Phương pháp hàm lyapunov đối với hệ phương trình vi phân cấp một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Phương Anh PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Phương Anh PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trần Văn Bằng Hà Nội – Năm 2016 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Phương Anh i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin thu trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Phương Anh ii Mục lục Lời mở đầu Danh mục kí hiệu chữ viết tắt Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ phương trình vi phân cấp 1.2 Ổn định theo nghĩa Lyapunov 1.3 Ổn định mũ 11 1.4 Hàm liên tục Lipschitz địa phương 12 1.5 Hàm mũ ma trận 13 Phương pháp hàm Lyapunov hệ phương trình vi phân cấp 17 2.1 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ chiều 17 2.1.1 Hệ trắc địa 17 2.1.2 Ổn định Lyapunov nghiệm 18 2.1.3 Ổn định tiệm cận nghiệm 21 Lý thuyết tổng quát cho hệ ô-tô-nôm 22 2.2 Tài liệu tham khảo 40 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Anh Lời mở đầu Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân, nhiều nhà khoa học khắp giới nghiên cứu Các toán ổn định hệ phương trình vi phân có ý nghĩa mặt lý thuyết lẫn thực tiễn, có nhiều ứng dụng quan trọng giải toán xuất phát từ thực tế, đòi hỏi phải dùng lý thuyết công cụ toán học đại nhiều lĩnh vực (Giải tích, Giải tích hàm, lý thuyết ma trận, .) Một phương pháp nghiên cứu ổn định quan trọng phương pháp hàm Lyapunov Khóa luận "Phương pháp hàm Lyapunov hệ phương trình vi phân cấp một" tìm hiểu phương pháp hàm Lyapunov vấn đề liên quan Khóa luận gồm hai chương: Chương "Kiến thức chuẩn bị" trình bày kiến thức cần thiết để sử dụng chương Chương "Phương pháp hàm Lyapunov hệ phương trình vi phân cấp một" Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS Trần Văn Bằng tận tình hướng dẫn tác giả đọc tài liệu tập dượt nghiên cứu Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Giải tích, tạo điều kiện thuận Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Anh lợi cho tác giả trình học Đại học thực khóa luận Do thời gian thực khóa luận không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm khóa luận không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01/05/2016 Tác giả khóa luận Nguyễn Phương Anh Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Anh Danh mục kí hiệu chữ viết tắt R tập số thực Rn không gian Euclid n chiều x∈M x thuộc tập M x∈ /M x không thuộc tập M ∀ x ∈ M với x thuộc tập M ∃x tồn x M ∩N giao hai tập hợp M N M ∪N hợp hai tập hợp M N M \N hiệu hai tập hợp M N M ⊂N M tập thực N M ⊆N M tập N [x1 , x2 ] đoạn thẳng nối hai điểm x1 x2 x chuẩn x |x| giá trị tuyệt đối x AT ma trận chuyển vị ma trận A Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ phương trình vi phân cấp Định nghĩa 1.1 Hệ n phương trình vi phân cấp dạng chuẩn tắc hệ phương trình:  dx1    = f1 (t, x1 , x2 , , xn )   dt      dx2 = f2 (t, x1 , x2 , , xn ) dt           dxn = fn (t, x1 , x2 , , xn ) dt (1.1) Trong đó, t gọi biến độc lập, x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), , xn = xn (t) hàm phải tìm Các hàm fi (i = 1, 2, , n) xác định miền G dx1 dx2 dxn không gian n + chiều , , , đạo hàm hàm dt dt dt cần tìm Định nghĩa 1.2 Nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1) tập hợp n hàm khả vi x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), , xn = xn (t) khoảng (a, b) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Anh cho