Chương 8: Phương trình vi phân đạo hàm riêng

CH NG 8: PH NG TRÌNH VI PHÂN Đ O HÀM RIÊNG §1 M Đ U Khái ni m chung: Partial Differential Equation (PDE) Toolbox cung c p m t môi tr ng m nh m m m i đ nghiên gi i ph ng trình vi phân đ o hàm riêng m t ph ng D ng ph ng trình c b n c a PDE Toolbox là: ∇.(c∇u) + au = f mi n Ω Các ph ng trình đ c r i r c hoá b ng ph ng pháp ph n t h u h n(FEM) Các đ i t ng PDE cung c p công c đ : • xác đ nh toán PDE, nghĩa xác đ nh vùng 2D, u ki n biên h s PDE • gi i b ng ph ng pháp s toán, nghĩa t o l i khơng có c u trúc, r i r c hố ph ng trình tìm nghi m x p x • hi n th k t qu S d ng GUI: a GUI: PDE Toolbox có m t b giao di n đ ho ng i dùng (graphical user interface GUI) bao g m khiá c nh c a trình tìm nghi m c a PDE Đ kích ho t ta nh p l nh pdetool t i c a s l nh c a MATLAB Trên c a s GUI có menu icon Ta dùng menu hay icon đ th c hi n nhi m v nh t đ nh b Các menu: Có m t s menu sau c a s GUI: • File: T menu ta có th Open Save mơ hình d i d ng M file Ta có th in đ th kh i GUI • Edit:T menu ta có th c t, dán, xoá, copy đ i t ng ch n t t c đ i t ng • Options: Menu ch a tu ch n nh thay đ i tr c x • Draw: T menu ta có th ch n đ i t ng c b n đ v • Boundary: Menu dùng đ nh p u ki n biên cho vùng • PDE: Menu cung c p h p tho i đ mô t PDE xu t h s c a vào vùng làm vi c • Mesh: Ta dùng menu đ t o l i thay đ i tam giác • Solve: Ta ch n menu đ gi i ph ng trình PDE • Plot: T menu ta v nghi m 154 Window: Ch n c a s làm vi c • Help: Hi n th c a s tr giúp c Thanh cơng c : Thanh cơng c có d ng nh hình v : • d Các GUI mode: Quá trình gi i PDE g m b c sau: • xác đ nh vùng D • xác đ nh u ki n biên • xác đ nh PDE • t o l i tam giác • gi i PDE • v nghi m thu c tính v t lí pdetool GUI đ c thi t k theo cách t ng t Ta làm vi c ki u khác nhau, m i ki u t ng ng v i m t b c q trình gi i PDE • Trong Draw mode ta t o vùng D • Trong Boundary mode ta có th mơ t u ki n biên • Trong PDE mode ta nh p h s c a ph ng trình vi phân • Trong Mesh mode ta kh i t o l i • Trong Solve mode ta gi i ph ng trình • Trong Plot mode ta ve nghi m thu c tính v t lí khác e Mơ hình CGS Set Formular: PDE Toolbox dùng m u mơ hình CSG đ mơ hình hố.Ta có th v đ i t ng ch ng Có lo i đ i t ng: • Circle • Polygon • Rectangle • Ellipse M i đ i t ng có m t tên nh t GUI Tên m c đ nh c a đ i t ng circle C, đ i t ng đa giác P, đ i t ng hình ch nh t R, đ i t ng hình vng SQ đ i t ng ellip E Tên đ c hi n th đ i t ng Trong Draw mode ta có th thay đ i tên hình d ng đ i t ng b ng cách nh p đúp lên Khi m t h p tho i đ c m ta thay đ i thông s Các toán t + , =, * đ c dùng đ k t h p vùng Toán t + đ c dùng đ t o t h p, tốn t dùng t o vùng có ph n r ng toán t * dùng