Phương trình vi phân cấp 1 cách giải ví dụ cụ thể

Phương trình vi phân cấp 1 cách giải ví dụ cụ thể phương trình vi phân có biến phân ly phương trình vi phân đẳng cấp phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 phương trình BECNOULLI phương trình vi phân toàn phần

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 2.1 Tổng quát về phương trình vi phân cấp I

2.1.1 Định nghĩa

Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng F(x, y, y’) = 0 (1) trong đó: x là biến số độc lập; y là hàm phải tìm; y’ là đạo hàm cấp một của y Hay y’ = f(x;y) hay = f(x;y) (2)

Ví dụ 1: Phương trình vi phân là 3yy’ + 3x2 = 0

y2 dx + xdy = 0

y’ = -

2.1.2 Định lý về tồn tại và duy nhất nghiệm

Xét y’ = f(x;y)

Nếu hàm f(x;y) liên tục trong miền nào đó chứa (x0, y0) thì phương trình vi phân cấp 1 đã cho sẽ tồn tại một nghiệm y = y(x0); nghiệm này nhận giá trị y0 = y(x0)

Ngoài ra nếu cũng liên tục trong miền nói trên thì y = y(x) là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân cấp một đã cho

Điều kiện để hàm y = y(x) nhận giá trị y0 tại x = x0 được gọi là sự kiện hay điều kiện đầu của phương trình vi phân cấp một của một thường được ký hiệu: Như vậy về phương diện hình học mà nói thì: nếu hàm f(x;y) và liên tục ở trong miền nào đó có chứa (x0, y0) sẽ tồn tại và duy nhất một nghiệm:

y = y(x) mà đồ thị của nó luôn luôn đi qua một điểm (x0, y0)

2.1.3 Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp một

Ta gọi nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân cấp một là mọi hằng số có dạng y = j(x, c) trong đó c là hằng số tùy ý thỏa mãn phương trình ấy

Ta gọi nghiệm riêng của một phương trình vi phân cấp một là mỗi một nghiệm y = j(x,c0) có được

từ nghiệm tổng quát khi ta cho c = c0 một giá trị cụ thể

Ví dụ 2: Phương trình vi phân y’ = - có y = là nghiệm tổng quát;

y = là nghiệm riêng khi c = 6

Nhiều khi giải một phương trình vi phân cấp một ta tìm được nghiệm tổng quát của phương trình

vi phân không phải dưới dạng tường mà dưới dạng ẩn:

f(x,y,c) = 0 trong đó c là hằng số tùy ý, hệ thức trên là liên hệ giữa biến độc lập x và nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp một gọi là tích phân tổng quát của phương trình vi phân cấp một Rồi từ tích phân tổng quát nếu cho c = c0 thì giá trị cụ thể thì f(x,y,c) = 0 gọi là một tích phân riêng của phương trình vi phân cấp một

Về phương diện hình học thì tích phân tổng quát của phương trình vi phân cấp một xác định cho

ta một họ các đường cong trong mặt phẳng, họ này phụ thuộc vào một hằng số tuỳ ý c và mỗi một đường cong trong họ được gọi là một đường cong tích phân riêng

2.2 Phương trình vi phân có biến phân ly

2.2.1 Định nghĩa

Phương trình vi phân có biến phân ly là phương trình có dạng:

M(x)dx + N(y)dy = 0 (1) Trong đó: là những hàm phụ thuộc x, y (x là biến độc lập; y là hàm cần tìm)

Ví dụ 3: ; (ex + x + 1)dx + (siny + 2cosy)dy = 0

2.2.2 Cách giải

Từ (1) ta có: M(x)dx = -N(y)dy Lấy tích phân hai vế:

Û và do đó tích phân tổng quát của (1)

· Chú ý: Xét phương trình vi phân cấp một M1(x) N1(y)dx + M2(x) N2(y)dy = 0

Nếu M2(x), N1(y) ¹ 0 thì chia hai vế cho M2(x), N1(y)

(2) Û và do đó tích phân tổng quát của (2)

Nếu thì bằng cách thử trực tiếp:

· x = a (khi y ¹ b)

· y = b (khi x ¹ a) thì chúng là nghiệm

Ví dụ 4: Giải phương trình x2(y + 1)dx + (x3 – 1)(y – 1)dy = 0 (1)

* Nếu thì (2)

