Phương trình vi phân dạng thường

PHU . O . NG TR`INH VI PHˆ AN THU . ` O . NG Nguyˆe ˜nV˘an Minh L`o . in´oi d¯ˆ a `u Phu . o . ng tr`ınh vi phˆ an thu . `o . ng l`al˜ınh vu . .clˆau d¯` o . icu’aTo´an ho. c. N´oi nhu . vˆa.ykhˆong c´ ongh˜ıa l` an´o“c˜uk˜y”, khˆong c` on ph´ at triˆe’n d¯u . o . .cn˜u . a, m` a tr´ ai la.id¯ˆ ay l` al˜ınh vu . .c ph´ at triˆe’nrˆa´tsˆoi d¯ˆ o.ng cu’a To´an Ho.c trong suˆ o´t nhiˆ e `uthˆa.pky’ qua. D iˆ e `un`ay c´ othˆe’hiˆe’ud¯u . o . .c v`ıd¯ˆ ay l` achiˆe´ccˆa `unˆo´icu’aTo´an ho.cv´o . ic´ac l˜ınh vu . .ckhoaho.c´u . ng du.ng kh´ac c˜ ung nhu . l` ano. ih`oa nhˆ a.pcu’a nhiˆe `ul˜ınh vu . .crˆa´tkh´ac nhau cu’ach´ınh To´ an ho.c. Hiˆ e.nnayo. ’ nu . ´o . ctac´oxuhu. ´o . ng thu go.ntˆen go.i“phu . o . ng tr`ınh vi phˆ an thu . `o . ng” th`anh “phu . o . ng tr`ınh vi phˆan”. C´ ach l` am nhu . vˆa.ys˜egˆay nhiˆe `u nhˆa `mlˆa˜n, nhˆa´tl`acho c´ ac sinh viˆen. Cˆ a `n pha’i phˆ an biˆe .tr˘a`ng thuˆa.tng˜u . “phu . o . ng tr`ınh vi phˆan” bao h` am khˆ ong chı’phu . o . ng tr`ınh vi phˆ an thu . `o . ng m`ac`on ca’ phu . o . ng tr`ınh vi phˆ an d¯a.oh`am riˆeng, mˆ o.tl˜ınh vu . .cgˆa `ng˜ui v´o . i phu . o . ng tr`ınh vi phˆ an thu . `o . ng (v`ac`on rˆ o.ng l´o . nho. nrˆa´t nhiˆ e `u). Tˆa.pb`ai gia’ng n`ay tˆ oi biˆen soa.nv`agia’ng cho sinh viˆen hˆ e. cu . ’ nhˆan khoa ho.ct`ai n˘ ang cu’aDa.iho.cKhoaho.cTu. . nhiˆen, D a.iho.c Quˆo´cgiaH`anˆo.i, v´ o . ithamvo.ng khiˆem tˆ o´nl`a cung cˆ a´p cho sinh viˆen, trong mˆ o.tth`o . igianha.nchˆe´(45 tiˆ e´tho.c), mˆ o.th`ınh dung n` ao d¯´ ovˆe `l˜ ınh vu . .cn`ay. D ˘a.cbiˆe .t, tˆ oi muˆ o´n nhˆa´nma.nh d¯ˆ e´nc´ac cˆ ong cu. d¯ang d` ung rˆo.ng r˜ai trong nghiˆen c´ u . uhiˆe.nnay.Tˆa´t nhiˆ en v´ o . imˆo. t khˆong gian ha.nchˆe´ch´ ung ta chı’ c´ othˆe’ ch˘ a´tlo.cnh˜u . ng ´ytu. o . ’ng quan tro.ng nhˆa´tv`a pha’itr`ınh b` ay d¯u . o . .cmˆo.tc´ach x´ uc t´ıch, d ¯o . n gia’n nhˆa´tc´othˆe’ d¯u . o . .c. So v´ o . ic´ac gi´ ao tr`ınh vˆ e ` phu . o . ng tr`ınh vi phˆan d¯˜ av`ad¯ang d¯u . o . .csu. ’ du.ng o . ’ Viˆe .tNamhiˆe .nnay,tˆoi d¯˜ ad¯u . a v`ao tˆ a.pc´ac b` ai gia’ng n`ay nh˜ u . ng chu’ d¯ˆ e `m´o . isaud¯ˆ ay: 1. D i .nh l´y Perron vˆe `d¯˘ a.c tru . ng hˆe. hyperbolic, d¯iˆe `ukiˆe.ntˆo `nta. i nghiˆe.mtuˆa `nho`an, gi´ o . inˆo. i, 2. D ata.pbˆa´tbiˆe´nv`a´u . ng du.ng trong nghiˆen c´ u . uˆo’nd¯i. nh, 3. C´ ach d` ung phˆa `nmˆe `mMapled¯ˆ e’ t´ ıch phˆ an phu . o . ng tr`ınh vi phˆan. I II L` o . in´oi d¯ˆ a `u Trong khi tˆoi kh´ ah`ai l` ong v´ o . ic´ach tr`ınh b` ay d¯o . ngia’nhaivˆa´nd¯ˆ e ` d¯ˆ a `utiˆen th`ıvˆa´nd¯ˆ e ` th´ u . ba c`on rˆ a´tl´ung t´ung. D iˆ e `un`ay dˆe ˜hiˆe’u v`ıkinhnghiˆe.mc`on chu . a nhiˆe `u, trong khi “s´u . c´ep” cu’a“Th`o . id¯a. i m´ay t´ınh”la.iqu´al´o . n. Tˆoi tin r˘ a`ng rˆa´t nhiˆ e `ungu. `o . i trong c´ ac ba.n c´ othˆe’ l` am tˆ o´tviˆe .cn`ay. D iˆ e `u duy nhˆa´ttˆoi lu . u´yc´ac ba.nl`acˆa `n pha’ihiˆe’ud¯u . o . .cgi´o . iha.ncu’ac´ac phˆ a `nmˆe `mv`a pha’ihiˆe’ud¯u . o . .cta. i sao. Tˆoi hy vo.ng viˆe.cd¯´ anh m´ ay la.ito`an v˘ an b` ai gia’ng v´o . imˆo.tsˆo´ bˆo’ sung b˘ a`ng phˆa `nmˆe `msoa.ntha’ov˘an ba’nLaTeXn`ay s˜egi´up c´ ac sinh viˆen, ho.cviˆen cao ho.cv`ac´ac c´ an bˆ o. nghiˆen c´ u . uc´othˆem t` ai liˆe .u tham kha’o, nhˆ a´tl`a trong t`ınh h` ınh thiˆ e´us´ach vo . ’ hiˆe . nnay. Theo tˆoi c´ ac b` ai gia’ng n`ay c´ othˆe’ d`ung d¯ˆ e’ da.ymˆo.tchuyˆen d ¯ˆ e ` vˆe ` phu . o . ng tr`ınh vi phˆ an thu . `o . ng “nˆang cao” cho c´ ac l´ o . pcaoho.c chuyˆ en vˆ e `phu . o . ng tr`ınh vi phˆ an v` at´ıch phˆ an. Do th`o . igianc´oha.n, m˘a.cdˆa `ud¯˜ arˆa´tcˆo´g˘ a´ng v`ad¯˜ a nhˆa.nd¯u . o . .c su . . gi´ up d¯˜ o . cu’a nhiˆe `usinhviˆen trong th` o . i gian gia ’ng da.y, gi´ ao tr`ınh ch˘ a´cc`on nhiˆe `uthiˆe´us´ot cˆ a `nbˆo’sung trong th` o . igiant´o . i. Tˆ oi mong nhˆa.nd¯u . o . .c nhiˆ e `u´ykiˆe´nphˆeb`ınh cu ’ac´ac d¯ˆ o.cgia’ xa gˆa `n. H`aNˆo.i 2002 Nguyˆ e ˜nV˘an Minh Da.iho.cKhoaho.cTu. . nhiˆen Da.iho.cQuˆo´cgiaH`anˆo. i Email: nvminhnetnam.vn MU.CLU.C 1L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 7 1.1. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆ an v` ac´ac d¯i.nh l´ytˆo `nta.iv`a duy nhˆa´tnghiˆe.m...................... 7 1.1.1. Mˆ o.tsˆo´v´ıdu. vˆe `c´ ac mˆ oh`ınh to´ an ho.csu . ’ du.ng phu . o . ng tr`ınh vi phˆ an............. 7 1.1.2. C´ ac d¯i.nh l´ytˆo `nta.i duy nhˆ a´tnghiˆe.m.... 10 1.1.3. D i .nh l´yPeano................. 14 1.1.4. D i .nh l´yvˆe `th´ ac triˆe’nnghiˆe.m ........ 15 1.2. Phu . o . ng tr`ınh tuyˆ e´nt´ınh tˆ o’ng qu´at ......... 17 1.2.1. Hˆe. phu . o . ng tr`ınh bˆ a.c nhˆ a´t .......... 17 1.2.2. Hˆe. phu . o . ng tr`ınh khˆ ong thuˆ a `n nhˆa´tv`acˆong th´ u . cbiˆe´nthiˆen h˘ a`ng sˆo´ ........... 22 1.3. Hˆe. phu . o . ng tr`ınh c´ ohˆe. sˆ o´h˘a`ng sˆo´v`atuˆa `nho`an . . 23 1.3.1. H` am ma trˆ a.n ................. 23 1.3.2. Phu . o . ng tr`ınh c´ ohˆe. sˆ o´h˘a`ng sˆo´ ....... 26 1.3.3. Phu . o . ng tr`ınh c´ ohˆe. sˆ o´tuˆ a `nho`an ...... 30 1.4. Nghiˆe.mgi´o . inˆo.icu’aphu. o . ng tr`ınh khˆ ong thuˆ a `n nhˆa´t31 1.4.1. Nghiˆe.mtuˆa `nho`an .............. 31 1.4.2. Nghiˆe .mgi´o . inˆo.i................ 33 1.4.3. C´ ac khˆ ong gian h` am chˆ a´p nhˆa.nd¯u . o. . c.... 35 1.4.4. Nghiˆe.mgi´o . inˆo.itrˆen nu . ’a tru.c........ 35 1.5. B` ai to´ an biˆen ..................... 36 1.5.1. B` ai to´ an biˆen thuˆ a `n nhˆa´t .......... 36 1.5.2. Phu . o . ng tr`ınh khˆ ong thuˆ a `n nhˆa´t....... 38 1.6. Phu . o . ng tr`ınh tuyˆ e´nt´ınh bˆ a.ccao .......... 39 1.7. Su. . phu. thuˆ o.cliˆen tu.ctheod¯iˆe `ukiˆe.nband¯ˆ a `uv`atheo tham sˆ o´ ........................ 41 2C´ac phu . o . ng ph´ap d¯i.nh lu . o. . ng 44 2.1. Mˆ o.tsˆo´phu . o . ng ph´ap t´ıch phˆ an c´ ac phu . o . ng tr`ınh vi phˆan .......................... 44 III IV MU .CLU.C 2.1.1. C´ ac phu . o . ng ph´ap t´ıch phˆ an c´ ac l´ o . pphu. o . ng tr` ınh thu . `o . ng g˘a.p ............... 44 2.1.2. Phu . o . ng tr`ınh thuˆ a `n nhˆa´tv`aphu. o . ng tr`ınh d¯u . avˆe `d¯u . o. . cda.ng n`ay ............ 