Muïc luïc 1 Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 5 1.1 Môû ñaàu.................................... 5 1.1.1 Caùc khaùi nieäm............................ 5 1.1.2 Baøi toaùn Cauchy........................... 7 1.2 Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm .................... 7 1.2.1 Phöông phaùp xaáp xæ Picard ..................... 7 1.2.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm................... 9 1.3 Phaân loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân . . .............. 12 1.3.1 Caùc ñònh nghóa: ........................... 12 1.3.2 YÙ nghóa hình hoïc cuûa phöông trình vi phaân: ........... 13 1.4 Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I........... 14 1.4.1 Phöông trình vôùi bieán soá phaân ly: . . . .............. 14 1.4.2 Phöông trình vi phaân thuaàn nhaát:.................. 16 1.4.3 Phöông trình vi phaân toaøn phaàn: .................. 18 1.4.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp I: . .............. 20 1.4.5 Phöông trình Bernoully ....................... 22 1.4.6 Phöông trình Darboux . ....................... 23 1.4.7 Phöông trình Riccati: . ....................... 24 2 Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm 27 2.1 Caùc PTVP chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm daïng ñaëc bieät ......... 27 2.1.1 Fchæ phuï thuoäc vaøoy ....................... 27 2.1.2 Daïng coù theå giaûi ra ñoái vôùiyhayx: ............... 28 2.1.3 Fkhoâng phuï thuoäc vaøoy ..................... 29 2.2 Tröôøng hôïp toång quaùt−Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange 29 2.2.1 Tham soá hoaù toång quaùt:....................... 29 2.2.2 Phöông trình Clairaut . ....................... 31 2 Muïc luïc 2.2.3 Phöông trình Lagrange . ....................... 32 2.3 Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I ....................... 33 2.3.1 Söï toàn taïi nghieäm kyø dò ...................... 33 2.3.2 Tìm nghieäm kyø dò theop−bieät tuyeán . .............. 34 2.3.3 Tìm nghieäm kyø dò theoC−bieät tuyeán . .............. 36 3 Phöông trình vi phaân caáp cao 39 3.1 Phöông trình vi phaân caáp cao . ....................... 39 3.1.1 Caùc khaùi nieäm: ........................... 39 3.1.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm: .................. 40 3.1.3 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao giaûi ñöôïc baèng caàu phöông: 40 3.1.4 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao coù theå haï caáp: . . ..... 43 3.1.5 Tích phaân trung gian vaø tích phaân ñaàu: .............. 45 3.2 Lyù thuyeát toång quaùt veà phöông trình vi phaân tuyeán tính.......... 46 3.3 Ñònh thöùc Wronski Nghieäm toång quaùt................... 47 3.3.1 Ñoàng nhaát thöùc Abel . . ....................... 50 3.3.2 Phöông phaùp bieán thieân haèng soá tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát . ....................... 51 3.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng ........... 53 3.4.1 Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát heä soá haèng......... 53 3.4.2 Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát: ..... 55 4 Heä phöông trình vi phaân caáp I 61 4.1 Heä phöông trình vi phaân caáp I toång quaùt. . . . .............. 61 4.1.1 Caùc ñònh nghóa: ........................... 61 4.1.2 Lieân heä giöõa heä phöông trình vaø phöông trình vi phaân caáp cao: 62 4.1.3 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm................... 63 4.1.4 Caùc phöông phaùp giaûi heä phöông trình vi phaân: ......... 64 4.2 Moät soá ñònh lyù cô baûn cuûa phöông trình vi phaân ............. 67 4.2.1 Söï toàn taïi nghieäm: . . ....................... 67 4.2.2 Thaùc trieån nghieäm vaø söï toàn taïi toaøn cuïc: ............ 68 4.3 Heä phöông trình vi phaân tuyeán tính .................... 69 4.3.1 Heä tuyeán tính thuaàn nhaát: ..................... 70 4.3.2 Heä PTVP tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát: .............. 72 4.4 Heä PTVP tuyeán tính heä soá haèng soá. .................... 73 4.4.1 Phöông trình ñaëc tröng ....................... 73 Muïc luïc 3 4.4.2 Heä nghieäm cô baûn . . ....................... 74 5 Phöông phaùp soá giaûi phöông trình vi phaân 79 5.1 Caùc phöông phaùp giaûi tích giaûi gaàn ñuùng PTVP. ............. 79 5.1.1 Xaáp xæ Picard. ............................ 79 5.1.2 Phöông phaùp chuoãi Taylor...................... 81 5.2 Caùc phöông phaùp soá giaûi PTVP. ...................... 82 5.2.1 Phöông phaùp chuoãi Taylor...................... 84 5.2.2 Phöông phaùp Euler vaø Euler caûi tieán. . .............. 85 5.2.3 Caùc phöông phaùp Runge−Kutta................... 86 5.2.4 Caùc phöông phaùp ña böôùc (multistep): .............. 89 5.3 Phöông trình vi phaân vaø phaàn meàm tính toaùn MAPLE........... 90 5.3.1 Giôùi thieäu chung: . . . ....................... 90 5.3.2 Veõ ñöôøng cong tích phaân vaø tröôøng caùc höôùng .......... 91 5.3.3 Giaûi phöông trình vi phaân baèng MAPLE. ............. 91 5.3.4 Giaûi gaàn ñuùng phöông trình vi phaân baèng MAPLE . . . ..... 92 6 Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân 99 6.1 Khaùi nieäm chuoãi luyõ thöøa. . . ....................... 99 6.2 Nghieäm cuûa phöông trình vi phaân döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa. . .....101 6.2.1 Caùc ví duï. ..............................102 6.2.2 Ñieåm kyø dò cuûa phöông trình vi phaân. . ..............105 6.3 Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm. ......................110 6.3.1 Sô löôïc veà khai trieån tieäm caän. ..................110 6.3.2 Daùng ñieäu tieäm caän cuûa nghieäm gaàn ñieåm kyø dò khoâng chính qui.111 6.3.3 Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm:..................114 6.3.4 Sô löôïc veà phöông phaùp WKB (WentzelKramersBrillouin) . . 114 A Bieán ñoåi Laplace vaø phöông trình vi phaân. 117 A.1 Bieán ñoåi Laplace...............................117 A.2 Giaûi phöông trình vi phaân baèng pheùp bieán ñoåi Laplace: .........119 Taøi lieäu tham khaûo........................................................123 4 Muïc luïc Chöông 1 Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 1.1 Môû ñaàu Trong raát nhieàu lónh vöïc öùng duïng, chuyeån ñoäng cuûa moät heä ñöôïc moâ hình hoaù bôûi caùc phöông trình vi phaân, töùc laø phöông trình coù chöùa caùc ñaïo haøm cuûa aån haøm caàn tìm. Chaúng haïn, trong cô hoïc coå ñieån (ñònh luaät Newton), trong thieân vaên hoïc (söï chuyeån ñoäng cuûa caùc haønh tinh), trong hoaù hoïc (caùc phaûn öùng hoaù hoïc), trong sinh hoïc (söï phaùt trieån cuûa daân soá), trong ñieän töû... Trong haàu heát caùc lónh vöïc nhö theá, baøi toaùn chung nhaát laø moâ taû nghieäm cuûa caùc phöông trình naøy (caû veà ñònh tính laãn veà ñònh löôïng). 1.1.1 Caùc khaùi nieäm Phöông trình vi phaân thöôønglaø phöông trình coù daïng F(x, y, y ,y ,... ,y (m) )=0 (1.1) trong ñoù y=y(x)laø aånhaøm caàn tìm vaø nhaát thieát phaûi coù söï tham gia cuûa ñaïo haøm (ñeán caáp naøo ñoù) cuûa aån. Thoâng thöôøng ta xeùt caùc phöông trình vôùi aån haøm laø haøm soá moät bieán thöïcy=y(x) xaùc ñònh treân khoaûng môûI⊂Rnaøo ñoù; khi ñoù haømFtrong ñaúng thöùc treân xaùc ñònh trong moät taäp môû GcuûaR×R m+1. Trong tröôøng hôïp aån haøm caàn tìm laø vectorhaøm (haøm vôùi giaù trò vector)y(x)=(y1(x),... ,yn(x)) T , Flaø moät aùnh xaï nhaän giaù trò trong R n vaø (1.1) ñöôïc hieåu laøheä phöông trình vi phaân. Trong tröôøng hôïp aån haøm caàn tìm laø haøm nhieàu bieán thì phöông trình vi phaân coøn goïi laøphöông trình ñaïo haøm rieâng Ta noùi moät phöông trình vi phaân coùcaápmneáumlaø caáp lôùn nhaát cuûa ñaïo haøm cuûa aån coù maët trong phöông trình. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I coù daïng toång quaùt F(x, y, y )=0 (1.2) 6 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I trong ñoù F(x, y, z) ñöôïc giaû thieát lieân tuïc cuøng vôùi caùc ñaïo haøm rieâng cuûa noù treân mieànG⊂R 3 . Vôùi moät soá ñieàu kieän naøo ñaáy, phöông trình vi phaân caáp I coù theå vieát ñöôïc döôùi daïng sau, goïi laø daïnggiaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm y =f(x, y) (1.3) vôùiflieân tuïc trong moät mieàn D⊂R 2 . Ví duï: Caùc phöông trình e y+y 2 cosx=1 y 2 −2xy=lnx ∂ 2 u ∂x 2 + ∂ 2 u ∂y 2 =0 laàn löôït laø phöông trình vi phaân thöôøng caáp I, caáp III vaø phöông trình ñaïo haøm rieâng caáp II. Xeùt phöông trình (1.1), haøm giaù trò vectory: I→R n (I=(a, b)laø khoaûng naøo ñoù cuûaR) laønghieämcuûa phöông trình (1.1) neáu noù coù caùc ñaïo haøm lieân tuïc ñeán caápm treân Ivaø thoaû maõn F(x, y(x),y (x),y (x),... ,y (m) )(x)=0 vôùi moïix∈I (1.4) Trong tröôøng hôïp phöông trình vi phaân caáp I, nghieäm laø moät haøm thöïc moät aåny=y(x) maø khi thay vaøo (1.2), ta ñöôïc moät ñaúng thöùc ñuùng. Ví duï: Deã kieåm tra raèng hoï haøm (phuï thuoäc vaøo hai tham soá tuyø yù) y=C1cosx+C2sinx laø nghieäm cuûa phöông trình vi phaân y +y=0 Ví duï:(Saên moài vaø moài) Söï phaùt trieån cuûa hai quaàn theå ñoäng vaät (chaúng haïn, x= x(t) laø soá con meøo vaø y=y(t) laø soá con chuoät) ñöôïc moâ taû bôûi (heä) phöông trình Volterra−Lotka sau ñaây y =y(α−βx),x =x(γy−δ) (1.5) vôùiα, β, γvaøδlaø nhöõng haèng soá cho tröôùc. Ñeå tìm nghieäm cuûa phöông trình naøy ta coù theå xemynhö laø haøm theox, phöông trình coù theå vieát döôùi daïng dy dx = y(α−βx) x(γy−δ) hay (γy−δ) y dy= (α−βx) x dx Nghieäm cuûa phöông trình naøy cho bôûi γy−δlny=αlnx−βx+C trong ñoù Claø haèng soá tuyø yù. Hình 1.1 moâ taû caùc ñöôøng möùc cuûa nghieäm khi α=β= γ=1,δ=2. 1.2. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 7 1234 1 2 3 y z X Hình 1.1: Nghieäm cuûa phöông trình Volterra−Lotka. 