Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 PHẦN 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Phương trình vi phân có biến sốphân ly 1. 0 sin 2 cos = − ′ y y y 2. sin cos yyy ′=+ 3. () 12 x yy y ′ −=− 4. 1 y dy e dx =+ 5. () () 22 110 xydxyxdy +++= 6. 1 1 y x ′= + 7. ()22 11 x y x x ′= +++ 8. ()() 2 2 21 11 dy x x dx xx +− = ++ 9. 3 1 x y x ′= − 10. 3 1 yy′=+ 11. 222 yyxyx ′=− − − 12. ()2 41 yxy ′=+− 13. 1 xy ye+ ′=− 14. 1 1 y x y ′= + − 15. 421 yxy ′= +− 16. ( ) ( ) 22 22 0 yxydxxyxdy + +− = 17. ( ) 22 210 yy ydx x dy − −+ = 18. 2 2 yxyx ′= +− 19. ( ) 10 xydx x dy + += 20. 2 1 ydxxydy += 21. ( )( ) () 22 110 xy y e dx e dy y dy + −−+= 22. 1 sin cos 1 sin cos + − − − = ′ x x y y y 23. 2 2 1 2 y xy x y + − + = ′ 24. 1 1 + − = ′ y x y 25. 2 1 1 y y + = ′ 26. ( ) ( ) 0 2 2 2 2 1 2 2 2 2 = + − + + − + − + − dy x y x xy y x dx x y xy 27. () ()()p n m y x y x y x y + + + + = + ′ 1 Đặt y x z + = . 28. ()y xy y 2 y x a ′ = + ′ (biến đổi về () ay 2 y y a x − = ′ − ) 29. 2 2 x 2 y y − = ′ (Đặt z = xy) 30. Giải phương trình vi phân ( ) ( ) 0 1 4 4 2 2 2 = − ′ + − ′ y x y y x y (coi là phương trình cấp 2 đối với y’) Phương trình vi phân thuần nhất 1. dx y x ydx xdy 2 2 + = − 2. x y xe y y x − = ′ 3. cos ln y xy y x ⎛⎞ ′= ⎜⎟ ⎝⎠ 4. ( ) 0 2 2 2 2 2 2 = + + ′ + + + y f cxy bx y cy bxy ax Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 5. 0 2 3 2 2 2 = + ′ − ′ y y xy y x 6. ()( )0 3 2 4 1 2 = − + − + + dy y x dx y x 7. ()y y y y x ′ = + ′ 2 2 . 8. 0 y 2 x y xy 2 2 = − + ′ 9. 0 ) ( ) 3 ( 2 2 2 2 = ′ − + + y x x y y y x 10. ()()e 1 y , x ln y ln 1 y y x = − + = ′ 11. y xy y x y 2 2 ′ = ′ + 12. () 1ln ln xyy y x ′=+−thỏa mãn (1) ye= 13. sin yy y x x ′=+ thỏa mãn (1) 2 y π = 14. 22 x yy xyy ′′+= 15. cos cos 0 yy xy dxx dy xx ⎛⎞−+= ⎜⎟ ⎝⎠ 16. ()2222 2(2)0 x xy y dx y xy x dy +− ++− = 17. ()() 240 x y dx x y dy +− + −+ = 18. ( )( ) 221 1 0 x y dx x y dy − −+−+= 19. ( ) ( ) 22 20 xx ydx x y dy + +− = 20. ( ) 22 0 x y dx xydy + −= 21. ( ) 22 0 x y dy xydx + += 22. ()ln x y xy y x y x + ′−= + 23. dx dy yx yx = + − 24. 222 222 4 dx dy x xy y y xy = −+ − 25. ( ) yxydxxdy += 26. ( )( ) 246 3 0 x y dx x y dy − +++−= 27. ( ) ( ) 214230 x y dx x y dy + +−+− = 28. ( ) ( ) 120 xy yx y′ − −+ −+ = 29. ( ) ( ) 22 40 ydxxydy + ++− = 30. 2x y y x + ′= 31. ( ) 2220 yxydxxdy − += Phương trình vi phân tuyến tính 1. arctgx x y y x 2 = − ′ 2. 2 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( x xy y x + = − ′ + 3. 2 x xe xy 2 y − = + ′ 4. ( ) ( ) 0 2 1 1 2 2 = + − − ′ + x y x y x x 5. x y x y cos 1 sin − = − ′ 6. ( ) 1 cot sin 2 = ′ + y y g x y − x hàm, − y biến 7. y x tgy y cos = + ′ Đặt y z sin = 8. ( ) 1 2 = ′ − y x e y − x hàm, − y biến 9. ()y xy ′ −2 1 ) 1 ( − = y y − x hàm, − y biến 10. 3 x xy y = + ′ Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 11. () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − ′ 1 1 y x 3 y x 2 y 2 12. 0 y x 2 1 y 2 = − + ′ (coi x là hàm của y) 13. ( ), xe 2 y y ye y 3 y + ′ = với y(0) = 1 (coi x là hàm của y) 14. ( ) 0 xdy dx y x 2 = + − 15. Giải phương trình vi phân x 1 1 y y x 2 − = + ′ 16. ()( ) 0 x 1 x 2 y 4 x 3 y x 1 x 2 = + + + − ′ + 17. x x y y x sin 2 = − ′ 18. Tìm nghiệm riêng của phương trình tgy y x y = + ′ 2 cos thỏa mãn điều kiện y(0)=0. 19. Tìm nghiệm riêng của phương trình x y x y arcsin 1 2 = + − ′ thỏa mãn điều kiện y(0) =0. 20. x y y y x ln 2 = + ′ 21. 1 3 3 2 + = − ′ x ay y y 22. ( ) 1 3 2 = ′ + y y x xy − x hàm, − y biến 23. y y x y x y 2 sin 3 − ′ = ′ − x hàm, − y biến 24. ( ) 0 1 2 2 = + + + xydy dx y x 25. ( ) 3 2 2 2 cos 2 sin 1 x x y x y y x − = + ′ − Đặt y z cos = 26. ( ) 2 = ′ −y e x y Đặt y e z= 27. y x e y 2 1 + = − ′ 28. ( ) 0 ) 1 ( 2 2 2 2 2 = − + − + + dy y dx y x y x Đặt 1 − =y z 29. ()y x y y x 2 + = ′ (biến đổi vềdạng 2 2 y x 1 y x 1 y = − ′ ) 30. Tìm nghiệm của phương trình vi phân dy y cos x y 2 xdy 2 ydx 2 = + thỏa mãn điều kiện ( ) π = 0 y . Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 31. ()( ) y y y 1 x 2 − = + ′ + 32. ( )dx x y xydy 2 + = 33. ( ) xdy dx xy y = + 34. y y x y x 4 2 2 = − ′ 35. ()y y x y y x − ′ = ′ 2 2 2 2 (coi x = x(y)) 36. α x y y xy = − ′ 2 (αlà tham số) 37. 2 2 yyx ′+= 38. ()1 x yyx ′ ++= 39. 22 x yxyy ′−= 40. 322 220 xy xy y ′−+= 41. yx y x y ′−= 42. 2 cos tan yxy x ′ += 43. 2 22cos yy y xx ′+= 44. 2 23 yyx x ′− = thỏa mãn (1) 1 y = 45. 2 0 1 y yyx ′+ += + 46. 1 y y x y ′− = 47. 1 2 1 xy y x ′+= − 48. 23 xyy y x ′− = 49. 24 xyy y x ′− = 50. 