Bài tập thảo luận phương trình vi phân

GVHD : Lê Ng c C ng ọ ườ L p HP ớ : 1016FMAT0211 M c l c: ụ ụ Các d ng ph ng trình vi phân c p 1 và ví d . ạ ươ ấ ụ • Ph ng trình vi phân c p 1 bi n s phân li. ươ ấ ế ố • Ph ng trình vi phân có d ng y’= f(x). ươ ạ • Ph ng trình đ ng c p c p 1. ươ ẳ ấ ấ • Ph ng trình tuy n tính c p 1. ươ ế ấ • Ph ng trình Bernoulli. ươ Các d ng ph ng trình vi phân c p 2 và ví d . ạ ươ ấ ụ • Ph ng trình vi phân c p 2 gi m c p đ c. ươ ấ ả ấ ượ • Ph ng trình vi phân tuy n tính c p 2. ươ ế ấ • Ph ng trình vi phân tuy n tính c p 2 h s ươ ế ấ ệ ố h ng. ằ  ng d ng c a ph ng trình vi phân. Ứ ụ ủ ươ • Mô hình ô nhi m môi tr ng. ễ ườ Các khái ni m c b n: ệ ơ ả • Đ nh nghĩa: Ph ng trình vi phân là ph ng trình liên h ị ươ ươ ệ gi a bi n đ c l p (hay các bi n đ c l p) hàm ch a bi t và ữ ế ộ ậ ế ộ ậ ư ế đ o hàm c a hàm s đó. ạ ủ ố • C p c a ph ng trình vi phân: là c p cao nh t c a đ o ấ ủ ươ ấ ấ ủ ạ hàm c a hàm s có m t trong phuong trình đó. ủ ố ặ D ng t ng quát c a PTVP c p n v i bi n đ c l p x, bi n ph ạ ổ ủ ấ ớ ế ộ ậ ế ụ thu c y là trong đó không đ c ộ ượ khuy t . ế • Nghi m c a ph ng trình vi phân: ệ ủ ư Cho m t PTVP c p n, m i hàm s , kh bi n đ n c p n mà khi ộ ấ ọ ố ả ế ế ấ thay vào ph ng trình đó cho ta đ ng nh t th c đ u g i là ươ ồ ấ ứ ề ọ nghi m c a PTVP đó. ệ ủ PH NG TRÌNH VI PHÂN C P 1 ƯƠ Ấ 1.Đ nh nghĩa: ị Ph ng trình vi phân c p 1 có d ng : ươ ấ ạ + D ng t ng quát ạ ổ F(x, y, y’)=0 + D ng chính t c ạ ắ y’= f(x) 2. Đ nh lí t n t i và duy nh t nghi m ị ồ ạ ấ ệ : Cho PTVP c p 1:y’=f(x,y) n u f(x,y) liên t c trên mi n ấ ế ụ ề m D v i Mo(xo,yo) D t n t i nghi m y=f(x) Th a mãn ở ớ ồ ạ ệ ỏ yo=y(xo). N u f(x)liên t c trên D thì ế ụ nghi m đó là duy ệ nh t ấ 3.Đi u ki n ban đ u c a PTVP: ề ệ ầ ủ ∈ N u ế g i là đi u ki n ban đ u ọ ề ệ ầ ∫ ∫ + = c dx x f dy y g ) ( ) ( 2.2 Ph ng trình vi phân c p 1 bi n s phân li: ươ ấ ế ố a. D ng ạ : f(x)dx = g(y)dy b. PP: tích phân 2 v ta đ c ế ượ 0 = + ydy xdx vd: ∫ ∫ = + c ydy xdx c y x = + ⇒ 2 2 2 2 c y x 2 2 2 = + ⇒ là nghi m c a ph ng trình. ệ ủ ươ tích phân 2 v ta đ c ế ượ 2.1 Ph ng trình có d ng ươ ạ y’= f (x) Ph ng pháp gi i: tích phân 2 v ta đ c ươ ả ế ượ 2.Các lo i ph ng trình vi phân c p 1 ạ ươ ấ 2.3 Ph ng trình đ ng c p ươ ẳ ấ c p 1: ấ a.D ng ạ cách làm: Đ t ặ . xu u y x u y x y u + = ⇒ = ⇒ = Thayy’ vào ph ng trình (1) ta đ c ươ ượ 0 ) 2 ( = − + xdy dx y x vd: gpt ) 0 : ( 2 1 ≠ + = ⇒ x ĐK x y dx dy . xu u y x u y x y u + = ⇒ = ⇒ = Đ t ặ (1) x y u = ) 1 ( − = cx x y 0 = x Thay ta có: Tr ng h p là nghi m c a (1) ườ ợ ệ ủ . x c u c x u . 