Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân, đạo hàm riêng

Vũ Trọng Lưỡng BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN CÁC BÀI TOÁN DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, ĐẠO HÀM RIÊNG Thuộc nhóm ngành khoa học: Tự nhiên Sơn La, tháng 05

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

Giảng viên hướng dẫn: TS Vũ Trọng Lưỡng

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

CÁC BÀI TOÁN DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN,

ĐẠO HÀM RIÊNG

Thuộc nhóm ngành khoa học: Tự nhiên

Sơn La, tháng 05 năm 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

CÁC BÀI TOÁN DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN,

ĐẠO HÀM RIÊNG

Thuộc nhóm ngành khoa học: Tự nhiên

Sinh viên thực hiện: Vũ Thị Hồng Nhung Giới tính: Nữ Dân tộc: Kinh

Nguyễn Thị My Giới tính: Nữ Dân tộc: Kinh Nguyễn Thị Ngoan Giới tính: Nữ Dân tộc: Kinh

Vũ Thị Ngọc Mai Giới tính: Nữ Dân tộc: Kinh Nguyễn Như Quỳnh Giới tính: Nữ Dân tộc: Kinh

Lớp: K55 ĐHSP Toán Khoa: Toán – Lý – Tin

Năm thứ 3/Số năm đào tạo: 4

Ngành học: Sư phạm Toán

Sinh viên chịu trách nhiệm chính: Vũ Thị Hồng Nhung

Người hướng dẫn: TS Vũ Trọng Lưỡng

Sơn La, tháng 05 năm 2017

Mục lục

Mở đầu 4

I Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân 11 1 Một số mô hình toán học trong vật lý, cơ học, kĩ thuật 11

1.1 Định luật thứ hai của Newton về chuyển động 11

1.2 Phương trình chuyển động của hành tinh trong Hệ Mặt Trời 15

1.3 Phương trình vi phân cho các mạch điện 17

1.4 Phương trình phóng xạ 19

2 Một số mô hình toán học trong sinh thái học quần thể 19

2.1 Mô hình quần thể đơn loài 19

2.2 Mô hình thú mồi 20

2.3 Mô hình cạnh tranh hai loài 22

II Các bài toán dẫn đến phương trình đạo hàm riêng 23 1 Phương trình dao động của dây 23

2 Phương trình dao động của màng 27

3 Phương trình truyền nhiệt 32

4 Sự khuếch tán trong không gian ba chiều 34

5 Phương trình Laplace 35

KẾT LUẬN 38

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy T.S Vũ Trọng Lưỡng, người đã

định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình chúng em, giúp đỡ chúng em về tài liệu nghiêncứu cũng như động viên chúng em có nghị lực hoàn thành đề tài này

Trong quá trình làm đề tài, chúng em cũng đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáotrong khoa Toán - Lý - Tin, đặc biệt là các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng KHCN

& HTQT, thư viện trường Đại học Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K55 ĐHSP Toán Những ýkiến đóng góp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để chúng

em hoàn thành đề tài này Nhân dịp này chúng em xin được bày tỏ lòng biết ơn về những sựgiúp đỡ quý báu nói trên

Sơn La, tháng 9 năm 2016Nhóm sinh viên thực hiện

Vũ Thị Hồng Nhung Nguyễn Thị My

Vũ Thị Ngọc Mai Nguyễn Thị Ngoan Nguyễn Như Quỳnh

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình vi phân và đạo hàm riêng là những nội dung mới mẻ, thú vị nhưng sinh viênthường gặp nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu học tập nội dung này Đặc biệt việc học tậpnghiên cứu các mô hình giải tích dưới dạng phương trình vi phân và đạo hàm riêng của cácquá trình hiện tượng vật lí, hóa, sinh, đây là kiến thức mới và được sử dụng nhiều trong giảitích và ứng dụng Các bài toán về phương trình vi phân và đạo hàm riêng là các bài toán hay

có nhiều ứng dụng trong khoa học kĩ thuật và đời sống Vì vậy, chúng em chọn đề tài nghiêncứu là các bài toán dẫn đến phương trình vi phân và đạo hàm riêng

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu về các bài toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêngtrong hóa học, sinh học, vật lí

4 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức

Trao đổi và thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày với giáo viên hướng dẫn từ đótổng hợp kiến thức trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua đó thực hiện kế hoạch và hoànthành đề tài