chúng thỏa mãn tất phương trình hệ (1.1) Bài toán Cauchy Cho hệ phương trình vi phân (1.1) Yêu cầu tìm nghiệm x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), , xn = xn (t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x1 (t0 ) = x01 , x2 (t0 ) = x02 , , xn (t0 ) = x0n , t0 , x01 , x02 , , x0n giá trị cho trước tùy ý Định lý 1.1 Định lý tồn nghiệm Giả sử Các hàm f1 , f2 , , fn liên tục miền G = |t − t0 | a; x1 − x01 b; x2 − x02 b; ; xn − x0n b , giới nội |fi (t, x1 , x2 , , xn )| ≤ M (i = 1, 2, , n); Các hàm f1 , f2 , , fn thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x1 , x2 , , xn miền G với số Lipschitz L>0 Khi tồn nghiệm x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xn (t)) hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x1 (t0 ) = x01 , x2 (t0 ) = x02 , , xn (t0 ) = x0n Nghiệm xác định khoảng đóng [t0 − h, t0 + h] với h = a, Mb Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Anh Cách tiếp cận chung phương pháp Lyapunov điều chỉnh cho tính không ổn định hệ n phương trình Định lý 2.6 Cho x(t) = 0, với t t0 nghiệm hệ ô-tô-nôm x˙ = X(x), tức X(0) = Nếu tồn hàm U (x) thỏa mãn lân cận x k: U(x) đạo hàm riêng liên tục; U (0) = 0; U˙ (x) xác định dương; Trong lân cận gốc, tồn điểm x mà U(x) > Khi nghiệm (và tất nghiệm) không ổn định Chứng minh Với δ > 0, < δ < k tồn xδ cho < xδ < δ U (xδ ) > Giả sử x(δ, t), t t0 , nghiệm thỏa mãn x(δ, t0 ) = xδ Quỹ đạo vào gốc t tiến đến vô cùng, U(0) = U˙ (x) > 0, x = Từ U˙ xác định dương liên tục, từ quỹ đạo bị chặn xa từ gốc tồn số m > cho U˙ { x(δ, t)} với t m>0 t0 Vì vậy, x(δ, t) 27 k Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Anh Do đó, t U˙ { x(δ, τ )} dτ U { x(δ, t)} − U { x(δ, t0 )} = m(t − t0 ) t0 U(x) liên tục bị chặn x k, bên phải không bị chặn Do x(δ, t) miền x k miền qũy đạo bị chặn x = k Do đó, cho ε , < ε < k, cho δ nhỏ tùy ý, có nghiệm x(δ, t) với x(δ, t0 ) < δ x(δ, t) > ε cho thời điểm t Do nghiệm không ổn định Đặc biệt, U(x) thỏa mãn hai giá trị dương giá trị âm với x = Cho hệ ô-tô-nôm phi tuyến n chiều x˙ = Ax + h(x) (2.4) với h(0) = 0, hệ tuyến tính xấp xỉ gần gốc x˙ = Ax (2.5) Giả sử nghiệm hệ tuyến tính hóa (2.5) ổn định tiệm cận Ta có Re{λi } < với i = 1, 2, , n, λi giá trị riêng A Chúng ta sử dụng hàm 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Anh Lyapunov cho (2.4) dạng V (x) = xT Kx, (2.6) ma trận K xác định để V xác định dương V˙ xác định âm Để V˙ xác định âm cho hệ phi tuyến (2.4), cần V˙ xác định âm cho hệ tuyến tính (2.5) Ta có V˙ (x) = xT (AT K + KA)x (2.7) AT K + KA = −I (2.8) đặt (2.6) xác định âm n V˙ (x) = − x2i i=1 T Để đạt điều đó, xét tích eA t eAt Chúng ta có d T T T { eA t eAt } = AT eA t eAt + eA t eAt A dt (2.9) x˙ = Ax ổn định tiệm cận, ta có eA t ceγt , c > 0, γ < Khi giá trị riêng AT tương tự A, chọn c 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học mà eA t eA T Nguyễn Phương Anh ceγt , với C > 0,γ < Điều đảm bảo hội t tụ tích phân bên Từ (2.8), ∞ ∞ d T { eA t eAt } dt = AT ( dt ∞ T T eA t eAt dt) + ( eA t eAt dt)A [eA t eAt ]∞ = −I so sánh kết với (2.7) ta thấy T ∞ T eA t eAt dt K= (2.10) thỏa mãn Ma trận K đối xứng Chú ý (2.8) (2.10) giữ giá trị riêng A âm, tức x˙ = Ax ổn định tiệm cận Cuối ta V xác định dương Từ (2.6) (2.10), ∞ V (x) = xT Kx = ∞ ∞ T T 0 B(t)T B(t)dt (eAt x) (eAt x)dt = (xT eA t )(eAt x)dt = với ma trận B(t) = eAt x Khi B(t)T B(t) 0 cho t, V(x) xác đinh dương Do thu hàm Lyapunov cho hệ tuyến tính hóa (2.5) Định lý 2.7 Nếu hệ n