1 ln 1 ln = + ⇒ + = + ⇒ ) 0 1 : ( 1 ≠ + = + ⇒ u ĐK x dx u du Thay y’vào ph ng trình ta đ ươ c ượ u xu u 2 1 + = + b.Ph ng trình đ a v ph ng trình đ ng c p ươ ư ề ươ ẳ ấ D ng ạ Cách gi i: ả + Xét đ nh th c + Đ t: ị ứ ặ Khi đó ta có Đ t .Ta gi i ặ ả gi i PT đ ng c p ả ẳ ấ + N u đ nh th c thì ế ị ứ Đ t đ a v PT v ph i không ch a ặ ư ề ế ả ứ       + + = eY dX bY aX f dX dY Ví d : ụ GPT Ta có: Đ t: ặ Khi đó ta có: () Đ t: ặ ) ( ) ( x Q y x P y = + 0 ) ( = x Q 0 ) ( = + y x P y 0 ) ( ≠ x Q 2.4 Ph ng trình tuy n tính c p 1 ươ ế ấ • N u ế thì ph ng trình ươ thì ph ng trình () ươ đ c g i là ph ng trình tuy n tính c p 1 ượ ọ ươ ế ấ không thu n nh t. ầ ấ a. D ng: ạ () đ c g i là ph ng trình tuy n tính c p 1 ượ ọ ươ ế ấ thu n nh t. ầ ấ • N u ế ). ( ) ( ) ( ∫ + = ∫ ∫ − c dx e x Q e y dx x P dx x P a. Cách gi i ả : Nghi m t ng quát c a ph ng trình ệ ổ ủ ươ tuy n tính c p 1 () có d ng: ế ấ ạ Cách gi i: ả B c 1 ướ : gi i pt thu n nh t: ả ầ ấ ( y=0 không ph i nghi m c a ph ng trình đã cho) ả ệ ủ ươ B c 2 ướ : Coi D=D(x) thay y’ vào PT: đ c: ượ 0 ) ( = + y x P y ) ( ) ( x Q y x P y = + ). ( ) ( ) ( ∫ + ∫ = c dx e x Q x D dx x P ⇒ ⇒ Ví d : GPT ụ () Xét ph ng trình thu n nh t: ươ ầ ấ Coi D=D(x) Thay y’ vào() ta đ c: ượ (1) α y x Q y x P y ). ( ) ( = + 2.5 Ph ng trình Bernouli ươ α − = 1 y z a) Cách gi i: ả a) D ng ạ chia c 2 v ả ế () là pt tuy n tính c p 1 ế ấ 0 ) ( ) ( = − + y x Q x P y 0 = α 1 = α Đây là pt tuy n tính c p 1 thu n nh t ế ấ ầ ấ () () có d ng ạ 1 , 0 α + +, +, Đ t ặ α y ) ( ) ( x Q y y x P y y = ′ + ′ α α () có d ng ạ α α y y z ′ − = ′ ⇒ ) 1 ( () ) ( ) ( 1 x Q z x P z = + − ′ α ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( x Q x zP z z α − = − + ′ ⇒ +,y=0 là nghi m c a pt ệ ủ PH NG TRÌNH VI PHÂN C P 2 ƯƠ Ấ 1.Đ nh nghĩa ị • Ph ng trình vi phân c p 2 t ng quát có d ng: ươ ấ ổ ạ 0 ) , , , ( = y y y x F hay ) , , ( y y x f y = • Nghi m t ng quát c a ph ng trình vi phân c p 2 ệ ổ ủ ươ ấ là hàm ) , , ( 2 1 c c x y ϕ = Tìm nghi m ph ng trình vi phân c p 2: ệ ươ ấ ) , , ( y y x f y =    = = b x y a x y ) ( ) ( 0 0 x, a, b các s cho tr ố c ướ mãn đi u ki n đ u: ề ệ ầ thỏa ) , ( y x f y = Cách gi i: ả ) ( y x z = 2. Các d ng toán c a ph ng trình vi phân ạ ủ ươ c p2: ấ a. D ng ạ Cách gi i ả :tích phân 2 l n ầ b D ng: ạ H b c b ng cách đ t ạ ậ ằ ặ ) ( x f y = 3. Ph ng trình d ng: ươ ạ b Cách gi i: ả ) ( y y z = z z dy dz z dx dy dy dz dx dz y . = ⋅ = ⋅ = = ⇒ a D ng: ạ H b c b ng cách đ t ạ ậ ằ ặ Vd: ) , ( y y f y = Vd: gi i pt: ả 0 . 