1.1.2 Baøi toaùn Cauchy Ta nhaän xeùt raèng noùi chung, nghieäm cuûa moät phöông trình vi phaân phuï thuoäc vaøo moät hay nhieàu tham soá tuyø yù naøo ñoù; noùi caùch khaùc ta coù töønghoïnghieäm. Ñeå xaùc ñònh nghieäm cuï theå naøo ñoù, noùi chung ta caàn theâm moät hay vaøi ñaëc tröng khaùc veà nghieäm (tuyø theo caáp cuûa phöông trình vi phaân). Chaúng haïn, y= x 3 3 +Claø (hoï) nghieäm cuûa phöông trìnhy =x 2 . Deã thaáy y= x 3 3 +1laø nghieäm (duy nhaát) thoaû ñieàu kieän y(0) = 1. Ta xeùt baøi toaùn sau ñaây ñaët ra ñoái vôùi phöông trình (1.2), goïi laøbaøi toaùn Cauchy (coøn goïi laø baøi toaùn giaù trò ban ñaàu): Tìm nghieämy(x)cuûa phöông trình (1.2) thoaû y(x0)=y0 (1.6) trong ñoù (x0,y0)∈Dñöôïc goïi laø caùcñieàu kieän ban ñaàu. Caâu hoûi töï nhieân ñaët ra laø vôùi ñieàu kieän ban ñaàu (1.6), coù hay khoâng vaø bao nhieâu nghieäm thoaû maõn ñieàu kieän naøy. Traû lôøi caâu hoûi naøy töùc laø giaûi baøi toaùn Cauchy ñoái vôùi phöông trình (1.2). Ta löu yù raèng khoâng phaûi luùc naøo baøi toaùn Cauchy cuõng coù nghieäm, vaø khi coù nghieäm cuõng khoâng nhaát thieát coù duy nhaát nghieäm. Trong muïc sau ta seõ phaùt bieåu vaø chöùng minh moät ñònh lyù giaûi quyeát troïn veïn baøi toaùn Cauchy cho phöông trình vi phaân caáp I. 1.2 Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 1.2.1 Phöông phaùp xaáp xæ Picard Ta xeùt baøi toaùn Cauchy ñoái vôùi phöông trình caáp I daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm: y =f(x, y),y(x0)=y0 (1.7) 8 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I trong ñoù fxaùc ñònh vaø lieân tuïc treân mieàn môûD⊂R 2 . Giaû söûy(x)laø nghieäm cuûa baøi toaùn (1.7), tích phaân hai veá cuûa phöông trình trong (1.7) ta ñöôïc phöông trình tích phaânchoy(x)laø y(x)=y0+ x x0 f(t, y(t))dt (1.8) Roõ raøng moãi nghieäm cuûa (1.7) cuõng laø nghieäm cuûa (1.8) vaø ngöôïc laïi, moãi nghieäm cuûa (1.8) ñeàu khaû vi lieân tuïc (töùc laø thuoäc lôùpC 1 ) treân moät khoaûng Inaøo ñoù vaø thoaû phöông trình (1.7). Pheùp laëp Picard−Lindel¨ of. Veà maët toaùn töû, nghieäm cuûa phöông trình tích phaân (1.8) chính laø lôøi giaûi cuûabaøi toaùn ñieåm baát ñoängcuûa caùc aùnh xaï co trong khoâng gian metric ñaày ñuû (ôû ñaây ta xeùt khoâng gian caùc haøm khaû vi lieân tuïc treânI) maø lôøi giaûi coù theå cho bôûi phöông phaùp xaáp xæ lieân tieáp Picard−Lindel¨ ofsau ñaây. Xeùt daõy caùc haøm xaùc ñònh moät caùch ñeä qui bôûi y0(x)=y0 (hay moät haøm naøo ñoù) yk+1(x)=y0+ x x0 f(t, yk(t))dt, vôùik∈N Boå ñeà1.2.1.Giaû söûflieân tuïc treân hình chöõ nhaät D={(x, y)|x−x0|≤a,|y−y0|≤b} ÑaëtM:= max (x,y)∈D|f(x, y)| vaøh:= min a, b M . Khi ñoù vôùi moïi x∈I := x0− h, x0+h ta coù |yk(x)−y0|≤b, vôùi moïik Noùi caùch khaùc, caùc haømyk khoâng ñi ra khoûi hình chöõ nhaätD. Chöùng minh: Ta coù, vôùi x0−h≤x≤x0+h: |yk−y0| = x x0 f(t, yk−1(t))dt ≤ x x0 |f(t, yk−1(t))|dt≤M|x−x0|≤Mh≤b Ví duï: Xeùt phöông trình y =−y 2 , vôùi y(0) = 1. Nghieäm chính xaùc cuûa noù laø y= 1 x+1 . Vaøi xaáp xæ ñaàu tieân trong pheùp laëp PicardLindel¨ of laø y0=1, y1=1−x, y2=1−x+x 2− x 3 3 ...(xem Hình 1.2). Ta nhaän thaáy caùc xaáp xæ yk hoäi tuï nhanh khix beù, vôùi caùc giaù tròxlôùn pheùp laëp laø phaân kyø. 1.2. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 9 1234 Y (x) 2 Y (x) 0 Y (x) 4 Y (x) 1 Y (x) 3 Hình 1.2: Pheùp laëp Picard−Lindelof cho phöông trìnhy =−y 2 , vôùi y(0) = 1 1.2.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm Trong phaàn naøy ta seõ phaùt bieåu vaø chöùng minh ñònh lyù cô baûn cuûa lyù thuyeát phöông trình vi phaân, khaúng ñònh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy. Ñònh nghóa1.2.1.Cho haømf(x, y)xaùc ñònh treân mieànD⊂R 2 . Ta noùi fthoaû ñieàu kieän Lipschitztreân Dtheo bieán yneáu toàn taïi haèng soá döôngL(goïi laø haèng soá Lipschitz) sao cho: |f(x, y1)−f(x, y2)|≤L|y1−y2|, vôùi moïi(x, y1),(x, y2)∈D Nhaän xeùt: Ñieàu kieän Lipschitz laø yeáu hôn so vôùi ñieàu kieän giôùi noäi cuûa ñaïo haøm rieâng ∂f ∂y treân D. Thaät vaäy, giaû söû ∂f ∂y lieân tuïc vaø ∂f ∂y ≤M. Khi ñoù, aùp duïng ñònh lyù Lagrange cho haøm f(x, y)theo bieán yta ñöôïc f(x, y1)−f(x, y2)=(y1−y2) ∂f ∂y x, y1+θ(y2−y1) Töø ñoù suy ra ñieàu kieän Lipschitz. Ñònh lyù1.2.2 (Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm). Giaû söû haøm soáf(x, y) trong (1.3)lieân tuïc vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz theo bieán ytreân hình chöõ nhaät D={(x, y)|x−x0|≤a,|y−y0|≤b} Khi ñoù nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy(1.7) laø toàn taïi vaø duy nhaát trong ñoaïn I := x0−h, x0+h, vôùi h:= min(a, b M )vaøM:= max (x,y)∈D|f(x, y)|. Chöùng minh: Chöùng minh chia laøm hai böôùc: 10 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I Söï toàn taïi: Ta chöùng minh raèng pheùp laëp Picard hoäi tuï ñeàu treânIñeán moät nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy. Tröôùc tieân ta chöùng minh, baèng qui naïp raèng |yk+1(x)−yk(x)|≤MLk |x−x0| k+1 (k+1) , vôùi moïix∈I Vôùik=0, baát ñaúng thöùc treân chính laø x x0 f(t, yk−1(t))dt ≤M|x−x0|, baát ñaúng thöùc naøy ñuùng. Giaû söû ta coù ñieàu ñoù vôùik−1, khi ñoù vôùi x0≤x≤x0+hta coù |yk+1(x)−yk(x)| = x x0 f(t, yk(t))−f(t, yk−1(t))dt ≤ x x0 |f(t, yk(t))−f(t, yk−1(t))|dt≤L x x0 |yk(t)−yk−1(t)|dt ≤L x x0 |yk(t)−yk−1(t)|dt ≤MLk x x0 |x−x0| k k dt=MLk |x−x0| k+1 (k+1) (vôùix0−h≤x≤x0 ta ñaùnh giaù töông töï). Xeùt daõy haøm{yk(x)}treân I, ta coù |yk+p(x)−yk(x)|≤|yk+p(x)−yk+p−1(x)|+|yk+p−1(x)−yk+p−2(x)|+···+|yk+1(x)−yk(x)| ≤ M L (L|x−x0|) k+p (k+p) +···+ (L|x−x0|) k+1 (k+1) ≤ M L j≥k+1 (Lh) j j Chuoåi soá ∞ j=0 (Lh) j j laø hoäi tuï, neân phaàn dö cuûa noù maø xuaát hieän trong bieåu thöùc cuoái cuøng coù theå laøm cho beù tuyø yù khikñuû lôùn. Theo tieâu chuaån Cauchy, daõy{yk(x)}hoäi tuï ñeàu treân Iñeán haømy(x). Ñeå chöùng minh y(x)laø nghieäm chæ caàn qua giôùi haïn trong ñaúng thöùc yk+1(x)=y0+ x x0 f(t, yk(t))dt Vì daõy haøm{yk(x)}hoäi tuï ñeàu,flieân tuïc (ñeàu) treân hình chöõ nhaät Dneân daõy haøm {f(t, yk(t))}hoäi tuï ñeàu treânIñeán haømf(t, y(t)). Do ñoù coù theå chuyeån giôùi haïn qua daáu tích phaân ñeå ñöôïc ñaúng thöùc (1.8). Vaäyy(x)chính laø nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy (1.7). 1.2. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 11 Tính duy nhaát: Giaû söû baøi toaùn Cauchy (1.7) coøn coù nghieämz(x), khi ñoù ta coù y(x)−z(x)= x x0 f(t, y(t))−f(t, z(t))dt Suy ra |y(x)−z(x)| = x x0 f(t, y(t))−f(t, z(t))dt ≤2M|x−x0| Laëp laïi caùc böôùc qui naïp nhö treân, ta deã daøng chöùng minh ñöôïc raèng vôùi moïi soá töï nhieânk: |y(x)−z(x)|≤2MLk |x−x0| k+1 (k+1) , vôùi moïix∈I Chok−→+∞ta coù |y(x)−z(x)| =0treân I. Nhö vaäy, moät caùch ñòa phöông, nghieäm y(x)laø duy nhaát. Nhaän xeùt: Ñieàu kieän Lipschitz laø quan troïng, ngay caû khi f(x, y) lieân tuïc treân R 2 . Chaúng haïn xeùt phöông trình y =2|y|,y(0) = 0 Ta thaáy ngayy≡0laø moät nghieäm. Ngoaøi ra coøn coù voâ soá nghieäm khaùc (xem hình 1.3) laø y(x)= (x−C) 2 neáux≥C 0 neáux≤C vaø y(x)= 0 neáux≥C −(x−C) 2 neáux≤C Noùi caùch khaùc, tính duy nhaát nghieäm bò vi phaïm. Nhaän xeùt: Thöïc chaát chöùng minh laø duøng nguyeân lyù aùnh xaï co trong caùc khoâng gian metric ñuû. Ñònh nghóa1.2.2.Cho khoâng gian metricEvôùi metricd. AÙnh xaï T: E→Eñöôïc goïi laøaùnh xaï coneáu toàn taïi soáα∈(0,1)sao cho vôùi moïi caëp phaàn töûx, y∈Eta ñeàu coù d(Tx,Ty)≤αd(x, y) Ñònh lyù1.2.3 (Nguyeân lyù aùnh xaï co). Moïi aùnh xaï coTtrong khoâng gian metric ñuû ñeàu coù duy nhaát moät ñieåm baát ñoäng. Töùc laø ñieåmx ∗ ∈Esao cho T(x ∗ )=x ∗ 12 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 123 3 2 1 1 1 Hình 1.3: Nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchyy =2|y|,y(0) = 0 1.3 Phaân loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân 1.3.1 Caùc ñònh nghóa: Veà maët hình hoïc, baøi toaùn Cauchy cho phöông trình vi phaân caáp I coù theå hieåu laø tìm nghieämy=y(x)cuûa (1.3) maø ñoà thò cuûa haøm soáy=y(x)(coøn goïi laø ñöôøng cong tích phaân cuûa phöông trình vi phaân) ñi qua ñieåm(x0,y0). Noùi caùch khaùc, baøi toaùn Cauchy laø tìm ñöôøng cong tích phaân cuûa phöông trình (1.3) ñi qua ñieåm(x0,y0)∈D cho tröôùc. Ñònh nghóa1.3.1.Giaû söûD⊂R 2 sao cho veá phaûi cuûa phöông trình (1.3) xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân D. Haøm soá y=y(x, C)phuï thuoäc lieân tuïc vaøo haèng soáCñöôïc goïi laø nghieäm toång quaùtcuûa (1.3) neáu: a) Vôùi moãi ñieàu kieän ban ñaàu(x0,y0)∈Dta luoân giaûi ñöôïc Cdöôùi daïng C=ϕ(x0,y0)(∗) trong ñoù ϕlaø haøm lieân tuïc. b) Haømy=y(x, C)thoaû maõn phöông trình (1.3) vôùi moãi giaù trò cuûa Ccho bôûi(∗) khi(x0,y0)chaïy khaépD. Khi ñoù heä thöùcϕ(x, y)=C(hoaëc chính haøm ϕ(x, y)) ñöôïc goïi laø tích phaân toång quaùtcuûa phöông trình (1.3). Ví duï: Phöông trình y +y=0coù nghieäm toång quaùt laøy(x)=Ce−x vôùiClaø haèng soá tuyø yù. Ñònh nghóa1.3.2. •Nghieäm cuûa phöông trình (1.3) maø taïi moãi ñieåm cuûa noù tính chaát duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy ñöôïc thoaû maõn ñöôïc goïi laønghieäm rieâng. • Nghieäm cuûa phöông trình (1.3) maø taïi moãi ñieåm cuûa noù tính chaát duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy bò vi phaïm ñöôïc goïi laønghieäm kyø dò. 1.3. Phaân loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân 13 Nhaän xeùt: Töø ñònh nghóa nghieäm toång quaùt, ta suy ra raèng vôùi moãi ñieàu kieän ban ñaàu (x0,y0)∈D, ta luoân tìm ñöôïc C0=ϕ(x0,y0)sao choy=y(x, C0)laø nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy töông öùng. Noùi caùch khaùc, baèng caùch choïn caùc giaù trò thích hôïp cho haèng soá, ta coù theå thu ñöôïc caùc nghieäm rieâng tuyø yù cuûa phöông trình, khoâng keå caùc nghieäm kyø dò. Giaûi(hay coøn goïi laøtích phaân) moät phöông trình vi phaân laø tìm taát caû caùc nghieäm (bieåu thöùc nghieäm toång quaùt) cuûa phöông trình ñoù hoaëc nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy vôùi ñieàu kieän ban ñaàu cho tröôùc. Ví duï: Tìm nghieäm rieâng y(x)cuûa phöông trìnhy =3y+xthoaû ñieàu kieän y(0) = 1. Ta deã kieåm tra raèng nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laøy=− x 3 − 1 9 +Ce3x . Ñeå tìm nghieäm rieâng thoaû ñieàu kieän nhö treân ta chæ caàn thay caùc giaù trò ban ñaàu vaø tính C. 1=y(0) =− 1 9 +Ce 0 Suy raC= 10 9 , nghieäm caàn tìm laø y=− x 3 − 1 9 + 10 9 e 3x . 1.3.2 YÙ nghóa hình hoïc cuûa phöông trình vi phaân: Xeùt phöông trình vi phaân (1.3), vôùif(x, y)lieân tuïc treân mieàn môû trong R 2 . Taïi moãi ñieåmM(x, y)thuoäc mieàn naøy, ta gaùn cho noù moät höôùng vôùi heä soá goùc laø k= dy dx =f(x, y) Khi ñoù ta thu ñöôïc moättröôøng caùc höôùng xaùc ñònh bôûi (1.3), vaø dó nhieân höôùng cuûa tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong taïi moãi ñieåm truøng vôùi höôùng cuûa tröôøng taïi ñieåm ñoù. Giaûi moät phöông trình vi phaân daïng (1.3) veà maët hình hoïc laø tìm taát caû caùc ñöôøng cong sao cho taïi moãi ñieåm cuûa noù höôùng cuûa tieáp tuyeán truøng vôùi höôùng cuûa tröôøng. Ngöôïc laïi, cho tröôùc hoï ñöôøng cong y=ϕ(x, C)(∗) phuï thuoäc vaøo tham soáCsao cho qua moãi ñieåm chæ coù duy nhaát moät ñöôøng cong cuûa hoï ñi qua. Ta seõ laäp phöông trình vi phaân nhaän hoï ñöôøng cong naøy laøm nghieäm toång quaùt nhö sau. Ñaïo haøm hai veá cuûa phöông trình treân theox, ta ñöôïc dy dx = ∂ϕ ∂x (x, C) Töø phöông trình(∗), vôùi moãi (x, y)ta luoân tìm ñöôïc duy nhaát giaù trò C=C(x, y). Thay Cvaøo ñaúng thöùc treân ta nhaän ñöôïc y = ∂ϕ ∂x (x, C(x, y)) =:f(x, y) 14 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I –3 –2 –1 1 2 y(x) –3 –2 –1 1 2 3 x Hình 1.4: Tröôøng höôùng cuûa phöông trìnhy =− y x vaø ñaây laø phöông trình vi phaân caàn tìm. Ví duï: Tìm phöông trình vi phaân cuûa hoï ñöôøng cong sau: y=Cx 2 Ñaïo haøm hai veá theoxta ñöôïc y =2Cx. Khöû Cta thu ñöôïc phöông trình vi phaân: y =2 y x 1.4 Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I Trong baøi naøy ta seõ giôùi thieäu moät soá daïng phöông trình vi phaân caáp I maø coù theå tích phaân ñöôïc theo nghóa coù theå vieát bieåu thöùc cuûa nghieäm toång quaùt döôùi daïng töôøng minh hoaëc phuï thuoäc tham soá. Löu yù raèng ta khoâng coù phöông phaùp giaûi toång quaùt cho phöông trình vi phaân, thaäm chí caáp I. 1.4.1 Phöông trình vôùi bieán soá phaân ly: Phöông trình vi phaân caáp I daïng M(x)dx+N(y)dy=0 (1.9) ñöôïc goïi laøphöông trình vôùi bieán soá phaân ly(hay coøn goïi phöông trình taùch bieán). 