2 2 yy y x x ′−= Phương trình vi phân toàn phần 1. 0 1 sin cos 1 1 cos sin 1 2 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − dy y y x y x x y x dx x y x y y x y . 2. 0 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + dy y x e dx e x y x y x . 3. ( ) 0 1 2 2 2 = − − − + dy y x dx y x x . 4. ( )()()dx x x a ydx xdy y x 4 2 2 + = − + . 5. ()()0 cos sin sin cos = + + − dx y y y x dy y y y x . 6. ( ) 0 3 2 ln 2 2 3 4 = + − dy y x dx xy x x . 7. ()0 dy 3 xy 2 dx y 2 = + + 8. ( ) 0 ydy e 2 dx y x 2 2 e x 2 x = − − + 9. () ( ) 0 dy y 1 xy 3 y dx 1 y 2 2 2 3 2 = + + + + 10. ( ) ()dx 1 x sin y x cos y dy x sin x cos y 2 + = − 11. ( ) ( )dy x y 3 dx y x 3 x 2 3 2 2 − = + Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 12. () 0 y sin 2 y cos 1 x dx 2 y sin x 2 2 = + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 13. ( ) ( ) 0 dy y cos e x dx y sin e y x x = + + + 14. ()( )0 sin cos sin = + + + dy y x x dx y x 15. dy y x y dx y x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + 3 2 2 ) ln 1 ( 3 16. ()2 23 0 xy dx x dy ++= 17. ()2 222 0 yy xe dx e y x dy −+− = 18. ( ) ()32 222 31 1 0 xxy xdxx dy ++++ = 19. ()( ) 23 2 323 x ydx y xydy −=+ 20. ()2 2 1cos 20 sin 2sin yx y dy dx xx+ ⎛⎞+− = ⎜⎟ ⎝⎠ 21. ()sin ( cos sin ) 0 xydxxyydy +++= 22. () 3 2 231ln y x dx y x dy x ⎛⎞−=+ ⎜⎟ ⎝⎠ 23. ()22 1sin2 2cos 0 y x dx y xdy +−= 24. ()2 2 2 2sin2 2 cos2 ln 0 y xy dxx yxdy xx ⎛⎞+++ += ⎜⎟ ⎝⎠ 25. ()2 sin cos cos ( sin 1) 0 yx ydxx yx y dy −+ += 26. ()()2 2cos sin 0 yy xy e x dx x e x dy +++= 27. () 22 ( cos 2 sin ) sin 0 y x x x dx y x dy +++= 28. () 3 22 3ln 2x x xydx y dyy ⎛⎞ +=−⎜⎟ ⎝⎠ 29. ()2 2 2 2cos2 ln 2sin2 0 x yxydx yxdy yy ⎛⎞ +++ += ⎜⎟ ⎝⎠ 30. 1 yyxxy edxyedy x ⎛⎞⎛⎞ −=+⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠ Phương trình F(x, y’)=0, F(y,y’) = 0, F(x,y,y’)=0, Phương trình Lagrange Klero 1. y y x ′ + = ′ 1 3 . 2. 2 .y e y y ′ = ′ . Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 3. y e x y 1 2 = ′ . 4. ()y y y y ′ ′ + ′ = cos 1 . 5. y y x y ′ + ′ = sin 2 . 6. y e y x y ′ + ′ = 2 3 . 7. 3 2 2 y y x y y ′ + ′ = ( Nhân hai vếvới y, Đặt 2 y z= ). 8. 2 1 y y y x ′ + ′ = ( − x hàm, − y biến). 9. y y y x ′ = − ′ ln . 10. ()1 2 2 = ′ − ′ y x y y . PHẦN 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Phương trình vi phân tuyến tính 1. x cos x y 2 y x 3 2 = − ′ ′ , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1= x 2 2. Giải phương trình vi phân: () y 2 y 1 x x 2 = ′ ′ + biết một nghiệm x 1 1 y1 + = 3. Giải phương trình vi phân ( ) 0 y 2 y 1 x 2 = − ′ ′ + nếu biết một nghiệm của nó có dạng đa thức. 4. Giải phương trình vi phân ()( ) x x y 2 y 1 x 2 y 1 x 2 2 + = − ′ − + ′ ′ + biết nó có hai nghiệm riêng 2 1 x y 2 1 x 4 x y 2 2 2 1 + = − + = 5. Xác định hằng số αsao cho 2 x e y α = là nghiệm riêng của phương trình vi phân ( ) 0 y 2 x 4 y x 4 y 2 = + + ′ + ′ ′ . Tìm nghiệm tổng quát của phương trình. 6. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân ( ) 2 2 12 4 6 2 1 3 x xy y y x x − = − ′ + ′ ′ + biết rằng nó có hai nghiệm riêng ( ) 2 2 1 1 , 2 + = = x y x y 7. Giải phương trình 2cot xyyxy x ′′ ′ ++= biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng 1 sinx y x = Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 8. ( ) 0 y 2 y 1 x 2 = − ′ ′ + nếu biết một nghiệm của nó có dạng đa thức. 9. Giải phương trình 234 x yxyy x ′′ −+=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1= x 10. Giải phương trình 2 xyyx ′′ −= 11. Giải phương trình 2322 2 x yxyyx ′′ −+=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1= x 12. Giải phương trình 1 1 11x yyyx xx ′′ +−=− −− , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 x ye= 13. Giải phương trình () 2 ln 1 0 xxyxyy ′′ −−+=, biết một nghiệm riêng có dạng , yxα α = là hằng số. 14. Tìm nghiệm riêng của phương trình ( ) ( ) ( ) 22 22210 xxy x y xy ′′ − +− +− =thỏa mãn () () 10,11 yy==, biết một nghiệm riêng của nó là x ye= 15. Giải phương trình ()() 2 22122 xxy x y y ′′ −+−−=−, biết nó có hai nghiệm riêng là 121, yyx = = 16. Giải phương trình 22 21 11 x yyxx ′′ +=++, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 1 y = 17. Giải phương trình ()( ) 21 428 0 xy x yy ′′ ++−−=, biết một nghiệm riêng có dạng , ax yeα = ∈ 18. Giải phương trình () ( ) 2 12 1 0 xy x y x y x ′′ −+ − − + =, biết một nghiệm riêng của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng , ax yeα =∈ 19. Giải phương trình ()2 160 xyy′′ −−=biết một nghiệm riêng có dạng đa thức. 20. Giải phương trình 1 