2 = − y y y ) ( y y z = Đ t ặ z dy dz y ⋅ = ⇒ 0 2 = − ⋅ z z dy dz y (1) (1) ) 0 , 0 : ( ; ≠ ≠ = ⇒ z y ĐK z dz y dy z c y ln ln 1 = + ⇒ y c z 1 = ⇒ V ph ng trình có ậỵ ươ nghi m ệ y c z 1 = 4.Ph ng trình vi phân tuy n tính ươ ế c p 2 : ấ ) ( x f by ay y = + + các h ng s ằ ố b a, Ph ng trình tuy n tính c p 2 có d ng t ng quát là ươ ế ấ ạ ổ a) Ph ng trình tuy n tính c p 2 thu n nh t v i ươ ế ấ ầ ấ ớ h s h ng s : ệ ố ằ ố () Ph ng trình ươ 0 2 = + + b aλ λ đ c g i là ượ ọ ph ng trình đ c tr ng c a ph ng trình (). ươ ặ ư ủ ươ 0 = + + by ay y 2 1 , λ λ x x e c e c x y 2 1 2 1 ) ( λ λ + = N u ph ng trình ế ươ đ c tr ng có 2 nghi m ặ ư ệ phân bi t ệ Nghi m t ng quát c a p ệ ổ ủ trinh ()là: ∗ N u ph ng trình đ c tr ng có nghi m kép ế ươ ặ ư ệ 2 1 λ λ = Nghi m t ng quát c a p ệ ổ ủ trình ()là: x e x c c x y 1 ) ( ) ( 2 1 λ + = ∗ N u ph ng trình đ c tr ng có nghi m ph c ế ươ ặ ư ệ ứ    − = + = β α λ β α λ i i 2 1 ∗ Nghi m t ng quát c a ph ng trình ệ ổ ủ ươ ()là: ) cos sin ( ) ( 2 1 x c x c e x y x β β α + = a) Ph ng trình tuy n tính c p 2 không thu n nh t ươ ế ấ ầ ấ v i h s h ng s : ớ ệ ố ằ ố ) ( x f by ay y = + + là nghi m t ng quát c a ph ệ ổ ủ ng trình ươ thu n nh t: ầ ấ là nghi m riêng c a ph ng trình ệ ủ ươ không thu n nh t: ầ ấ Nghi m t ng quát c a ph ng trình này có d ng: ệ ổ ủ ươ ạ V i ớ 0 = + + by ay y ) ( x f by ay y = + +      ) ( ˆ ) ( x y x y ) ( ˆ ) ( ) ( x y x y x y + = Cách tìm nghi m riêng ệ Tr ng h p ườ ợ ) ( ) ( x P e x f n x α = N u ế α không ph i là nghi m c a ph ng trình ả ệ ủ ươ đ c tr ng: ặ ư 0 2 = + + b aλ λ N u ế α là nghi m kép c a ph ng trình đ c ệ ủ ươ ặ tr ng: ư 0 2 = + + b aλ λ Lúc này: ) ( . . ) ( ˆ 2 x Q e x x y n x α = ) ( . ) ( ˆ x Q e x y n x α = ) ( ˆ x y N u ế α là nghi m đ n c a ph ng trình đ c ệ ơ ủ ươ ặ tr ng: ư Khi đó: ) ( . . ) ( ˆ x Q e x x y n x α = vd: tìm nghi m t ng quát ệ ổ x xe y y y 2 2 = + − Nghi m t ng quát c a pt có d ng: ệ ổ ủ ạ ) ( ˆ ) ( ) ( x y x y x y + = B c 1 ướ : Tìm ) ( x y Ph ng trình đ c tr ng ươ ặ ư 0 1 2 2 = + − k k có x e x c c x y k k ) ( ) ( 1 2 1 2 1 + = ⇒ = = nghi m kép ệ B c 2 ướ : Tìm Ta có: x e x f x 2 ) ( = α=2 là ko là nghi m ệ c a ph ng trình đ c ủ ươ ặ tr ng ư (1) L y ấ thếvào 2 , 1 − = = B A (1) x x e x e x c c x y 2 2 1 ). 2 ( ) ( ) ( − + + = V y nghi m TQ là: ậ ệ là nghi m riêng c a ệ ủ (1) ) .