phương trình và bất phương trình vô tỷ

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶLoại 1. Phương pháp lũy thừaA.Nội dung phương phápPhần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ - phương pháp lũy thừa. Sau đây là các quy tắc cấn nhớ khi sử dụng phương pháp này.* Một số phép biến đổi tương đương phương trình vô tỷ+) .+) .* Một số phép biến đổi tương đương bất phương trình vô tỷ . . . . . . B.Một số ví dụVí dụ 1. GPT . GiảiTa có . .Vậy tập nghiệm của là .Ví dụ 2. [ĐHD06] GPT . GiảiTa có . . .Tập nghiệm của là .Ví dụ 3. [ĐHA05] GBPT . GiảiĐK: . Ta có: (do ) Kết hợp điều kiện tập nghiệm của là .Ví dụ 4. [ĐHA04] GBPT . GiảiĐK: . Ta có: (TMĐK).Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .Ví dụ 5. GPT . GiảiĐK: . Ta có (không TMĐK).Vậy vô nghiệm.Ví dụ 6. GPT . GiảiĐK: . Ta có . Thử lại ta thấy chỉ là nghiệm của . Vậy có nghiệm duy nhất .Nhận xét:+) Hai phương trình: và nói chung là không tương đương. Vì lý do này mà trong ví dụ nói trên, sau khi thu được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại.+) Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là quan trọng. Trong ví dụ nói trên, động tác bình phương được thực hiện sau khi chuyển vế. Nhờ thế mà sau khi bình phương, ta giản ước được ở hai vế. Ví dụ 7. Biện luận số nghiệm của PT . GiảiTa có . Do đó số nghiệm của bằng số nghiệm thỏa mãn của nên bằng số điểm chung của đường thẳng với đồ thị hàm số ( ).Ta có . . Kết luận:* : vô nghiệm.* : có nghiệm.* : có nghiệm.* : có nghiệm.Ví dụ 8. [ĐHB06] Tìm để PT sau đây có hai nghiệm phân biệt .GiảiTa có . là phương trình bậc hai có luôn có hai nghiệm phân biệt , . Theo định lý Vi-ét thì . có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng .Thay vào ta thu được .Vậy có hai nghiệm phân biệt .Chú ý: Ví dụ trên có thể được làm bằng cách khác như sau:Biến đổi về dạng: . có hai nghiệm phân biệt có hai điểm chung với ĐTHS , . C.Bài tậpBài 1.Giải các phương trình sau1) .2) .3) .4) .5) .6) .Bài 2.Giải các phương trình sau1) .2) .3) .Bài 3.Giải các phương trình sau1) .2) .3) .Bài 4.Giải các bất phương trình sau1) .2) .3) .4) .5) .6) .Bài 5.Giải và biện luận theo các phương trình1) .2) .Bài 6.[ĐHB07] Chứng minh với mọi , phương trình có hai nghiệm phân biệt.Bài 7.Giải và biện luận theo các bất phương trình sau1) .2) . D.Đáp sốBài 11) .2) 3) .4) , .5) , .6) .Bài 21) .2) vô nghiệm.3) .Bài 31) , .2) , .3) , , .Bài 41) .2) hoặc .3) .4) hoặc .5) .6) .Bài 51) hoặc : vô nghiệm, hoặc : .2) hoặc : vô nghiệm, : , : .Bài 71) : , : hoặc .2) : , : , : . Loại 1. Phương pháp ẩn phụA.Nội dung phương phápDùng ẩn phụ là một phương pháp thông dụng để giải phương trình nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng. Đối với phương trình vô tỷ, phương pháp này có thể được phân loại như sau:+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ.+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ.+) Đặt một ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ.+) Đặt hai ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa hai ẩn phụ. B.Một số ví dụVí dụ 1.Giải các PT1) . 2) 1)2).Giải1)Đặt , ta thu được phương trình Thay vào ta có .Vậy tập nghiệm của phương trình là .2) .Đặt , ta thu được phương trình .Thay vào ta có .Vậy tập nghiệm của phương trình là .Ví dụ 2.Giải các phương trình1) .2) .Giải1)Ta thấy không phải nghiệm của nên .Đặt , ta thu được phương trình .Thay vào ta có .Vậy tập nghiệm của phương trình là .2)Ta thấy không phải nghiệm của nên .Đặt , ta thu được phương trình (do ) .Thay vào ta có .Vậy tập nghiệm của phương trình là .Ví dụ 3.Giải các phương trình1) .2) .Giải1)Đặt .Với phép đặt ẩn phụ như trên trở thành .Thay vào ta được .Xét :ĐK: . * Dễ thấy là nghiệm của . * không phải nghiệm của .Vậy có nghiệm duy nhất .2) .Đặt .Với phép đặt ẩn phụ như trên trở thành .Thay vào ta được .Xét :ĐK: . * Dễ thấy là nghiệm của . * không phải nghiệm của .* không phải nghiệm của .Vậy có nghiệm duy nhất .Ví dụ 4.Tìm để phương trình sau có nghiệm: .GiảiĐặt . Phương trình trở thành:Khi đó phương trình trở thành: .Xét hàm . Ta có . Ta thấy , dấu bằng xảy ra ; , dấu bằng xảy ra . Do đó tập giá trị của hàm là , thành thử có nghiệm .Vậy có nghiệm có nghiệm .Chú ý:Điều kiện phương trình có nghiệm:o có nghiệm đường thẳng có điểm chung với đồ thị hàm số .o có nghiệm thuộc tập giá trị của hàm số .Trong ví dụ trên, ta dùng điều kiện thứ hai để tìm điều kiện phương trình có nghiệm. Về việc tìm tập giá trị của hàm số , ta có thể dùng khẳng định sau: Nếu đạt giá trị nhỏ nhất là tại , đạt giá trị lớn nhất là tại và liên tục trên đoạn với hai đầu mút , thì tập giá trị của là .Ví dụ 5.Giải phương trình .GiảiĐặt , trở thành: .Thay vào ta có .Thay vào ta có .Vậy tập nghiệm của phương trình là .Ví dụ 6.Giải phương trình .GiảiĐặt .Thay vào , ta có .Ta có hệ gồm hai phương trình và : (thay phương trình dưới vào phương trình trên) (thay phương trình trên vào phương trình dưới)Ta có . Do đó, hệ nói trên tương đương với . Vậy tập nghiệm của là .Chú ý: Định lý Vi-ét đảoXét hệ và phương trình .Khi đó: có nghiệm có nghiệm.Trong trường hợp có nghiệm và thì: .Ví dụ 7.[ĐHA09] Giải phương trình .GiảiĐk: .Đặt .Ta có .Thay vào , ta được .Thay vào , ta có: .Thay vào , ta được .Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . C.Bài tậpBài 1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:1) .2) .3) .4) .5) .6) . 7) .8) .Bài 2. Cho phương trình .1)Giải phương trình với .2)Tìm để phương trình có nghiệm.Bài 3. Tìm để BPT có nghiệm .Bài 4. Tìm để BPT nghiệm đúng với mọi .Bài 5. Giải các PT sau:1) . 2) .3) .Bài 6. Giải các PT sau:1) .2) .3) .4) .Bài 7. [ĐHA07] Tìm để phương trình sau có nghiệm: .Bài 8. Giải các phương trình:1) .2) .3) .4) .5) .6) .Bài 9. Với giá trị nào của thì phương trình: có nghiệm.Bài 10. Giải các phương trình sau1) .2) .3) . D.