47 2.1.3. Phu . o . ng tr`ınh tuyˆ e´nt´ınh........... 49 2.1.4. Phu . o . ng tr`ınh d ¯u . ad¯u . o. . cvˆe ` da.ng phu . o . ng tr` ınh tuyˆ e´nt´ınh................ 50 2.1.5. Phu . o . ng tr`ınhRicati ............. 52 2.1.6. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆ an ho` an chı’nh...... 54 2.1.7. Phu . o . ng ph´ap d` ung phˆa `nmˆe `mto´an ho.c.. 56 2.2. Phu . o . ng ph´ap tham sˆ o´b´e .............. 61 3L´ythuyˆe´td¯i.nh t´ınh 62 3.1. L´ ythuyˆe´tˆo’nd¯i.nh .................. 62 3.1.1. Kh´ ai niˆe.mˆo’nd¯i.nh theo ngh˜ıa Lyapunov . . 62 3.1.2. Phu . o . ng ph´ap th´ u . nhˆa´t Lyapunov . . . . . . 64 3.1.3. Phu . o . ng ph´ap th´ u . hai Lyapunov . . . . . . . 67 3.2. D ata.pbˆa´tbiˆe´nv`asu. . mˆa´tˆo’nd¯i.nh ......... 70 3.2.1. Su. . tˆ o `nta.icu’ad¯a ta.pbˆa´tbiˆe´n........ 70 3.2.2. T´ınh bˆ a´tbiˆe´ncu’ac´ac d¯a ta.p ........ 74 3.2.3. D ata.pkhˆong ˆ o’nd¯i.nh v`asu. . mˆa´tˆo’nd¯i.nh nghiˆe.m..................... 75 3.2.4. Nguyˆen l´ yˆo’nd¯i.nh thu go.n.......... 75 4Phu. Lu.c77 5B`ai tˆ a.p83 6Dˆe `thi v` ad¯´ ap ´ an 96 Chu . o . ng 1 L´ YTHUYˆ E´TTˆ O ’ NG QU´ AT 1.1. PHU . O . NG TR`INH VI PHˆ AN V` AC´ AC DI .NH L´ Y Tˆ O `NTA.IV` ADUYNHˆ A´ TNGHIˆ E.M 1.1.1. Mˆ o.tsˆo´v´ıdu. vˆe ` c´ ac mˆ oh`ınh to´ an ho.csu. ’ du.ng phu . o . ng tr`ınh vi phˆ an Nhiˆe `ub`ai to´ an cu’aVˆa.tl´y,Co. ho.c, Sinh ho.c, ... dˆ a˜nd¯ˆ e´nviˆe.c gia’ic´ac phu . o . ng tr`ınh h` am c´ och´u . a vi phˆ an cu’ah`am pha’it`ım. D ˆe’ minh ho.ach´ung ta x´et mˆ o.tsˆo´v´ıdu. quen biˆe´tsaud¯ˆ ay: Con l˘a´cto´an ho. c V´ıdu. 1.1X´et dao d ¯ˆo.ng cu’amˆo.tchˆa´td¯iˆe’mc´okhˆo´ilu. o . .ngm du . ´o . it´ac du.ng cu’alu. .ch´ut. Chuyˆe’nd¯ˆ o.ng cu’aconl˘a´cs˜exa’y ra trong m˘a.t ph˘ a’ng th˘a’ng d¯´ u . ng. Go. i l l` ad¯ˆ o. d`ai cu’aconl˘a´c,φ(t)l`ag´oc lˆe.ch cu’aconl˘a´cso v´o . ivi. tr´ ıth˘a’ng d¯´ u . ng ta.ith`o . id¯iˆe’mt.Khid¯´ otheoc´ac d¯i.nh luˆa. t cu’aco. ho.ctac´ophu. o . ng tr`ınh mlφ

(t)+mgsinφ(t)=0. Hay l`a trong da.ng r´ut go.n lφ