1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 15 Caùch giaûi:Caùc haømM(x),N(y) ñöôïc giaû thieát lieân tuïc treân caùc khoaûng naøo ñoù. Khi ñoù chæ caàn tích phaân hai veá cuûa (1.9) ta thu ñöôïc tích phaân toång quaùt cuûa noù laø M(x)dx+ N(y)dy=C Ví duï: Giaûi phöông trình y 2 y =x(1 +x 2 ). Phöông trình naøy coù daïng taùch bieán y 2 dy−x(1 +x 2 )dx=0 Tích phaân hai veá ta thu ñöôïc nghieäm toång quaùt laø: y 3 3 − x 2 2 − x 4 4 =C Nhaän xeùt: Phöông trình daïng M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy (1.10) cuõng ñöa ñöôïc veà daïng (1.9) vôùi bieán soá phaân ly, baèng caùch chia hai veá choM2(x)N1(y) (vôùi giaû thieát bieåu thöùc naøy khaùc 0) M1(x) M2(x) dx+ N2(y) N1(y) dy=0 Do ñoù tích phaân toång quaùt laø M1(x) M2(x) dx+ N2(y) N1(y) dy=C Ví duï: Giaûi phöông trình x(1 +y 2 )dx+y(1 +x 2 )dy=0 Chia hai veá cho(1 +x 2)(1 +y 2 )ta ñöôïc xdx 1+x 2 + ydy 1+y 2 =0 Tích phaân hai veá ta ñöôïc xdx 1+x 2 + ydy 1+y 2 =C töùc laø 1 2 ln(1 +x 2 )+ 1 2 ln(1 +y 2 )=C:= 1 2 lnC1 Vaäy tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø(1 +x 2)(1 +y 2)=C1 trong ñoù C1 laø haèng soá tuyø yù. 16 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 1.4.2 Phöông trình vi phaân thuaàn nhaát: Haøm soáf(x, y)ñöôïc goïi laøthuaàn nhaát baäc mneáu vôùi moïit>0ta coù f(tx, ty)=t m f(x, y) Phöông trình vi phaâny =f(x, y)ñöôïc goïi laøthuaàn nhaát (hay coøn goïi ñaúng caáp) neáu haøm soá ôû veá phaûi laø haøm thuaàn nhaát baäc0, töùc laø f(tx, ty)=f(x, y) vôùi moïi t>0. Nhaän xeùt: Neáu ñaët u:= y x ta coù f(x, y)=f(±|x|,|x| y |x| )=f(±1,±u)=:g(u). Caùch giaûi: Ñaëty=xu,tacoù dy dx =x du dx +u. Töø ñoù x du dx +u=g(u) hoaëc döôùi daïng taùch bieán du g(u)−u = dx x Tích phaân hai veá ta ñöôïc du g(u)−u =ln x C hay x=Cexp du g(u)−u vôùiC =0 Thayu= y x vaøo bieåu thöùc treân ta tìm ñöôïc tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát. Ví duï: Giaûi phöông trình (x 2+y 2 )dx+xydy=0 Ta coù theå vieát phöông trình ñaõ cho döôùi daïng dy dx =− y x − x y Veá phaûi cuûa phöông trình naøy laø haøm thuaàn nhaát. Ñaëty=xuta coù x du dx +u+u+ 1 u =0, hay töông ñöông vôùi dx x =− udu 1+2u 2 Tích phaân phöông trình naøy ta ñöôïc ln x C =− 1 4 ln(1 + 2u 2 ) 1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 17 Thayu= y x vaøo ñaúng thöùc naøy ta ñöôïc nghieäm x 4 = C 4 x 2 x 2 +2y 2 vôùiC =0. Phöông trình ñöa veà thuaàn nhaát: Caùc phöông trình daïng dy dx =f( ax+by+c a1x+b1y+c1 ) coù theå ñöa veà daïng thuaàn nhaát baèng pheùp bieán ñoåi x=ξ+x0 y=η+y0 trong ñoù x0 vaøy0 ñöôïc choïn sao cho: ax0+by0+c=0 a1x0+b1y0+c1=0 Khi ñoù dη dξ =f aξ+bη a1ξ+b1η =f a+b η ξ a1+b1 η ξ =g η ξ vaø ñaây chính laø phöông trình daïng thuaàn nhaát. Ví duï: Giaûi phöông trình (2x−4y+6)dx+(x+y−3)dy=0. Tröôùc heát ta xeùt heä phöông trình sau 2x0−4y0+6=0 x0+y0−3=0 Heä naøy coù nghieäm laøx0=1,y0=2. Tieáp ñeán ta thöïc hieän pheùp ñoåi bieán x=ξ+1 y=η+2 Khi ñoù phöông trình ñaõ cho ñöôïc bieán ñoåi thaønh phöông trình thuaàn nhaát: (2ξ−4η)dξ+(ξ+η)dη=0 Ñeå giaûi phöông trình naøy ta ñaëtη=uξthì thu ñöôïc (2−3u+u 2 )dξ+ξ(1 +u)du=0 18 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I Phöông trình naøy chaáp nhaän nghieämu=1vaøu=2. Ñeå tìm nghieäm toång quaùt ta chia 2 veá cho2−3u+u 2 : dξ ξ + (1 +u)du 2−3u+u 2 =0 ⇔ dξ ξ + 3 u−2 − 2 u−1 du=0 Tích phaân 2 veá ta ñöôïc ln|ξ|+ln |u−2| 3 (u−1) 2 =lnC1 hay ξ (u−2) 3 (u−1) 2 =C Trôû laïi bieánx, yban ñaàu ta coù nghieäm toång quaùt (y−2x) 3 =C(y−x−1) 2 cuøng vôùi hai nghieämy=x+1vaøy=2xtöông öùng vôùi u=1vaøu=2. 1.4.3 Phöông trình vi phaân toaøn phaàn: Phöông trình vi phaân daïng P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 (1.11) ñöôïc goïi laø phöông trình vi phaântoaøn phaànneáu veá traùi cuûa noù laø vi phaân toaøn phaàn cuûa haøm naøo ñoù, töùc laø toàn taïi haømU(x, y)sao cho dU(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy Khi ñoù tích phaân toång quaùt cuûa (1.11) cho bôûi U(x, y)=C Nhaän xeùt: Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå phöông trình (1.11) laø phöông trình vi phaân toaøn phaân laø ∂P ∂y = ∂Q ∂x Vaø khi ñoù haømU(x, y)coù theå tìm döôùi daïng: U(x, y)= x x0 P(x, y)dx+ y y0 Q(x0,y)dy hay U(x, y)= x x0 P(x, y0)dx+ y y0 Q(x, y)dy (1.12) 1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 19 trong ñoù (x0,y0)laø moät ñieåm naøo ñoù sao cho caùc tích phaân treân toàn taïi. Ví duï: Giaûi phöông trình (x 3+xy 2 )dx+(x 2 y+y 3 )dy=0. Ta coùP(x, y)=x 3+xy 2 vaøQ(x, y)=x 2 y+y 3 neân ∂P ∂y =2xy= ∂Q ∂x Heä thöùc naøy chöùng toû raèng phöông trình ñaõ cho laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn vôùi haømU(x, y)coù theå choïn laø U(x, y)= x 0 (x 3 +xy 2 )dx+ y 0 (0.y+y 3 )dy hay U(x, y)= x 4 4 + x 2 y 2 2 + y 4 4 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø (x 2 +y 2 ) 2 =4C1:= C 2 hay x 2 +y 2 =C vôùiC≥0 Thöøa soá tích phaân: Coù nhöõng tröôøng hôïp phöông trình (1.11) chöa phaûi laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn, nhöng coù theå tìm ñöôïc haøm soáµ(x, y)sao cho phöông trình sau trôû thaønh phöông trình vi phaân toaøn phaàn: µ(x, y){P(x, y)dx+Q(x, y)dy}=0 Haømµ(x, y)nhö theá ñöôïc goïi laøthöøa soá tích phaân cuûa phöông trình (1.11). Ñieàu kieän ñeåµlaø thöøa soá tích phaân laø µphaûi thoaû maõn phöông trình: ∂ ∂y (µP)= ∂ ∂x (µQ) Hay töông ñöông Q ∂µ ∂x −P ∂µ ∂y =µ ∂P ∂y − ∂Q ∂x (∗) Khoâng coù phöông phaùp toång quaùt ñeå giaûi phöông trình ñaïo haøm rieâng naøy. Tuy nhieân trong moät vaøi tröôøng hôïp ñaëc bieät ta coù theå tìm ñöôïc µ. Tröôøng hôïpI:µchæ phuï thuoäc vaøox. Giaû söûµ>0, khi ñoù chia hai veá cuûa (∗)choµ, ta ñöôïc dlnµ dx = ∂P ∂y − ∂Q ∂x Q =:ϕ 20 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I Vaäy tröôøng hôïp naøy chæ thoaû maõn khi veá phaûi cuûa ñaúng thöùc treân khoâng phuï thuoäc vaøo y. Vôùi ñieàu kieän naøy, thöøa soá tích phaân cho bôûi: µ(x)=exp ϕ(x)dx Tröôøng hôïpII:µchæ phuï thuoäc vaøoy. Laøm töông töï nhö treân, thöøa soá tích phaân cho bôûi: µ(y)=exp ψ(y)dy trong ñoù ψ(y):= ∂Q ∂x− ∂P ∂y P ñöôïc giaû thieát khoâng phuï thuoäc vaøox. Ví duï: Tìm thöøa soá tích phaân roài giaûi phöông trình(2xy+x 2 y+y 3 3)dx+(x 2+y 2 )dy= 0. Ta coùP(x, y)=2xy+x 2 y+y 3 3vaøQ(x, y)=x 2+y 2 neân ∂P ∂y − ∂Q ∂x Q = 2x+x 2+y 2−2x x 2+y 2 =1 Do ñoù coù theå choïnµ(x)=exp( dx)=e x ñeå cho phöông trình e x (2xy+x 2 y+y 3 3)dx+(x 2 +y 2 )dy=0 laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn. Tích phaân phöông trình naøy theo coâng thöùc (1.12) ta ñöôïc tích phaân toång quaùt ye x (x 2 +y 2 3) =C 1.4.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp I: Trong muïc naøy ta xeùt lôùp caùc phöông trình vi phaân maø bieåu thöùc laø tuyeán tính ñoái vôùi aån vaø ñaïo haøm cuûa noù. Caùc phöông trình nhö theá ñöôïc goïi laø phöông trình vi phaân tuyeán tính. Daïng toång quaùt cuûa PTVP tuyeán tính laø y +p(x)y=q(x) (1.13) trong ñoù p(x),q(x)laø caùc haøm lieân tuïc treân khoaûng (a, b)naøo ñoù. Neáuq(x)≡0, ta coù PTVP tuyeán tính thuaàn nhaát: y +p(x)y=0 (1.14) Caùch giaûi:Ta coù theå tìm nghieämycuûa (1.13) döôùi daïng tíchy=u(x)v(x)(phöông phaùp Bernoully). Thay vaøo phöông trình (1.13) ta ñöôïc u v+uv +p(x)uv=q(x) (1.15) 1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 21 Ta choïn haømvsao cho v +p(x)v=0 (1.16) töùc laø giaûi phöông trình thuaàn nhaát töông öùng (1.14). Phöông trình naøy coù theå vieát döôùi daïng taùch bieán dv v =−p(x)dx Tích phaân hai veá ta ñöôïc ln|v|=− p(x)dx+ln|C1|, vôùiC1 =0 hay |v|=|C1|exp − p(x)dx Dó nhieânv=0cuõng laø nghieäm cuûa (1.14), neân nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát laø v(x)=Ce − p(x)dx (1.17) Baây giôø coù theå laáyv(x)=e − p(x)dx , khi ñoù phöông trình (3.3.3) trôû thaønh u v=f(x) Töø ñoù ta coù u= q(x) v(x) dx+C Thay bieåu thöùc cuûau, vvaøoyta thu ñöôïc nghieäm toång quaùt cuûa (1.13) laø y=e − p(x)dx q(x)e p(x)dx dx+C (1.18) trong ñoù Claø haèng soá tuyø yù. Ví duï: Tìm nghieäm cuûa phöông trình vi phaân y +3xy=xñi qua ñieåm(0,4). Ta coùp(x)=3xneân p(x)dx=3x 2 2. Do ñoù nghieäm toång quaùt laø y=e −3x 2 2 xe 3x 2 2 dx+C =e −3x 2 2 1 3 e 3x 2 2 +C = 1 3 +Ce −3x 2 2 Thayx=0vaøy=4vaøo ñaúng thöùc treân, ta tìm ñöôïcC= 11 3 vaø nghieäm rieâng caàn tìm laø: y= 1 3 + 11 3 e −3x 2 2 22 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 1.4.5 Phöông trình Bernoully Phöông trình coù daïng y +p(x)y=y α g(x) (1.19) trong ñoù αlaø soá thöïc naøo ñoù, ñöôïc goïi laø phöông trình Bernoully 1 . Ñeå giaûi phöông trình naøy ta ñöa veà giaûi phöông trình tuyeán tính (1.13) ñaõ xeùt trong muïc tröôùc. Roõ raøng vôùiα=0hayα=1thì (1.19) ñaõ coù daïng phöông trình tuyeán tính. Neáuα =0vaøα =1thì ñaët z=y 1−α Khi ñoù z =(1−α)y −α y Chia hai veá cuûa (1.19) choy −α , roài thay bieåu thöùc cuûa zvaøz vaøo ñaúng thöùc ñoù ta ñöôïc phöông trình vi phaân tuyeán tính theoz: z +(1−α)p(x)z=(1−α)g(x) (1.20) Nhaän xeùt: Chuù yù raèng ta phaûi xeùt rieâng tröôøng hôïp y=0tröôùc khi chia hai veá cho y α ñeå traùnh laøm maát nghieäm naøy. Ví duï: Giaûi phöông trình xy −4y=x 2√ y Roõ raøng ñaây laø phöông trình Bernoully vôùiα=12vaøy=0laø moät nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho. Giaû söûy =0, chia hai veá cho xy 12 ta ñöôïc y −12 y − 4 x y 1 2 =x Ñaëtz=y 1 2 ta ñöôïc z = 1 2 y −12 y . Thay vaøo phöông trình ñaõ cho, ta coù z − 2 x z= x 2 AÙp duïng coâng thöùc nghieäm toång quaùt (1.18), ta tìm ñöôïc nghieäm laø z=x 2 1 2 ln|x|+C Do ñoù phöông trình ñaõ cho coù nghieäm toång quaùt laø y=x 4 1 2 ln|x|+C 2 vaø nghieämy=0. 