6 CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI

Với mục đích như vậy ngoài phần mở đầu, ký hiệu và kiến thức liên quan đề tài này đượcchia ra làm hai chương với những nội dung chính như sau:

Chương I:

Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân

Bao gồm:

1 Một số mô hình toán học trong vật lí, cơ học, kĩ thuật

- Định luật thứ hai của Newton về chuyển động

- Phương trình dao động của con lắc

- Phương trình chuyển động của hành tinh trong Hệ Mặt Trời

- Phương trình vi phân cho các mạch điện

- Phương trình phóng xạ

2 Một số mô hình toán học trong sinh thái học quần thể

- Mô hình quần thể đơn loài

- Phương trình dao động của dây

- Phương trình dao động của màng

- Phương trình truyền nhiệt

- Phương trình truyền sóng

- Sự khuếch tán trong không gian ba chiều

- Phương trình Laplace

KÍ HIỆU VÀ KIẾN THỨC LIÊN QUAN

∂xi2 gọi là toán tử Laplace

6.Ω ⊂Rn được gọi là một miền nếuΩlà tập mở và là tập liên thông Giả sửΩlà một miền

bị chặn trong Rn, kí hiệu∂Ωlà biên của Ω Ta nóiΩthuộc lớp Ck nếu tại mỗi điểm x0 ∈ ∂Ω

tồn tại một lân cậnUx0 của điểmx0trong Rn sao cho∂Ω ∩ Ux0 nằm trên siêu mặt

xi = f (x1, , xi−1, xi+1, , xn)

Vớif ∈ Ck(G), Glà miền biến thiên của đối số Ta nóiΩtrơn nếu thuộc lớpCk, với mọik

Ta nói miềnΩtrơn từng khúc nếu biên của nó được hợp bởi hữu hạn các mặt cong trơn Đốivới các miền này ta có công thức Ostrogradsky - Gauss sau

Ở đâyu = (u 1 , u 2 , , u n )là hàm vectơ từΩ vào Rn vàu i ∈ C1(Ω), còn v = (v 1 , v 2 , , v n )

là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của ∂Ω Trong trường hợp u là hàm vô hướngchúng ta đặt uj = 0, j 6= i vàui = uthì công thức Ostrogradsky - Gauss trở thành công thứcGauss-Green

(P cos α + Q cos β + R cos γ)ds

với−→n = (cos α, cos β, cos γ).Công thức Ostrogradsky - Gauss có thể phát biểu như sau

f0(x 0 )hayy0(x 0 ) Như vậy

Ở đó F là hàm đã biết Phương trình (0.1) gọi là phương trình tuyến tính nếu F là hàmtuyến tính đối với các hàm đối với các biến x, x0, , , xn, trong trường hợp ngược lại, phươngtrình (0.1) gọi là phi tuyến Phương trình (0.1) gọi là otonom nếu F không phụ thuộc tườngminh vào t, tức là F = F (x, x0, , xn), và gọi là không otonom nếu F phụ thuộc tường minhvàot

Nói riêng, một phương trình vi phân cấp một có thể viết dưới dạng

Hàmx = x(t), t ∈I, gọi là một nghiệm hiện( còn gọi là nghiệm tường minh) của (0.2) nếu

F (t, x(t), x0(t)) = 0trong (0.1) Hệ thứcψ(t, x) = 0gọi là nghiệm ẩn của (0.2) nếu nó xác định

một hoặc nhiều hàmx = φ(t)thỏa mãnF (t, φ(t), φ0(t)) = 0 Mặc dù ta có thể không giải được

tường minhxtừ hệ thứcψ(t, x) = 0nhưng ta có thể tính được φ0(t) = −ψt

ψ x

nếuψx 6= 0

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Giả sử U là một tập mở trong không gian R3

f : U → R

M (x, y, z) 7→ f (M ) = f (x, y, z)

là một hàm số xác định trên tập hợp U,M0 = (x0, y0, z0) ∈ U vìU là một tập hợp mở nên với