(t)+gsinφ(t)=0. (1.1) Nˆe´ud¯˘ a. tx=φv`ay=˙ φ,th`ı trong m˘ a.t ph˘ a’ng (x, y)tad¯u . o . .c tru . `o . ng v´ec to . sau: 7 8Chu. o . ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 y 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 x Con lac Di .nh luˆa.tMalthusvˆe `quˆa `nthˆe’ Gia’ su . ’ quˆa `nthˆe’ d¯u . o . .c phˆ an bˆ o´d¯ˆ e `u trong khˆong gian, tˆ a´tca’ c´ ac c´ athˆe’ nhu . nhau v`ac´ac thˆe´hˆe. kˆe´tiˆ e´p. Go. i N(t)l`asˆo´lu . o . .ng cu’ach´ung ta.ith`o . id¯iˆe’mt.Khid¯´ oDi .nh luˆa.t Malthus n´ oi r˘ a`ng dN(t) dt =(B−D)N(t), ∀t≥0, (1.2) trong d ¯´ oBl` aty’ lˆ e. sinh,Dl` aty’ lˆ e. chˆ e´ttu . . nhiˆen. Mˆoh`ınh to´ an ho.ccu’aquˆa `nthˆe’ vˆa.ts˘anmˆ o `i Gia’ su . ’ quˆa `nthˆe’ d¯ang x´et gˆ o `mhailo`ai, trong d¯´ omˆo.tlo`ai l` a d¯ˆ o.ng vˆa.t˘an mˆ o `i, c` on lo` ai kia l` amˆo `i cho n´ o. Go. i x(t),y(t)tu. o . ng ´ u . ng l`asˆo´lu . o . .ng con mˆo `i, vˆ a.ts˘an ta.ith`o . id¯iˆe’mt.Khid¯´ omˆoh`ınh Volterra cu’aquˆa `nthˆe’ s˜ ed¯u . o . .cbiˆe’udiˆe ˜nnhu. sau:
˙ x=αx−βxy, ˙ y=kβxy−my, (1.3) trong d ¯´ oαl` aty’ lˆ e. t˘ ang tu . . nhiˆen cu’ax(t)khikhˆong c´ oke’ s˘ an mˆ o `i, t´ u . cl`akhiy(t)=0,c`onml` aty’ lˆ e. chˆ e´ttu. . nhiˆen cu’avˆa.ts˘an khi khˆong c´ omˆo `i. β>0l`ahˆe. sˆ o´“tu . o . ng t´ac” gi˜ u . ahailo`ai cu’aquˆa `n thˆ e’.D ˆe’ minh ho.ach´ung ta x´et hˆ e . sau:
˙ x(t)=x(t)(1−y(t)), ˙ y(t)=0,3y(t)(x(t)−1). Chu. o . ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 9 Ta c´othˆe’ v˜e tru . `o . ng v´ec to . ´ u . ng v´o . ihˆe. trˆ en trˆ en m˘ a.t ph˘ a’ng (x, y) nhu . sau (d` ung phˆa `nmˆe `mMaple): 0 0.5 1 1.5 2 y 0.5 1 1.5 2 x LotkaVolterra model Trong c´ac mˆ oh`ınh to´ an ho.ctrˆen ch´ ung ta d¯ˆ e `uthˆa´ysu. . tham gia cu’a vi phˆ an c´ ac cˆ a´pcu’ah`am ˆ a’nφ(t),N(t),x(t),y(t) trong phu . o . ng tr` ınh mˆ o pho’ng c´ac qu´ atr`ınh thu . .ctˆe´.Phu . o . ng tr`ınh h` am trong d¯´ oc´och´u . aca’ c´ ac vi phˆ an cu’ah`am pha’it`ım d ¯u . o . .cgo.il`aphu. o . ng tr` ınh vi phˆ an thu . `o . ng. Cˆa `nch´u´y phˆan biˆe.tphu. o . ng tr`ınh vi phˆ an thu . `o . ng v´o . iphu . o . ng tr`ınh vi phˆ an d¯a.oh`am riˆeng. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan d¯a.oh`am riˆeng l` aphu. o . ng tr`ınh h` am nhiˆe `ubiˆe´n, c´och´u . ad¯a.o h`am riˆeng cu’ah`am pha’it`ım. Viˆ e.cnghiˆen c´ u . uphu. o . ng tr`ınh d ¯a.o h`am riˆeng v`ıthˆe´s˜ ekh´okh˘an gˆ a´pbˆo.iv`ad¯` oi ho’i pha ’ic´onh˜u . ng phu . o . ng ph´ap ph´ u . cta.pho. n nhiˆe `u. Nhu . vˆa.ymˆo.tphu. o . ng tr`ınh vi phˆan thu . `o . ng s˜ec´oda.ng F(x, y, y
,···,y (n) )=0, (1.4) trong d ¯´ oy(x)l`ah`am cu’ad¯ˆ o´isˆo´thu . .cx.Da.ng d¯o . ngia’nho. nsau d¯ˆ ay dy(x) dx =f(x, y(x)), (1.5) s˜ ed¯u . o . .cgo.il`aphu. o . ng tr`ınh d ¯˜ agia’irad¯ˆ o´iv´o . id¯a.oh`am. Do mˆ o. t nguyˆen nhˆ an l` a nhiˆe `uphu. o . ng ph´ap v` akˆe´tqua’ kinh d¯iˆe’ncu’a phu . o . ng tr`ınh vi phˆ an thu . `o . ng xuˆa´tx´u . t` u . co . ho.ccˆo’d¯iˆe’n, nˆen theo truyˆ e `nthˆo´ng ngu . `o . itahayk´yhiˆe.ubiˆe´nthu. .cxl` at,´am chı’ d¯´ ol`a th` o . id¯iˆe’mt,c`ony=y(t)l`a tra.ng th´ai ta.ith`o . id¯iˆe’mn`ay. D ˆe’ cho 10 Chu . o . ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at go.n trong phu . o . ng tr`ınh ngu . `o . itas˜eviˆe´tythay choy(t)nˆe´uhiˆe’u ngˆa `mh`am pha’it`ım yl` ah`am cu’at. Mˆo.td¯` oi ho’itu . . nhiˆen khi nghiˆ en c´ u . uc´ac mˆ oh`ınh to´ an ho.cl`asu. . pha’n´anh trung th` anh cu’ach´ung c´ac qu´ atr`ınh thu . .ctiˆe ˜n. Ch˘a’ng ha.n, qu´atr`ınh tiˆ e´nh´oa chı’ chuyˆ e’nt`u . mˆo.t tra .ng th´aix0 v`ath`o . i d¯iˆe’mt0 d¯ˆ e´nmˆo.t tra .ng th´aix(t) duy nhˆ a´tv`ao th` o . id¯iˆe’mt.Ho . n n˜u . a, nˆe´ux1 kh´agˆa `nx0 ta .ith`o . id¯iˆe’mt0 th` ıqu´atr`ınh s˜ echuyˆe’n tra .ng th´ai n` ay d¯ˆ e´ny(t)ta.ith`o . id¯iˆe’mtkh´agˆa `nv´o . ix(t). Nh˜ u . ng d¯` oi ho’itrˆen d ¯u . o . .cgo.il`asu. . tˆ o `nta.i duy nhˆ a´tnghiˆe.mv`asu. . phu. thuˆ o.c liˆ en tu .ctheod¯iˆe `ukiˆe .nband¯ˆ a `u. Nh˜u . ng d¯iˆe `ukiˆe .nn`ay c` on d¯u . o . .cgo. i v˘a´nt˘a´tl`asu. . thiˆ e´tlˆa.pd¯´ ung d¯˘ a´ncu’aphu. o . ng tr`ınh, hay mˆ oh`ınh d¯ang x´et. 1.1.2. C´ ac d¯i.nh l´ytˆo `nta.i duy nhˆ a´tnghiˆe.m X´et phu . o . ng tr`ınh vi phˆ an dx dt =f(t, x) (1.6) trong d ¯´ ofx´ac d¯i.nh v`aliˆen tu.ctrˆen miˆ e `nG:= (a, b)×{y∈R n : y−y0≤r}.C`ung v´o . iphu . o . ng tr`ınh (1.6) ta x´ et phu . o . ng tr`ınh