1 I.Bernoully (1667 1746) laø nhaø toaùn hoïc Thuïy só. 1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 23 1.4.6 Phöông trình Darboux Phöông trìnhDarboux2 laø phöông trình vi phaân daïng A(x, y)dx+B(x, y)dy+H(x, y)(xdy−ydx)=0 (1.21) trong ñoù A, Blaø caùc haøm thuaàn nhaát baäc mvaøHlaø haøm thuaàn nhaát baäc nù. Chuù yù raèng neáun=m−1thì phöông trình Darboux chính laø phöông trình thuaàn nhaát. Trong tröôøng hôïp toång quaùt, ta luoân luoân ñöa phöông trình Darboux veà phöông trình Bernoully. Thaät vaäy, ñaëty=z.x, ta coù dy=xdz+zdx, xdy−ydx=x 2 d y x =x 2 dz Do ñoù phöông trình (1.21) coù theå vieát laïi daïng x m A(1, y x )dx+x m B(1, y x )dy+x n H(1, y x )x 2 d y x =0 Hay, sau khi chia 2 veá chox m vaø thu goïn, ta coù A(1,z)+zB(1,z)dx+ xB(1,z)+H(1,z)x n+2−m dz=0 Vôùi giaû thieátxB(1,z)+H(1,z)x n+2−m =0, ta coù theå vieát phöông trình cuoái cuøng döôùi daïng dx dz + B(1,z) A(1,z)+zB(1,z) x=− H(1,z) A(1,z)+zB(1,z) x n+2−m Ñaây laø phöông trình Bernoully cuûa aånx=x(z)xem nhö haøm theoz. Ví duï: Giaûi phöông trình xdx+ydy+x 2 (xdy−ydx)=0 Ñaây laø phöông trình Darboux, ñaëty=xzta ñöôïc xdx+xz(xdz+zdx)+x 4 dz=0 hay (1 +z 2 )dx+(xz+x 3 )dz=0 Töø ñoù ta coù dx dz + z 1+z 2 x=− 1 1+z 2 x 3 Ñaây laø phöông trình Bernoully, giaûi phöông trình naøy (sau khi ñöa veà phöông trình tuyeán tính baäc I) ta ñöôïc nghieäm laø 1 x 2 =C(1 +z 2 )+(1+z 2 ) arctanz+z Trôû laïi bieán ban ñaàu, ta coù nghieäm toång quaùt cho bôûi C(x 2 +y 2 )+(x 2 +y 2 ) arctan y x +xy−1=0 vôùiClaø haèng soá tuyø yù. 2 J.G.Darboux (1842−1917) laø nhaø toaùn hoïc Phaùp 24 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 1.4.7 Phöông trình Riccati: Phöông trìnhRiccati 3 toång quaùt laø phöông trình vi phaân daïng y =p(x)y 2 +q(x)y+r(x) (1.22) trong ñoù p(x),q(x)vaør(x)laø caùc haøm lieân tuïc treân khoaûng (a, b)naøo ñoù. Nhaän xeùt: Phöông trình Riccati khoâng phaûi bao giôø cuõng giaûi ñöôïc baèng pheùp caàu phöông (töùc laø coù theå bieåu dieãn nghieäm döôùi daïng höõu haïn caùc pheùp laáy tích phaân cuûa caùc haøm töôøng minh naøo ñoù). Trong vaøi tröôøng hôïp ñaëc bieät nhöp(x)≡0hay r(x)≡0ta ñöa veà phöông trình tuyeán tính hoaëc phöông trình Bernoully. Tuy nhieân ta coù keát quaû sau cho pheùp tích phaân phöông trình Riccati neáu bieát moät nghieäm naøo ñoù cuûa noù. Meänh ñeà1.4.1.Neáu bieát moät nghieäm cuûa phöông trình Riccati(1.22)thì coù theå ñöa noù veà phöông trình Bernoully. Chöùng minh: Goïi moät nghieäm cuûa (1.22) laø ˜ y, töùc laø ˜ y =p(x)˜ y 2 +q(x)˜ y+r(x) Ta ñaëty=˜y+z, trong ñoù zlaø aån môùi. Thay vaøo phöông trình (1.22) ta ñöôïc ˜ y +z =p(x)˜ y 2 +2p(x)˜ yz+p(x)z 2 +q(x)˜ y+q(x)z+r(x) Töø ñoù suy ra z −2p(x)˜ y+q(x)z=p(x)z 2 vaø ñaây laø phöông trình Bernoully. Ví duï: Giaûi phöông trình y +2y(y−x)=1 Ñaây laø phöông trình Riccati. Deã thaáyy=xlaø moät nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho. Baây giôø, ñaët y=x+z ta ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng z +2z(z+x)=0 Ñaây laø phöông trình Bernoully vôùiα=2. Ñaët u=z −1 ta ñöôïc u −2xu=2 Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình naøy theo (1.18) laø u=e x 2 2e −x 2 dx+C Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø y=x+ e −x 2 C+2 e −x2 dx , vaøy=x 3 J.F.Riccati (1676−1754) laø nhaø toaùn hoïc YÙ 1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 25 BAØI TAÄP 1. Giaûi caùc phöông trình vi phaân taùch bieán: (a) (xy 2 +4x)dx+(y+x 2 y)dy=0 (b) 2x 1−y 2+yy =0 (c) y =e x+y (d) y = x 2 y−y y+1 2. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình vi phaân thuaàn nhaát sau (a) y = y x −1 (b) y = 2xy x 2−y 2 (c) (y 2−3x 2 )dy+2xydx=0 (d) xy =yln y x 3. Tích phaân caùc phöông trình vi phaân sau ñaây: (a) (x−2y+9)dx=(3x−y+2)dy (b) y =2 y+2 x+y−1 2 4. Kieåm tra caùc phöông trình sau laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn vaø giaûi chuùng (a) y x dx+(y 3 +lnx)dy=0 (b) e y dx+(xe y−2y)dy=0 (c) 2xydx+(x 2−y 2 )dy=0 (d) (x+1)e x −e y dx=xe y dy 5. Tìm thöøa soá tích phaân roài giaûi caùc phöông trình vi phaân sau (a) (x+y 2 )dx−2xydy=0 (b) (y 2−6xy)dx+(3xy−6x 2 )dy=0 (c) y(1 +xy)dx−xdy=0 (d) xylnydx+(x 2+y 2 y 2 +1)dy=0 6. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình vi phaân tuyeán tính sau (a) y −4y=x−2x 2 (b) xy +y=e x 26 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I (c) y −ytanx= 1 cosx (d) y 2 dx−(2xy+3)dy=0 7. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình Bernoully sau (a) 3y +y=(1−2x)y 4 (b) yy +y 2=x (c) y +y=e 2 2 √ y 8. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình Lagrange vaø Clairaut sau ñaây (a) y=xy +12 (b) xy −y=lny (c) y=xy + y 2 +1 (d) yy =2y 2 x+1 9. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình Lagrange vaø Clairaut sau ñaây (a) y=xy +12 (b) xy −y=lny (c) y=xy + y 2 +1 (d) yy =2y 2 x+1 Chöông 2 Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm Trong chöông naøy ta seõ khaûo saùt caùc phöông trình vi phaân caáp moät daïng toång quaùt F(x, y, y )=0 (2.1) trong ñoù Flaø haøm ba bieán lieân tuïc trong moät taäp môû G⊂R 3 cuøng vôùi caùc ñaïo haøm rieâng cuûa noù, ngoaøi ra ∂F ∂y khoâng ñoàng nhaát baèng khoâng. 2.1 Caùc PTVP chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm daïng ñaëc bieät Ta seõ khaûo saùt moät soá daïng phöông trình vi phaân caáp I daïng chöa giaûi ra ñaïo haøm ñaëc bieät maø coù theå giaûi baèng caàu phöông. 2.1.1 Fchæ phuï thuoäc vaøoy Xeùt phöông trình daïng F(y )=0 (2.2) Giaû söûF(xem nhö haøm cuûa bieán y ) lieân tuïc vaø coù moät soá höõu haïn caùc khoâng ñieåm (chaúng haïn khiFlaø ña thöùc). Khi ñoù moãi nghieäm cuûa y=y(x)cuûa phöông trình (2.2) phaûi thoaûy (x)=k, vôùi klaø moät khoâng ñieåm cuûa F. Do ñoùy(x)=kx+CvôùiClaø haèng soá tuyø yù; vaø ta coù F( y−C x )=0 (2.3) 28 Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm Ngöôïc laïi, neáu coù ñaúng thöùc (2.3) vôùi moät giaù tròCnaøo ñoù thìk:= y−C x phaûi laø nghieäm cuûaF=0. Khi ñoù y=kx+C, y =k do ñoùF(y )=0. Noùi caùch khaùc, coâng thöùc (2.3) cho ta nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho. Ví duï: Giaûi phöông trình y 2 −y +2=0. Phöông trình naøy coù nghieäm laø y−C x 2 − y−C x +2=0. 2.1.2 Daïng coù theå giaûi ra ñoái vôùiyhayx: Giaû söû (vôùi vaøi ñieàu kieän naøo ñoù) phöông trình (2.1) coù theå giaûi ra ñöôïcyhayx. Chaúng haïn, y=f(x, y ) (2.4) Khi ñoù, ñaëtp=y = dy dx vaø xempnhö tham soá, ta ñöôïc y=f(x, p) Vi phaân hai veá cuûa ñaúng thöùc naøy ta ñöôïc dy= ∂f(x, p) ∂x dx+ ∂f(x, p) ∂p dp Thaydy=pdxta ñöôïc phöông trình vi phaân daïng M(x, p)dx+N(x, p)dp=0 Xemxnhö laø haøm cuûapvaø giaû söû phöông trình naøy coù nghieäm toång quaùt laøx=g(p, C). Khi ñoù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình (2.4) ñöôïc cho döôùi daïng tham soá x=g(p, C) y=f(x, p) Töông töï nhö theá, caùc phöông trình daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùix x=h(y,y ) cuõng giaûi ñöôïc baèng caùch ñöa vaøo tham soápnhö treân. 2.2. Tröôøng hôïp toång quaùt−Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange 29 2.1.3 Fkhoâng phuï thuoäc vaøoy Xeùt phöông trình F(x, y )=0 (∗) Neáu coù theå giaûi ra ñöôïcy daïng y =f(x) Khi ñoù nghieäm toång quaùt cuûa(∗)laø y= f(x)dx+C. Tröôøng hôïp ta khoâng giaûi ra ñöôïcy nhöng coù theå tìm moät pheùp tham soá hoaù phöông trình (∗)goàm x=ϕ(t) y =ψ(t) sao cho F(ϕ(t),ψ(t)) = 0 Khi ñoù ψ(t)=y = dy dx =⇒dy=ψ(t).ϕ (t)dt Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình(∗)cho bôûi daïng tham soá x=ϕ(t) y= ψ(t)ϕ (t)dt+C Ví duï: Giaûi phöông trình lny +cosy −x=0 Tham soá hoaùy =t, x=lnt+costta coù dy=tdx vaø dx=( 1 t −sint)dt Suy ra y= (1−tsint)dt=t−sint+tcost+C Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø x=lnt+cost y=t−sint+tcost+C 2.2 Tröôøng hôïp toång quaùt−Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange 2.2.1 Tham soá hoaù toång quaùt: Trong phaàn naøy ta xeùt moät soá phöông trình vi phaân chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm F(x, y, y )=0 (2.5) 30 Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm nhöng coù theå tham soá hoaù ñöôïc döôùi daïng x=ϕ(u, v),y=ψ(u, v) vaøy =χ(u, v) sao cho Fϕ(u, v),ψ(u, v),χ(u, v) = 0 Vi phaânxvaøytheo u, vroài thay vaøo ñaúng thöùc dy=y dxta coù ∂ψ ∂u du+ ∂ψ ∂v dv=χ(u, v) ∂ϕ ∂u du+ ∂ϕ ∂v dv Xemunhö laø haøm cuûavta coù phöông trình du dv = χ ∂ϕ ∂v − ∂ψ ∂v ∂ϕ ∂u −χ ∂ψ ∂u Ñaây laø daïng phöông trình ñaõ giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm, giaû söû coù nghieäm laø u=ξ(v,C) Ta thay vaøo bieåu thöùc cuûaxvaøyta ñöôïc nghieäm toång quaùt döôùi daïng tham soá cuûa phöông trình (2.5) laø x=ϕξ(v,C),v y=ψξ(v,C),v Ví duï: Giaûi phöông trình y=y 2 −y x+ x 2 2 Ta coù theå tham soá hoaù phöông trình baèng caùch ñaëtx=x, y =pvaøy=p 2−px+ x 2 2 (xemxvaøplaø hai tham soá). Khi ñoù, vi phaân ñaúng thöùc cuoái ta ñöôïc dy=(x−p)dx+(2p−x)dp Ñeå yù raèngdy=pdx, töø ñaúng thöùc treân, neáu 2p−x =0ta coù dp dx =1, suy ra p=x+C. Do ñoù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø y= x 2 2 +Cx+C 2 Neáu2p−x=0ta coù p= x 2 , thay vaøo bieåu thöùc tham soá hoaù ta coù nghieäm y= x 4 2 , nghieäm naøy laø nghieäm kyø dò. 2.2. Tröôøng hôïp toång quaùt−Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange 31 2.2.2 Phöông trình Clairaut Phöông trìnhClairautlaø lôùp caùc phöông trình vi phaân daïng y=xy +f(y ) (2.6) trong ñoù, noùi chung, flaø moät haøm phi tuyeán. Ta seõ tìm nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình naøy baèng caùch ñaëtp=y . Khi ñoù y=px+f(p) Vi phaân hai veá ñaúng thöùc naøy, vôùi chuù yù raèngdy=pdxta ñöôïc pdx=pdx+{x+f (p)}dp hay {x+f (p)}dp=0 Töø ñoù ta suy radp=0hayx+f (p)=0. Neáudp=0thì p=C, thay vaøo (2.6) ta ñöôïc nghieäm toång quaùt y=Cx+f(C)(∗) vaø ñaây laø moät hoï ñöôøng thaúng. Neáux+f (p)=0, cuøng vôùi (2.6), ta thu ñöôïc moät nghieäm cho döôùi daïng tham soá x=−f (p) y=−pf (p)+f(p) Ngöôøi ta chöùng minh raèng neáuf (p)lieân tuïc vaø khaùc khoâng thì nghieäm cho döôùi daïng tham soá laø bao hình cuûa hoï ñöôøng thaúng (∗). Ví duï: Xeùt phöông trình y=(x−1)y −y 2 Ñaây laø phöông trình Clairaut vôùif(t)=−t 2−t. Thay theá y bôûiCta ñöôïc nghieäm toång quaùt laø hoï ñöôøng thaúng y=C(x−1)−C 2 Ñeå tìm nghieäm kyø dò, töùc laø bao hình cuûa hoï ñöôøng thaúng treân ta xeùt heä x=2C+1 y=C(x−1)−C 2 KhöûCtöø heä phöông trình naøy ta ñöôïc bao hình laø parabol y= (x−1) 2 4 (xem Hình 2.1). 32 Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm 3 3 3 0 3 Hình 2.1: Nghieäm cuûa phöông trình Clairaut vôùif(t)=−t 2−t. 2.2.3 Phöông trình Lagrange Phöông trình vi phaân caáp I maø laø tuyeán tính ñoái vôùixvaøydaïng y=ϕ(y )x+ψ(y ) (2.7) ñöôïc goïi laøphöông trình Lagrange 1 . Giaû söûϕ(y ) =y , neáu khoâng phöông trình ñaõ cho laø phöông trình Clairaut maø ta ñaõ xeùt treân ñaây. Cuõng töông töï nhö tröôøng hôïp phöông trình Clairaut, ta ñaëtp=y . Khi ñoù phöông trình (2.7) trôû thaønh y=ϕ(p)x+ψ(p)(∗) Vi phaân hai veá theoxta ñöôïc p= dy dx =ϕ(p)+{ϕ (p)x+ψ (p)} dp dx Xemplaø bieán soá ñoäc laäp ta coù phöông trình tuyeán tính maø aån laø x=x(p)nhö sau: dx dp + ϕ (p) ϕ(p)−p x= ϕ (p) p−ϕ(p) Tích phaân phöông trình tuyeán tính naøy theo phöông phaùp ñaõ bieát ta ñöôïc nghieäm toång quaùtx=h(p, C), vôùi Claø tham soá tuyø yù. Keát hôïp vôùi(∗)ta coù nghieäm toång quaùt cuûa (2.7) cho döôùi daïng tham soá tham soá hoaù theo tham soáp: y=ϕ(p)h(p, C)+ψ(p) x=h(p, C) 1 J.L.Lagrange (1736−1813) laø nhaø toaùn hoïc noåi tieáng ngöôøi Phaùp. 2.3. Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I 33 Nhaän xeùt: Chuù yù raèng öùng vôùi caùc giaù trò cuûa tham soá p=pi (trong ñoùpi laø nghieäm cuûa phöông trìnhϕ(p)−p=0) ta cuõng nhaän ñöôïc caùc nghieäm cuûa phöông trình (2.7). Tuyø theo töøng tröôøng hôïp nghieäm naøy coù theå laø nghieäm kyø dò hoaëc khoâng. Ví duï: Giaûi phöông trình y=xy 2 −y . Ñaëtp=y , khi ñoù y=xp 2 −p Vi phaân hai veá cuûa ñaúng thöùc naøy theoxvôùi chuù yùdy=pdx, sau khi thu goïn ta ñöôïc (p 2 −p)dx+(2px−1)dp=0 Giaû söûp 2−p =0ta coù dx dp + 2 p−1 x= 1 p(p−1) Giaûi phöông trình naøy ta ñöôïc: x= C+p−lnp (p−1) 2 Thay vaøo bieåu thöùc cuûayta ñöôïc nghieäm toång quaùt daïng tham soá: x= C+p−lnp (p−1) 2 y= (C+p−lnp)p 2 (p−1) 2 −p Caùc nghieäm öùng vôùip=0vaøp=1laø y=0vaøy=x−1töông öùng. 2.3 Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I 2.3.1 Söï toàn taïi nghieäm kyø dò Trong chöông tröôùc ta ñaõ ñeà caäp ñeán söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm ñoái vôùi PTVP caáp I daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm dy dx =f(x, y) Trong muïc naøy ta xeùt tröôøng hôïp PTVP caáp I daïng toång quaùt F(x, y, y )=0 (2.8) Noùi chung ta khoâng luoân luoân vieát phöông trình naøy döôùi daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm. Ñieàu ñoù cho thaáy raèng tính chaát duy nhaát nghieäm cuûa phöông trình vi phaân (2.8), vôùi ñieàu kieän ban ñaàu (x0,y0), khoâng phaûi luùc naøo cuõng ñöôïc baûo ñaûm. Noùi caùch khaùc, qua ñieåm(x0,y0)∈R 2 coù theå coù nhieàu nghieäm cuûa (2.8) ñi qua. 34 Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm Ví duï: Phöông trình Clairaut (2.6) vôùi f(t)=−t 2−t coù nghieäm kyø dò laø parabol (x−1) 2 4 (xem hình 2.1). Taïi moãi ñieåm doïc theo parabol naøy coù toàn taïi moät nghieäm khaùc maø ñoà thò laø ñöôøng thaúng tieáp xuùc vôùi parabol noùi treân taïi ñieåm ñoù. Ñònh lyù sau ñaây khaúng ñònh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm trong tröôøng hôïp toång quaùt. Ñònh lyù2.3.1.Neáu haømF(x, y, p)thoaû caùc ñieàu kieän sau: i) F(x, y, p)lieân tuïc cuøng vôùi caùc ñaïo haøm rieâng cuûa noù trong laân caän cuûa(x0,y0,p0)∈ R 3 (töùc laøFthuoäc lôùp C 1 trong laân caän ñieåm naøy) ii) F(x0,y0,p0)=0 iii) ∂F ∂p (x0,y0,p0) =0 thì phöông trình (2.8) coù duy nhaát moät nghieämy=y(x)lôùp C 1 trong laân caän cuûa x0 thoaû ñieàu kieän ban ñaàu: y(x0)=y0 sao cho y (x0)=p0 Chöùng minh: Caùc giaû thieát trong ñònh lyù treân chính laø caùc giaû thieát cuûa ñònh lyù haøm aån, do ñoù phöông trình (2.8) xaùc ñònh duy nhaát haøm p =f(x, y) lôùp C 1 sao cho p0=f(x0,y0). Khi ñoù ta coù phöông trình vi phaân daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm dy dx =f(x, y) trong ñoù fkhaû vi lieân tuïc. Tính chaát naøy maïnh hôn ñieàu kieän Lipchitz neân theo ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm (cho phöông trình ñaõ giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm), ta thaáy coù toàn taïi duy nhaát moät nghieämy=y(x)thoaû ñieàu kieän ban ñaàu y(x0)=y0. 2.3.2 Tìm nghieäm kyø dò theop−bieät tuyeán Ñònh lyù treân cho thaáy nghieäm kyø dò coù theå xaûy ra khi caùc ñieàu kieän cuûa ñònh lyù khoâng thoaû maõn. Roõ raøng vôùi haøm F=F(x, y, p)khaû vi lieân tuïc, nghieäm kyø dò chæ coù theå xaûy ra neáu taïi ñoù ∂F ∂p =0 Ta goïiM⊂R 3 laø sieâu maët cho bôûi phöông trìnhF(x, y, p)=0vaø giaû söûπ: M−→R 2 , π(x, y, p)=(x, y)laø pheùp chieáu töï nhieân theo toaï ñoä p. Khi ñoù caùc ñieåm kyø dò cuûa aùnh xaïπcho bôûi heä phöông trình F(x, y, p)=0 ∂F ∂p =0 (∗) 2.3. Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I 35 Khöûptöø heä phöông trình naøy ta thu ñöôïc moät phöông trình daïng Φ(x, y)=0 (2.9) Phöông trình naøy xaùc ñònh moät ñöôøng cong trongR 2 , ñöôïc goïi laø ñöôøng cong bieät laäp (discriminant) hay p−bieät tuyeáncuûa phöông trình (2.8). Vaäy ñeå tìm nghieäm kyø dò theop−bieät tuyeán tröôùc heát ta tìmp−bieät tuyeán cho bôûi heä(∗), sau ñoù thöû xem bieät tuyeán coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình (2.8) hay khoâng. Cuoái cuøng trong soá caùc nghieäm naøy choïn ra caùc nghieäm maø doïc theo noù tính duy nhaát bò vi phaïm; ñoù chính laø nghieäm kyø dò. Ví duï: Tìm nghieäm kyø dò cuûa phöông trình y=2xy −y 2 Ta coù bieät tuyeán cho bôûi y=2xp−p 2 , 2x−2p=0 Töø ñoù bieät tuyeán laø paraboly=x 2 trong maët phaúng (x, y). Tuy nhieân, y=x 2 laïi khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho, neân phöông trình khoâng coù nghieäm kyø dò. Ví duï: Tìm nghieäm kyø dò cuûa phöông trình y=y 2 −xy + x 2 2 Ta coùp−bieät tuyeán cho bôûi y=p 2 −xp x 2 2 , 2p−x=0 Töø ñoù ta coù bieät tuyeán laø paraboly= x 2 4 vaø cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho. Ngoaøi ra nghieäm toång quaùt cuûa noù laø (xem ví duï trang 30) y=Cx+C 2 + x 2 2 Do ñoù vôùi moïi ñieåm(x0,y0)treân parabol naøy, i.e. y0 = x 2 0 4 , ta xeùt phöông trình theo C: y0=Cx0+C 2 + x 2 0 2 hay C 2 +x0C+ x 2 0 4 =0 Phöông trình naøy luoân coù nghieämC=− x0 2 , töùc laø luoân coù nghieäm thöù hai ñi qua (x0,y0). Vaäyy= x 2 4 laø nghieäm kyø dò cuûa phöông trình ñaõ cho. 36 Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm Hình 2.2: Maët cho bôûi phöông trìnhp 2−x=0 2.3.3 Tìm nghieäm kyø dò theoC−bieät tuyeán Ñoái vôùi nhöõng phöông trình maø tích phaân toång quaùt cuûa noù cho bôûi Φ(x, y, C)=0 (2.10) ta coù theå tìm nghieäm kyø dò cuûa noù thoâng qua vieäc tìm caùc C−bieät tuyeán, töùc laø ñöôøng cong trongR 2 xaùc ñònh baèng caùch khöûCtöø heä Φ(x, y, C)=0 ∂Φ ∂C (x, y, C)=0 (2.11) Nhaän xeùt: Coù theå kieåm tra khoâng khoù (xem 1) raèng neáu C−bieät tuyeán laø bao hình cuûa hoï ñöôøng cong (2.10) thì noù laø moät nghieäm kyø dò cuûa phöông trình (2.8). Do ñoù ñeå tìm nghieäm kyø dò cuûa (2.8) tröôùc heát ta tìmC−bieät tuyeán cuûa noù. Bieät tuyeán ñoù laø ñöôøng congR(x, y)=0nhaän ñöôïc baèng caùch khöûCtöø heä (2.11). Sau ñoù , thöû xem coù nhaùnh naøo cuûaC−bieät tuyeán laø bao hình cuûa hoï ñöôøng cong (2.10) hay khoâng; neáu coù, ñoù chính laø nghieäm kyø dò cuûa phöông trình. Chuù yù:Neáu haømΦtrong (2.10) coù caùc ñaïo haøm rieâng caáp I theo xvaøybò chaën vaø khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng thìC−bieät tuyeán laø bao hình cuûa hoï nghieäm toång quaùt (2.10); noùi caùch khaùc C−bieät tuyeán laø nghieäm kyø dò. Ví duï: (xem 1) Tìm nghieäm kyø dò cuûa phöông trình Lagrange x−y= 4 9 y 2 − 8 27 y 3 Phöông trình Lagrange naøy coù tích phaân toång quaùt laø(y−C) 2 =(x−C) 3 . Do ñoù bieät tuyeán cho bôûi heä (y−C) 2 =(x−C) 3 2(y−C)=3(x−C) 2 2.3. Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I 37 KhöûCta ñöôïc y=x, y=x− 4 27 Chæ coùy=x− 4 27 laø bao hình neân noù laø nghieäm kyø dò. Coøn ñöôøng thaúng y=xchöùa caùc ñieåm kyø dò cuûa nghieäm toång quaùt (xem Hình 2.3). Y=x Y=x 427 Hình 2.3: Nghieäm kyø dò cuûa phöông trìnhx−y= 4 9 y 2 − 8 27 y 3 38 Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm BAØI TAÄP 1. Giaûi caùc phöông trình vi phaân sau ñaây (a) y 2 −(x+y)y +xy=0 (b) y 3 −yy 2 −x 2 y +x 2 y=0 (c) xy 3 =1+y (d) y 3 +y 3 =3yy 2. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình Lagrange vaø Clairaut sau ñaây (a) y=xy +12 (b) xy −y=lny (c) y=xy + y 2 +1 (d) yy =2y 2 x+1 3. Tìm nghieäm kyø dò cuûa caùc phöông trình vi phaân sau ñaây: (a) xy 2 −2yy +4x=0 (b) y 4 =4y(xy −2y) 2 (c) yy (yy −2x)=x 2−2y 2 (d) 2y −3y 13 =0 Chöông 3 Phöông trình vi phaân caáp cao Chöông naøy trình baøy moät soá kieán thöùc toång quan veà phöông trình vi phaân caáp cao vaø lyù thuyeát toång quaùt veà phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao. 3.1 Phöông trình vi phaân caáp cao 3.1.1 Caùc khaùi nieäm: Phöông trình vi phaân thöôøng caápnlaø phöông trình coù daïng F(x, y, y ,y ,... ,y (n) )=0 (3.1) trong ñoù Flaø moät haøm xaùc ñònh (lieân tuïc) treân taäp môû naøo ñoù cuûa R n+2 vaø nhaát thieát phaûi coù söï tham gia cuûa ñaïo haøm caápncuûa aåny (n) . Vôùi moät vaøi giaû thieát thích hôïp, ñònh lyù haøm aån cho pheùp vieát phöông trình (3.1) döôùi daïng sau ñaây, ñöôïc goïi laødaïng ñaõ giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm: y (n) =f(x, y, y ,... ,y (n−1) ) (3.2) Döôùi daïng naøy ta coù theå ñöa vieäc nghieân cöùu moät phöông trình caáp cao veà nghieân cöùu (heä) phöông trình vi phaân caáp I. Thaät vaäy, baèng caùch ñöa theâm vaøo caùc aån môùiy1:= y, y2:= y ,...., yn:= y (n−1) ta thu ñöôïc y 1=y2 ............... y n−1=yn y n=f(x, y1,... ,yn) (3.3) Xemy:= (y1,... ,yn) T , f(x, y):= y2,... ,yn,f(x, y1,... ,yn) T laø caùc vectorhaøm ta coù theå vieát laïi (3.3) döôùi daïng ñôn giaûn y =f(x, y) (3.4) 40 Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao 3.1.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm: Töông töï nhö tröôøng hôïp phöông trình vi phaân caáp I, baøi toaùn Cauchy ñoái vôùi phöông trình vi phaân caáp cao (3.1) ñaët ra nhö sau: Tìm nghieämy(x)cuûa phöông trình (3.1) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu: y(x0)=y0,y (x0)=y 0 ,... ,y (n−1) =y (n−1) 0 (3.5) trong ñoù x0∈I⊂RvaøY0:= (y0,y 0 ,... ,y (n−1) 0 )∈R n coá ñònh, cho tröôùc. Ñeå phaùt bieåu ñònh lyù khaúng ñònh söï toàn taïi lôøi giaûi cuûa baøi toaùn Cauchy ta caàn khaùi nieäm sau: Cho vectorhaømf(x, y)xaùc ñònh treân mieànG⊂R×R n . Ta noùi fthoaû ñieàu kieän Lipschitz treânGtheo yneáu toàn taïi haèng soá döôngL(goïi laøhaèng soá Lipschitz) sao cho: ||f(x, y1)−f(x, y2)|| ≤L||y1−y2||, vôùi moïi(x, y1),(x, y2)∈G Ta löu yù raèng ñieàu kieän Lipschitz khoâng phaûi laø heä quaû cuûa tính lieân tuïc. Chaúng haïn haømf(x, y)= √ ylieân tuïc nhöng khoâng thoaû ñieàu kieän treân. ù Ñònh lyù3.1.1 (Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho PTVP caáp cao). Giaû söû vectorhaømf(x, y)trong (3.4)lieân tuïc vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz theo ytreân mieàn G={(x, y)∈R×R n |x−x0|≤a,||y−y0|| ≤ b} Khi ñoù baøi toaùn Cauchy vôùi ñieàu kieän ban ñaàu(3.5)coù moät nghieäm duy nhaát treân ñoaïn I:= x0−h, x0+h, vôùi h:= min(a, b M )vaøM:= max (x,y)∈G||f(x, y)||. Chöùng minh: Töông töï nhö trong tröôøng hôïp PTVP caáp I, chæ caàn thay giaù trò tuyeät ñoái bôûi chuaån trongR n . Nhaän xeùt: Ta cuõng ñònh nghóa caùc loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân caáp cao töông töï nhö trong chöông I. Chaúng haïn, nghieäm kyø dòcuûa (3.2) laø nghieäm maø taïi moãi ñieåm cuûa noù tính chaát duy nhaát nghieäm bò vi phaïm. Ta goïinghieäm toång quaùt cuûa (3.2) laø hoï caùc haømϕ(x, C1,... ,Cn)phuï thuoäc (moät caùch lieân tuïc) vaøonhaèng soá tuyø yù C1,... ,Cn. Vôùi moãi boä giaù trò cuûa ntham soá naøy ta nhaän ñöôïc moät nghieäm rieângcuûa phöông trình. Ví duï: Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình y =ylaø y(x)=C1e x+C2e −x . Noù phuï thuoäc vaøo hai haèng soá tuyø yù C1 vaøC2. 