η > 0đủ nhỏ, ta có(x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ U với mọix ∈ (x 0 − η, x 0 + η) Nếu hàm số một biến số

g : (x0− η, x0+ η) → R

x 7−→ g(x) = f (x, y0, z0)

có đạo hàm tại điểm x0 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của hàm số f theo biến x

tại điểm M0 = (x0, y0, z0)và được kí hiệu là fx0(M0) = fx0(x0, y0, z0)hoặc ∂f

∂x(x0, y0, z0)hoặc

Df (x0, y0, z0)

và các đạo hàm riêng của các ẩn hàm đó gọi là một phương trình đạo hàm riêng

Dạng phương trình tổng quát của phương trình đạo hàm riêng cấp m của các ẩn hàm

u1, , uN đối với các biến độc lập x1, xn là

F (x, u(x), Du(x), , Dmu(x)) = 0, x ∈ Ω, m ∈ N∗ (0.3)với f là hàm, vàu : Ω → R là hàm cần tìm.

b) Các cấp của phương trình (0.3) là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình

(0.3) Một phương trình không có mặt các đạo hàm riêng thì không phải là một phương trìnhđạo hàm riêng

Phương trình đạo hàm riêng cấp một, cấp hai của ẩn hàmuđối với hai biếnx, y có dạng

Chương I

Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân

1 Một số mô hình toán học trong vật lý, cơ học, kĩ thuật

Như đã trình bày ở trên, trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, vật lý và khoa học xã hội ta thườnggặp các bài toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiềuđạo hàm của hàm đó Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân

Dưới dây là một số bài toán vật lí, cơ học, kĩ thuật, sinh học, dẫn đến việc nghiên cứuphương trình vi phân

Định luật Newton mô tả chuyển động của chất điểm có khối lượngmchịu tác dụng của lực

F có dạng

F = ma

trong đóa là gia tốc của chất điểm

Ta xét một vài trường hợp đơn giản của chuyển động

Trong trường hợp này

y(t) là chiều cao của vật rơi tại thời điểmtso với mặt đất Để xác định quy luật chuyển động

ta cần tìm hàmy(t)thỏa mãn phương trình

Bây giờ ta đi tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.2)

Để đơn giản ta chọ các hệ số bằng 1,phương trình trở thành :

Hệ nghiệm cơ bản của (1.4) là1, e−t

Nghiệm riêng :y(t) = A; y0= 0; y” = 0thay vào (1) ta đượcA = 1

Vậy nghiệm tổng quát của (1.3) là

y(t) = C1+ C2e−x+ 1

(ii) Phương trình chuyển động của con lắc đơn

Xét dao động của một con lắc đơn Giả sử con lắc có dộ dàiL, khối lượng của trục có thể

bỏ qua và khối lượng của con lắc làm

Gọiθlà góc tạo bởi con lắc với phương thẳng đứng Thế năng của con lắc là

Nếu tính cả lực cản của không khí thì từ định luật thứ hai của Newton, ta suy ra phươngtrình dao động tắt dần của con lắc sẽ là

(iii) Chuyển động của hệ : Quả cầu và lò xo.

Ta treo quả cầu nhỏ khối lượngm vào một lò xo, kéo quả cầu xuống rồi thả ra và khảo sátchúng trong trường hợp hệ có cản và hệ không cản

2 i; λ =

1

2 −

√ 3

2 t

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.8)

y(t) = C1e−12 t cos

√ 3

2 t



+ C2e−12 t sin(

√ 3

2 t)

Xét chuyển động của một hành tinh xung quanh Mặt Trời Giả sử Mặt Trời cố định tại gốctọa độ trongR3 và hành tinh tương đối nhỏ sao cho lực tác động lên Mặt Trời là không đáng

kể Mặt Trời gây ra một lực tác động lên hành tinh tuân theo định luật hấp dẫn của Newton,tức là Mặt Trời gây ra một lực lên hành tinh ở vị trí x ∈ R3 theo hướng Mặt Trời, có độ lớn

là Gm s m p /r2, trong đó m s là khối lượng của Mặt Trời,m p là khối lượng của hành tinh, Glàhằng số hấp dẫn,rlà khoảng cách giữa Mặt Trời và hành tinh

Áp dụng định luật thứ hai của Newton ta có phương trình vi phân

dt = −

x

|x| 3

(1.9)