yyx x ′′ −= 21. Giải phương trình ()2212242 xyxyyx ′′ ++−=+, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 22. Giải phương trình 234 x yxyy x ′′ −+=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng có dạng đa thức. 23. Giải phương trình ()2 1426 x yxyyx ′′ −++=, biết nó có hai nghiệm riêng là 2 12 1 , 1 x x yxy x ++ ==+ 24. Tìm nghiệm riêng của phương trình 22 22 11 x yyy xx ′′ =− + + + thỏa mãn () ( ) 3 22, 1005 2000 yy==, biết một nghiệm riêng của nó là 1 yx= 25. Giải phương trình ()2 1220 xyxyy ′′ +−+=, biết một nghiệm riêng có dạng đa thức. 26. Giải phương trình ()2 44 2 0 yxy x y ′′ ++ +=, biết một nghiệm riêng có dạng 2 1 , x yeα α =∈ Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 27. Giải phương trình 2cot x yyy x x ′′ ++= , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 sinx y x = 28. Giải phương trình ()2 2 44 1 x yxy x ye ′′ −+ −=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 2 1 sin x ye x = 29. Giải phương trình 2 x xyyxye ′′ +−=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 x e y x = 30. Giải phương trình 2222 x yxyyx ′′ −+=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 31. Giải phương trình 2322 sin x yxyyxx ′′ −+= , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 32. Giải phương trình 2322 cos x yxyyx x ′′ −+= , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 33. Giải phương trình 2322 ln x yxyyxx ′′ −+= , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 34. Giải phương trình 23 x yxyyx ′′ −+=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 35. Giải phương trình 228 x yxyy x ′′ −+=−, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 36. Giải phương trình 2 x yxyyx ′′ −+=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 37. Giải phương trình 2 ln x yxyyxx ′′ −+= , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 38. Giải phương trình () 2 121 x yxyyx x ′′ −+−=−+, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 x ye= 39. Giải phương trình () 10 xy xy y ′′ −+−=, biết một nghiệm riêng có dạng , x yeα α =∈ 40. Tìm nghiệm riêng của phương trình ( ) 2 1220 xyxyy ′′ + −+=thỏa mãn 221, 1 xx yy====−, biết một nghiệm riêng là 1 yx= 41. Tìm nghiệm riêng của phương trình 22 22 11 x yyy xx =− + + + thỏa mãn 111, 1 xx yy====−, biết một nghiệm riêng là 1 yx= 42. Giải phương trình ()2 122 x yxyyx ′′ ++−=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 43. Giải phương trình 222 221 111 x yyy x xx ′′ +−= +++, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 44. Giải phương trình ()2 1 122 xy xy y x ′′ ++−=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 45. Giải phương trình 2 1 xyyxy ′′ +−=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 x e y x = 46. Giải phương trình 2 2 x e yyy x x ′′ +−=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 x e y x = Phương trình vi phân tuyến tính hệsốhằng số 1. 0 12 13 = − ′ − ′ ′ ′ y y y . 2. 0 18 9 2 = − ′ + ′ ′ − ′ ′ ′ y y y y . 3. () 0 4 = +y y . 4. () 0 2 3 2 4 = + ′ + ′ ′ + ′ ′ ′ + y y y y y . 5. () () () () 0 3 3 4 5 6 7 = + + + y y y y . 6. x e y y 4 = + ′ ′ . 7. 2 2 2 3 2 3 x e y y y x + = + ′ − ′ ′ . 8. x x y y cos 4 sin 2 − = − ′ ′ . 9. x e y y y x cos 4 2 − = + ′ − ′ ′ ′ . 10. nx y n y 3 2 sin = + ′ ′ . 11. x x y y 2 sin sin = + ′ ′ . 12. x x y y x y x ln 2 2 = + ′ − ′ ′ x t ln = . 13. () () 4 8 8 1 2 4 1 2 2 − − = + ′ + − ′ ′ + x y y x y x ( ) 1 2 ln + = x t . 14. ()x y x y x y ln sin 2 1 1 2 = + ′ + ′ ′ x t ln = . 15. () () ()x y y x y x + = + ′ + + ′ ′ + 1 ln cos 4 1 1 2 ( ) x t + = 1 ln . 16. 2 sin 2 ln 9 x y y = + ′ ′ 17. Dùng phép biến đổi hàm 2 x z y= đểgiải phương trình vi phân: ( ) x 2 2 e y 2 x y x 4 y x = + + ′ + ′ ′ . 18. ()x cos x sin e y y x − = ′ + ′ ′ − (Đặt y = e x z) 19. Giải phương trình ( ) x 3 x 2 x e y e y 1 e 2 y = + ′ + − ′ ′ bằng đổi biến x e t= Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 20. 0 x cos y x sin y x cos y 3 = − ′ + ′ ′ đặt t = sinx 21. Giải phương trình vi phân x e xy y 2 y x = − ′ + ′ ′ bằng phép đổi hàm z = xy. 22. 0 x cos y tgx y y 2 = − ′ + ′ ′ dùng t = sinx 23. Giải phương trình vi phân x e y x y x y x − = − + ′ − + ′ ′ ) 2 ( ) 1 ( 2 bằng phép đổi hàm z=xy 24. 0 x y y x 2 y x 2 2 = + ′ + ′ ′ bằng phép biến đổi x = 1t 25. x y y x y x 2 = + ′ + ′ ′ (biến đổi t e x= ) 26. 0 y 6 y x 4 y x 2 = + ′ − ′ ′ (biến đổi t e x= ) 27. x ln e 1 y 4 y 4 y x 2 − + = + ′ + ′ ′ 28. x xe y y − = ′ + ′ ′ 29. 