đ t o vùng có giao 155 f T o góc trịn: M t ví d v cách dùng cơng th c t o m t hình ch nh t có góc trịn Ta kh i đ ng GUI ch n Grid Snap to grid Sau thay đ i Grid Spacing tr c x [ 1.5:0.1:1.5] tr c y [ 1:0.1:1] Ch n Rectangle/square t menu Draw đ v hình ch nh t b t đ u t i( 1,0.5) r ng cao Đ t o góc trịn ta thêm hình trịn góc M i hình trịn có bán kính 0.2 tâm cách góc đo n 0.2 Ti p đ n ta v hình vng m i hình có c nh 0.2 góc Bây gi ta so n cơng th c cho vùng: R1 (SQ1+SQ2+SQ3+SQ4)+C1+C2+C3+C4 ghi vào ph n c a GUI S d ng pdrtool: Đ b t đ u ta s d ng graphic user interface (GUI) pdetool đ gi i t ng b c PDE Ta s gi i ph ng trình Poisson ∆u = f Mi n D mà ta gi i toán s r t ph c t p Đi u ki n biên dùng ki u Neumann Dirichlet Tr c h t ta g i MATLAB Đ g i GUI ta nh p l nh pdetool t c a s MATLAB Đ d v hình ta ch n Grid Snap t menu Option B c đ u tiên đ gi i toán v vùng D c n gi i GUI cung c p lo i đ i t ng c b n: đa giác, hình ch nh t, hình ellip Các đ i t ng đ c dùng đ t o mơ hình Constructive Solid Geometry(CSG) M i đ i t ng đ c gán cho m t nhãn dùng nhãn ta t o đ c m t hình ph c t p t h p c a hình đ n gi n Đ ch n m t đ i t ng, ta nh p chu t lên icon c a hay ch n t menu Draw Icon hình có d u + dùng đ v hình t tâm N u khơng có d u + hình đ c v t góc Khi mu n v hình ta b m vào icon đ t tr chu t lên hình r i kéo th Mu n t o hình vng hay tròn ta dùng chu t ph i Đ u tiên ta v m t hình ch nh t đ t tên R1 Mu n di chuy n hình ta b m chu t vào hình kéo đ n v trí mong mu n r i th Mu n thay đ i kích th c hình b m đúp chu t vào đ kích ho t h p tho i r i nh p kích th c mong mu n T h p tho i ta có th thay đ i tên c a nhãn N u ta mu n xố hình, ch n r i nh n Del hay ch n Clear t menu Edit Khi đ c ch n biên đ i t ng có màu đen Mu n ch n nhi u đ i t ng lúc ta nh n thêm phím Shifft Khi mu n ch n t t c ta dùng Select All menu Edit(hay dùng Ctrl + A) Ti p theo ta v m t hình trịn b ng nh p chu t vào icon hình ellip có d u + r i kéo th (dùng chu t ph i) CSG ta t o hình ch nh t R1 E1 có đ c b ng cách dùng công th c R1 + C1 ô Set formula c a s 156 Cu i ta thêm hai đ i t ng hình ch nh t R2 hình trịn E2 Đ t o mơ hình ta nh p cơng th c (R1 + E1 + R2) E2 Ta có th l u CSG nh M file b ng cách dùng Save as t menu File Sau v xong hình ta nh p u ki n biên cho biên Đ nh p u ki n biên ta b m chu t vào icon ∂Ω hay ch n Boundary Mode t menu Boundary Ta có th b biên c a vùng xác đ nh u ki n biên Các đo n có c nh xám biên c a vùng vùng ch ng c a đ i t ng ban đ u T menu Boundary ch n Remove All Subdomain Borders đ b t t c biên Các biên có màu mũi tên Màu ph n ánh ki u u ki n biên mũi tên h ng v cu i c a đo n biên Thông tin v h ng đ c dùng khi u ki n biên đ c thông