3.1.3 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao giaûi ñöôïc baèng caàu phöông: a) Phöông trìnhF(x, y (n) )=0 Phöông trình naøy chæ phuï thuoäc vaøo bieán ñoäc laäp vaø ñaïo haøm caáp cao nhaát. Trong tröôøng hôïp coù theå giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm: y (n) =f(x) 3.1. Phöông trình vi phaân caáp cao 41 ta coù theå tích phaân lieân tieáp theo xvaø thu ñöôïc y (n−1)= x x0 f(x)dx+C1 y (n−2)= x x0 dx x x0 f(x)dx+C1(x−x0)+C2 .................... y= x x0 dx... x x0 nlaàn f(x)dx+ C1 (n−1) (x−x0) n−1+ + C2 (n−2) (x−x0) n−2+···+Cn−1(x−x0)+Cn Ví duï: Phöông trình y (n) =0coù nghieäm laø ña thöùc toång quaùt caápn−1 y(x)=c1(x−x0) n−1 +c2(x−x0) n−2 +···+cn−1(x−x0)+cn Trong tröôøng hôïp khoâng giaûi ra ñöôïcy (n) nhöng coù theå tham soá hoaù x=ϕ(t),y(n) =ψ(t) khi ñoù ta coù dy (n−1) =y (n) dx=ψ(t)ϕ (t)dt Vì vaäy y (n−1) = ψ(t)ϕ (t)dt=ψ(t, C1) Laëp laïi quaù trình treân saunböôùc, ta thu ñöôïc nghieäm toång quaùt cho döôùi daïng tham soá x=ϕ(t), y=ψm(t, C1,... ,Cn) b) Phöông trìnhF(y (n−1) ,y (n) )=0: Caùch giaûi:Neáu coù theå giaûi ñöôïc y (n) =f(y (n−1) ) thì, baèng caùch ñaët z:= y (n−1) , coù theå vieát laïi phöông trình döôùi daïng sau: z =f(z) Ñaây laø phöông trình vi phaân caáp I theoz, giaû söû nghieäm laø z =g(x, C), ta trôû laïi tröôøng hôïp treân vôùi phöông trình y (n−1) =g(x, C) vôùiClaø tham soá. 42 Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao Neáu coù theå tham soá hoaù y (n−1) =ϕ(t),y(n) =ψ(t) thì töø dy (n−1)=y (n) dxta suy ra dx= dy (n−1) y (n) = ϕ (t)dt ψ(t) Do ñoù x= ϕ (t)dt ψ(t) =ϕ1(t, C1) vaø ta trôû laïi tröôøng hôïp treân vôùi x=ϕ1(t, C1),y(n−1) =ϕ(t) Ví duï: Giaûi phöông trình y =y +1 Ñaëtz=y ta coù phöông trình z −z=1. Phöông trình naøy coù nghieäm toång quaùt laø z=C1e x −1 Do ñoù, ta ñöôïc phöông trình y =C1e x −1 Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø y(x)=C1e x − x 2 2 +C2x+C3 c) Phöông trìnhF(y (n−2) ,y (n) )=0: Ñoái vôùi daïng phöông trình naøy ta ñaëtz=y (n−2) vaø vieát laïi phöông trình theoz F(z,z )=0 Neáu töø phöông trình naøy coù theå giaûi ñöôïcz =f(z)thì ta coù 2z z =2f(z)z hay d((z ) 2 )=2f(z)dz Töø ñoù ta tìm ñöôïc z =± 2 f(z)dz+C1 Ñaây laø phöông trình vi phaân caáp I vôùi aån laøz=z(x)vôùi nghieäm toång quaùt coù daïng Φ(x, z, C1,C2)=0 3.1. Phöông trình vi phaân caáp cao 43 Thayz=y (n−2) vaøo phöông trình naøy ta trôû laïi tröôøng hôïp a). Ví duï: Giaûi phöông trình y (4) =y . Ñaëtz=y ta thu ñöôïc phöông trình z =z Phöông trình naøy coù nghieäm toång quaùt laø z=C1e x +C2e −x Trôû laïi aånyta coù phöông trình y =C1e x +C2e −x maø nghieäm toång quaùt cuûa noù laø y=C1e x +C2e −x +C3x+C4 3.1.4 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao coù theå haï caáp: Ta seõ xeùt moät soá daïng phöông trình caáp cao maø coù theå ñöa veà phöông trình caáp thaáp hôn baèng caùch ñoåi bieán. a) Phöông trình daïngF(y,y ,... ,y (n) )=0: Phöông trình naøy khoâng chöùa bieán ñoäc laäpx. Ta ñaët p=y . Khi ñoù y =p= dy dx y = dp dx =p dp dy y = d dx p dp dy = dp dx dp dy +p d dx dp dy =p dp dy 2 +p 2 d 2 p dy 2 ............................. y (n) =g p, dp dy ,... , d n−1 p dy n−1 Thay caùc bieåu thöùc treân vaøo phöông trình ban ñaàu ta thu ñöôïc phöông trình vi phaân caápn−1theo aån p=p(y) G(y,p,p ,... ,p (n−1) )=0 Giaû söû phöông trình naøy coù nghieäm toång quaùt laø Φ(y,p,C1,... ,Cn−1)=0 44 Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao ta thay p=y thì thu ñöôïc phöông trình daïng F(y,y )=0maø laø phöông trình vi phaân caáp I. Ví duï: Giaûi phöông trình (1 +y 2 )yy =(3y 2−1)y 2 Ñaëtp=y nhö ñaõ trình baøy, phöông trình ñöa veà daïng (1 +y 2 )yp dp dy =(3y 2 −1)p 2 Chia 2 veá chop(vôùi giaû thieátp =0) vaø vieát laïi döôùi d
Trang 1Mục lục
1.1 Mở đầu 5
1.1.1 Các khái niệm 5
1.1.2 Bài toán Cauchy 7
1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 7
1.2.1 Phương pháp xấp xỉ Picard 7
1.2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 9
1.3 Phân loại nghiệm của phương trình vi phân 12
1.3.1 Các định nghĩa: 12
1.3.2 Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân: 13
1.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I 14
1.4.1 Phương trình với biến số phân ly: 14
1.4.2 Phương trình vi phân thuần nhất: 16
1.4.3 Phương trình vi phân toàn phần: 18
1.4.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp I: 20
1.4.5 Phương trình Bernoully 22
1.4.6 Phương trình Darboux 23
1.4.7 Phương trình Riccati: 24
2 Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm 27 2.1 Các PTVP chưa giải ra đối với đạo hàm dạng đặc biệt 27
2.1.1 F chỉ phụ thuộc vào y 27
2.1.2 Dạng có thể giải ra đối với y hay x: 28
2.1.3 F không phụ thuộc vào y 29
2.2 Trường hợp tổng quát −Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange 29 2.2.1 Tham số hoá tổng quát: 29
2.2.2 Phương trình Clairaut 31
Trang 22.2.3 Phương trình Lagrange 32
2.3 Nghiệm kỳ dị của PTVP cấp I 33
2.3.1 Sự tồn tại nghiệm kỳ dị 33
2.3.2 Tìm nghiệm kỳ dị theo p −biệt tuyến 34
2.3.3 Tìm nghiệm kỳ dị theo C −biệt tuyến 36
3 Phương trình vi phân cấp cao 39 3.1 Phương trình vi phân cấp cao 39
3.1.1 Các khái niệm: 39
3.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: 40
3.1.3 Một số phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầu phương: 40 3.1.4 Một số phương trình vi phân cấp cao có thể hạ cấp: 43
3.1.5 Tích phân trung gian và tích phân đầu: 45
3.2 Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính 46
3.3 Định thức Wronski - Nghiệm tổng quát 47
3.3.1 Đồng nhất thức Abel 50
3.3.2 Phương pháp biến thiên hằng số tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất 51
3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng 53
3.4.1 Nghiệm của phương trình thuần nhất hệ số hằng 53
3.4.2 Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: 55
4 Hệ phương trình vi phân cấp I 61 4.1 Hệ phương trình vi phân cấp I tổng quát 61
4.1.1 Các định nghĩa: 61
4.1.2 Liên hệ giữa hệ phương trình và phương trình vi phân cấp cao: 62 4.1.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 63
4.1.4 Các phương pháp giải hệ phương trình vi phân: 64
4.2 Một số định lý cơ bản của phương trình vi phân 67
4.2.1 Sự tồn tại nghiệm: 67
4.2.2 Thác triển nghiệm và sự tồn tại toàn cục: 68
4.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 69
4.3.1 Hệ tuyến tính thuần nhất: 70
4.3.2 Hệ PTVP tuyến tính không thuần nhất: 72
4.4 Hệ PTVP tuyến tính hệ số hằng số 73
4.4.1 Phương trình đặc trưng 73
Trang 3Mục lục 3
4.4.2 Hệ nghiệm cơ bản 74
5 Phương pháp số giải phương trình vi phân 79 5.1 Các phương pháp giải tích giải gần đúng PTVP 79
5.1.1 Xấp xỉ Picard 79
5.1.2 Phương pháp chuỗi Taylor 81
5.2 Các phương pháp số giải PTVP 82
5.2.1 Phương pháp chuỗi Taylor 84
5.2.2 Phương pháp Euler và Euler cải tiến 85
5.2.3 Các phương pháp Runge−Kutta 86
5.2.4 Các phương pháp đa bước (multi-step): 89
5.3 Phương trình vi phân và phần mềm tính toán MAPLE 90
5.3.1 Giới thiệu chung: 90
5.3.2 Vẽ đường cong tích phân và trường các hướng 91
5.3.3 Giải phương trình vi phân bằng MAPLE 91
5.3.4 Giải gần đúng phương trình vi phân bằng MAPLE 92
6 Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân 99 6.1 Khái niệm chuỗi luỹ thừa 99
6.2 Nghiệm của phương trình vi phân dưới dạng chuỗi luỹ thừa 101
6.2.1 Các ví dụ 102
6.2.2 Điểm kỳ dị của phương trình vi phân 105
6.3 Khai triển tiệm cận của nghiệm 110
6.3.1 Sơ lược về khai triển tiệm cận 110
6.3.2 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm gần điểm kỳ dị không chính qui.111 6.3.3 Khai triển tiệm cận của nghiệm: 114
6.3.4 Sơ lược về phương pháp WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) 114
A Biến đổi Laplace và phương trình vi phân 117 A.1 Biến đổi Laplace 117
A.2 Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace: 119
Tài liệu tham khảo .123
Trang 51.1.1 Các khái niệm
Phương trình vi phân thường là phương trình có dạng
F (x, y, y , y , , y (m)) = 0 (1.1)trong đó y = y(x) là ẩn hàm cần tìm và nhất thiết phải có sự tham gia của đạo hàm(đến cấp nào đó) của ẩn
Thông thường ta xét các phương trình với ẩn hàm là hàm số một biến thực y = y(x)
xác định trên khoảng mở I ⊂ R nào đó; khi đó hàm F trong đẳng thức trên xác địnhtrong một tập mở G của R × R m+1 Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là vector-hàm(hàm với giá trị vector) y(x) = (y1(x), , y n (x)) T,F là một ánh xạ nhận giá trị trong
Rn và (1.1) được hiểu là hệ phương trình vi phân
Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là hàm nhiều biến thì phương trình vi phân còngọi là phương trình đạo hàm riêng
Ta nói một phương trình vi phân có cấpm nếu m là cấp lớn nhất của đạo hàm củaẩn có mặt trong phương trình
Phương trình vi phân thường cấp I có dạng tổng quát
Trang 6trong đó F (x, y, z) được giả thiết liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó trênmiền G ⊂ R3 Với một số điều kiện nào đấy, phương trình vi phân cấp I có thể viếtđược dưới dạng sau, gọi là dạng giải ra được đối với đạo hàm
với f liên tục trong một miền D ⊂ R2
Ví dụ: Các phương trình
trên I và thoả mãn
F (x, y(x), y (x), y (x), , y (m) )(x) = 0 với mọi x ∈ I (1.4)Trong trường hợp phương trình vi phân cấp I, nghiệm là một hàm thực một ẩny = y(x)
mà khi thay vào (1.2), ta được một đẳng thức đúng
Ví dụ: Dễ kiểm tra rằng họ hàm (phụ thuộc vào hai tham số tuỳ ý)
y = y(α − βx), x = x(γy − δ) (1.5)với α, β, γ và δ là những hằng số cho trước
Để tìm nghiệm của phương trình này ta có thể xem y như là hàm theo x, phươngtrình có thể viết dưới dạng
dy
dx =
y(α − βx) x(γy − δ) hay (γy − δ)
Trang 71.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 7
1 2 3
yy
zz
X
Hình 1.1: Nghiệm của phương trình Volterra−Lotka
1.1.2 Bài toán Cauchy
Ta nhận xét rằng nói chung, nghiệm của một phương trình vi phân phụ thuộc vào mộthay nhiều tham số tuỳ ý nào đó; nói cách khác ta có từng họ nghiệm Để xác địnhnghiệm cụ thể nào đó, nói chung ta cần thêm một hay vài đặc trưng khác về nghiệm(tuỳ theo cấp của phương trình vi phân) Chẳng hạn, y = x33 + C là (họ) nghiệm củaphương trìnhy = x2 Dễ thấyy = x33+ 1là nghiệm (duy nhất) thoả điều kiện y(0) = 1
Ta xét bài toán sau đây đặt ra đối với phương trình (1.2), gọi là bài toán Cauchy
(còn gọi là bài toán giá trị ban đầu):
Tìm nghiệm y(x) của phương trình (1.2) thoả
trong đó (x0, y0)∈ D được gọi là các điều kiện ban đầu.Câu hỏi tự nhiên đặt ra là với điều kiện ban đầu (1.6), có hay không và bao nhiêunghiệm thoả mãn điều kiện này Trả lời câu hỏi này tức là giải bài toán Cauchy đốivới phương trình (1.2) Ta lưu ý rằng không phải lúc nào bài toán Cauchy cũng cónghiệm, và khi có nghiệm cũng không nhất thiết có duy nhất nghiệm Trong mục sau
ta sẽ phát biểu và chứng minh một định lý giải quyết trọn vẹn bài toán Cauchy chophương trình vi phân cấp I
1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
1.2.1 Phương pháp xấp xỉ Picard
Ta xét bài toán Cauchy đối với phương trình cấp I dạng giải ra được đối với đạo hàm:
y = f (x, y), y(x0) = y0 (1.7)
Trang 8trong đó f xác định và liên tục trên miền mở D ⊂ R2.
