2.1.1 Hệ trắc địa
Bài toán. Khảo sát quỹ đạo chuyển động của hệ
˙
x = −x3
˙
y = −y3.
Hê này có điểm cân bằng tại gốc. Xét họ đường tròn V(x, y) = x2 + y2 = α với 0 < α < ∞ mà có tâm ở gốc và lấp đầy mặt phẳng. Xét bất kỳ quỹ đạo riêng P, tương ứng với nghiệm x(t), y(t). Trên quỹ đạo này V(x,y) = V(x(t),y(t)), nên
dV
dt = ∂V
dxx˙ + ∂V
dy y˙ = 2x(−x3) + 2y(−y3) =−2x4 −2y4.
Trừ điểm gốc, (dV /dt) < 0 trên mọi quỹ đạo P. Nên V là giảm thực sự
dọc theo P. Họ các đường cong V(x, y) = x2 + y2 = α như trong bài toán trên được gọi là một hệ trắc địa (topographic system).
Ta cần xác đinh một lớp hệ trắc địa tổng quát mà có cấu trúc tương tự như họ đường tròn ở bài toán trên. Giả sử V(x,y) = α, α > 0 là một họ các đường cong đóng, bao quanh điểm gốc, hội tụ đến điểm gốc (liên tục) khi α →0 .
Định nghĩa 2.1. Trong lân cận liên thông N của gốc. Giả sử V(x,y) thỏa mãn
1. V(x,y) là liên tục,
∂V
∂x,∂V
∂y là liên tục, có thể trừ ra tại điểm gốc.
2. V(0,0) = 0 và V(x,y) > 0 trong N.
3. Tồn tại giỏ trị à > 0 sao cho với mọi giỏ trị của tham số α trong khoảng 0 > α < à, phương trỡnh V(x,y) = α với (x, y) ∈ N xỏc định duy nhất một đường cong đơn đóng Tα trong N bao quanh gốc. Khi đú họ cỏc đường cong V(x,y) = α, 0 < α < à được gọi là hệ trắc địa trong Nà, trong đú Nà là lõn cận liờn thụng của gốc xỏc định bởi V(x, y) < à, với Nà ⊂ N.
2.1.2 Ổn định Lyapunov của nghiệm 0 Xét hệ ô-tô-nôm có dạng
˙
x = X(x, y)
˙
y = Y(x, y)
(2.1)
với điểm cân bằng ở gốc: X(0,0) = Y(0,0) = 0. Ta định nghĩa hàm số V˙ (x, y) có dấu tại điểm P được xác định sao cho quỹ đạo của hệ (2.1) chuyển động qua P cắt đường cong trắc địa hướng vào trong nếu α giảm và hướng ra ngoài nếu α tăng. Ký hiệu T là đường cong trắc địa và P có quỹ đạo chuyển động qua điểm P tùy ý. Giả sử nghiệm theo thời gian của (2.1) tương ứng với P là
x = x(t) y = y(t).
Tốc độ biến đổi theo thời gian của V(x(t),y(t)) dọc theo P tại điểm P xác định bởi
dV(x(t), y(t))
dt = ˙x∂V
∂x + ˙y∂V
∂y = X∂V
∂x +Y ∂V
∂y . Ta có
• Nếu V˙ (x, y) > 0 ở điểm P, P hướng ra ngoài T;
• Nếu V˙ (x, y) < 0 ở điểm P, P hướng vào trong T;
• Nếu V˙ (x, y) = 0 ở điểm P, P tiếp xúc với T. Chúng ta gọi V(x,y) là hàm Lyapunov cho hệ (2.1).
Định lý 2.1. Cho Tα là đường cong trắc địa trong Nà, xỏc định bởi V(x, y) = α < à, và giả sử rằng V˙ (x, y) 60 trong Nà.
Cho H là nửa quỹ đạo bắt đầu từ điểm P ở trên, hoặc ở bên trong Tα. Khi đó H không bao giờ thoát khỏi vùng này.