s hoá d c theo biên Đi u ki n biên có th hàm c a x, y h ng M c đ nh biên có u ki n biên Dirichlet u = Đi u ki n biên Dirichlet đ c th hi n b ng màu đ Đi u ki n biên có th Neumann t ng quát(màu xanh) hay h n h p(màu green) Ta ch n u ki n biên mong mu n b ng cách nh p chu t vào đo n biên hay Shift click n u mu n ch n nhi u đo n biên hay vào menu Edit ch n Select All đo n biên đ c ch n có màu đen Khi h p tho i u ki n biên hi n ta nh p u ki n biên mong mu n Trong ví d ∂u ta ch n u ki n biên Neumann = −5 , nghĩa đ d c c a nghi m theo ∂n ph ng pháp n c a đo n biên B m đúp chu t vào đo n biên ô Boundary Condition ch n Neumann Sau nh p giá tr vào ô g r i ch n OK Giá tr v n đ m c đ nh Sau mô t u ki n biên ta c n nh p h s c a PDE Ta kích ho t h p tho i PDE Specification b ng cách nh p đúp chu t vào icon PDE hay ch n PDE Specification menu PDE Ta có th b m đúp vào t ng vùng đ nh p h s PDE cho t ng vùng Trong h p tho i ta ph i ch n ki u ph ng trình(elliptic, parabolic, hyperbolic hay eigenmode) xác đ nh ki u ng d ng theo ki u PDE Bài toán ta xét toán elliptic nên ta đánh d u vào ô t ng ng Ta nh p giá tr c = 1.9, a = 0.0 f = 10 cho toán Ti p theo ta t o l i tam giác b ng cách b m chu t vào icon hình tam giác hay ch n Mesh | Initialize Mesh N u mu n k t qu xác h n ta tinh ch nh l i b ng cách nh p vào icon có tam giác hay ch n Mesh | Refine Mesh d ng Mesh | Jiggle Mesh ta có th tăng ch t l ng c a l i Ta có th hu thay đ i v l i b ng cách ch n Mesh | Undo Đ gi i ph ng trình ta b m vào icon = hay ch n Solve | Solve PDE K t 157 qu đ c v M c đ nh, hình v dùng màu màu đ ch giá tr N u mu n nghi m đ c xu t d i d ng vec t cho vùng làm vi c c a MATLAB Có nhi u ki u v cho phép ta quan sát nghi m Mu n v y ta vào menu Plot ch n ki u hi n th nghi m thích h p Dùng hàm dòng l nh: M c dù pdetool Gui cung c p m t môi tr ng làm vi c thu n ti n nh ng v n có nh ng tr ng h p ta ph i dùng hàm dịng l nh Đó là: • hình d ng hình h c c a vùng đ c kh o sát khác đ ng th ng, cung trịn, cung ellip • u ki n biên khơng tiêu chu n • h s c a PDE c a u ki n biên ph c t p • có hai bi n ph thu c • nghi m khơng b h n ch • nghi m khó bi u di n Q trình xác l p tốn gi i đ c ph n ánh thi t k c a GUI M t s c u trúc d li u xác đ nh khía c nh khác c a tốn giai đo n x lí khác t o c u trúc d li u m i a Mơ hình CSG: Mơ hình CSG đ c mô t b ng ma tr n Geometry Description, set formular ma tr n Name Space Các c u trúc d li u đ c mơ t hàm decsg b Phân nh hình: Hình đ c phân nh đ c mơ t b ng ma tr n Decomposed Geometry hay b ng ma tr n Geometry M file Khi hình d ng đ c mô t nh m t b vùng c nh c c ti u bao b i đo n biên M t ma tr n Decomposed Geometry có th đ c t o t mơ hình CSG b