Đáp sốBài 11) .2) .3) , .4) , .5) .6) .7) .8) .Bài 21) , .2) .Bài 3 .Bài 4 .Bài 51) . 2) , .3) , .Bài 6 1) .2) , .3) , .4) Bài 7 .Bài 81) , , .2) .3) , .4) , .5) , .6) .Bài 9 .Bài 101) , .2) , .3) . Loại 2. Phương trình và bất phương trình tíchA.Nội dung phương phápPhần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách đưa phương trình, bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích.Nhân tử chung có thể thấy ngay hoặc nhận được sau một số phép biến đổi đơn giản. Việc sử dụng biểu thức liên hợp đôi khi cho ta lời giải bất ngờ.Về biểu thức liên hợp, ta cũng cần biết: Biểu thức liên hợp của là : .Biểu thức liên hợp của là : .… . B.Một số ví dụVí dụ 1.Giải phương trình .Giải (ĐK: ) .Ta thấy cả giá trị và đều thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghĩa. Vậy tập nghiệm của phương trình là .Ví dụ 2.[ĐHD02] Giải bất phương trình .GiảiĐk: . hoặc hoặc hoặc .Kết hợp với điều kiện để có nghĩa, ta có tập nghiệm của là: .Ví dụ 3.Giải phương trình .GiảiĐk: .Ta có (do = ) (thỏa mãn điều kiện để có nghĩa).Vậy có nghiệm duy nhất .Ví dụ 4.[ĐHB10] Giải phương trình .GiảiĐk: .Ta có (do ) (thỏa mãn ).Vậy có nghiệm duy nhất . C.Bài tậpBài 1.Giải các phương trình1) .2) .3) .4) .Bài 2.Giải các phương trình, bất phương trình sau:1) .2) .3) .4) . D.Đáp sốBài 11) , .2) .3) , .4) .Bài 21) .2) .3) .4) . Loại 3. Một số phương pháp đặc biệtA.Một số ví dụVí dụ 1. [ĐHD05] Giải phương trình .GiảiĐk: .Ta có Do đo (thõa mãn ).Vậy có nghiệm duy nhất .Ví dụ 2. Giải phương trình .GiảiĐk: . (thỏa mãn ).Vậy có nghiệm duy nhất .Ví dụ 3. Giải phương trình .GiảiĐK: .Đặt .Ta có đồng biến trên . Do đó nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Ta thấy là nghiệm của nên có nghiệm duy nhất .Ví dụ 4. [ĐHA10] Giải bất phương trình .GiảiTa thấy . Do đó .Điều kiện để có nghĩa: . .Ta có (thõa mãn , ).Vậy có nghiệm duy nhất .Ví dụ 5. Giải phương trình .GiảiĐk: .Ta thấy: .Lại có: .Do đó .Vậy có nghiệm duy nhất . B.Bài tậpBài 1. Giải các phương trình1) .2) .3) .4) .5) .6) .Bài 2. Giải các phương trình sau1) .2) . C.Đáp sốBài 11) .2) , .3) , .4) .5) .6) .Bài 21) .2) .

ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Loại 1. Phương pháp lũy thừa A. Nội dung phương pháp Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ - phương pháp lũy thừa. Sau đây là các quy tắc cấn nhớ khi sử dụng phương pháp này. * Một số phép biến đổi tương đương phương trình vô tỷ +) ( ) ( ) f x g x= ⇔ ( ) ( ) ( ) f x g x f x 0  =   ≥   . +) ( ) ( ) f x g x= ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 f x g x g x 0  =   ≥   . * Một số phép biến đổi tương đương bất phương trình vô tỷ  ( ) ( ) f x g x> ⇔ ( ) ( ) ( ) f x g x g x 0  >   ≥   .  ( ) ( ) f x g x≥ ⇔ ( ) ( ) ( ) f x g x g x 0  ≥   ≥   .  ( ) ( ) f x g x> ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 g x 0 f x 0 g x 0 f x g x   <    ≥      ≥     >    .  ( ) ( ) f x g x≥ ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 g x 0 f x 0 g x 0 f x g x   <    ≥      ≥     ≥    .  ( ) ( ) f x g x< ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 g x 0 f x 0 f x g x  >   ≥   <   . 1 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com  ( ) ( ) f x g x≤ ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 g x 0 f x 0 f x g x  ≥   ≥   ≤   . 2 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com B. Một số ví dụ Ví dụ 1. GPT 3 x 2x 5 2x 1 − + = − . ( ) 1 Giải Ta có ( ) 1 ⇔ ( ) 2 3 x 2x 5 2x 1 2x 1 0   − + = −  − ≥   ⇔ 3 2 1 2 x 4x 2x 4 0 x  − + + =   ≥   . ( ) ( ) 2 3 ( ) 2 ⇔ ( ) ( ) 2 x 2 x 2x 2 − − − ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) thoûa maõn 3 khoâng thoûa maõn 3 thoûa maõn 3 x 2 x 1 3 x 1 3  =   = −   = +  . Vậy tập nghiệm của ( ) 1 là { } 1;1 3 + . Ví dụ 2. [ĐHD06] GPT 2 2x 1 x 3x 1 0 − + − + = . ( ) 1 Giải Ta có ( ) 1 ⇔ 2 2x 1 x 3x 1 − = − + − ⇔ ( ) 2 2 2x 1 x 3x 1 x 3x 1 0  − = − + −    − + − ≥  . ( ) ( ) 2 3 ( ) 3 ⇔ 2 x 3x 1 0 − + ≥ ⇔ 3 5 3 5 2 2 x − + ≤ ≤ . ( ) 4 ( ) 2 ⇔ 4 3 2 x 6x 11x 8x 2 0 − + − + = ⇔ ( ) ( ) 2 2 x 1 x 4x 2 0− − + = ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) thoûa maõn thoûa maõn khoâng thoûa maõn x 1 4 x 2 2 4 x 2 2 4  =   = −   = +  . Tập nghiệm của ( ) 1 là { } 1;2 2 − . Ví dụ 3. [ĐHA05] GBPT 5x 1 x 1 2x 4− − − > − . ( ) 1 Giải ĐK: 5x 1 0 x 1 0 2x 4 0 − ≥   − ≥   − ≥  ⇔ x 2 ≥ . 3 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Ta có: ( ) 1 ⇔ 5x 1 2x 4 x 1 − > − + − ⇔ 2 5x 1 3x 5 2 2x 6x 4 − > − + − + ⇔ 2 2x 6x 4 x 2 − + < + (do x 2 ≥ ⇒ x 2 0 + > ) ⇔ 2 2 2x 6x 4 x 4x 4 − + < + + ⇔ 2 x 10x 0 − < ⇔ 0 x 10 < < Kết hợp điều kiện ⇒ tập nghiệm của ( ) 1 là [ ) 2;10 . Ví dụ 4. [ĐHA04] GBPT ( ) 2 2 x 16 7 x x 3 x 3 x 3 − − + − > − − . ( ) 1 Giải ĐK: 2 x 16 0 x 3 0   − ≥  − >   ⇔ x 4 ≥ . Ta có: ( ) 1 ⇔ ( ) 2 2 x 16 x 3 7 x− + − > − ⇔ ( ) 2 2 x 16 10 2x− > − ⇔ ( ) 2 2 10 2x 0 10 2x 0 2 x 16 100 40x 4x − <   − ≥      − > − +     ⇔ 2 x 5 x 5 x 20x 66 0 >   ≤      − + <    ⇔ x 5 x 5 10 34 x 10 34 >   ≤      − < < +    ⇔ x 10 34 > − (TMĐK). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( ) 10 34; − +∞ . 4 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Ví dụ 5. GPT ( ) 2x 3 x 6 x 5 2 x 4+ + − = + + − . ( ) 1 Giải ĐK: x 6 ≥ . Ta có ( ) 1 ⇔ ( ) 2 2 3x 3 2 2x 9x 18 3x 3 2 2 x x 20− + − − = − + + − ⇔ ( ) 2 2 2x 9x 18 2 x x 20− − = + − ⇔ x 2 = (không TMĐK). Vậy ( ) 1 vô nghiệm. Ví dụ 6. GPT x 7 4x 1 5x 6 2 2x 3+ + + = − + − . ( ) 1 Giải ĐK: 3 2 x ≥ . Ta có ( ) 1 ⇔ ( ) x 7 2 2x 3 5x 6 4x 1+ − − = − − + ⇒ 2 2 9x 5 4 2x 11x 21 9x 5 2 20x 19x 6 − − + − = − − − − ⇔ 2 2 2 2x 11x 21 20x 19x 6 + − = − − ⇔ ( ) ( ) 2 2 4 2x 11x 21 20x 19x 6+ − = − − ⇔ 2 12x 63x 78 0 − + = ⇔ 2 4x 21x 26 0 − + = ⇔ 13 4 x 2 x =   =   . Thử lại ta thấy chỉ 13 4 x = là nghiệm của ( ) 1 . Vậy ( ) 1 có nghiệm duy nhất 13 4 x = . Nhận xét: +) Hai phương trình: ( ) ( ) f x g x = và ( ) ( ) 2 2 