2 x 4 x xe y 3 y 2 y + = − ′ − ′ ′ 30. x 3 sin x y 5 y 2 y = + ′ − ′ ′ 31. x e x y y − + = ′ + ′ ′ 32. ( ) 1 e x y 2 y 2 y x + = + ′ − ′ ′ 33. x sin x 29 y 5 y 2 = ′ + ′ ′ 34. x sin 1 y y = + ′ ′ 35. ()x 2 e x 4 2 y 4 y − = − ′ ′ 36. x cos x e y y 2 y x + = + ′ − ′ ′ 37. x e 1 y y 2 y x + = + ′ − ′ ′ 38. x cos e y 5 y 4 y x 2 + = + ′ − ′ ′ 39. x 2 sin e y 8 y 4 y x 2 + = + ′ − ′ ′ 40. 2 322 5 cos2 xxx yyye e ′′ ′ −+= −+ 41. x e x sin y y 2 y x − + = + ′ + ′ ′ 42. x sin 1 y y = + ′ ′ 43. x x e xe y y − + = + ′ ′ 2 44. x x y y y sin 3 cos 2 − = − ′ + ′ ′ 45. x y y 2 cos 2 2 = ′ − ′ ′ 46. x x y y 2 cos sin + = + ′ ′ 47. 22 323 2x yyye x ′′ ′ −+= + 48. 2sin 4cos yy x x ′′− =− 49. 23sin yny nx ′′ += . 50. sin sin 2 yy x x ′′+ = 51. 2 2ln x yxy yxx ′′ ′ −+= 52. () () 2 21 421 8 84 xy xyyx ′′ ′ + −++=−− 53. () 2 112sin ln yy y x xx ′′ ′ ++ = 54. () () () 2 11 4cosln1 x yxyy x ′′ ′ + ++ += + 55. ( ) 2242x x yxyx ye ′′ ′ + ++ = 56. 224ln x yxy yx x ′′ ′ +−= 57. ( ) sin cos x yye x x − ′′ ′ += − 58. ( ) 23 21xxx yeyeye ′′ ′ −++= 59. x yyxe− ′′ ′ +=+ Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 60. () 22 1x yyyxe ′′ ′ −+= + 61. 3 cos sin cos 0 yxyxyx ′′ ′ +− = 62. 2529sin yy xx ′′ ′ += 63. 1 sin yy x ′′ += 64. ()2 424x yy xe ′′ −=− 65. 2cosx e yyy x x ′′ ′ −+=+ 66. 2 x xyyxye ′′ ′ +−= 67. 2 cos 0 yytgxy x ′′ ′ +− = 68. 25 sin3 yyyxx ′′ ′ −+= 69. 2(1 ) ( 2) x xyxyxye− ′′ ′ +− +− = 70. 42 23 x yyyxex ′′ ′ −−= + 71. 21x e yyy x ′′ ′ −+=+ 72. 2 x yxyyx ′′ ′ ++= 73. x yyxe− ′′ ′ += 74. 2 45 cos x yyye x ′′ ′ −+=+ 75. 2 460 xy xy y ′′ ′ −+= 76. 2 441 lnx yyy e x − ′′ ′ ++=+ 77. 2 48 sin2 x yyye x ′′ ′ −+=+ 78. 2sinx e yyy xx − ′′ ′ ++= + 79. 2 xx yyxe e− ′′ += + 80. 2cos3sin yy y x x ′′′+ −= − 81. 2 22cos yy x ′′ ′ −= 82. sin cos 2 yy x x ′′+ =+ 83. 2 44sin5x yyxxe ′′ += + 84. 2 sin x yy xe ′′ + =+ 85. 2 xx yye ex ′′ − =++ 86. 2 68 xx yyyee ′′ − +=+ 87. 22 2 sin yyyx x ′′+ +=− 88. ()2 2 1 23 2x yyy x x e ′′ −+=++ − 89. 22 44 cos x yyye x ′′ −+= 90. 2 cos yyx x ′′ −= 91. 4sin yy x x ′′+ = 92. 32 3 5sin2 yyyx x ′′− +=+ 93. 44 sincos2 yyy x x ′′− += 94. 69 3 8x yyyxe ′′ −+=− 95. 3 3 18 x yye x ′′ −=− 96. Tìm nghiệm riêng của phương trình 2 cos 3sin yy y x x ′′+ −= − thỏa mãn () ( ) 01,0 2 yy== 97. Tìm nghiệm riêng của phương trình cos yyx x ′′+ = thỏa mãn () () 3 00,04 yy= = Phương trình vi phân cấp cao chưa giải ra đối với đạo hàm 98. 1 2 2 = + ′ ′ ′ x y Đặt ϕ ϕ sin ; cos = = ′ ′ ′ x y . 99. Tìm nghiệm của phương trình: ( ) 1 4 2 − ′ = ′ ′ y y thoảmãn các điều kiện ban đầu: a) 0 2 , 0 = = ′ = x khi y y . b) 0 1 , 0 = = ′ = x khi y y . 100. ( ) 0 1 1 2 2 = + ′ + ′ ′ + y y x 101. ( ) y a y y ′ ′ = ′ + ′ 2 1 . 102. ()22 2 3 130 1 yyy yy yy yy ′′′ ′ ′′ ′′′ ′ ′ ′′ +− =⇒=′′ ′ + 103. 2 2 1 x y y y y y + ′ = ′ − ′ ′ dạng thuần nhất, đặt yz y = ′ . 104. 2 y y y ′ = ′ ′ . 105. y y y y ′ ′ ′ = ′ ′ ′ . Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 106. 1 1 1 2 = + ′ − ′ ′ y x y x y () 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ′ ⇒ x y d x y d 107. x y y y y y y y ′ = ′ + ′ + ′ ′ 2 2 2 2 2 chia hai vế cho y y ′. 108. y e y y ′ = ′ ′ 109. () y y y 1 y 2 ′ + ′ = + ′ ′ (Đặt y’ = p(y) ) 110. 1 y y y 2 = ′ + ′ ′ (Đặt y’ = p(y) ) 111. y 2 e y = ′ ′ thỏa mãn () () 0 0 y 0 y = ′ = 112. 1 y y y x 2 2 − ′ = ′ ′ ′ 113. ( ) ( ) y y x y 1 x 2 ′ = ′ + ′ ′ + 114. ( ) y y sin y y cos y 2 ′ = ′ + ′ ′ 115. y y y ′ = ′ ′ 116. 2 x y y x + ′ = ′ ′ (Đặt y’ = p) 117. y y y y y 2 ′ = ′ ′ + ′ 118. x y y x + ′ = ′ ′ 119. y y y 2 y x ′ − ′ = ′ ′ (Đặt z = xy’) 120. () () ⎩ ⎨ ⎧ = ′ = ′ = ′ ′ 0 0 y ; 2 0 y y y 2 y CHƯƠNG 3. HỆPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = x y 4 dt dy y x 3 dt dx 2. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − = − + = + − = z y x dt dz z y x dt dy z y x dt dx 2 2 2 3. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = − − 0 3 0 3 5 y x dt dy y x dt dx 4. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = x y dt dy y x dt dx 4 2 5. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = x y 4 dt dy y x 3 dt dx 6. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = + − = − − = z x dt dz z x y dt dy z y 2 x dt dx 7. dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ =−+ + ⎪ ⎪ = −+ ⎨ ⎪ =++ ⎪ ⎩ 8. 2 dx x yz dt dy x yz dt dz x y dt ⎧ =−+ ⎪ ⎪ =+− ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ 9. 32 2 222 dx xz dt dy yz dt dz x yz dt ⎧ =+ ⎪ ⎪ =+ ⎨ ⎪ =++ ⎪ ⎩ 10. 612 3 412 3 dx x yz dt dy xyz dt dz x yz dt ⎧ =− − ⎪ ⎪ =− − ⎨ ⎪ =− + + ⎪ ⎩ Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 11. 