phương trình x˙ = Ax + h(x), với A số, quy, Nghiệm x˙ = Ax ổn định tiệm cận; h(x) x x →0 h(0) = lim =0 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học x(t) = 0, t Nguyễn Phương Anh t0 với t0 nghiệm ổn định tiệm cận x˙ = Ax + h(x) (2.11) Chứng minh Chúng ta phải chứng tỏ có lân cận gốc V (x) định nghĩa (2.6) (2.10) hàm Lyapunov mạnh cho (2.11) Hàm V cho V (x) = xT Kx, (2.12) với ∞ T eA t eAt dt K= xác đinh dương điều kiện (1) thỏa mãn Ngoài cho (2.11), V˙ (x) = x˙ T Kx+xT K x˙ = xT (AT K+KA)x+hT Kx+xT Kh = −xT x+2hT (x)Kx (2.13) (2.8) tính đối xứng K Ta phải biểu thị lân cận điểm gốc (2.13) Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwars 2hT (x)Kx h(x) K x Từ (2), cho ε > 0, tồn δ > cho x < δ ⇒ h(x) < ε x , 31 (2.14) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Anh từ (2.14) ta có 2hT (x)Kx 2ε K x (2.15) Cho ε chọn cho ε< , K từ (2.15), ta có x < δ ⇒ 2hT (x)Kx < x 2 = (x21 + x22 + + x2n ) Do đó, V˙ (x) = −xT x + 2hT (x)Kx V˙ (x) cho (2.11) xác định âm với x < δ Bởi Định lý 2.5, nghiệm ổn định tiệm cận Định lý tương tự xây dựng liên quan đến không ổn định Xét hệ quy x˙ = Ax + h(x), h(0) = 0, (2.16) với A số Cho C ma trận không suy biến, thay đổi biến số để u viết x = Cu phương trình ban đầu trở thành u˙ = C −1 ACu + h(Cu) (2.17) Cho C chọn để đưa A đến dạng tắc Giá trị riêng không thay đổi, nên với x(t) nghiệm (2.16) ổn định, tương ứng 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Anh nghiệm u(t) (2.17) ổn định Nghiệm (2.16) tương ứng với (2.17) ta kiểm tra tính ổn định (2.17) vị trí (2.16) Cũng áp dụng cho cặp tuyến tính hóa x˙ = Ax, u˙ = C −1 ACu (2.18) Để đơn giản, giả sử giá trị riêng A khác biệt có số chúng có phần thực dương Thì tất nghiệm (2.18) không ổn định Có trường hợp 1) Các giá trị riêng A thực, khác nhau, với số chúng dương Ta biết C thực chọn cho C −1 AC = D, với D đường chéo với phần tử giá trị riêng A Thì (2.17) trở thành u˙ = Du + h(Cu) 2) Khi cá giá trị riêng A nhau, tất thực, số chúng có phần thực dương Ta biết ma trận thực không suy biến G chọn cho G−1 AG = D∗ , ¯ tọa độ với D∗ khối chéo vị trí cặp nghiệm phức λ, λ đường chéo mà phát biểu phép biến đổi kiểu (2.16) 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Anh (2.18), khối chéo có dạng     D∗ =            α −β β α  với λ = α + iβ Lập luận dịnh lý sau không thay đổi trường hợp Định lý 2.8 Nếu A số, Các giá trị riêng A khác nhau, khác 0, số chúng có phần thực dương lim x →0 nghiệm x(t) = 0, t h(x = 0, x (2.19) t0 , cho hệ quy x˙ = Ax + h(x) không ổn định Chứng minh Ta thực chứng minh cho trường hợp tất giá 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Anh trị riêng A thực Quy (2.19) đến dạng u˙ = Du + h(Cu) C không suy biến D chéo với phần tử giá trị riêng A, số chúng dương Như vậy, cần thiết để xác định ổn định u(t) = 0, t n T −1 U (u) = u D u = i=1 t0 Viết u2i λi Nếu λk > 0, U(u) > uk = u1 = u2 = = uk−1 = uk+1 = = un = Vì (1), (2), (4) Định lý 2.6 thỏa mãn Hơn nữa, cho (2.19), U˙ (u) = u˙ T D−1 u = uT DD−1 u + u˙ T D−1 Du + hT D−1 u + uT D−1 h (2.20) = 2(u21 + u22 + + u2n ) + 2uT D−1 h(Cu) từ DD− = D− 1D = I D đối xứng Từ Định lý 2.6 đòi hỏi U˙ xác định dương lân cận gốc Ta thấy số hạng thứ hai (2.20) bé thứ lân cận gốc Cho ε > 0, tồn δ > cho C u < δ ⇒ Cu < δ ⇒ h(Cu) < ε Cu , 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Anh cách khác u < δ ⇒ h(Cu) < ε C C u Do đó, 2uT D−1 h(Cu) uT D−1 2ε D−1 h(Cu) C u Nếu ta chọn ε< D−1 C 2uT D−1 h(Cu) < u , với u đóng đủ đến gốc Từ (2.20) thấy U˙ (u) dương xác định lân cận gốc, yêu cầu Định lý 2.4 Do nghiệm không không ổn định Ví dụ 2.2.1 Xét tính ổn định nghiệm tầm thường hệ    x˙ = −(x − 2y)(1 − x2 − 3y )   y˙ = −(y + x)(1 − x2 − 3y ) Giải Ta chọn hàm V (x, y) = x2 + 2y Ta thấy: V (x, y) V(0,0) = 0; 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Anh ∂v dx ∂v dy V˙ (x, y) = + ∂x dt ∂y dt = 2x(2y − x)(1 − x2 − 3y ) − y(x + y)(1 − x2 − 3y ) = −2(1 − x2 − 3y )(x2 + 2y ); V˙ (x, y) 0với x,y đủ bé Do nghiệm tầm thường (x, y) = (0, 0) ổn định Ví dụ 2.2.2 Xét ổn định nghiệm (0, 0) hệ    x˙ = −y − x3   y˙ = x − y Giải Hàm V (x, y) = x2 + y thỏa mãn điều kiện: V (x, y) 0, V (0, 0) = 0; V˙ = 2x(−y − x3 ) + 2y(x − y ) = −2(x4 + y ) lân cận gốc tọa độ V˙ β < Nên nghiệm x = 0, y = hệ ổn định tiệm cận Ví dụ 2.2.3 Nghiên cứu ổn định điểm dừng (x, y) = (0, 0) hệ    x˙ = y + x5   y˙ = x3 + y 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Anh Giải Ta chọn hàm V (x, y) = x4 − y thỏa mãn V(x,y) > với |x| > |y|; V˙ (x, y) = 4x3 (y + x5 ) − 4y (x3 + y ) = 4(x8 − y ) > với |x| > |y| Vậy nghiệm (0, 0) không ổn định Ví dụ 2.2.4 Chứng minh nghiệm không hệ sau ổn định ổn định tiệm cận    x˙ = −x1 + x22 + x23    x˙ = x1 − 2x2 + x21      x˙ = x + 2x − 3x + x x 3 Giải Ta có ma trận  −1 0   A =  −2  −3      T h(x) = x22 + x23 , x21 , x2 x3 Giá trị riêng A λ1 = −1, λ2 = −2, λ3 = −3, nghiệm không x˙ = Ax ổn định ổn định tiệm cận Cũng vậy, h(x) = x22 + x23 + x21 + |x2 x3 | , 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Anh h(x) x22 + x23 + x21 + |x2 x3 | = x |x1 | + |x2 | + |x3 | trì đến với x Vậy nghiệm không hệ ổn định ổn định tiệm cận Ví dụ 2.2.5 Nghiên cứu ổn định nghiệm không hệ dxj = dt n aij (t)xj j=1 aij (t) = −aji (t), i#j, aij Giải Ta xét hàm n x2i V = i=1 thỏa mãn: V 0, V (0, , 0) = 0; V˙ = n xi i=1 dxj dt n =2 aij (t)xi xj = i=1 Vậy nghiệm hệ ổn định 39 aij (t)x2i Kết luận Khóa luận nghiên cứu phương pháp hàm Lyapunov hệ phương trình vi phân cấp Đó phương pháp nghiên cứu ổn định quan trọng, có nhiều ứng dụng thực tiễn quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Cụ thể, luận văn thực công việc sau: i) Giới thiệu hệ phương trình vi phân lý thuyết ổn định, kiến thức cần thiết để sử dụng cho chương ii) Trình bày phương pháp hàm Lyapunov hệ phương trình vi phân hai chiều Từ dẫn đến lý thuyết tổng quát cho hệ ô-tô-nôm iii) Trình bày vài ví dụ áp dụng phương pháp hàm Lyapunov hệ phương trình vi phân cấp Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Trân trọng cảm ơn Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2013 40 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Thu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2010 [2] Cung Thế Anh, Cơ sở lý thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2015 [3] D W Jordan and P Smith, Nonlinear Ordinary Differential Equations, Oxford University, 2007 41 ... hàm, lý thuyết ma trận, .) Một phương pháp nghiên cứu ổn định quan trọng phương pháp hàm Lyapunov Khóa luận "Phương pháp hàm Lyapunov hệ phương trình vi phân cấp một" tìm hiểu phương pháp hàm. .. 11 1.4 Hàm liên tục Lipschitz địa phương 12 1.5 Hàm mũ ma trận 13 Phương pháp hàm Lyapunov hệ phương trình vi phân cấp 17 2.1 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ chiều... CIC −1 = I 16 Chương Phương pháp hàm Lyapunov hệ phương trình vi phân cấp 2.1 2.1.1 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ chiều Hệ trắc địa Bài toán Khảo sát quỹ đạo chuyển động hệ   x˙ = −x3  y˙