f x g x = nói chung là không tương đương. Vì lý do này mà trong ví dụ nói trên, sau khi thu được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại. +) Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là quan trọng. Trong ví dụ nói trên, động tác bình phương được thực hiện sau khi chuyển vế. Nhờ thế mà sau khi bình phương, ta giản ước được 9x 5 − ở hai vế. 5 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Ví dụ 7. Biện luận số nghiệm của PT 3 x x m 1 x− − − = − . ( ) 1 Giải Ta có ( ) 1 ⇔ 3 2 x x m x 2x 1 1 x 0   − − − = − +  − ≥   ⇔ 3 2 x x x m 1 x 1   + − = − −  ≤   . ( ) 2 Do đó số nghiệm của ( ) 1 bằng số nghiệm thỏa mãn x 1 ≤ của ( ) 2 nên bằng số điểm chung của đường thẳng y m 1 = − − với đồ thị hàm số ( ) 3 2 f x x x x = + − ( x 1 ≤ ). Ta có ( ) 2 f ' x 3x 2x 1 = + − . ( ) f ' x 0 = ⇔ 1 3 x 1 x = −   =   . Kết luận: * m 1 1 − − > ⇔ m 2 < − : ( ) 1 vô nghiệm. * 25 7 m 1 − − < − ⇔ 18 7 m > : ( ) 1 có 1 nghiệm. * 25 7 m 1 m 1 1  − − = −   − − =  ⇔ 18 7 m m 2  =   = −  : ( ) 1 có 2 nghiệm. * 25 7 m 1 1− < − − < ⇔ 18 7 2 m − < < : ( ) 1 có 3 nghiệm. Ví dụ 8. [ĐHB06] Tìm m để PT sau đây có hai nghiệm phân biệt ( ) 2 x mx 2 2x 1 1 + + = + . Giải Ta có ( ) 1 ⇔ ( ) 2 2 x mx 2 2x 1 2x 1 0   + + = +  + ≥   ⇔ ( ) ( ) 2 1 2 3x 4 m x 1 0 2 x  + − − =   ≥ −   . ( ) 2 là phương trình bậc hai có ( ) 2 4 m 12 0 m∆ = − + > ∀ ⇒ ( ) 2 luôn có hai nghiệm phân biệt 1 x , 2 x . Theo định lý Vi-ét thì ( ) m 4 1 2 3 1 1 2 3 x x 3 x x −  + =   = −   . ( ) 1 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ( ) 2 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1 2 − ⇔ 1 1 2 1 2 2 x x  ≥ −   ≥ −   ⇔ 1 1 2 1 2 2 x 0 x 0  + ≥   + ≥   6 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 x x 0 x x 0  + + + ≥    + + ≥  ⇔ ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 1 1 2 4 x x 1 0 4 x x x x 0  + + ≥   + + + ≥   . Thay ( ) 3 vào ( ) 4 ta thu được m 4 3 1 1 m 4 1 3 2 3 4 1 0 . 0 − −  + ≥   − + + ≥   ⇔ m 1 0 2m 9 0 − ≥   − ≥  ⇔ 9 2 m 1 m ≥    ≥   ⇔ 9 2 m ≥ . Vậy ( ) 1 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 9 2 m ≥ . Chú ý: Ví dụ trên có thể được làm bằng cách khác như sau: Biến đổi ( ) 1 về dạng: 2 3x 4x 1 x 1 2 m x + −  =    ≥ −  . ( ) 1 có hai nghiệm phân biệt ⇔ y m = có hai điểm chung với ĐTHS 2 3x 4x 1 x y + − = , 1 2 x ≥ − . 7 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com C. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình sau 1) 2 x x x 2 3 + + + = . 2) 2 x 2 x 3x 1 0 + + + + = . 3) 3 3x x x 1 2 + − + = − . 4) 3 2 x x 6x 28 x 5 + + + = + . 5) 4 3 x 4x 14x 11 1 x− + − = − . 6) ( ) 4 3 2 x 5x 12x 17x 7 6 x 1 + + + + = + . Bài 2. Giải các phương trình sau 1) x 3 3x 1 2 x 2x 2+ + + = + + . 2) 2 2 x 2x x 2 x x 2x 2+ + + = + + − . 3) 1 1 x x x x− = − . Bài 3. Giải các phương trình sau 1) 3 3 3 x 1 x 1 x 2− + + = . 2) 3 3 3 x 1 x 3 2 − − − = . 3) 3 3 3 3 2x 1 1 x x− + − = . Bài 4. Giải các bất phương trình sau 1) x 9 2x 4 5 + + + > . 