Hệ này được gọi là hệ lực xuyên tâm Newton

Chú ý rằng:F (x)là một trường lực xuyên tâm và bảo toàn, do

Đưa vào hệ tọa độ cực (r, θ) dọc theo đường cong nghiệm chúng là những hàm của thờigian (r(t), θ(t)). Vì momem góc l = r2dθ

dt là hằng số khác không nên dấu của dθ

dt không đổidọc theo mỗi đường cong nghiệm, bởi vậyθ luôn tăng hoặc giảm theo thời gian Vì vậy ta cóthể xem rlà hàm củaθdọc theo đường cong nghiệm

ĐặtW (t) = 1

r(t),chú ý rằngW cũng là hàm củaθ vàW = −U Ta có động năng là

K = 12

dt = −l

dW dθ

Xét mạch điện gồm một điện trởR, một cuộn cảmLvà một tụ điệnC mắc nối tiếp.Trong mạch, ta cho một dòng điện chạy qua mỗi nhánh GọiiR, iL, iC lần lượt là các dòngđiện chạy qua R, L vàC Định luật về dòng cảm của Kirchhoff nói rằng tổng dòng chạy vàomột nút bằng tổng dòng chạy ra khỏi nút đó, tức là

iR = iL = −iC

Trạng thái của mạch điện được đặc trưng bởi dòng điện i và điện áp qua mỗi nhánh Kíhiệu các điện áp này lần lượt làVR, VL, VC ta có

VR+ VL− VC = (V(β)− V(α)+ (V(α)− V(γ)− (V(β)− V(γ)) = 0

Điện trở trong nhánhRáp đặt một " quan hệ hàm " trêniR, VR

Để đơn giản, ta coiL = 1, C = 1 và nếu kí hiệux = iL, y = VC,ta có hệ phương trình vi

phân của mạch điện

1.4 Phương trình phóng xạ

Thực nghiệm chỉ ra rằng các chất phóng xạ, chẳng hạn như uranium, tốc độ phóng xạ tỉ lệvới khối lượngM (t)tại thời điểm đang xét Ta có thể viết công thức để tính khối lượng này tạibất kì thời điểm nào bằng cách giải phương trình sau

dM

dt = −kM

2 Một số mô hình toán học trong sinh thái học quần thể

Giả sửx(t)là số lượng của một loài tại thời điểmt (chẳng hạn dân số trên Trái Đất, số cáchép trong một ao, số nguyên tử của một chất phóng xạ, ) Khi đó

dx

dt(t)x(t) là tốc độ tăng trưởngtoàn phần Tốc độ tăng trưởng này nói chung là một hàm của thời gian và quần thể, tức là

dx

dt(t)x(t) = r(t, x).

Trong một hệ đóng, tức là không có nhập cư, ta có

Khi đóxthỏa mãn phương trình vi phân

dx

dt = ax

Phương trình này với điều kiện ban đầux(t0) = x0có nghiệm duy nhất làx(t) = x0ea(t−t0 )

Từ đây suy ra x(t) → +∞ khi t → +∞ nếu a > 0 ("tăng trưởng không giới hạn") và

x(t) → 0khit → +∞nếua < 0("tuyệt chủng")

b) Phương trình logistic

Giả thiết tốc độ tăng trưởng hằng số là không thực tế Do đó, ta giả sử tồn tại một "số dângiới hạn"ξ > 0sao cho khi xvượt quá giới hạnξ thì tốc độ tăng trưởng trở nên âm, tức là tagiả sử

dt(t) = r2(t, x, y)y.

Trong mô hình này ta giả sử mồi là nguồn thức ăn duy nhất của loài thú và loài mồi cónguồn thức ăn vô hạn Như trong trường hợp mô hình một loài ở trên, ta cũng xét hai trườnghợp tăng trưởng không giới hạn và tăng trưởng có giới hạn.

a) Mô hình thú- mồi với tốc độ tăng trưởng hằng số

Một biểu thức đơn giản cho tốc độ tăng trưởng của loài mồi có dạng

r1(t, x, y) = a − by(a, b > 0)

Điều này có nghĩa là nếu không có loài thú (y = 0) thì loài mồi sẽ tăng trưởng theo tốc

độ hằng số avà sự xuất hiện của loài thú làm tỉ lệ này giảm một lượng tỉ lệ thuận với số thú

Ta sử dụng biểu thức tương tự cho tốc độ phát triển của loài thú

r2(t, x, y) = −c + dx(c, d > 0)