ng dùng hàm decsg Nó có th xu t t GUI b ng cách ch n Export Decomposed Geometry menu Boundary M t Geometry M file t ng đ ng v i m t ma tr n Decomposed Geometry cho có th đ c t o b ng cách dùng hàm wgeom xem b ng hàm pdegplot C u trúc d li u c a ma tr n Decomposed Geometry M file Geometry đ c mô t hàm pdegeom c Đi u ki n biên: Đi u ki n biên đ c mô t b ng ma tr n Boundary Condition hay M file Boundary Các u ki n biên đ c cho nh hàm biên Ma tr n u ki n biên có th xu t t GUI b ng ch n Export Decomposed Geometry, Boundary Cond’s .trong menu Boundary M t M file ch a u ki n biên t ng đ ng v i ma tr n u ki n biên có th t o đ c 158 t hàm wbound C u trúc d li u c a ma tr n u ki n biên mô t hàm assemb pdebound d H s c a ph ng trình: PDE đ c mơ t b ng ma tr n Coefficient hay M file Coffficient đ i v i m i h s c, a, f d Các h s hàm vùng Các h s có th xu t t GUI b ng ch n Export PDE Coefficients t menu PDE C u trúc d li u c a đ c mô t hàm assempde e L i: M t l i tam giác đ c mô t b ng d li u l i g m ma tr n Points, ma tr n Triangle Trong l i, vùng nh nh t đ c tam giác hoá thành vùng con, đo n biên S li u l i đ c t o t hình d nh hình h c b ng hàm initmesh thay đ i b ng hàm refinemesh jigglemesh Hàm adaptmesh t o s li u l i L i đ c v b ng hàm pdemesh f Nghi m: Nghi m c a toán PDE đ c bi u di n b ng vec t M i nghi m giá tr t i m t m l i c a m i bi n ph thu c Các véc t nghi m đ c t o b ng hàm assempde, pdenonlin, adaptmesh, parabolic, hyperbolic, pdeeig g Quá trình bi u di n: Cho c p nghi m l i ta có cơng c khác đ xem nghi m pdeintrp pdertni có th dùng đ n i suy gi a hàm tri2grid dùng đ n i suy hàm t l i tam giác t i l i hình ch nh t pdegrad pdecgrad tính gradient c a nghi m pdeplot đ v nghi m pdecont, pdesurf th hi n nghi m d ng contour m t §1 M T S BÀI TỐN Các ví d v tốn elliptic: a Ph ng trình Poisson hình trịn đ n v : Ví d đ u tiên v tốn elliptic gi i ph ng trình Poisson xác đ nh hìng trịn đ n v Bài tốn đ c mơ t b ng ph ng trình: ∆u = mi n Ω, u = ∂Ω Trong Ω hình trịn đ n v Trong tr ng h p nghi m xác là: − x2 − y2 u( x , y) = Nh v y ta có th đánh giá đ c sai s theo ph ng pháp chia l i khác Ta th c hi n gi i toán theo b c sau: • nh p l nh pdetool t c a s l nh c a MATLAB tr chu t tr thành d u + • m menu Options, đánh d u m c Grid Snap V hình trịn đ n v b ng b m vào icon hình ellip cơng c kéo r i th chu t N u 159 hình trịn ch a th a mãn yêu c u b m đúp vào đ kích ho t h p tho i nh p l i thông s mô t xác tâm bán kính c a hình trịn • nh p ki u biên b ng cách b m vào menu Boundary ch n Boundary Mode hay b m đúp vào nút Khi biên c a vùng ∂Ω đ c v biên đ c gán u ki n biên m c đ nh(đi u ki n biên Dirichlet u = biên) Trong tr ng h p u ki