2 23 32 2 dx x dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ = ⎪ ⎪ =− + − ⎨ ⎪ =−+ ⎪ ⎩ 12. 22 22 2 dx xy dt dy x yz dt dz y dt ⎧ =− ⎪ ⎪ =− + − ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ 13. dx x z dt dy yz dt dz x y dt ⎧ =+ ⎪ ⎪ =+ ⎨ ⎪ =+ ⎪ ⎩ 14. 522 26 24 dx x yz dt dy x y dt dz x z dt ⎧ =−− ⎪ ⎪ =− + ⎨ ⎪ =− + ⎪ ⎩ 15. 3 5 3 dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ =++ ⎪ ⎪ =+ + ⎨ ⎪ =++ ⎪ ⎩ 16. 32 222 2 dx xy dt dy x yz dt dz yz dt ⎧ =+ ⎪ ⎪ =++ ⎨ ⎪ =+ ⎪ ⎩ 17. 23 36 dx x y dt dy x y dt dz z dt ⎧ = + ⎪ ⎪ = − ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ 18. 32 23 5 dx x y dt dy x z dt dz z dt ⎧ =− ⎪ ⎪ =−+ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ 19. 4 24 5 dx x yz dt dy xz dt dz x yz dt ⎧ =++ ⎪ ⎪ =− ⎨ ⎪ =−+ + ⎪ ⎩ 20. 72 262 25 dx xy dt dy x yz dt dz yz dt ⎧ =− ⎪ ⎪ =−+ − ⎨ ⎪ =− + ⎪ ⎩ 21. 34 2 77 44 dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ = −+ ⎪ ⎪ =− + ⎨ ⎪ =− + ⎪ ⎩ 22. 3, 5 7 2, 5 813 4 10,5 15 3,5 dx x yz dt dy xyz dt dz x yz dt ⎧ =− + − ⎪ ⎪ =− + − ⎨ ⎪ =− + − ⎪ ⎩ 23. 4 31112 222 dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ =− − + ⎪ ⎪ =+ − ⎨ ⎪ =− + + ⎪ ⎩ 24. 9411 18 11 27 13 7 18 dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ =+− ⎪ ⎪ =+− ⎨ ⎪ =+− ⎪ ⎩ 25. 546 2 22 dx x yz dt dy xy dt dz x yz dt ⎧ =+− ⎪ ⎪ =+ ⎨ ⎪ =+− ⎪ ⎩ 26. 2 445 dx yz dt dy xyz dt dz x yz dt ⎧ =− ⎪ ⎪ =++ ⎨ ⎪ =−+ ⎪ ⎩ 27. 2 445 dx yz dt dy xyz dt dz x yz dt ⎧ =− + ⎪ ⎪ =− + + ⎨ ⎪ =− − + ⎪ ⎩ 28. 28 347 3 dx x yz dt dy x yz dt dz z dt ⎧ =− + + ⎪ ⎪ =− + + ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 29. 524 6213 3 dx x yz dt dy x yz dt dz z dt ⎧ =−+ ⎪ ⎪ =−− ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ 30. 2 131 222 115 222 dx xyz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ =−+ ⎪ ⎪ =− + + ⎨ ⎪ =−+ ⎪ ⎩ 31. 133 222 113 222 dx x yz dt dy xz dt dz x yz dt ⎧ =−+ ⎪ ⎪ =− + ⎨ ⎪ =−+ ⎪ ⎩ 32. 133 222 131 222 22 dx x yz dt dy x yz dt dz xy dt ⎧ =−+ ⎪ ⎪ =−− ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ 33. 34 2 442 dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ =−− ⎪ ⎪ =− − ⎨ ⎪ =−− ⎪ ⎩ 34. 23 323 2 dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ =− + + ⎪ ⎪ =− + + ⎨ ⎪ =− + + ⎪ ⎩ 35. 3 323 2 dx yz dt dy x yz dt dz xy z dt ⎧ =− + ⎪ ⎪ =−+ + ⎨ ⎪ =−+ ⎪ ⎩ 36. 2 2 2 dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ = −+ ⎪ ⎪ =−+ + ⎨ ⎪ =−+ ⎪ ⎩ 37. 32 2 222 dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ = −+ ⎪ ⎪ =−+ + ⎨ ⎪ = −+ ⎪ ⎩ 38. 3 2 754 dx xy dt dy x dt dz x yz dt ⎧ =− ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ = −+ ⎪ ⎩ 39. 3 2 33 dx xy dt dy x dt dz x yz dt ⎧ =− ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ = −+ ⎪ ⎩ 40. 53 64 12 7 3 dx xy dt dy xy dt dz x yz dt ⎧ =− + ⎪ ⎪ =− + ⎨ ⎪ = −+ ⎪ ⎩ 41. 53 64 653 dx xy dt dy xy dt dz x yz dt ⎧ =− + ⎪ ⎪ =− + ⎨ ⎪ =− + − ⎪ ⎩ 42. 3 2 85 dx xy dt dy x dt dz x yz dt ⎧ =− ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ =− + − ⎪ ⎩ 43. 32 43 13 8 4 dx xy dt dy xy dt dz x yz dt ⎧ =− + ⎪ ⎪ =− + ⎨ ⎪ =+−+ ⎪ ⎩ 44. 32 43 10 6 3 dx xy dt dy xy dt dz x yz dt ⎧ =− + ⎪ ⎪ =− + ⎨ ⎪ =−+ ⎪ ⎩ 45. 53 64 12 7 3 dx xy dt dy xy dt dz x yz dt ⎧ =− ⎪ ⎪ =− ⎨ ⎪ =− + − ⎪ ⎩ 46. 410 3 811 3612 dx x yz dt dy xy dt dz x yz dt ⎧ =− + − ⎪ ⎪ =− + ⎨ ⎪ =− − + ⎪ ⎩ Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7
Phng trình vi phân B môn Khoa hc c bn Trang MC LC Chng 1 5 LÝ THUYT PHNG TRÌNH VI PHÂN CP 1 5 §1. M U 5 1.1. nh ngha 5 1.2. Ý ngha c hc và vt lý ca phng trình vi phân 5 1.3. Cp ca phng trình vi phân 6 1.4. Ý ngha hình hc ca phng trình vi phân cp 1 7 §2. NH LÝ TN TI VÀ DUY NHT NGHIM I VI PHNG TRÌNH VI PHÂN CP I 8 2.1. nh ngha 8 2.2.nh lý 8 §3. CÁC LOI NGHIM CA PHNG TRÌNH VI PHÂN 9 3.1.Nghim tng quát 9 3.2.Tích phân tng quát 9 3.3.Nghim riêng 9 3.4.Nghim kì d 10 3.5. Phng pháp tìm nghim kì d 11 Chng 2 14 MT S PHNG PHÁP 14 GII PHNG TRÌNH VI PHÂN CP 1 14 §1. PHNG TRÌNH VI PHÂN VI BIN S PHÂN LY 14 1.1.Dng () () 0M x dx N y dy+= 14 1.2.Phng trình đa v phng trình tách bin 15 §2. PHNG TRÌNH THUN NHT 15 2.1.nh ngha 15 2.2. Phng trình đa đc v phng trình thun nht 17 §3. PHNG TRÌNH TUYN TÍNH 18 3.1.nh ngha 18 3.2.Cách gii 18 3.3.H qu 19 Phng trình vi phân B môn Khoa hc c bn Trang 3.4.Phng trình đa đc v phng trình tuyn tính 20 §4. PHNG TRÌNH VI PHÂN HOÀN CHNH - THA S TÍCH PHÂN 23 4.1.Cách đoán nhn phng trình là phng trình vi phân hoàn chnh 23 4.2.Tha s tích phân 26 Chng 3 30 PHNG TRÌNH VI PHÂN CP 1 30 CHA GII RA I VI O HÀM 30 §1. PHNG TRÌNH (, ') 0Fxy = HAY (, ') 0Fyy = 30 1.1.Phng trình (, ') 0Fxy = . 