Điều này nghĩa là nếu không có con mồi, loài thú sẽ dần bị tuyệt chủng với tốc độ hằngc

và sự xuất hiện của con mồi làm giảm tỉ lệ tử một lượng tỉ lệ thuận với số con mồi

Dưới các giả thiết trên, ta nhận được mô hình Lotka-Voltera cổ điển

dt = −cy + dxy

b) Mô hình thú - mồi với tốc độ tăng trưởng giới hạn

Như đã làm với phương trình logistic ở mục 2.1 b), ta sửa đổi mô hình Lotka-Volterra cổđiển bởi " các tác động xã hội", điều này nói riêng ngăn cản sự phát triển không giới hạn củacon mồi khi không có con thú Kết quả ta nhận được hệ

2.3 Mô hình cạnh tranh hai loài

Khi hai loài cùng sống với nhau và cùng chia sẻ một nguồn tài nguyên, chẳng hạn thức

ăn, ổ sinh thái hay lãnh thổ, nhiều khi chỉ một loài thắng thế làm cho loài yếu hơn đi đến diệtvong( đây là nguyên lí cạnh tranh loại trừ) Loại này thắng vì nó khai thác nguồn tài nguyênhiệu quả hơn, làm cho loài kia kiếm được ít hơn và không thể tăng trưởng ở tốc độ tối đa

Mô hình sau, do Lotka và Volterra đưa ra và Gause nghiên cứu thêm, mô tả sự cạnh tranh

giữa hai loài

Chương II

Các bài toán dẫn đến phương trình đạo hàm riêng

Xét một sợi dây căng thẳng theo trụcOx Bằng một cách nào đó, ta làm sợi dây dao động

và ta sẽ nghiên cứu quy luật dao động ấy của sợi dây

Ta giả thiết sợi dây rất nhỏ, không cưỡng lại sự uốn và có lực căngT tương đối lớn so vớitrọng lượng sợi dây, khiến cho ta có thể bỏ qua yếu tố trọng lượng sợi dây nói trên

Ta chỉ xét những dao động ngang của sợi dây, tức là giả thiết khi dao động, các phần tử vậtchất của sợi dây chuyển động thẳng góc với trụcOx

Độ lệch của các phần tử vật chất của dây mà ta kí hiệu làM so với vị trí cân bằng của nóđược kí hiệu làu Rõ ràng hàm uphụ thuộc thời gian và hoành độ của điểm M, tức là

u = u(x, t)

Xétt = t0 thì đồ thị của đường cong biểu diễn bởi

u = u(x, t 0 ) = f (x)

rõ ràng cho ta hình dáng của sợi dây tại thời điểmt = t0

Hơn nữa, ta giả thiết độ lệchu(x, t)của dây và đạo hàm ∂u

∂x rất nhỏ khiến cho ta có thể bỏqua đại lượngu x2so với đơn vị

Hãy lấy một đoạn dây bất kỳ giới hạn bởi hai điểmM 1 , M 2với hoành độx 1 , x 2.

Khi đó, do bỏ qua được đại lượngux2(x, t), độ dài của đoạn dây \M1M2bằng

tức là bằng độ dài đoạn \M1M2khi dây còn ở vị trí cân bằng

Nói khác đi, ta coi độ dài của sợi dây không thay đổi khi nó dao động Như vậy, theo định

líHookethì lực căngT của sợi dây cũng không thay đổi, vậy ta coi lực căngT là một hằng số

T0

T = T0

Bây giờ ta hãy thiết lập phương trình dao động của dây, bằng cách dùng nguyên lýD0Alembert :

"Trong chuyển động của đoạn dây, tổng các lực tác động vào đoạn dây, kể cả lực quán tính làbằng không và do đó tổng các hình chiếu của các lực trên một trục bất kì đều bằng không".Xét một đoạn dây \M1M2 bất kì và cho bằng không tổng các hình chiếu của các lực xuốngtrụcu, cụ thể hình chiếu của lực căng, ngoại lực tác động vào dây và lực quán tính

Lực căng hướng theo tiếp tuyến đối với dây tạiM1, M2 và bằngT0 Gọiα(x)là góc hợp bởitrụcOxvới tiếp tuyến tại điểmxthì tổng hình chiếu của các lực căng tạiM1, M2 xuống trụcu