Giả sử y(x) là nghiệm của bài toán (1.7), tích phân hai vế của phương trình trong(1.7) ta được phương trình tích phân cho y(x) là
Phép lặp Picard−Lindelo¨f
Về mặt toán tử, nghiệm của phương trình tích phân (1.8) chính là lời giải của bài toán điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ (ở đây ta xétkhông gian các hàm khả vi liên tục trên I) mà lời giải có thể cho bởi phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard−Lindelo¨f sau đây
Xét dãy các hàm xác định một cách đệ qui bởi
y0(x) = y0 (hay một hàm nào đó)
Khi đó với mọi x ∈ I := [x0 −
h, x0+ h] ta có
|y k (x) − y0| ≤ b, với mọik
Nói cách khác, các hàm y k không đi ra khỏi hình chữ nhật D.
Chứng minh: Ta có, với x0− h ≤ x ≤ x0+ h:
3 (xem Hình 1.2) Ta nhận thấy các xấp xỉy k hội tụ nhanh khi x
bé, với các giá trị x lớn phép lặp là phân kỳ
Trang 91.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 9
Hình 1.2: Phép lặp Picard−Lindelof cho phương trình y =−y2, với y(0) = 1
1.2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Trong phần này ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phươngtrình vi phân, khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm f (x, y) xác định trên miền D ⊂ R2 Ta nói f thoả điều kiện Lipschitz trên D theo biến y nếu tồn tại hằng số dương L (gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L |y1− y2| , với mọi (x, y1), (x, y2)∈ D
Nhận xét: Điều kiện Lipschitz là yếu hơn so với điều kiện giới nội của đạo hàmriêng ∂f
∂y trên D Thật vậy, giả sử ∂f
∂y liên tục và
∂f ∂y ≤ M Khi đó, áp dụng địnhlý Lagrange cho hàm f (x, y) theo biến y ta được
f (x, y1)− f(x, y2) = (y1− y2)∂f
∂y [x, y1+ θ(y2− y1)]
Từ đó suy ra điều kiện Lipschitz
Định lý 1.2.2 (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm) Giả sử hàm số f (x, y) trong(1.3) liên tục và thoả điều kiện Lipschitz theo biếny trên hình chữ nhật
D = {(x, y)/ |x − x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b}
Khi đó nghiệm của bài toán Cauchy (1.7) là tồn tại và duy nhất trong đoạn I :=
[x0− h, x0+ h], với h := min(a, M b ) và M := max (x,y)∈D |f(x, y)|.
Chứng minh: Chứng minh chia làm hai bước:
Trang 10Giả sử ta có điều đó với k − 1, khi đó với x0 ≤ x ≤ x0+ h ta có
(với x0− h ≤ x ≤ x0 ta đánh giá tương tự)
Xét dãy hàm {y k (x) } trên I, ta có
Chuổi số ∞
j=0
(Lh) j j! là hội tụ, nên phần dư của nó mà xuất hiện trong biểu thức cuốicùng có thể làm cho bé tuỳ ý khi k đủ lớn Theo tiêu chuẩn Cauchy, dãy {y k (x) } hộitụ đều trênI đến hàm y(x) Để chứng minhy(x)là nghiệm chỉ cần qua giới hạn trongđẳng thức
y k+1 (x) = y0+
x
x0
f (t, y k (t))dt
Vì dãy hàm {y k (x) } hội tụ đều, f liên tục (đều) trên hình chữ nhật D nên dãy hàm
{f(t, y k (t)) } hội tụ đều trên I đến hàm f (t, y(t)) Do đó có thể chuyển giới hạn quadấu tích phân để được đẳng thức (1.8) Vậy y(x)chính là nghiệm của bài toán Cauchy(1.7)
Trang 111.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 11
Cho k −→ +∞ ta có |y(x) − z(x)| = 0trên I Như vậy, một cách địa phương, nghiệm
Nhận xét: Điều kiện Lipschitz là quan trọng, ngay cả khi f (x, y) liên tục trên R 2.Chẳng hạn xét phương trình
Nói cách khác, tính duy nhất nghiệm bị vi phạm
Nhận xét: Thực chất chứng minh là dùng nguyên lý ánh xạ co trong các không gianmetric đủ
Định nghĩa 1.2.2 Cho không gian metric E với metric d Ánh xạ T : E → E đượcgọi là ánh xạ co nếu tồn tại số α ∈ (0, 1) sao cho với mọi cặp phần tử x, y ∈ E tađều có
d(T x, T y) ≤ αd(x, y)
Định lý 1.2.3 (Nguyên lý ánh xạ co) Mọi ánh xạ co T trong không gian metric đủ
đều có duy nhất một điểm bất động Tức là điểm x ∗ ∈ E sao cho
T (x ∗ ) = x ∗
Trang 121 2 3 -3 -2 -1
1
-1
Hình 1.3: Nghiệm của bài toán Cauchy y = 2 |y|, y(0) = 0
1.3 Phân loại nghiệm của phương trình vi phân
1.3.1 Các định nghĩa:
Về mặt hình học, bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp I có thể hiểu là tìmnghiệm y = y(x) của (1.3) mà đồ thị của hàm số y = y(x) (còn gọi là đường cong tích phân của phương trình vi phân) đi qua điểm (x0, y0) Nói cách khác, bài toánCauchy là tìm đường cong tích phân của phương trình (1.3) đi qua điểm (x0, y0) ∈ D
cho trước
Định nghĩa 1.3.1 Giả sử D ⊂ R2 sao cho vế phải của phương trình (1.3) xác định vàliên tục trên D Hàm số y = y(x, C) phụ thuộc liên tục vào hằng số C được gọi là
nghiệm tổng quát của (1.3) nếu:
a) Với mỗi điều kiện ban đầu (x0, y0)∈ D ta luôn giải được C dưới dạng
trong đó ϕ là hàm liên tục
b) Hàm y = y(x, C) thoả mãn phương trình (1.3) với mỗi giá trị của C cho bởi (∗)
khi (x0, y0) chạy khắp D
Khi đó hệ thức ϕ(x, y) = C (hoặc chính hàm ϕ(x, y)) được gọi là tích phân tổng quát của phương trình (1.3)
Ví dụ: Phương trình y + y = 0 có nghiệm tổng quát là y(x) = Ce −x với C là hằngsố tuỳ ý
Định nghĩa 1.3.2 • Nghiệm của phương trình (1.3) mà tại mỗi điểm của nó tínhchất duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được thoả mãn được gọi là nghiệm riêng
• Nghiệm của phương trình (1.3) mà tại mỗi điểm của nó tính chất duy nhất nghiệmcủa bài toán Cauchy bị vi phạm được gọi là nghiệm kỳ dị
Trang 131.3 Phân loại nghiệm của phương trình vi phân 13
Nhận xét: Từ định nghĩa nghiệm tổng quát, ta suy ra rằng với mỗi điều kiện ban đầu
(x0, y0)∈ D, ta luôn tìm được C0 = ϕ(x0, y0) sao cho y = y(x, C0) là nghiệm của bàitoán Cauchy tương ứng Nói cách khác, bằng cách chọn các giá trị thích hợp cho hằngsố, ta có thể thu được các nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình, không kể các nghiệmkỳ dị
Giải(hay còn gọi là tích phân) một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm(biểu thức nghiệm tổng quát) của phương trình đó hoặc nghiệm của bài toán Cauchyvới điều kiện ban đầu cho trước
Ví dụ: Tìm nghiệm riêng y(x) của phương trình y = 3y + x thoả điều kiện y(0) = 1
Ta dễ kiểm tra rằng nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y = − x
3−1
9+Ce
3x.Để tìm nghiệm riêng thoả điều kiện như trên ta chỉ cần thay các giá trị ban đầu vàtính C
1.3.2 Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân:
Xét phương trình vi phân (1.3), với f (x, y) liên tục trên miền mở trong R 2 Tại mỗiđiểm M (x, y) thuộc miền này, ta gán cho nó một hướng với hệ số góc là
k = dy
dx = f (x, y)
Khi đó ta thu được một trường các hướng xác định bởi (1.3), và dĩ nhiên hướng củatiếp tuyến của đường cong tại mỗi điểm trùng với hướng của trường tại điểm đó Giảimột phương trình vi phân dạng (1.3) về mặt hình học là tìm tất cả các đường cong saocho tại mỗi điểm của nó hướng của tiếp tuyến trùng với hướng của trường
Ngược lại, cho trước họ đường cong
phụ thuộc vào tham số C sao cho qua mỗi điểm chỉ có duy nhất một đường cong củahọ đi qua Ta sẽ lập phương trình vi phân nhận họ đường cong này làm nghiệm tổngquát như sau Đạo hàm hai vế của phương trình trên theo x, ta được
dy
dx =
∂ϕ
∂x (x, C)
Từ phương trình(∗), với mỗi (x, y)ta luôn tìm được duy nhất giá trị C = C(x, y) Thay
C vào đẳng thức trên ta nhận được
y = ∂ϕ
∂x (x, C(x, y)) =: f (x, y)
Trang 14–3 –2 –1
1
2 y(x)
Hình 1.4: Trường hướng của phương trình y =− y
x
và đây là phương trình vi phân cần tìm
Ví dụ: Tìm phương trình vi phân của họ đường cong sau:
y = Cx2
Đạo hàm hai vế theo x ta được y = 2Cx Khử C ta thu được phương trình vi phân:
y = 2y
x
1.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I
Trong bài này ta sẽ giới thiệu một số dạng phương trình vi phân cấp I mà có thể tíchphân được theo nghĩa có thể viết biểu thức của nghiệm tổng quát dưới dạng tườngminh hoặc phụ thuộc tham số Lưu ý rằng ta không có phương pháp giải tổng quátcho phương trình vi phân, thậm chí cấp I
1.4.1 Phương trình với biến số phân ly:
Phương trình vi phân cấp I dạng
được gọi là phương trình với biến số phân ly (hay còn gọi phương trình tách biến)
Trang 151.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I 15
Cách giải: Các hàm M (x), N (y) được giả thiết liên tục trên các khoảng nào đó.Khi đó chỉ cần tích phân hai vế của (1.9) ta thu được tích phân tổng quát của nó là
M (x)dx +
N (y)dy = C
Ví dụ: Giải phương trình y2y = x(1 + x2)
Phương trình này có dạng tách biến
(với giả thiết biểu thức này khác 0)
Ví dụ: Giải phương trình x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = 0
Chia hai vế cho (1 + x2)(1 + y2) ta được
Vậy tích phân tổng quát của phương trình đã cho là (1 + x2)(1 + y2) = C1 trong đó C1
là hằng số tuỳ ý
Trang 161.4.2 Phương trình vi phân thuần nhất:
Hàm số f (x, y) được gọi là thuần nhất bậc m nếu với mọi t > 0 ta có
f (tx, ty) = t m f (x, y)
Phương trình vi phân y = f (x, y) được gọi là thuần nhất (hay còn gọi đẳng cấp)nếu hàm số ở vế phải là hàm thuần nhất bậc 0, tức là f (tx, ty) = f (x, y) với mọi
t > 0
Nhận xét: Nếu đặt u := y
x ta cóf (x, y) = f ( ± |x| , |x| |x| y ) = f ( ±1, ±u) =: g(u).Cách giải:
dx x
Tích phân hai vế ta được
du g(u) − u = lnx
Thay u = y
x vào biểu thức trên ta tìm được tích phân tổng quát của phương trình thuầnnhất
Ví dụ: Giải phương trình (x2+ y2)dx + xydy = 0
Ta có thể viết phương trình đã cho dưới dạng
dy
dx =− y
x − x y
Vế phải của phương trình này là hàm thuần nhất
= −1
4ln(1 + 2u
2)
Trang 171.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I 17
Phương trình đưa về thuần nhất:
Các phương trình dạng
và đây chính là phương trình dạng thuần nhất
Ví dụ: Giải phương trình (2x − 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy = 0
Trước hết ta xét hệ phương trình sau
Trang 18Phương trình này chấp nhận nghiệm u = 1 và u = 2 Để tìm nghiệm tổng quát ta chia
cùng với hai nghiệm y = x + 1 và y = 2x tương ứng với u = 1 và u = 2
1.4.3 Phương trình vi phân toàn phần:
Phương trình vi phân dạng
Trang 191.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I 19
trong đó (x0, y0) là một điểm nào đó sao cho các tích phân trên tồn tại
Ví dụ: Giải phương trình (x3+ xy2)dx + (x2y + y3)dy = 0
Ta có P (x, y) = x3+ xy2 vàQ(x, y) = x2y + y3 nên
Thừa số tích phân:
Có những trường hợp phương trình (1.11) chưa phải là phương trình vi phân toàn phần,nhưng có thể tìm được hàm sốµ(x, y) sao cho phương trình sau trở thành phương trình
vi phân toàn phần:
Trường hợp I: µchỉ phụ thuộc vào x
Giả sử µ > 0, khi đó chia hai vế của (∗) cho µ, ta được
Trang 20Vậy trường hợp này chỉ thoả mãn khi vế phải của đẳng thức trên không phụ thuộc vào
y Với điều kiện này, thừa số tích phân cho bởi:
µ(x) = exp
ϕ(x)dx
Trường hợp II: µchỉ phụ thuộc vào y
Làm tương tự như trên, thừa số tích phân cho bởi:
P được giả thiết không phụ thuộc vào x
Ví dụ: Tìm thừa số tích phân rồi giải phương trình(2xy +x2y +y3/3)dx+(x2+y2)dy =
Do đó có thể chọn µ(x) = exp(
dx) = e x để cho phương trình
e x [(2xy + x2y + y3/3)dx + (x2 + y2)dy] = 0
là phương trình vi phân toàn phần Tích phân phương trình này theo công thức (1.12)
ta được tích phân tổng quát
ye x (x2+ y2/3) = C
1.4.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp I:
Trong mục này ta xét lớp các phương trình vi phân mà biểu thức là tuyến tính đối vớiẩn và đạo hàm của nó Các phương trình như thế được gọi là phương trình vi phân
tuyến tính Dạng tổng quát của PTVP tuyến tính là
trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục trên khoảng (a, b) nào đó
Nếu q(x) ≡ 0, ta có PTVP tuyến tính thuần nhất:
Cách giải: Ta có thể tìm nghiệm y của (1.13) dưới dạng tích y = u(x)v(x) (phươngpháp Bernoully) Thay vào phương trình (1.13) ta được
Trang 211.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I 21
Ta chọn hàm v sao cho
Thay biểu thức của u, v vàoy ta thu được nghiệm tổng quát của (1.13) là
y = e −p(x)dx q(x)ep(x)dx dx + C
(1.18)trong đó C là hằng số tuỳ ý
Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y + 3xy = x đi qua điểm (0, 4)
Ta có p(x) = 3x nên p(x)dx = 3x2/2 Do đó nghiệm tổng quát là
y = e −3x2/2 xe 3x2/2 dx + C
= e −3x2/2
1
Thay x = 0 vày = 4vào đẳng thức trên, ta tìm đượcC = 11
3 và nghiệm riêng cần tìmlà:
Trang 221.4.5 Phương trình Bernoully
Phương trình có dạng
trong đó α là số thực nào đó, được gọi là phương trình Bernoully1
Để giải phương trình này ta đưa về giải phương trình tuyến tính (1.13) đã xét trongmục trước Rõ ràng với α = 0hayα = 1thì (1.19) đã có dạng phương trình tuyến tính.Nếu α = 0 vàα = 1 thì đặt
Nhận xét: Chú ý rằng ta phải xét riêng trường hợp y = 0 trước khi chia hai vế cho
y α để tránh làm mất nghiệm này
Ví dụ: Giải phương trình xy − 4y = x2√
Trang 231.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I 23
1.4.6 Phương trình Darboux
Phương trìnhDarboux2 là phương trình vi phân dạng
trong đó A, B là các hàm thuần nhất bậc m và H là hàm thuần nhất bậc nù
Chú ý rằng nếu n = m − 1 thì phương trình Darboux chính là phương trình thuầnnhất Trong trường hợp tổng quát, ta luôn luôn đưa phương trình Darboux về phươngtrình Bernoully
Thật vậy, đặt y = z.x, ta có
A(1, z) + zB(1, z) x
n+2−m
Đây là phương trình Bernoully của ẩn x = x(z) xem như hàm theo z
Ví dụ: Giải phương trình xdx + ydy + x2(xdy − ydx) = 0
Đây là phương trình Darboux, đặt y = xz ta được
với C là hằng số tuỳ ý
2 J.G.Darboux (1842−1917) là nhà toán học Pháp
Trang 241.4.7 Phương trình Riccati:
Phương trìnhRiccati3 tổng quát là phương trình vi phân dạng
y = p(x)y2+ q(x)y + r(x) (1.22)trong đó p(x), q(x) và r(x) là các hàm liên tục trên khoảng (a, b) nào đó
Nhận xét: Phương trình Riccati không phải bao giờ cũng giải được bằng phép cầuphương (tức là có thể biểu diễn nghiệm dưới dạng hữu hạn các phép lấy tích phâncủa các hàm tường minh nào đó!) Trong vài trường hợp đặc biệt như p(x) ≡ 0 hay
r(x) ≡ 0ta đưa về phương trình tuyến tính hoặc phương trình Bernoully Tuy nhiên tacó kết quả sau cho phép tích phân phương trình Riccati nếu biết một nghiệm nào đócủa nó
Mệnh đề 1.4.1 Nếu biết một nghiệm của phương trình Riccati (1.22) thì có thể đưa nó về phương trình Bernoully.