30 1.2.Phng trình (, ') 0Fyy = 31 §2. PHNG TRÌNH (, , ') 0Fxyy = - PHNG TRÌNH LAGRNG-KLERÔ 32 2.1.Phng trình (, , ') 0Fxyy = 32 2.2.Phng trình Lagrng 33 2.3.Phng trình Klerô: Khi (') 'yy φ ≡ 34 Chng 4 35 PHNG TRÌNH VI PHÂN CP CAO 35 §1. NH LÝ TN TI VÀ DUY NHT NGHIM 36 1.1.Dng tng quát ca phng trình vi phân cp cao 36 1.2.nh lý tn ti và duy nht nghim 37 1.3. Phng trình cp n 38 §2. CÁC PHNG TRÌNH GII C BNG CU PHNG 39 2.1.Dng () (, ) 0 n Fxy = 39 2.2.Dng (1) () (,)0 nn Fy y − = 42 2.3. Dng (2) () (,)0 nn Fy y − = 43 §3. TÍCH PHÂN TRUNG GIAN - PHNG TRÌNH H CP C 44 3.1. Tích phân trung gian 44 3.2. Các trng hp phng trình h cp đc nh tích phân trung gian 44 3.3. Phng trình thun nht đi vi hàm và đo hàm 46 3.4. Phng trình mà v trái là đo hàm đúng 47 Phng trình vi phân B môn Khoa hc c bn Trang Chng 5 48 LÝ THUYT TNG QUÁT 48 V PHNG TRÌNH VI PHÂN TUYN TÍNH 48 §1. NH NGHA VÀ TÍNH CHT TNG QUÁT 48 1.1. nh ngha 48 1.2. Tính cht 48 1.3. S tn ti và duy nht nghim 48 §2. PHNG TRÌNH VI PHÂN TUYN TÍNH THUN NHT 49 2.1. Tính cht ca toán t n L 49 2.2. Khái nim v s ph thuc tuyn tính 49 2.3. nh thc Wrônxki 50 2.4. H nghim c bn 52 §3. PHNG TRÌNH VI PHÂN TUYN TÍNH KHÔNG THUN NHT 54 3.1. Tính cht: 54 3.2. Phng pháp bin thiên hng s 55 § 4. PHNG TRÌNH TUYN TÍNH CÓ H S HNG S. 57 4.1. Phng trình tuyn tính thun nht h s hng s. 57 4.2. Phng trình tuyn tính không thun nht h s hng s. 60 Chng 6 65 H PHNG TRÌNH VI PHÂN 65 § 1. KHÁI NIM, NH LÝ TN TI VÀ DUY NHT NGHIM 65 1.1. nh ngha 65 1.2. nh lý tn ti và duy nht nghim 65 1.3. Các loi nghim ca h chun tc 66 §2. A H PHNG TRÌNH VI PHÂN V PTVP CP CAO. 66 2.1. Mt s ví d 66 §3. PHNG PHÁP LP T HP GII TÍCH 68 § 4. H PHNG TRÌNH VI PHÂN TUYN TÍNH THUN NHT 70 4.1. nh ngha 70 4.2. Toán t vi phân tuyn tính 71 4.3. Khái nim v s ph thuc tuyn tính 72 4.4. H nghim c bn 74 Phng trình vi phân B môn Khoa hc c bn Trang §5. H PHNG TRÌNH VI PHÂN TUYN TÍNH KHÔNG THUN NHT 75 5.1. Mt s đnh lý v nghim ca h phng trình. 75 5.2. Phng pháp bin thiên hng s 77 §6. H PHNG TRÌNH VI PHÂN TUYN TÍNH THUN NHT 79 CÓ H S HNG S 79 Phn 1: Phng trình vi phân cp 1 85 Phn 2: Phng trình vi phân cp cao 91 Phn 3: H phng trình vi phân 95 TÀI LIU THAM KHO 97 Phng trình vi phân B môn Khoa hc c bn Trang Chng 1 LÝ THUYT PHNG TRÌNH VI PHÂN CP 1 §1. M U Khi dùng toán hc đ nghiên cu các bài toán t nhiên, k thut không phi bao gi cng tìm hàm cn xác đnh thông qua các phng trình đi s hay phng trình siêu vit mà nhiu khi ta phi tìm hàm thông qua các mi liên h gia bin s đc lp, hàm phi tìm và các đo hàm hay vi phân ca nó. T đó đòi hi toán hc phi nghiên cu mt lp phng trình mi đc gi là phng trình vi phân. 1.1. nh ngha: Phng trình mà trong đó cha các bin s đc lp, hàm phi tìm và các đo hàm ( hay vi phân ) ca nó đc gi là mt phng trình vi phân. Ví d : 5sin 0 dy xx dx + = ''' 5 '' 0yyy + = Ta phân bit phng trình vi phân thng là phng trình mà trong đó hàm phi tìm ch ph thuc mt bin s đc lp. Phng trình đo hàm riêng là phng trình mà hàm phi tìm ph thuc ít nht hai bin s: Ví d : 2 2 sin .sin ( , ) uu x tuuxt xt ∂∂ += = ∂∂ 1.2. Ý ngha c hc và vt lý ca phng trình vi phân Bài toán: Xét chuyn đng ri t do trong chân không ca mt vt có khi lng m. Hãy tìm quy lut chuyn đng. Chn hng oy nh hình v. Phng trình vi phân B môn Khoa hc c bn Trang Theo c hc nu gi quãng đng là y thì gia tc ca vt là 2 2 dy w dt = . Mt khác ta bit rng vt ri t do trong chân không có gia tc không đi là 2 9,8( / ) g ms= . Do cách chn trc oy ta có: 2 2 dy g dt = − . Gii phng trình ta có: 2 12 2 gt yCtC=− + + . Trong đó: 10 0t dy Cv dt = ⎛⎞ = = ⎜⎟ ⎝⎠ (vn tc ban đu), 200 () t Cy y = == (đ cao ban đu). Qua ví d trên ta thy: - Nghim ca phng trình vi phân cha các hng s tu ý (s lng tu theo cp ca phng trình). - Mun xác đnh các hng s thì ta phi bit đc các điu kin ban đu ca phng trình. 1.3. Cp ca phng trình vi phân Phng trình (, , ) 0 dy Fxy dx = có cha đo hàm cp 1 là phng trình vi phân cp 1 (phng trình nht thit phi cha đo hàm cp 1). Phng trình 2 2 (, , , ) dy d y Fxy dx dx có cha đo hàm cp 2 là phng trình vi phân cp 2 ( Nht thit phi cha đo hàm cp 2). Mt cách tng quát: Cp ca phng trình vi phân là cp cao nht ca đo hàm có mt trong phng trình. Chng hn ( , , , , ) 0 n n dy d y Fxy dx dx = là phng trình vi phân cp n, đây nht thit phi có mt n n dy dx . i vi phng trình vi phân cp n thông thng ta tìm nghim di dng 12 ( , , , , ) n yxCCC φ = cha n hng s tu ý đc gi là nghim tng quát ca Phng trình vi phân B môn Khoa hc c bn Trang phng trình. Nu cho 12 , , , n CC C nhng giá tr c th ta s đc nghim riêng ca phng trình. 