( ) ( ˆ 2 B Ax e x y x + = ) ( ˆ x y (1) • Tr ng h p ườ ợ cos ). ( )(sin ( ) ( x x Q x x P e x f m n x β β α + = x x K x x H e x y l l x cos ) ( sin ) ( ) ( ˆ β β α + = cos ) ( sin ) ( . ) ( ˆ x x K x x H e x x y l l x β β α + =  N u ế α ± iβ không ph i là nghi m c a ả ệ ủ ph ng trình đ c tr ng thì ươ ặ ư } , max{ n m l =  N u ế α ± iβ là nghi m c a ph ng trình đ c ệ ủ ươ ặ tr ng thì ư } , max{ n m l = VD1: Tìm nghi m t ng quát c a ph ng trình ệ ổ ủ ươ x y y 2 cos 4 = + B c 1 ướ : Tìm ) ( x y 0 4 2 = + k i k i k 2 , 2 2 1 − = = B c 2 ướ : Tìm ) ( ˆ x y ) 2 sin . 0 2 cos . 1 ( ) ( x x x f + = ) 2 sin 2 cos ( ) ( 2 1 x c x c e x y ox + = ⇒ ) 0 , 0 , 2 , 0 ( = = = = n m β α Ph ng trình đ c tr ng ươ ặ ư có nghi m ệ ph c là: ứ Ta có: i i 2 ± = ± β α là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ ) 2 sin 2 cos ( ) ( ˆ x B x A xe x y ox + = L y ấ ) ( ˆ x y th vào ph ng trình đ u ta tính đ c ế ươ ầ ượ 4 1 , 0 = = B A V y nghi m t ng quát c a ph ng trình đ u là: ậ ệ ổ ủ ươ ầ ) ( ˆ ) ( ) ( x y x y x y + = đ c tr ng nên ặ ư x x x c x c 2 sin 4 1 ) 2 sin 2 cos ( 2 1 + + = ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 x f x f y x b y x a y + = + + • Tr ng h p nguyên lí ch ng ch t nghi m: ườ ợ ồ ấ ệ Khi đó: ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ 2 1 x y x y x y + = là nghi m riêng c a ph ệ ủ ng trình ươ : ) ( ) ( ) ( 1 x f y x b y x a y = + + V i ớ là nghi m riêng c a ph ệ ủ ng trình ươ : Là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ ) ( ) ( ) ( 2 x f y x b y x a y = + +      ) ( ˆ ) ( ˆ 2 1 x y x y Ph n 3: ng d ng c a ph ng trình vi ầ ứ ụ ủ ươ phân Mô hình ô nhi m môi tr ng ễ ườ • G i y là hàm l ng . Hàm l ng tăng theo quy ọ ượ ượ x: l ng mà nhà máy th i ra vào khí quy n ượ ả ể lu t: ậ (1) : tham s bi u di n t ph n C h p th b i MTTN ố ể ễ ỉ ầ ấ ụ ở •Gi s th i ra khí quy n tăng theo quy lu t: ả ử ả ể ậ (2) (a,b,β: h ng s d ng) ằ ố ươ β: bi u di n t ph n b h n ch b t do ho t đ ng ch ng ô ể ễ ỉ ầ ị ạ ế ớ ạ ộ ố nhi m c a các qu c gia ễ ủ ố Mô hình này là 1 h 2 PTVP c p 1, ta có bi u di n chúng ệ ấ ể ễ d i d ng PTVP c p 2. ướ ạ ấ Đ o hàm 2 v ph ng trình ạ ế ươ (1) ta có: (3) Th ế (2) vào (3)  Xét ph ng trình thu n nh t, tìm nghi m ươ ầ ấ ệ = Nghi m c a ph ng trình thu n nh t: ệ ủ ươ ầ ấ S d ng h s b t đ nh : ử ụ ệ ố ấ ị (t) = •  nghi m ph ng trình ệ ươ •  nghi m kép : = ệ  nghi m c a PT : ệ ủ y ˆ = ) (t y •  Nghi m ph c ệ ứ ( ) Nghi m t ng quát: ệ ổ y(t) = .( 3 tr ng h p y(t)= 0 khi ườ ợ ( s âm) ố 0 2 = + + β α λ λ 2 ). 4 ( 2 2 , 1 i α β α λ − ± − =