Þ Tích phân tổng quát của phương trình

* Nếu Þ

Thử: Khi thì (1) Û x2(y + 1)dx = 0

Hàm f(x;y) được gọi là hàm đẳng cấp k đối với x, y nếu f(lx, ly)= lk.f(x;y); l ¹ 0 Khi đó, nếu k = 0: f(lx,ly) = f(x;y) Ta nói rằng f(x;y) là hàm đẳng cấp cấp 0 hay là đẳng cấp đối với x, y Nếu f(x;y) là hàm đẳng cấp k đối với x, y thì nó luôn luôn được biểu diễn với dạng: f(x;y) = xk j( )

Chứng minh: l ¹ 0 nên ta có thể chọn l =

Vì f(lx, ly) = lk.f(x;y) Û f(1; ) = ( )k f(x;y) Þ f(x;y) = xk f(1; ) = xk j( )

Þ Nếu f(x;y) là một hàm đẳng cấp đối với x, y thì nó luôn luôn được biểu diễn f(x;y) = j( )

f(x;y) = = = j( )

2.3 Phương trình vi phân đẳng cấp

Định nghĩa: Phương trình vi phân đẳng cấp cấp một là phương trình y’ = f(x;y) trong đó f(x;y)

là một hàm đẳng cấp đối với x, y nghĩa là f(x;y) = j( ) và do đó y’ = j( ) (1)

Ví dụ 6: y’ = là phương trình vi phân đẳng cấp cấp một hay y’ =

Cách giải: y’ = j( ) (1)

Đặt = u với u là một hàm số nào đó của x Þ y = u.x

Þ = u + x Þ u + x = j(x) Þ x = j(u) – u (2)

· Nếu j(u) – u ¹ 0 (luôn luôn khác 0) thì từ (2) ta có = do đó lấy tích phân hai

Þ = f(u) Û = Þ x = C = C Tích phân tổng quát của (1) là x = C

· Nếu j(u) – u = 0 Þ = hay = Þ =

· Nếu j(u) – u = 0 tại một số hữu hạn giá trị u = u0, u = u1=, , u = un; y = u0x,

y = u1x, …, y = unx

Ví dụ 7: y’ = = = j( )

Đặt u = Þ y = u x Þ y’ = u + x

Û x = Û x = Þ y = x2(x2 + y2)

* Giải: y’ = = = j( ).

Đặt u = Þ y = u x Þ y’ = u + x Þ u + x =

Sang hệ tọa độ cực:

, (*)Þ r = là họ những đường xoắn ốc logarit

2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp I

2.4.1 Định nghĩa

Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình có dạng:

y’ + p(x)y = q(x) (1) Trong đó: p(x), q(x) là những hàm số liên tục của biến x

· Nếu q(x) = 0 thì (1): y’ + p(x)y = 0 (2) gọi là phương trình thuần nhất

· Nếu q(x) ¹ 0 thì (1) gọi là phương trình không thuần nhất

Ví dụ 8: y’ + 3x2 y = 0 là phương trình thuần nhất

là phương trình không thuần nhất

2.4.2 Cách giải

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1) thì trước hết ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng: y’ + p(x)y = C (2)

Þ (3) là nghiệm tổng quát của (1)

· Nếu y = 0 thì nó cũng là nghiệm và là nghiệm riêng của phương trình (1) ứng với C = 0

· Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát của (1) dưới dạng (3) ta sẽ coi C là hằng số của biến x:

C = C(x) để (3) là nghiệm của (1)

Từ (3) có: = + C[-p(x)] thay vào (1):

- Cp(x) + p(x).C = q(x)

dC = q(x) .dx Þ C = (4) thì (3) là nghiệm của (1)

Vậy nghiệm tổng quát của (1) sẽ là:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1) luôn luôn bằng nghiệm cộng với một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (1)

Ví dụ 9: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: (1) và tìm một nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện y(1) = 1

Ta thấy (1) là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp một Trước hết ta giải :

y = ; C là hằng số tùy ý là nghiệm tổng quát của phương trình

Ta sẽ coi C = C(x)

-Thay vào (1), + = 3x = 3x C’ = 3x2+ Þ C = x3 + x

Vậy: nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:

y = (x3 + x) hay y = x2 + vì y’x = 1 = 1 nên 1 = 1 + x Þ x = 0

Þ y = x2 là một nghiệm riêng của phương trình (1) thỏa mãn y’x = 1 = 1

2.5 Phương trình BECNOULLI

2.5.1 Định nghĩa

Phương trình Becnoulli là phương trình có dạng:

y’ + p(x).y = q(x) , trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục của x còn a là một số thực bất kỳ, a ¹ {0, 1}

