có trao đổi nhiệt lượng từ phần có nhiệt độ cao sang phần có nhiệt độ thấp Ta coi Ω vật thể đẳng hướng, tức truyền nhiệt theo phương Lấy Ω1 miền tùy ý Ω với biên ∂Ω1 trơn Ta xét thay đổi nhiệt độ Ω1 sau thời gian từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 hai cách Theo định luật Newton, sau khoảng thời gian từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 nhiệt độ truyền qua mặt ∂Ω1 t2 Q1 = dt t1 k ∂u ds ∂ν ∂Ω1 ∂u đạo hàm theo hướng vectơ pháp tuyến đơn vị hướng mặt ∂Ω1 k(x) ∂ν hệ số truyền nhiệt vật thể điểm x Khi nhiệt lượng sinh vật thể Ω1 khoảng thời gian từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 t2 Q2 = dt t1 f (x, t)dx Ω1 32 với f (x, t) hàm mật độ nguồn nhiệt điểm x thời điểm t Mặt khác, thay đổi nhiệt Ω1 sau khoảng thời gian từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 C(x)ρ(x)[u(x, t2 ) − u(x, t1 )]dx Q3 = Ω1 hay t2 Q3 = dt t1 Cρ ∂u ∂x Ω1 với ρ(x) tỉ khối vật thể C(x) nhiệt dung riêng vật thể điểm x Theo định luật bảo toàn lượng ta có Q1 + Q2 = Q3 , hay t2 t2 ∂u Cρ dx = ∂t dt t1 t2 dt t1 Ω1 ∂u k ds + ∂ν t1 ∂Ω1 f (x, t)dx dt Ω1 Theo công thức Ostrogradsky-Gauss t2 ∂u k ds = ∂ν dt t1 ∂Ω1 t2 ∂u ∂ (k )dx ∂xi ∂xi dt i=1 t1 Ω1 suy t2 ∂u Cρ dx = ∂t dt t1 Ω1 t2 t2 ∂u ∂ (k )dx + ∂xi ∂xi dt i=1 t1 dt t1 Ω1 f (x, t)dx Ω1 Vì Ω1 , t1 , t2 tùy ý hàm dấu tích phân liên tục nên ∂u Cρ = ∂t i=1 ∂ ∂u (k ) + f (x, t), ∀t ∈ [0, T ), ∀x ∈ Ω ∂xi ∂xi Phương trình phương trình truyền nhiệt vật thể đẳng hướng không Nếu thể C, ρ, k số Khi phương trình trở thành ∂u = a2 ∆u + F (x, t), ∀t ∈ [0, T ), ∀x ∈ Ω ∂t gọi phương trình truyền nhiệt không (được Fourier thiết lập năm 1822) Khi vật thể nguồn nhiệt ta có f (x, t) = nghĩa phương trình truyền nhiệt ∂u = a2 ∆u ∂t 33 Sự khuếch tán không gian ba chiều Bài toán khuếch tán dẫn tới phương trình đạo hàm riêng tương tự phương trình dẫn nhiệt Để phân biệt đại lượng vô hướng đại lượng vectơ, riêng mục dùng kí hiệu có mũi tên phía để vectơ Giả sử C(x, y, z, t) nồng độ chất (khối lượng chất đơn vị thể tích) tan chất lỏng chất khí, chẳng hạn ô nhiễm hồ Khối lượng chất ô nhiễm miền Ω với biên Σ cho (4.1) C(x, y, z, t)dV Ω Theo định luật bảo toàn khối lượng, tốc độ thay đổi khối lượng Ω theo thời gian hiệu tốc độ dòng khối lượng vào Ω tốc độ dòng khối lượng khỏi Ω, cộng với tốc độ khối lượng chất sinh nguồn Ω Ở đây, ta giả thiết không − − − có nguồn Ω Gọi → q vectơ thông lượng khối lượng, → q → v khối lượng trn đơn vị diện tích, đơn vị thời gian qua biên Σ Ω theo hướng pháp tuyến − đơn vị → v Vậy định luật bảo toàn khối lượng d dt ∂C dV = − ∂t CdV = Ω → − − q → v dS (4.2) Σ Ω Theo định lý Ostrogradski, → − − q → v dS = Σ − div→ q dV (4.3) Ω Do ta có ∂C − = −div→ q ∂t (4.4) − Theo định luật Fick khuếch tán, liên hệ vectơ thông lượng → q nồng độ C cho −−→ → − − q = −H gradC + C → v 34 (4.5) − → v vận tốc chất lỏng chất khí, H hệ số khuếch tán phụ thuộc vào C Kết hợp (5.4) (5.5) ta nhận −−→ ∂C − = div(H gradC) − div(C → v) ∂t (4.6) −−−→ − ∂C = H∆C − Grad(C → v) ∂t (4.7) Nếu H số − Nếu → v bỏ qua ∂C = H∆C ∂t (4.8) phương trình nhận (5.8) Q = Nếu H không đáng kể ta nhận phương trình cấp −−→ ∂C → − +− v gradC + C div→ v =0 ∂t (4.9) Ở trạng thái ổn định (khi t đủ lớn) nồng độ C không phụ thuộc vào thời gian t Lúc phương trình (5.6) trở thành −−→ −−→ − ∇.