- GVHD : Lê Ng c C ọ ườ ng

- L p HP ớ : 1016FMAT0211

M c l c: ụ ụ

 Các d ng ph ạ ươ ng trình vi phân c p 1 và ví d ấ ụ

• Phương trình vi phân c p 1 bi n s phân li.ấ ế ố

• Phương trình vi phân có d ng y’= f(x).ạ

• Phương trình đ ng c p c p 1.ẳ ấ ấ

• Phương trình tuy n tính c p 1.ế ấ

• Phương trình Bernoulli.

 Các d ng ph ạ ươ ng trình vi phân c p 2 và ví d ấ ụ

• Phương trình vi phân c p 2 gi m c p đấ ả ấ ược.

• Phương trình vi phân tuy n tính c p 2.ế ấ

• Phương trình vi phân tuy n tính c p 2 h s ế ấ ệ ố

h ng ằ

 ng d ng c a ph Ứ ụ ủ ươ ng trình vi phân.

• Mô hình ô nhi m môi trễ ường.

khuy t ế

• Nghi m c a ph ng trình vi phân: ệ ủ ư

Cho m t PTVP c p n, m i hàm s , kh bi n đ n c p n mà khi ộ ấ ọ ố ả ế ế ấ thay vào ph ươ ng trình đó cho ta đ ng nh t th c đ u g i là ồ ấ ứ ề ọ

nghi m c a PTVP đó ệ ủ

- Cho PTVP c p 1:y’=f(x,y) n u f(x,y) liên t c trên mi n ấ ế ụ ề

m D v i Mo(xo,yo) D t n t i nghi m y=f(x) Th a mãn ở ớ ồ ạ ệ ỏyo=y(xo) N u f(x)liên t c trên D thìế ụ nghi m đó là duy ệ

nh t ấ

3.Đi u ki n ban đ u c a PTVP:ề ệ ầ ủ

∈

N u ế g i là đi u ki n ban đ u ọ ề ệ ầ

2 ( x + y dx − xdy = vd: gpt

) 0 :

( 2

=

⇒ dy dx x y ĐK x

' '

c x

aX f

dX dY

Ví d : ụ GPT

Ta có: Đ t: ặ Khi đó ta có: (*)

Đ t: ặ

) ( )

( ' P x y Q x

0 )

( x =

Q y ' + P ( x ) y = 0

0 )

(

) (

( ' +P x y =

y

) ( )

( ' P x y Q x

] ).