˙ x=f(t, x), x(t0)=x0, (1.7) go.il`aB`ai to´ an Cauchy kˆe´tho . .pv´o . iphu . o . ng tr`ınh (1.6). Nhˆa.nx´et. Trong b` ai to´ an Cauchy (1.7) ch´ ung ta khˆong x´ ac d¯i.nh r˜ o trong phu . o . ng tr`ınh d ¯ˆ a `ukhoa’ng x´ac d¯i.nh cu’ah`am pha’it`ım x=x(t). Nhu . s˜ ethˆa´ydu. ´o . id¯ˆ ay, su . . tˆ o `nta.inghiˆe .mx(t)v´o . i ttrong lˆ an cˆ a.n(haiph´ıa) cu ’at0 s˜ ed¯u . o . .cch´u .ng minh. D iˆ e `un`ay thˆe’ hiˆe.n “nguyˆen l´ y” : biˆe´thiˆe.nta.ix´ac d¯i.nh d¯u . o . .ctu . o . ng lai v`at´ai ta.od¯u . o . .c qu´akh´u . . Trong rˆ a´t nhiˆ e `ub`ai to´ an kh´ ac da.ng tr`ıu tu . o . .ng, nguyˆen l´ ytrˆen khˆ ong d¯´ ung. “Biˆe´thiˆe.nta. ichı’c´ othˆe’ x´ac d¯i.nh d¯u . o . .ctu. o . ng lai m` athˆoi”. V`ıvˆa.y, b` ai to´ an Cauchy tu . o . ng ´u . ng nhˆa´tthiˆe´td¯` oi ho’i t>t0trong phu . o . ng tr`ınh d ¯ˆ a `u. Di .nh l´yTˆo `nta.iD i .aphu. o . ng Di .nh l´y1.1Gia’ su . ’ fl` a´anh xa. liˆ en tu .ct`u .GsangR n tho ’am˜an c´ ac d¯iˆe `ukiˆe.nsauv´o . imo. i t ∈(a, b), x, y∈¯ Bη(x0):={x∈R n : x−x0≤η}: Chu. o . ng 1. L´ythuyˆe´ttˆo’ng qu´at 11 f(t, x)≤M1; (1.8) f(t, x)−f(t, y)≤M2x−y, (1.9) trong d ¯´oM1,M2 l` ac´ac h˘a`ng sˆo´khˆ ong phu. thuˆ o.cv`aot, x, y.Khi d¯´otˆo `nta.isˆo´δ>0 (δ =min{ηM1,1M2})saochov´o . imo. i t0 ∈(a, b),trongkhoa’ng(t0−δ, t0+δ)∩(a, b) b` ai to´an Cauchy (1.7) c´ od¯´ung mˆo.tnghiˆe.mx=φ(t)tho ’am˜anφ(t)−x0≤η. Ch´u . ng minh. X´et phu . o . ng tr`ınh t´ ıch phˆ an x(t)=x0+ t t0 f(τ,x(τ))dτ. (1.10) Dˆe ˜thˆ a´yr˘a`ng su . . tˆ o `nta.inghiˆe .mliˆen tu .ccu’ab`ai to´ an (1.7) tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . isu. . tˆ o `nta.inghiˆe.mcu’aphu. o . ng tr`ınh t´ ıch phˆ an trˆen. X´et khˆ ong gianC(t0−δ1,t0+δ1,R n )gˆo `mc´ac ´ anh xa. liˆ en tu.ct`u . t0−δ1,t0+δ1v`aoR n (δ1