1.4. Ý ngha hình hc ca phng trình vi phân cp 1 Xét phng trình: ( , ) (1.4) dy fxy dx = Vi gi thit hàm (, ) f xy xác đnh và liên tc trong min 2 GR⊂ . Nu ()yx φ = là nghim ca (1.4) thì đng cong có phng trình ()yx φ = gi là đng cong tích phân ca phng trình vi phân (1.4) . Ta xét xem đng cong tích phân đó có tính cht gì ?. Trên mt phng 2 R qua mi đim (, ) M xy G ∈ v mt đon thng làm vi trc ox mt góc α sao cho (, )tg f x y α = . Khi đó tp hp mi đim ca G mà ti mi đim có xác đnh đon thng nh trên đc gi là mt HNG TRNG. Khi đó trong G đng cong tích phân có tính cht là nó phi tip xúc vi HNG TRNG ti mi đim ca nó. Nh vy: Ý ngha hình hc ca vic ly tích phân phng trình (1.4) là hãy v đng cong ()yx φ = sao cho hng ca tip tuyn ti mi đim ca nó trùng vi hng ca hng trng ti đim y. Phng trình vi phân B môn Khoa hc c bn Trang §2. NH LÝ TN TI VÀ DUY NHT NGHIM I VI PHNG TRÌNH VI PHÂN CP I Xét phng trình (, ) (2.1) dy fxy dx = Khi đó bài toán tìm nghim ()yyx = ca (2.1) sao cho khi 0 x x= thì 0 yy= đc gi là bài toán Côsi, đây 00 (, ) x y là các giá tr tu ý cho trc đc gi là giá tr ban đu (điu kin đu). Mt vn đ đt ra là ta hãy xét xem vi điu kin nào thì: 1. Bài toán Côsi ca phng trình có nghim. 2. Nghim ca bài toán là duy nht. Gii quyt các vn đ nêu trên là ni dung ca đnh lý tn ti và duy nht nghim. 2.1. nh ngha: Ta nói hàm (, ) f xy tho mãn trong min 2 GR⊂ điu kin Lipsit đi vi y nu 0N∃> sao cho vi bt k ,, x yy mà (, ) ,(, ) x yGxyG∈∈ thì (, ) (,) (2.2)fxy fxy Ny y−≤− . Chú ý: Bt đng thc (2.2) s tho mãn nu ' (, ), (, ) y f xy f xy∃ gii ni trong G tc là ' (, ) (, ) y f xy N xy G≤∀ ∈ . Vì theo Lagrng ' (, ) (,) (, ( ) y f xy f xy f xy ty y y y Ny y−=+−−≤− Nhng điu ngc li không đúng vì có th (2.2) tho mãn nhng ' (, ) y f xy không tn ti. Ví d : (, ) f xy y y y y y=−≤− nhng ' y f không tn ti ti 0y = 2.2.nh lý: Xét phng trình (2.1) vi giá tr ban đu 00 (, ) x y . Gi s 1. (, ) f xy là hàm liên tc hai bin trong min kín gii ni G Phng trình vi phân B môn Khoa hc c bn Trang 00 00 ,0 xaxxa ab ybyyb − ≤≤ + ⎧ > ⎨ −≤ ≤ + ⎩ (vì f liên tc trong G kín, gii ni nên M ∃ đ (, ) (, ) f x y Mx y G ≤ ∀∈ ) 2. (, ) f xy tho mãn trong G điu kin lipsit đi vi y . Khi đó tn ti duy nht mt nghim ()yx φ = ca phng trình (2.1) xác đnh và liên tc đi vi các giá tr ca x thuc đon 00 x hxx h − ≤≤ + trong đó min( , ) b ha M = sao cho khi 0 x x= thì 00 () x y φ = . §3. CÁC LOI NGHIM CA PHNG TRÌNH VI PHÂN Xét phng trình (, ) (3.1) dy fxy dx = 3.1.Nghim tng quát Gi s 2 GR⊂ là min mà ti mi đim ca nó có mt và ch mt đng cong tích phân ca phng trình (3.1)đi qua. Khi đó hàm ( , ) (3.2)yxc φ = xác đnh và có đo hàm liên tc theo x đc gi là nghim tng quát ca phng trình (3.1) trong G nu: a) (, ) M xy G∀∈ t (,)yxc φ = có th gii ra đc (, )cxy ψ = . b) (,)yxc φ = là nghim ca phng trình (3.1) vi c ∀ thuc min đang xét khi (, ) M xy chy khp G . 3.2.Tích phân tng quát H thc: (, ,) 0xyc ϕ = hay (, ) x yc ψ = gi là tích phân tng quát ca (3.1) trong G nu nó xác đnh nghim tng quát (,)yxc φ = ca phng trình trong min đó. 3.3.Nghim riêng Nghim ()yyx= đc gi là nghim riêng ca phng trình (3.1) nu ti mi đim ca nó điu kin duy nht nghim ca bài toán Côsi đc tho mãn. Phng trình vi phân B môn Khoa hc c bn Trang Nghim nhn đc t nghim tng quát vi hng s c xác đnh luôn luôn là nghim riêng. 3.4.Nghim kì d Nghim ()yyx = đc gi là nghim kì d ca phng trình (3.1)nu ti mi đim ca nó tính cht duy nht nghim ca bài toán Côsi b phá v. Ví d : Xét phng trình '2yy= (0)y ≥ 2 (0) 2 () ()( ) dy dx y y yxc x c yxc x c ⇒= ≠ ⇒=+ >− ⇒= + >− Ta xét các loi nghim ca phng trình trên. a) Ta chng minh rng 2 () y xc=+ vi x c>− là nghim tng quát ca phng trình đã cho trong min G : 0 x y − ∞< <+∞ < <+∞ . Vy ta cn chng minh. +) Trong G điu kin tn ti và duy nht nghim ca bài toán Côsi đc tho mãn cho 00 (, ) M xy bt kì thuc G . Ta có th lp đc lân cn kín 00 , x xa yy bG−≤ −≤ ∈ . Và trong lân cn đó 1f y y ∂ = ∂ gii ni ⇒ điu kin Lipsit đc tho mãn. +) T 2 ()yxc c yx = +⇒=− +) H thc 2 () y xc=+ vi x c>− tho mãn phng trình. Do đó 2 () y xc=+ vi x c>− là nghim tng quát ca phng trình đã cho trong min G . b) D thy yxc−= là tích phân tng quát ca phng trình. c) Nghin riêng: T 2 () y xc=+ vi 0c = 2 y x⇒= vi 0 x > là nghim riêng. [...]