2) ( ) 2 x 1 2 x 1+ ≥ − . 3) 2 2x 5 x 4x 3 − < − + − . 4) 2 2 2 x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4 − + + − + ≥ − + . 5) ( ) ( ) x 1 2x 1 3 x 1− − ≥ − . 6) 2x 2x 2 2x 1 1 > + + − . Bài 5. Giải và biện luận theo m các phương trình 1) 2 x 1 x m− − = . 2) x m x m m − + + = . Bài 6. [ĐHB07] Chứng minh với mọi m 0 > , phương trình ( ) 2 x 2x 8 m x 2+ − = − có hai nghiệm phân biệt. Bài 7. Giải và biện luận theo m các bất phương trình sau 1) m 2 x x m + − > + . 2) x m x 2 − < − . 8 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com D. Đáp số Bài 1. 1 1 . 2 3 − 3 1 − . 4 1 , 1 13 2 − ± . 5 2 − , 1 . 6 2 3 − + . Bài 2. 1 1 . 2 vô nghiệm. 3 1 . Bài 3. 1 0 , 1± . 2 1 , 3 . 3 0 , 1 , 1 3 2 . Bài 4. 1 x 0 > . 2 x 1 = − hoặc 1 x 3 ≤ ≤ . 3 14 5 1 x≤ < . 4 x 1 = hoặc x 4 ≥ . 5 1 x 2 ≤ ≤ . 6 1 2 x 0 − < < . Bài 5. 1 m 1 < − hoặc 0 m 1 ≤ < : vô nghiệm, 1 m 0 − ≤ < hoặc m 1 ≥ : 2 m 1 2m x + = − . 2 m 0 < hoặc 0 m 2 < < : vô nghiệm, m 0 = : x 0 = , m 2 ≥ : 2 m 4 4 x + = . Bài 7. 1 m 1 > − : x m 1 < − + , m 1 ≤ − : x m ≥ hoặc m 2 x m 1 − − < < − + . 2 9 4 2 m< ≠ : x m ≥ , 9 4 m = : 9 5 4 2 x≤ ≠ , m 2 ≤ : x 2 > . 9 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 10 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com [...]... −1 ± 5 2 2 −3 ± 17 −5 ± 13 , 4 4 1 3− 2 PT, BPT Vô tỉ 19 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Loại 2 Phương trình và bất phương trình tích A Nội dung phương pháp Phần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách đưa phương trình, bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích Nhân tử chung có thể thấy ngay hoặc nhận... 1 Phương pháp ẩn phụ A Nội dung phương pháp Dùng ẩn phụ là một phương pháp thông dụng để giải phương trình nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng Đối với phương trình vô tỷ, phương pháp này có thể được phân loại như sau: +) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ +) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ +) Đặt một ẩn phụ để thu được một hệ hai phương. .. (thay phương trình dưới vào phương trình trên)  xt ( x + t ) = 30  x + t = 5   xt ( x + t ) = 30  ⇔  x + t = 5 (thay phương trình trên vào phương trình dưới)  xt = 6 ⇔  x = 2  T = 2  t = 3 2 Ta có T − 5T + 6 = 0 ⇔  Do đó, hệ nói trên tương đương với  x = 3 T = 3   t = 2  Vậy tập nghiệm của ( 1) là { 2;3} Chú ý: Định lý Vi-ét đảo x + y = S Xét hệ   xy = P (1) và phương trình. .. 10 Vậy tập nghiệm của phương trình là −1 ± 2; 3 3 3 3 3 Ví dụ 6 Giải phương trình x 35 − x  x + 35 − x ÷ = 30   PT, BPT Vô tỉ ( 1) 15 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Giải Đặt t = 3 35 − x 3 ⇔ t 3 = 35 − x 3 ⇔ x 3 + t 3 = 35 Thay t = 3 35 − x 3 vào ( 1) , ta có xt ( x + t ) = 30 ( 2) ( 3) Ta có hệ gồm hai phương trình ( 2 ) và ( 3 ) :  ( x + t )... [ĐHA07] Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 Bài 