( )

(x = ∫ Q x e∫ ( ) dx+ c

D P x dx

⇒

⇒

y x

Q y

x P

#

α

+

+, +,

Đ t ặ

α

y

) ( )

y

y x

P y

y

=

′ +

′

α α

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 2Ấ

1.Đ nh nghĩaị

•Phương trình vi phân c p 2 t ng quát có d ng: ấ ổ ạ

0 )

"

,' ,

Tìm nghi m phệ ương trình vi phân c p 2: ấ y " = f ( x , y , y ' )

y

a x

y

) (

'

) (

0

0 x, a, b các s cho trố ước

mãn đi u ki n đ u: ề ệ ầ thỏa

)' ,

" f x

y =

3 Phương trình d ng:ạ

b- Cách gi i:ả z ( y ) = y '

z

z dy

dz z

dx

dy dy

dz dx

(

" f y y

y =

Vd: gi i pt:ả y y " − y '2 = 0

' )

(1)

(1)

) 0 ,

0 :

dy

z c

ln + 1 =

V ậỵ ph ươ ng trình có nghi m ệ z = c1y

4.Ph ươ ng trình vi phân tuy n tính ế c p 2 : ấ

) ( '

" ay by f x

y + + = a, b các h ng s ằ ố

Phương trình tuy n tính c p 2 có d ng t ng quát làế ấ ạ ổ

a) Phương trình tuy n tính c p 2 thu n nh t v i ế ấ ầ ấ ớ

h s h ng s :ệ ố ằ ố (*)

Phương trình λ2 + aλ + b = 0 được g i làọ

phương trình đ c tr ng c a phặ ư ủ ương trình (*)

0 '

" + ay + by =

y

c x

2 1

λ

β α

λ

i

i

2 1

∗

Nghi m t ng quát c a phệ ổ ủ ương trình (*) là:

)cos

sin(

)(x e c1 x c2 x

y = αx β + β

a) Phương trình tuy n tính c p 2 không thu n nh t ế ấ ầ ấ

) (

x y

x y

) (

ˆ )

( )

) (

ˆ x e Q x

y = αx n

) (

ˆ x y

N u ế α là nghi m đ n c a phệ ơ ủ ương trình đ c ặ

tr ng: ư

Khi đó: y ˆ ( x ) = x eαx Qn ( x )

x y k

) (

ˆ x e2 Ax B

) (

ˆ x

y

(1)

•Trường h p ợ

] cos

).

( )(sin

( [

)

x x

K x

x H

e x

y ˆ ( ) = αx[ l ( ) sin β + l ( ) cos β ]

] cos

) ( sin

) ( [

)

max{ n m

l =

VD1: Tìm nghi m t ng quát c a phệ ổ ủ ương trình

x y

y " + 4 = cos 2

Bước 1: Tìm y (x )

0 4

2 + =

k

i k

i

k1 = 2 , 2 = − 2

Bước 2: Tìm y ˆ x ( )

)2sin

02

cos

1()

) 2 sin 2

cos (

) ( x e c1 x c2 x

y = ox +

⇒

) 0 ,

0 ,

2 ,

0 ( α = β = m = n =

Phương trình đ c tr ngặ ư có nghi mệ

ph c là: ứ

Ta có: α ± i β = ± 2 i là nghi m c a phệ ủ ương trình

) 2 sin 2

cos (

) (

ˆ )

( )

đ c tr ng nênặ ư

x x

x c

x

4

1 )

2 sin 2

cos

=

) ( )

( )

( '

) (

( '

) (

( '

) (

) ( ˆ

2

1

x y

x y

Ph n 3: ng d ng c a ph ầ ứ ụ ủ ươ ng trình vi

phân

Mô hình ô nhi m môi tr ễ ườ ng

• G i y là hàm l ọ ượ ng Hàm l ượ ng tăng theo quy

x: l ượ ng mà nhà máy th i ra vào khí quy n ả ể

Đ o hàm 2 v phạ ế ương trình (1) ta có:

(3)

Nghi m c a phệ ủ ương trình thu n nh t:ầ ấ

yˆ

= )

(t y

α β

α