Chứng minh. Cho B là điểm bờn ngoài bất kỳ đến Tα. Từ đú α < à, tồn tại α1 với α < α1 < à, sao cho đường cong trắc địa Tα1 nằm giữa Tα và
điểm B. Để đạt được đến B, điểm P phải đi ra ngoài Tα1, trái vời giả thiết V˙(x, y) 6 0. Vậy H không bao giờ thoát khỏi Tα.
Định lý 2.2. Cho V(x,y) thỏa mãn các điều kiện của Định nghĩa 2.1, và cho hệ
˙
x = X(x, y)
˙
y = Y(x, y)
chớnh quy trong Nà, cú điểm cõn bằng tại gốc.
Giả sử rằng V˙ (x, y) 60 trong miền Nà trừ gốc.
Khi đó nghiệm 0 là ổn định theo nghĩa Lyapunov.
Chứng minh. Trờn mặt phẳng Nà, gọi Cε là đường trũn, tõm là gốc, bỏn kính là ε và bao bọc miền không có điểm cân bằng nào trừ gốc, T là đường cong trắc địa nằm trongCε, và Cδ là đường tròn bất kỳ nằm trong T với bán kính δ. P là bất kỳ điểm nằm trong Cδ và H là nửa quỹ đạo bắt đầu từ P ứng với thời điểm t0. Do V˙(x, y) 6 0 trong Nà nờn H không thể thoát khỏi T và do đó H không thể đạt được tới đường tròn Cε. Cho nghiệm tương ứng với nửa quỹ đạo H là x(t), y(t) , với t > t0. Cho bất kỳ ε > 0, tồn tại δ >0 sao cho nếu
k(x(t0), y(t0)k< δ
thì
k(x(t), y(t))k< ε
với t >t0. Do đó hệ trên thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa ổn định Lyapunov. Ngoài ra, δ không phụ thuộc vào t0 nên nghiệm 0 là ổn định đều.
Ví dụ 2.1.1. Xét tính ổn định nghiệm x = 0, y = 0 của hệ
˙
x = −xy4
˙
y = yx4 . Ta lấy hàm V(x, y) = x4 +y4 thỏa mãn:
1. V(x, y) = x4 +y4 > 0, V(0,0) = 0;
2. V˙ (x, y) = 4x3(−xy4) + 4y3(yx4) = 0.
Do đó nghiệm x = 0, y = 0 là ổn định.
2.1.3 Ổn định tiệm cận của nghiệm 0
Ổn định tiệm cận của nghiệm 0 yêu cầu nó phải là ổn định Lyapunov và trong mặt phẳng chuyển động, tất cả các nửa quỹ đạo bắt đầu tại điểm gần với gốc ở thời điểm t0 thì sẽ gần với gốc khi t→ ∞.
Định lý 2.3. Cho V(x,y) thỏa mãn điều kiện của Định nghĩa 2.1, và trong lõn cận Nà của định nghĩa, cho hệ
˙
x = X(x, y)
˙
y = Y(x, y)
là chính quy và cú điểm cõn bằng tại gốc. Giả sử rằng V˙(x, y) < 0 trong miền Nà trừ điểm gốc. Khi đó nghiệm 0 là ổn định đều và ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Nghiệm 0 là ổn định đều từ Định lý 2.2. Ta chứng minh nghiệm 0 là ổn định tiệm cận.
Cho điểm P bất kỳ nằm trong Nà, T là đường cong trắc địa đi qua P, H là nửa quỹ đạo bắt đầu từ P. Đường T cùng với phần trong của nó là miền đóng nên H không thể là đường cong đóng. Vì thế tất cả nửa quỹ đạo từ Nà đều tiến về gốc, nờn nghiệm 0 ổn định tiệm cận.
Hàm Lyapunov đáp ứng điều kiện V˙ (x, y) < 0 cho hệ và do đó xác định ổn định tiệm cận được gọi là hàm Lyapunov mạnh.