8 Giải các phương trình: 1) 3 24 + x + 12 − x = 6 3) 4 x + 4 17 − x = 3 2) x+3 + 3x = 3 4) 3 ( 2 − x ) 2 + 3 ( 7 + x ) 2 − 3 ( 2 − x ) ( 7 + x ) = 3 6) 4 x + 4 x + 1 = 4 2x + 1 5) 3 x + 3 x − 16 = 3 x − 8 Bài 9 Với giá trị nào của a thì phương trình: 3 1 − x + 3 1 + x = a có nghiệm Bài 10 Giải các phương trình sau 1)... hệ hai phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ +) Đặt hai ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa hai ẩn phụ PT, BPT Vô tỉ 11 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com B Một số ví dụ Ví dụ 1 Giải các PT ( 1) 1) x 2 + x 2 + 11 = 31 2) ( x + 5 ) ( 2 − x ) = 3 x 2 + 3x ( 1) 1) 2) Giải  t ≥ 11 ( 3 )  ⇒  1) Đặt t = x + 11 ( 2 ) , ta thu được phương trình  x 2... của phương trình là { 1; −4} Ví dụ 2 Giải các phương trình 1) x 2 + 2x x − 1 = 3x + 1 x 2) x 2 + 3 x4 − x2 = 2x + 1 ( 1) ( 1) Giải 1) Ta thấy x = 0 không phải nghiệm của ( 1) nên ( 1) PT, BPT Vô tỉ ⇔ x+ 2 x− 1 = 3+ 1 ⇔ x x ( x− 1) + 2 x x− 1 −3= 0 x 12 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Đặt t = x − 1 x ( 2) Email: caotua5lg3@gmail.com t ≥ 0 ( 3 )  ⇒  2 , ta thu được phương trình. .. Giải phương trình ( 1) Giải ( 1) ⇔ x + 3 + 2x x + 1 = 2x + ⇔ x + 3 1 − x + 1 + 2x ⇔ ( ( ) ( )( ( x + 3 ) ( x + 1) (ĐK: x ≥ −1 ) ) x+1−1 = 0 ) x + 1 − 1 2x − x + 3 = 0  x+1 −1 = 0 ⇔  2x − x + 3 = 0   x+1 = 1 ⇔  x + 3 = 2x  x + 1 = 1  ⇔   2x ≥ 0    x + 3 = 4x 2   ⇔ x = 0 x = 1 Ta thấy cả 2 giá trị 0 và 1 đều thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghĩa Vậy tập nghiệm của phương trình. .. Bài 2 Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1) 4 1 5 + x − = x + 2x − x x x 4 x 2) 2x 2 + x + 6 + x 2 + x + 2 = x + 3) 2x 2 + x + 9 + 2x 2 − x + 1 = x + 4 4) x 2 − 2x + 3 − x 2 − 6x + 11 > 3 − x − x − 1 PT, BPT Vô tỉ 25 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com D Đáp số Bài 1 1 0 , −1 2 1 3 0 , 1 4 0 Bài 2 1 2 2 1 3 0 4 2 < x ≤ 3 PT, BPT Vô tỉ 26 Blog:... u = −2 Thay u = −2 vào ( 2a ) , ta được 3 3x − 2 = −2 ⇔ 3x − 2 = −8 ⇔ x = − 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2 PT, BPT Vô tỉ 17 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com C Bài tập Bài 1 Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1) 1 − x + 1 + x + 2 1 − x2 = 4 2) 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x 2 − 5x + 2 ( x + 2 ) 3 − 6x = 0 4) 3+ x + 6− x = 3+ 6) . = : 9 5 4 2 x≤ ≠ , m 2 ≤ : x 2 > . 9 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 10 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS:. x  >   ≥   <   . 1 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com  ( ) ( ) f x g x≤ ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 g x 0 f x 0 f x g x  ≥   ≥   ≤   . 2 PT, BPT. ) 1 là { } 1;2 2 − . Ví dụ 3. [ĐHA05] GBPT 5x 1 x 1 2x 4− − − > − . ( ) 1 Giải ĐK: 5x 1 0 x 1 0 2x 4 0 − ≥   − ≥   − ≥  ⇔ x 2 ≥ . 3 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com