n biên mong đ i N u u ki n biên khác ta b m đúp vào biên đ hi n th h p tho i s a l i u ki n biên cho phù h p hi n th • đ xác đ nh ph ng trình vi phân đ o hàm riêng nh p chu t vào nút PDE cơng c (có th ch n menu PDE | PDE Speficification) Khi m t h p tho i đ c m ta có th xác đ nh h s c , a f Trong tr ng h p c = , f = a = • nh p chu t vào nút Mesh(nút hình tam giác) hay ch n Mesh | Initialize Mesh Khi m t l i hình tam giác đ c kh i gán hi n th • nh p nút Refine(nút tam giác có nhi u tam giác con) hay ch n Mesh | Refine Mesh Nh v y l i m n h n đ c kh i gán hi n th • đ gi i ph ng trình nh p nút = hay ch n menu Solve | Solve PDE (Ctrl E) Dùng h p tho i Plot Selection menu Plot | Parameters đ ch n hi n th nghi m khác • đ so sánh nghi m s nghi m xác, ch n menu Plot | Parameters đ hi n th h p tho i Plot Selection Trong m c Property c a Color ch n user enrty Sau nh p bi u th c MATLAB u (1 x.^2 y.^)/4 vào tr ng so n th o user etry nh p nút l nh Plot Ta nh n đ c hình v sai s t đ i c a nghi m Đ xu t k t qu vào vùng làm vi c c a MATLAB ta dùng Mesh | Export Mesh Solve | Export Solution Đ tinh ch nh k t qu nh p nút Refine = nhi u l n K t qu l u ct8_2.m b Bài tốn ph n x sóng: Bài tốn dùng đ tính ph n x sóng t m t v t th b r i sóng t i V i toán ta kh o sát m t màng n m ngang r ng vô h n ch u d ch chuy n nh theo chi u th ng đ ng u Màng c đ nh biên Ta coi môi tr ng đ ng nh t t c đ sóng h ng c Khi sóng u hồ theo t ta có th tính tr ng b ng cách gi i m t toán xác l p nh t V i u( x , y , t ) = u( x , y)e − iωt ph ng trình sóng có d ng: ∂2u − c∆u = ∂t tr thành: − ω2 u − c∆u = 160 hay ph ng trình Helmholz: − ∆u − k u = Trong k s sóng, liên quan đ n t n s góc ω, t n s f đ dài sóng λ b ng: ω πf π k= = = c c λ Bây gi ta ph i mô t u ki n biên Coi sóng t i m t sóng ph ng theo h ng: r a = (cos(a), sin(a)) : r r v( x , y , t ) = e i( ka x − ωt ) = v( x , y)e − iωt r r Trong : e ika x = v( x , y) u t ng c a v sóng ph n x r: u=v+r Đi u ki n biên đ i v i biên đ i t ng u = 0, nghĩa r = v(x,y)(v i sóng âm, v nhi u lo n áp su t u ki n biên thích h p ph i ∂u/∂n=0) Sóng ph n x kh i đ i t ng Đi u ki n biên bên ph i ch n sóng khơng b ph n x Đi u ki n nh v y th ng g i không ph n x ta dùng u ki n b c x Sommerfeld Khi đ t đ n vô cùng, r tho mãn x p x ph ng trình sóng m t chi u: r ∂r + cξ∇r = ∂t cho phép sóng ch chuy n đ ng theo h ng x(x kho ng cách b c x t v t th ) V i nghi m u hoà theo t,đ i u tr thành u ki n biên Neumann t ng qt hố: r ξ∇r = ikr Vì lí đ n gi n hố, coi pháp n bên c a vùng kh o sát x p x h ng bên ξ Bây gi ta dùng pdetool đ gi i toán S d ng mode Generic Scalar b ng cách vào menu Option|Application đánh d u vào Generic Scalar , b t đ u b ng cách