... n 0 là nghi m kì d Trang Ph §4 PH ng trình vi phân NG TRÌNH VI PHÂN HOÀN CH NH - TH A S TÍCH PHÂN Xét ph ng trình M ( x, y ) dx N ( x, y ) dy 0 (4.1) N u v trái c a (4.1) là vi phân toàn ph n c a m t hàm u ( x, y ) nào ó t c là M ( x, y )dx N ( x, y ) dy thì ta nói (4.1) là ph ph du ( x, y ) (4.2) ng trình vi phân hoàn ch nh, khi ó tích phân t ng quát c a ng trình là u ( x, y ) C Ví d : xdx ydy Ta... ng u là nghi m t ng quát c a ph ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t, s h ng th hai là nghi m riêng c a ph ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t nh n 0 V y nghi m t ng ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t quát c a ph c khi C c l p nên b i t ng c a nghi m t ng quát c a ph nghi m riêng c a ph ng tình vi phân tuy n tính thu n nh t v i m t ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t 2... nh t thì vi c gi i ph ng trình vi phân tuy n tính không thu n ng trình s quy v vi c gi i ph B môn Khoa h c c b n ng trình thu n nh t Trang Ph Th t v y: t y Y ( x ) z trong ó Y ( x ) là m t nghi m riêng c a ph trình không thu n nh t Còn z là hàm ph i tìm, l p ph ta có dz dx Nh v y n u bi t iv i z ng trình vi phân c m t nghi m riêng c a ph không thu n nh t thì nghi m t ng quát tìm ng trình vi phân tuy... Ch M TS GI I PH §1 PH ng 2 PH NG PHÁP NG TRÌNH VI PHÂN C P 1 NG TRÌNH VI PHÂN V I BI N S PHÂN LY 1.1.D ng M ( x) dx N ( y ) dy 0 (1.1) g i là ph gi s (1.1) ng trình vi phân v i bi n s phân ly (ph ng trình tách bi n) M ( x ), N ( y ) liên t c trong mi n nào ó c a R 2 , khi ó tích phân t ng quát M ( x)dx c a (1.1) có d ng N ( y )dy C T ng quát h n ta xét ph ng trình M ( x) N ( y ) dx P ( x )Q ( y ) dy... Th a s tích phân ch ph thu c y : M y 0 y M y hay ln ( x) N ( x) Chú ý: N x ( x) Khi ó ng trình vi phân y x y 2 dy xdy ydx x 2 0 C Trang Ph Ch PH ng 3 NG TRÌNH VI PHÂN C P 1 CH A GI I RA Trong ch IV I ng này ta xét d ng ph §1 PH NG TRÌNH F ( x, y ') 1.1.Ph O HÀM ng trình F ( x, y, y ') 0 t ng quát ng trình F ( x, y ') 0 a) Tr y b) Tr 0 HAY F ( y, y ') 0 (1.1) ng h p 1: Ph c ng trình vi phân nh y '... trình không ph i là ph ph ng trình vi phân hoàn ch nh nh ng ( x, y ) sao cho ( x, y ) M ( x, y ) dx là ph 0 ( x, y ) N ( x, y ) dy ng trình vi phân hoàn ch nh thì hàm 0 (4.12) ( x, y ) g i là th a s tích phân c a ng trình Nh v y s n y ra hai v n : - Có t n t i th a s tích phân hay không? - N u t n t i thì cách tìm hàm Ta có kh ng A M i ph ( x, y ) nh th nào? nh sau: ng trình vi phân c p 1 tho mãn i u ki... d (u )du ây là ph (u ) ( x, y ) là th a s tích phân Vì ng rình vi phân (u ) là tu ý suy ra ng trình có vô s th a s tích phân H qu 1: M i th a s tích phân c a ph Gi s 1 , 2 B môn Khoa h c c b n ng trình u là th a s tích phân c a ph u có d ng 1 (u ) ng trình Trang Ph 1 Mdx 2 1 Mdx Ndy 2 u dx x v dx x du Ndy dv u dy y v dy y u x v x u y v y ng trình vi phân 0 (4.17) 0 Do ó u y hay v y u x v x v y Vì... k 1 du d 1 u2 ph 1 u 1 ln 1 u 2 2 tr v bi n c ta ln 2 Ta 0 c ph i bi n ng trình thu n nh t ch n h, k tho d d t ng trình tách bi n ln C1 c C ( x 2) B môn Khoa h c c b n 2 2 C ( y 1) 1 u2 2 e arctg e arctgu y 1 x 2 Trang Ph §3 PH ng trình vi phân NG TRÌNH TUY N TÍNH 3.1 nh ngh a Ph ng trình vi phân tuy n tính là ph ng trình vi phân tuy n tính i v i hàm và o hàm c a nó D ng t ng quát: A( x ) dy dx B (... 3 x ng trình vi phân hoàn ch nh nh hàm u Ta có u x u y t (*) u ( x, y ) (7 x 3 y )dx B môn Khoa h c c b n 7x 3y (*) 3x 5 y (**) ( y) Trang Ph u y 3x Ph 5 2 y C 2 '( y ) 3x 5 y v y ( y ) Cu i cùng u ( x, y ) 7 2 x 2 3 xy 5 2 y 2 ng trình vi phân C ng trình có tích phân t ng quát là: 7 x 2 6 xy 5 y 2 C 4.2.Th a s tích phân Xét ph ng trình Gi s ph n u t n t i hàm M ( x, y ) dx N ( x, y ) dy ng trình không... C x ng trình vi phân i ta ch ng minh '( p) p '( p) c r ng n u (2.9) là nghi m kì d c a ph ( p) (2.9) ''( p ) t n t i và liên t c, ng trình Nó chính là bao hình c a h ''( p ) 0 thì ng th ng trên Ví d : y t y' 1 2 y' 4 y'x p * p C * x 1 p 2 1 dp p 2 dx x y Cx y 0 1 2 C 4 1 2 p 2 1 2 p 4 1 2 p 4 x 2 là nghi m kì d Ch PH ng 4 NG TRÌNH VI PHÂN C P CAO B môn Khoa h c c b n Trang Ph §1 ng trình vi phân NH . 77 §6. H PHNG TRÌNH VI PHÂN TUYN TÍNH THUN NHT 79 CÓ H S HNG S 79 Phn 1: Phng trình vi phân cp 1 85 Phn 2: Phng trình vi phân cp cao 91 Phn 3: H phng trình vi phân 95 TÀI. phng trình vi phân 5 1.3. Cp ca phng trình vi phân 6 1.4. Ý ngha hình hc ca phng trình vi phân cp 1 7 §2. NH LÝ TN TI VÀ DUY NHT NGHIM I VI PHNG TRÌNH VI PHÂN CP I 8 2.1 Trang 3.4.Phng trình đa đc v phng trình tuyn tính 20 §4. PHNG TRÌNH VI PHÂN HOÀN CHNH - THA S TÍCH PHÂN 23 4.1.Cách đoán nhn phng trình là phng trình vi phân hoàn chnh 23 4.2.Tha