Chứng minh: Gọi một nghiệm của (1.22) là ˜, tức là
Ví dụ: Giải phương trình y + 2y(y − x) = 1
Đây là phương trình Riccati Dễ thấyy = x là một nghiệm của phương trình đã cho.Bây giờ, đặt
Trang 251.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I 25
BÀI TẬP
1 Giải các phương trình vi phân tách biến:
(a) (xy2+ 4x)dx + (y + x2y)dy = 0
(b) (y2− 6xy)dx + (3xy − 6x2)dy = 0
(c) y(1 + xy)dx − xdy = 0
(d) xy ln ydx + (x2+ y2 y2+ 1)dy = 0
6 Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân tuyến tính sau
(a) y − 4y = x − 2x2
(b) xy + y = e x
Trang 27Chương 2
Phương trình vi phân cấp I chưa giải
ra đối với đạo hàm
Trong chương này ta sẽ khảo sát các phương trình vi phân cấp một dạng tổng quát
2.1.1 F chỉ phụ thuộc vào y
Xét phương trình dạng
Giả sử F (xem như hàm của biến y ) liên tục và có một số hữu hạn các không điểm(chẳng hạn khi F là đa thức) Khi đó mỗi nghiệm của y = y(x)của phương trình (2.2)phải thoả y (x) = k, với k là một không điểm của F
Do đó y(x) = kx + C với C là hằng số tuỳ ý; và ta có
F ( y − C
Trang 28Ngược lại, nếu có đẳng thức (2.3) với một giá trị C nào đó thì k := y − C
x phải lànghiệm của F = 0 Khi đó
y = kx + C, y = k
do đó F (y ) = 0
Nói cách khác, công thức (2.3) cho ta nghiệm tổng quát của phương trình đã cho
Ví dụ: Giải phương trình y 2 − y + 2 = 0
Phương trình này có nghiệm là y − C x 2 − y − C
x + 2 = 0
2.1.2 Dạng có thể giải ra đối với y hay x:
Giả sử (với vài điều kiện nào đó) phương trình (2.1) có thể giải ra được y hay x.Chẳng hạn,
Khi đó, đặt p = y = dy
dx và xem p như tham số, ta được
Trang 292.2 Trường hợp tổng quát −Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange 29
2.1.3 F không phụ thuộc vào y
Ví dụ: Giải phương trình ln y + cos y − x = 0
Tham số hoá y = t, x = ln t + cos t ta có
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
2.2.1 Tham số hoá tổng quát:
Trong phần này ta xét một số phương trình vi phân chưa giải ra đối với đạo hàm
Trang 30nhưng có thể tham số hoá được dưới dạng
x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v) và y = χ(u, v)
sao cho
F [ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)] = 0
Vi phân x và y theo u, v rồi thay vào đẳng thức dy = y dx ta có
Trang 312.2 Trường hợp tổng quát −Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange 31
2.2.2 Phương trình Clairaut
Phương trìnhClairaut là lớp các phương trình vi phân dạng
trong đó, nói chung, f là một hàm phi tuyến
Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát của phương trình này bằng cách đặt p = y Khi đó
y = px + f (p)
Vi phân hai vế đẳng thức này, với chú ý rằng dy = pdx ta được
pdx = pdx + {x + f (p) } dp
hay {x + f (p) } dp = 0
Từ đó ta suy ra dp = 0 hay x + f (p) = 0
Nếu dp = 0 thì p = C, thay vào (2.6) ta được nghiệm tổng quát
và đây là một họ đường thẳng
Nếu x + f (p) = 0, cùng với (2.6), ta thu được một nghiệm cho dưới dạng tham số
Ví dụ: Xét phương trình y = (x − 1)y − y 2
Đây là phương trình Clairaut với f (t) = −t2− t Thay thế y bởi C ta được nghiệmtổng quát là họ đường thẳng
Trang 32-3 3
-3 0 3
Hình 2.1: Nghiệm của phương trình Clairaut với f (t) = −t2− t
2.2.3 Phương trình Lagrange
Phương trình vi phân cấp I mà là tuyến tính đối với x vày dạng
được gọi là phương trình Lagrange1.
Giả sử ϕ(y ) = y , nếu không phương trình đã cho là phương trình Clairaut mà ta đãxét trên đây Cũng tương tự như trường hợp phương trình Clairaut, ta đặt p = y Khiđó phương trình (2.7) trở thành
Trang 332.3 Nghiệm kỳ dị của PTVP cấp I 33
Nhận xét: Chú ý rằng ứng với các giá trị của tham số p = p i (trong đó p i là nghiệmcủa phương trình ϕ(p) − p = 0) ta cũng nhận được các nghiệm của phương trình (2.7).Tuỳ theo từng trường hợp nghiệm này có thể là nghiệm kỳ dị hoặc không
Ví dụ: Giải phương trình y = xy 2 − y
Đặt p = y , khi đó
Các nghiệm ứng với p = 0 và p = 1 lày = 0 và y = x − 1 tương ứng
2.3 Nghiệm kỳ dị của PTVP cấp I
2.3.1 Sự tồn tại nghiệm kỳ dị
Trong chương trước ta đã đề cập đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với PTVP cấp
I dạng giải ra được đối với đạo hàm
Trang 34Ví dụ: Phương trình Clairaut (2.6) với f (t) = −t2 − t có nghiệm kỳ dị là parabol
Định lý 2.3.1 Nếu hàm F (x, y, p) thoả các điều kiện sau:
i) F (x, y, p)liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó trong lân cận của(x0, y0, p0)∈
R 3 (tức là F thuộc lớpC1 trong lân cận điểm này)
ii) F (x0, y0, p0) = 0
iii) ∂F
∂p (x0, y0, p0) = 0
thì phương trình (2.8) có duy nhất một nghiệm y = y(x) lớp C1 trong lân cận của x0
thoả điều kiện ban đầu:
y(x0) = y0 sao cho y (x0) = p0
Chứng minh: Các giả thiết trong định lý trên chính là các giả thiết của định lý hàmẩn, do đó phương trình (2.8) xác định duy nhất hàm p = f (x, y) lớp C1 sao cho
p0 = f (x0, y0) Khi đó ta có phương trình vi phân dạng giải ra được đối với đạo hàm
dy
dx = f (x, y)
trong đó f khả vi liên tục Tính chất này mạnh hơn điều kiện Lipchitz nên theo địnhlý tồn tại và duy nhất nghiệm (cho phương trình đã giải ra đối với đạo hàm), ta thấycó tồn tại duy nhất một nghiệm y = y(x)thoả điều kiện ban đầu y(x0) = y0
2.3.2 Tìm nghiệm kỳ dị theo p −biệt tuyến
Định lý trên cho thấy nghiệm kỳ dị có thể xảy ra khi các điều kiện của định lý khôngthoả mãn Rõ ràng với hàm F = F (x, y, p) khả vi liên tục, nghiệm kỳ dị chỉ có thểxảy ra nếu tại đó
∂F
∂p = 0
Ta gọiM ⊂ R3 là siêu mặt cho bởi phương trìnhF (x, y, p) = 0và giả sửπ : M −→ R2,
π(x, y, p) = (x, y) là phép chiếu tự nhiên theo toạ độ p Khi đó các điểm kỳ dị củaánh xạ π cho bởi hệ phương trình
Trang 352.3 Nghiệm kỳ dị của PTVP cấp I 35Khử p từ hệ phương trình này ta thu được một phương trình dạng
bị vi phạm; đó chính là nghiệm kỳ dị
Ví dụ: Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình y = 2xy − y 2
Ta có biệt tuyến cho bởi
y = 2xp − p2, 2x − 2p = 0
Từ đó biệt tuyến là parabol y = x2 trong mặt phẳng (x, y) Tuy nhiên, y = x2 lạikhông phải là nghiệm của phương trình đã cho, nên phương trình không có nghiệm kỳdị
Ví dụ: Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình y = y 2 − xy +x2
4 , ta xét phương trình theo
C:
y0 = Cx0 + C2+x
2 0
2 hay C2+ x0C + x
2 0
4 = 0
Phương trình này luôn có nghiệm C = − x0
2 , tức là luôn có nghiệm thứ hai đi qua
Trang 36Hình 2.2: Mặt cho bởi phương trình p2− x = 0
2.3.3 Tìm nghiệm kỳ dị theo C −biệt tuyến
Đối với những phương trình mà tích phân tổng quát của nó cho bởi
Chú ý: Nếu hàm Φ trong (2.10) có các đạo hàm riêng cấp I theo x và y bị chặn vàkhông đồng thời bằng không thì C −biệt tuyến là bao hình của họ nghiệm tổng quát(2.10); nói cách khác C −biệt tuyến là nghiệm kỳ dị
Ví dụ: (xem [1]) Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình Lagrange x − y = 4
Trang 372.3 Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I 37
Trang 39Chương 3
Phương trình vi phân cấp cao
Chương này trình bày một số kiến thức tổng quan về phương trình vi phân cấp cao vàlý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính cấp cao
3.1 Phương trình vi phân cấp cao
3.1.1 Các khái niệm:
Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình có dạng
F (x, y, y , y , , y (n)) = 0 (3.1)trong đó F là một hàm xác định (liên tục) trên tập mở nào đó của Rn+2 và nhất thiếtphải có sự tham gia của đạo hàm cấp n của ẩn y (n)
Với một vài giả thiết thích hợp, định lý hàm ẩn cho phép viết phương trình (3.1)dưới dạng sau đây, được gọi là dạng đã giải ra đối với đạo hàm:
y (n) = f (x, y, y , , y (n−1)) (3.2)Dưới dạng này ta có thể đưa việc nghiên cứu một phương trình cấp cao về nghiên cứu(hệ) phương trình vi phân cấp I Thật vậy, bằng cách đưa thêm vào các ẩn mới y1 := y,
Trang 403.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm:
Tương tự như trường hợp phương trình vi phân cấp I, bài toán Cauchy đối với phươngtrình vi phân cấp cao (3.1) đặt ra như sau:
Tìm nghiệm y(x) của phương trình (3.1) thoả điều kiện ban đầu:
y(x0) = y0, y (x0) = y0 , , y (n−1) = y0(n−1) (3.5)trong đó x0 ∈ I ⊂ R và Y0 := (y0, y 0, , y0(n−1))∈ R n cố định, cho trước
Để phát biểu định lý khẳng định sự tồn tại lời giải của bài toán Cauchy ta cần kháiniệm sau:
Cho vector-hàm f (x, y) xác định trên miền G ⊂ R × R n Ta nóif thoả điều kiện Lipschitz trên Gtheo y nếu tồn tại hằng số dươngL(gọi là hằng số Lipschitz) saocho:
||f(x, y1)− f(x, y2)|| ≤ L||y1− y2||, với mọi (x, y1), (x, y2)∈ G
Ta lưu ý rằng điều kiện Lipschitz không phải là hệ quả của tính liên tục Chẳng hạnhàm f (x, y) = √ y liên tục nhưng không thoả điều kiện trên
ù
Định lý 3.1.1 (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho PTVP cấp cao) Giả sử hàm f (x, y) trong (3.4) liên tục và thoả điều kiện Lipschitz theo y trên miền
vector-G = {(x, y) ∈ R × R n / |x − x0| ≤ a, ||y − y0|| ≤ b}
Khi đó bài toán Cauchy với điều kiện ban đầu (3.5) có một nghiệm duy nhất trên đoạn
I := [x0 − h, x0 + h], với h := min(a, M b ) và M := max (x,y)∈G ||f(x, y)||.
Chứng minh: Tương tự như trong trường hợp PTVP cấp I, chỉ cần thay giá trị tuyệt
Nhận xét: Ta cũng định nghĩa các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp caotương tự như trong chương I Chẳng hạn, nghiệm kỳ dị của (3.2) là nghiệm mà tạimỗi điểm của nó tính chất duy nhất nghiệm bị vi phạm Ta gọi nghiệm tổng quát
của (3.2) là họ các hàmϕ(x, C1, , C n) phụ thuộc (một cách liên tục) vào n hằng sốtuỳ ý C1, , C n Với mỗi bộ giá trị của n tham số này ta nhận được một nghiệm riêng của phương trình
Ví dụ: Nghiệm tổng quát của phương trình y = y là y(x) = C1e x + C2e −x Nó phụthuộc vào hai hằng số tuỳ ý C1 và C2
3.1.3 Một số phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầu
... caoChương trình bày số ki? ?n thức tổng quan phương trình vi ph? ?n cấp cao vàlý thuyết tổng quát phương trình vi ph? ?n tuy? ?n tính cấp cao
3.1 Phương trình vi ph? ?n cấp cao
3.1.1... class="page_container" data-page="40">
3.1.2 Sự t? ?n nghiệm:
Tương tự trường hợp phương trình vi ph? ?n cấp I, t? ?n Cauchy phươngtrình vi ph? ?n cấp cao (3.1) đặt sau:
Tìm nghiệm y(x)... cấp I, c? ?n thay giá trị tuyệt
Nh? ?n xét: Ta định nghĩa loại nghiệm phương trình vi ph? ?n cấp caotương tự chương I Chẳng h? ?n, nghiệm kỳ dị (3.2) nghiệm mà tạimỗi điểm tính chất nghiệm