v vùng D c a toán Đ i t ng b chi u sáng m t hình vng R1 v i c nh 0.1 đ n v tâm [0.8 0.5] quay 450 (vào Draw|Rotate ) coi vùng tính C1 hình trịn có bán kính 0.45 tâm m t ch v i hình vng Mơ hình CGS C1 R1 V i biên ngoài, ta dùng u ki n biên Neumann v i q = jk H s sóng k = 60 t ng ng v i b c sóng 0.1 đ n v Nh v y ta c n nh p giá tr q = 60j g = b ng cách vào menu Boundary| Specify Boundary Condition Đ i v i biên hình vng ta dùng u ki n biên Dirichlet: 161 r r r = −v( x , y) = −e ika x Trong tốn này, sóng t i ph i qua đo n x Nh v y u ki n biên có d ng đ n gi n là: r = −v( x , y) = −e ikx Vào menu Boundary| Specify Boundary Condition nh p u ki n biên Dirichlet h = 1, r = exp( i*60*x) Vào menu PDE|PDE Specification nh p h s c a ph ng trình c = 1, a = 3600 f = Ti p theo b m vào nút công c chia l i đ chia l i cho toán Ta l u t t c k t qu vào file ct8_4.m Bây gi ta có th gi i tốn có nghi m ph c Đ th y đ c s lan truy n sóng ph n x , sau gi i toán ta ch n Draw|Export Geometry Description, Set Formular, Label ; Boundary|Export Decomposed Gemetry, Boundary Cond s ; PDE|Export Coeficients ; Solve|Export Solution ch y l nh MATLAB sau(l u file ct8_5.m): m = 10; % so khung hinh h = newplot; hf = get(h, Parent ); set(hf, Renderer , zbuffer ) axis tight; set(gca, DataAspectRatio ,[1 1]); axis off; M = moviein(m,hf); maxu = max(abs(u)); for j = 1:m uu = real(exp( j*2*pi/m*sqrt( 1))*u); fprintf( %d ,j); pdeplot(p,e,t, xydata ,uu, colorbar , off , mesh , off ); caxis([ maxu maxu]); axis tight, set(gca, DataAspectRatio ,[1 1]); axis off; M(:,j) = getframe(hf); if j = = m fprintf( done\n ); end end movie(hf,M,50); 162 c Bài toán m t c c ti u: Trong nhi u tốn h s c, a f khơng ch ph thu c vào x y mà vào u Ta kh o sát ph ng trình: ⎛ ⎞ ⎜ − ∇ ∇u ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 1+ |∇u| ⎠ hình trịn đ n v Ω = {(x , y )|x + y ≤ 1} v i u = x2 ∂Ω Đây tốn phi n tính khơng th gi i v i trình gi i solver Do trình pdenonlin đ c dùng Vùng tìm nghi m hình trịn đ n v V hình tròn xác đ nh u ki n biên b ng cách vào menu Boundary|Boundary Mode Dùng Select All c a menu Edit đ ch n t t c biên Sau nh p đúp vào biên đ m h p tho i Boundary Condition Đi u ki n biên u = x^2 đ c nh p vào b ng cách đánh x.^2 vào m c c a r Ti p theo m h p tho i PDE Specification đ xác đ nh PDE Đây ph ng trình elliptic v i c = , a = f = H s c đ c 1+ |∇u|2 nh p vào b ng cách đánh c =1./sqrt(1+ux.^2+uy.