giải tích 1 lê xuân đại 6 phương trình vi phân cap mot sinhvienzone com

C o e on Bài giảng điện tử nZ TS Lê Xuân Đại hV ie Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn in m PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 C o Giới thiệu hV ie nZ on e Phương trình vi phân đóng vai trị quan trọng việc ứng dụng tốn học lĩnh vực khoa học khác nhiều trình thực tế mơ tả phương trình vi phân cách dễ dàng đầy đủ Tuy nhiên, để hiểu ứng dụng phương trình vi phân, cần nắm vững kiến thức khoa học tự nhiên (vật lý, hóa học, sinh học,v.v), kỹ thuật, v.v in m Phương trình vi phân TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 C o Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp hV ie nZ on e Định nghĩa Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp f (x, y , y ) = biểu thức tổng quát tập hợp vô hạn hàm, thỏa mãn phương trình vi phân Nó xác định dạng tường minh y = F (x, C ) dạng ẩn Φ(x, y , C ) = 0, C số tùy ý in m Phương trình vi phân TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 C o Bài toán thực tế e Bài toán làm lạnh vật thể hV ie nZ on Ví dụ Nhiệt độ bánh mỳ lò giảm từ 100o C xuống 60o C vịng 20min Nhiệt độ mơi trường xung quanh 25o C Hỏi sau phút từ lúc lấy bánh mỳ ra, nhiệt độ bánh mỳ hạ xuống cịn 30o C ? in m Phương trình vi phân tách biến TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 ie nZ on e C o Bài tốn thực tế hV in m Phương trình vi phân tách biến TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 C o Bài toán thực tế Tốc độ làm lạnh vật thể giảm nhiệt độ T đơn vị thời gian τ biểu diễn dT đạo hàm dτ Theo định luật Newton, tốc độ làm lạnh vật thể tỉ lệ với hiệu số nhiệt độ vật thể T mơi trường xung quanh t Phương trình vi phân q trình làm lạnh bánh mỳ hV ie nZ on e in m Phương trình vi phân tách biến dT = k(T − t), dτ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) k-hệ số tỉ lệ https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 Bài tốn thực tế C o Phương trình vi phân tách biến e Giải phương trình vi phân on nZ hV ie ⇒ dT dT = kd τ ⇔ = kd τ T −t T − 25 dT = k d τ ⇒ ln |T −25| = kτ +ln C T − 25 ⇒ T − 25 = Ce kτ in Hằng số C tìm dựa vào điều kiện τ = 0min T = 100o C Khi k.0 m ⇒ C = 75 − 25 = Ce https://fb.com/sinhvienzonevn 00 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 C o Bài toán thực tế hV ie nZ on e Hệ số tỉ lệ k tìm dựa vào điều kiện τ = 20min T = 60o C Khi 20 k.20 k 60 − 25 = 75e ⇒e = 15 τ 20 Vậy T = 75 + 25 Do T = 30o C 15 τ 20 −20 ln 15 + 25 ⇒ τ = ≈ 30 = 75 15 ln − ln 15 71min in m Phương trình vi phân tách biến TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 on e Định nghĩa Phương trình vi phân có dạng C o Định nghĩa Phương trình vi phân tách biến P(x)dx + Q(y )dy = nZ (1) ie gọi phương trình vi phân tách biến hV Nghiệm tổng quát phương trình P(x)dx + in m Phương trình vi phân tách biến TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Q(y )dy = C https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 / 61 C o Ví dụ nZ on e Ví dụ Tìm nghiệm tổng quát phương trình xdx + (y + 1)dy = Nghiệm tổng quát phương trình cho ie x2 y2 (y + 1)dy = C ⇒ + +y =C 2 hV xdx + in m Phương trình vi phân tách biến TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 10 / 61 e C o Định nghĩa Phương trình vi phân tồn phần nZ on Định nghĩa Phương trình vi phân có dạng P(x, y )dx + Q(x, y )dy = 0, (4) hV ie ∂Q ∂P = , gọi phương trình vi ∂x ∂y phân tồn phần in m Phương trình vi phân tồn phần TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 47 / 61 C o Định nghĩa e Nghiệm tổng quát vi phân toàn phần x u(x, y ) = y y x Q(x, y )dy + ie u(x, y ) = y0 nZ hay Q(x0, y )dy = C , on P(x, y )dx + x0 P(x, y0)dx = C , x0 hV y0 (x0, y0) điểm tùy ý mà P(x, y ), Q(x, y ) liên tục in m Phương trình vi phân tồn phần TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 48 / 61 C o Ví dụ on e Ví dụ Giải phương trình (x + y − 1)dx + (e y + x)dy = hV x ie nZ Ta có P(x, y ) = x + y − 1, Q(x, y ) = e y + x Qx = = Py Phương trình cho phương trình vi phân tồn phần Nghiệm tìm theo cơng thức y P(x, y )dx + x0 in m Phương trình vi phân tồn phần TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Q(x0, y )dy = C y0 https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 49 / 61 C o Ví dụ Chọn x0 = 0, y0 = ta y e x e y dy = C on (x + y − 1)dx + 0 x hV ie nZ ⇒ x + xy − x + e y |y0 = C ⇒ x + xy − x + e y − = C ⇒ x + xy − x + e y = C + = C1 in m Phương trình vi phân tồn phần TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 50 / 61 ie nZ on e C o Bài toán thực tế hV Tìm phương trình đường cong qua điểm (1, 1) thỏa điều kiện y0 √ xy = 2y https://fb.com/sinhvienzonevn in m Phương trình vi phân Bernouli TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 51 / 61 C o Bài toán thực tế y − x dy dx xy = , 2y y (1) = on √ e Giải phương trình vi phân dy − y = 2x − y dx x Nghiệm tổng quát x − y (x − C )2 = Với điều kiện y (1) = 1, ta C = ∨ C = Vậy phương trình đường cong cần tìm xy = x − y (x − 2)2 = hV ie nZ ⇒ in m Phương trình vi phân Bernouli TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 52 / 61 on e Định nghĩa Phương trình vi phân có dạng C o Định nghĩa Phương trình vi phân Bernouli (5) nZ y + P(x)y = Q(x)y α , α = 0, α = ie gọi phương trình vi phân Bernouli hV Đặt z = yyα = y 1−α Phương trình (5) trở thành phương trình tuyến tính cấp z + (1 − α)P(x).z = (1 − α)Q(x) in m Phương trình vi phân Bernouli TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 53 / 61 C o Ví dụ Ví dụ y = x 2y x e Giải phương trình y + ie nZ on Đặt z = yy4 = y −3 Phương trình cho trở thành phương trình tuyến tính cấp z − z = −3x x x dx hV ⇒z =e e − x3 dx (−3x 2)dx + C ⇒ z = x 3(−3 ln |x| + C ) ⇒ y = √ x −3 ln x + C https://fb.com/sinhvienzonevn in m Phương trình vi phân Bernouli TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 54 / 61 hV ie x 2(y + 1)dx + (x − 1)(y − 1)dy = ĐS ln |x − 1| + y − ln |y + 1| = C (xy − x)dx + (xy + x − y − 1)dy = ĐS x + ln |x − 1| + y + ln |y − 1| = C nZ on e C o Phương trình vi phân tách biến Giải phương trình vi phân tách biến in m Bài tập TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 55 / 61 C o Phương trình vi phân tuyến tính cấp Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp e on nZ ie y = y cot x + sin x (x + 1)y + 4xy = (1 − x)(y + y ) = e −x , y (2) = y + y = , y (1) = x x √ (x + 3)y = arctan x.y + x + 4x y 2y − = x y 3x y − 3y = 4ehttps://fb.com/sinhvienzonevn cos 5x hV in m Bài tập TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 56 / 61 C o Phương trình vi phân tuyến tính cấp hV nZ y − 4y = (8x − 12x + 10x − 3)e 4x 3y y = + 2e 2x x x 3y sin x y + = x x3 ie on e Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp in m Bài tập TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 57 / 61 C o Phương trình vi phân đẳng cấp cấp hV nZ 2(x + y )dy + (3x + 3y − 1)dx = 0; y (0) = (x − 2y + 3)dy + (2x + y − 1)dx = (x − y + 4)dy + (x + y − 2)dx = ie on e Giải phương trình vi phân đẳng cấp cấp in m Bài tập TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 58 / 61 nZ (e x + y + sin y )dx + (e y + x + x cos y )dy = ĐS e x + xy + x sin y + e y = C hV ie on e C o Phương trình vi phân tồn phần Giải phương trình vi phân tồn phần in m Bài tập TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 59 / 61 on e C o Phương trình vi phân Bernouli Giải phương trình vi phân Bernouli nZ hV ie √ y 2xy √ arctan x y − = + x2 1+x in m Bài tập TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 60 / 61 C o e on hV ie nZ THANK YOU FOR ATTENTION in m Kết thúc TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2013 61 / 61 ... Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2 013 36 / 61 C o Ví dụ on e Phương trình vi phân có dạng a1x + b1y + c1 y =f a2x + b2y + c2 nZ a1 b1... https://fb .com/ sinhvienzonevn M hV ie v= in m Phương trình vi phân tuyến tính cấp TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2 013 17 / 61 Định nghĩa C o Phương trình vi phân tuyến... phương trình đẳng cấp in m Phương trình vi phân đẳng cấp cấp TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2 013 38 / 61 Ví dụ C o Phương trình vi phân