(H gradC) − grad.(C → v)=0 (4.10) − → v bỏ qua hay ta nhận −−→ −−→ grad.(H gradC) = (4.11) Nếu H số phương trình Laplace Phương trình Laplace Ta thấy phương trình truyền nhiệt môi trường đẳng hướng nguồn nhiệt có dạng ∂u = a2 ∂t ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + ∂x2 ∂y ∂z 35 Giả sử sau thời gian đấy, nhiệt độ môi trường ổn định, nghĩa u(x, y, z, t) không phụ thuộc vào thời gian, ta có ∂u =0 ∂t có dạng ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + =0 ∂x2 ∂y ∂z (5.1) Phương trình (5.1) gọi phương trình Laplace Để xác định hàm u(x, y, z) phương trình (5.1) miền V giới hạn biên S cần cho biết giá trị u(x, y, z) biên S , nghĩa cho điều kiện u|S = ϕ(P ) (5.2) Bài toán (5.1) (5.2) gọi toán Dirichlet Bài toán tìm nghiệm phương trình Laplace (6.1) với điều kiện biên ∂u ∂n = ψ(P ) (5.3) S − (→ n -pháp tuyến S ) gọi toán Neômann Phương trình Laplace (5.1) gặp nghiên cứu chuyển động dừng chất lỏng không nén Giả sử chuyển động chất lỏng nói chuyển động không xoáy, hay nói cách khác − chuyển động thế, vận tốc → v (x, y, z) dòng chảy điểm (x, y, z) vectơ thế, nghĩa tồn hàm ϕ(x, y, z) cho −−→ → − v (x, y, z) = −gradϕ (5.4) Đối với chất lỏng không nén được, người ta chứng minh phương trình liên tục, ta có − div → v =0 36 hay từ (5.4) ta có −−→ div gradϕ = tức ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + + =0 ∂x2 ∂y ∂z (5.5) Vậy hàm ϕ(x, y, z) chuyển động dừng nói thỏa mãn phương trình Laplace 37 KẾT LUẬN Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng kiến thức giải tích toán học Có nhiều ứng dụng vật lí, sinh học, hóa học, coi cầu nối lý thuyết ứng dụng Trong khả điều kiện cho phép, bước đầu đề tài giải vấn đề đặt ra, trình bày số kí hiệu kiến thức liên quan từ nêu toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Hi vọng vấn đề trình bày đề tài nhận quan tâm từ phía thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Đồng thời chúng em hi vọng đề tài nhỏ giúp ích phần bạn sinh viên khoa Toán, trường Đại Học Tây Bắc Cuối cùng, có nhiều cố gắng nhiều hạn chế chủ quan khó khăn khách quan nên đề tài chắn không tránh khỏi khuyết điểm nội dung cách trình bày Chúng em mong cảm thông, góp ý thầy cô bạn sinh viên để đề tài đầy đủ hoàn thiện 38 Tài liệu tham khảo [1] Cung Thế Anh (2015), Cơ sở lí thuyết phương trình vi phân NXB Đại Học Sư Phạm [2] Nguyễn Thừa Hợp (2001), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng NXB ĐHQG Hà Nội [3] Vũ Trọng Lưỡng (2013), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng NXB Đại Học Sư Phạm 39 ... thức phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng - Tìm hiểu tổng hợp có hệ thống toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu toán dẫn đến phương. .. toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng hóa học, sinh học, vật lí ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Các toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN... phương trình (0.3) cấp cao đạo hàm có mặt phương trình (0.3) Một phương trình mặt đạo hàm riêng phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng cấp một, cấp hai ẩn hàm u hai biến x, y có dạng