^2) Kh i gán l i làm tinh l i m t l n Tr c gi i ph ng trình ch n Parameters t menu Solve dùng tu ch n Use nonlinear đ t sai s 0.001 Nh n nút = đ gi i ph ng trình Dùng h p tho i Plot Selection đ v nghi m d ng D d Chia vùng: PDE Toolbox đ c thi t k đ làm vi c v i s phân vùng c p N u vùng Ω ph c t p, th ng nên phân thành vùng có c u trúc đ n gi n h n đ n gi n Các c u trúc nh v y th ng đ c th c hi n b i pdetool Gi s Ω m t t p h p vùng Ω1, Ω2, , Ωn.V y ta có th đánh s l i nút c a l i Ω cho ch s c a nút vùng đ c nhóm l i v i t t c ch s c a nút chung c a hay nhi u vùng nh cũ Do ma tr n K có s h ng khác ch hàng c t ch nút c nh nhau, nên đ c phân thành: ⎛ K ⋅ ⋅ ⋅ B1T ⎞ ⎜ ⎟ T ⎜ K ⋅ ⋅ ⋅ B2 ⎟ K=⎜ M M O M M ⎟ ⎜ ⎟ L K n BTn ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ B1 B L B n C ⎠ Trong v ph i là: 163 ⎛ f1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ f2 ⎟ f =⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ fn ⎟ ⎜f ⎟ ⎝ c⎠ Th ng trình assempde c a PDE Toolbox có th g p ma tr n Kj, Bj, fj C m t cách riêng r nên ta có th ki m sốt đ c vi c l x lí ma tr n H n n a c u trúc c a h th ng n tính Ku = F đ c đ n gi n hoá b ng cách chia K thành t ng ma tr n riêng ph n nh Bây gi ta kh o sát m t màng hình L Ta có th v màng b ng l nh: pdegplot( lshapeg ) Chú ý biên gi a vùng Có vùng mi n xét có d ng L Nh v y công th c ma tr n v i n = t có th dùng Bây gi ta t o l i : [p,e,t] = initmesh( lshapeg ); [p,e,t] = refinemesh( lshapeg ,p,e,t); [p,e,t] = refinemesh( lshapeg ,p,e,t); V i tr ng h p v i n = ta có: ⎛ K1 0 B1T ⎞⎛ u1 ⎞ ⎛ f1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ T ⎜ K B2 ⎟⎜ u ⎟ ⎜ f2 ⎟ = ⎜ 0 K BT3 ⎟⎜ u ⎟ ⎜ f3 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜B B ⎟⎜ c ⎟ ⎜ f ⎟ B C ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ c ⎠ Và nghi m xác đ nh b ng cách lo i tr kh i: (C − B1K 1−1B1T − B2 K 2−1BT2 − B3K 3−1BT3 )u c = fc − B1K 1−1f1 − B2 K 2−1f2 − B3K 3−1f3 u1 = K 1−1 (f1 − B1T u c ) L Khi gi i toán, ta dùng ph ng pháp phân tích Choleski Cac l nh MATLAB nh sau( l u ct8_7.m): echo on clc % Gia pt Poisson s % div(grad(u))=1 % tren mang L voi u=0 tren bien % Bai toan duoc gia bang cach chia vung pause % Nhan phim bat ki de tiep tuc 164 clc % Dinh nghia bai toan g = lshapeg ; % mang dang L b = lshapeb ; % tren bien c = 1; a = 0; f = 1; time = []; [p,e,t] = initmesh(g); [p,e,t] = refinemesh(g,p,e,t); [p,e,t] = refinemesh(g,p,e,t); pause % Nhan phim bat ki de tiep tuc clc np = size(p,2); % Truoc het tim cac diem chung cp = pdesdp(p,e,t); % Dinh vi khong gian nc = length(cp); C = zeros(nc,nc); FC = zeros(nc,1); pause % Nhan phim bat ki de tiep tuc % Ket hop vung va cap nhat [i1,c1] = pdesdp(p,e,t,1); ic1 = pdesubix(cp,c1); [K,F] = assempde(b,p,e,t,c,a,f,time,1); K1 = K(i1,i1); d = symmmd(K1); i1 = i1(d); K1 = chol(K1(d,d)); B1 = K(c1,i1); a1 = B1/K1; C(ic1,ic1) = C(ic1,ic1) + K(c1,c1) a1*a1 ; 165 f1 = F(i1); e1 = K1 \f1; FC(ic1) = FC(ic1) + F(c1) a1*e1; pause % Nhan phim bat ki de tiep tuc % Ket hop vung va cap nhat [i2,c2] = pdesdp(p,e,t,2); ic2 = pdesubix(cp,c2); [K,F] = assempde(b,p,e,t,c,a,f,time,2); K2 = K(i2,i2); d = symmmd(K2); i2 = i2(d); K2 = chol(K2(d,d)); B2 = K(c2,i2); a2 = B2/K2; C(ic2,ic2) = C(ic2,ic2) + K(c2,c2) a2*a2 ; f2 = F(i2); e2 = K2 \f2; FC(ic2) = FC(ic2) + F(c2) a2*e2; pause % Nhan phim bat ki de tiep tuc % Ket hop vung va cap nhat [i3,c3] = pdesdp(p,e,t,3); ic3 = pdesubix(cp,c3); [K,F] = assempde(b,p,e,t,c,a,f,time,3); K3 = K(i3,i3); d = symmmd(K3); i3 = i3(d); K3 = chol(K3(d,d)); B3 = K(c3,i3); a3 = B3/K3; C(ic3,ic3) = C(ic3,ic3) + K(c3,c3) a3*a3 ; f3 = F(i3); e3 = K3 \f3; FC(ic3) = FC(ic3 )+ F(c3) a3*e3; pause % Nhan phim bat ki de tiep tuc 166 % Giai u = zeros(np,1); u(cp) = C\FC; % cac diem chung u(i1) = K1\(e1 a1 *u(c1)); % cac diem tren vung u(i2) = K2\(e2 a2 *u(c2)); % cac diem tren vung u(i3) = K3\(e3 a3 *u(c3)); % cac diem tren vung % Ve pdesurf(p,t,u) pause % Nhan phim bat ki de tiep tuc echo off Các l nh gi i b ng GUI l u ct8_8.m Các ví d v tốn parabolic: a Ph ng trình truy n nhi t: kh i kim lo i b đ t nóng: Bài tốn parabolic nói chung tốn v ph ng trình truy n nhi t d ng: ∂u d − ∆u = ∂t Ph ng trình truy n nhi t mô t s lan truy n nhi t v t th Ví d đ u tiên mà ta xem xét m t kim lo i có m t l hình ch nh t b đ t nóng T i đ u bên trái c a nhi t đ 1000C T i đ u bên ph i nhi t lan truy n t vào mơi tr ng khơng khí chung quanh v i t c đ h ng, ví d 10 Các biên khác cách nhi t Do ta có u ki n biên sau: • u = 100 bên trái (đi u ki n biên Dirichlet) ∂u • = −10 bên ph i (đi u ki n biên Neumann) ∂n ∂u = biên khác(đi u ki n biên Neumann) • ∂n V i ph ng trình truy n nhi t ta c n u ki n đ u: nhi t đ c a kim lo i t i t0 Trong toán nhi t đ ban đ u c a 00C Cu i ta xác đ nh th i m b t đ u truy n nhi t t = ta mu n tính tốn q trình truy n nhi t su t 5s Sau kh i đ ng pdetool ch n Generic Scalar ta v mơ hình CSG d dàng Ta v hình ch nh t R1: [ 0.5 0.8 1.6] Ta v ti p hình ch nh t khác (l ) R2: [ 0.05 0.4 0.1 0.8] Mơ hình R1 R2 B m vào nút ∂Ω đ xác đ nh biên đ mô t biên u ki n biên Dùng 167 ... biên đ hi n th h p tho i s a l i u ki n biên cho phù h p hi n th • đ xác đ nh ph ng trình vi phân đ o hàm riêng nh p chu t vào nút PDE cơng c (có th ch n menu PDE | PDE Speficification) Khi m... biên S li u l i đ c t o t hình d nh hình h c b ng hàm initmesh thay đ i b ng hàm refinemesh jigglemesh Hàm adaptmesh t o s li u l i L i đ c v b ng hàm pdemesh f Nghi m: Nghi m c a toán PDE đ c bi... nút = đ gi i ph ng trình Dùng h p tho i Plot Selection đ v nghi m d ng D d Chia vùng: PDE Toolbox đ c thi t k đ làm vi c v i s phân vùng c p N u vùng Ω ph c t p, th ng nên phân thành vùng có