2.5.2 Cách giải

Với giả thiết y ¹ 0 chia cả hai vế (1) cho , y’ + p(x) = q(x) (2)

Đặt Z = Z(x) = (*)

Z’ = (1 - a) y’ Þ .y’ = Z’

thay vào (2), ta có: + p(x) Z = q(x)

Þ Z’ + (1 - a).p(x) Z = (1 - a) q(x) (3)

Phương trình (3) là phương trình tuyến tính cấp một không thuần nhất đối với Z = Z(x) là hàm số phải tìm

Giải phương trình (3) ta sẽ nhận được nghiệm Z = Z(x) và sau đó thay Z vào Z = thì ta được nghiệm tổng quát của phương trình Becnoulli

Ví dụ 10: phương trình y’ – 2x.y = x3.y2 (1); (a = 2)

· Nếu y ¹ 0: - = x Û y’.y – 2x.y = x Þ Z’ = - y y’

Þ w: - Z’ + 2x.Z = x3 Û Z’ + 2xZ = - x3 (2)

Giải phương trình: Z’ + 2xZ = 0 (*) Û = - 2xZ Û = - 2x.dx

Û = - 2 + Û = - x2 Û Z = C là nghiệm tổng quát

Ta coi C = C(x): Z = C Þ Z’ = C’ + C (- 2x)

Þ Z’ = (C’– 2Cx) Þ (C’– 2Cx) + 2xC = - x3 Û C’ = - x3

Þ C’ = - x3

do đó nghiệm tổng quát của (2) là: Z = [ (1 – x2) + x] = (1 – x2) + x

Thay Z vào (2) Þ nghiệm tổng quát của (1) là: Z = y- 1

Þ y = Z-1 =

2.6 Phương trinh vi phân toàn phần

2.6.1 Định nghĩa

Phương trình P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0 (1) được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu vế trái (1) là vi phân toàn phần của một hàm u(x;y) nào đó trong D nghĩa là ở trong D:

;

2.6.2 Cách giải

Để nhận biết phương trình (1) có phải là phương trình vi phân toàn phần hay không và tìm cách giải nó ta xét định lý sau:

Giả sử các hàm P(x;y); Q(x;y) là những hàm số liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng ở trong miền D thì điều kiện cần và đủ cho P(x;y)dx + Q(x;y)dy là vi phân toàn phần của hàm

(x;y) nào đó trong D là tại mọi điểm (x;y)ÎD; =

Chứng minh:

* Điều kiện cần "(x;y)ÎD: = Þ vì ;

Þ du = dx + dy = Pdx + Qdy

= ; =

vì ; liên tục "(x;y)ÎD Þ ; cùng liên tục trong D

Theo định lý Sơvacxơ: = Þ =

Vậy: "(x;y)ÎD rõ ràng nếu P(x;y)dx + Q(x;y)dy là vi phân từng phần của hàm u(x;y) trong miền D

Pdx + Qdy = du = dx + dy Þ P = ; Q =

· Điều kiện đủ "(x;y)ÎD: = chứng minh Pdx + Qdy = du

Với u(x;y) trong miền D Þ u(M) = u(x;y) = với A(x0, y0) là điểm cố định tùy ý trong miền D M(x;y) là điểm chạy tùy ý nằm trong miền D, C là hằng số tùy ý

Thật vậy: Trước hết do điều kiện "(x;y)ÎD: = là điều kiện cần và đủ để

không phụ thuộc vào đường lấy tích phân nên ta có thể chọn đường lấy tích phân là đường gấp khúc ALM hay ANM có các cạnh song song với các trục tọa độ Chẳng hạn ta chọn đường lấy tích phân là đường gấp khúc ALM:

Þ u(x;y) = + + C Trên AL; y = y0 Þ dy = 0;

Trên LM; x = x0 Þ dx = 0

Tương tự như vậy nếu ta chọn đường lấy tích phân là ANM thì:

Từ (2): = Q(x;y)

Từ (3): = P(x;y)

Þ du = dx + dy = P(x;y)dx + Q(x;y)dy (4)

Þ P(x;y)dx + Q(x;y)dy là vi phân từng phần của một hàm u(x;y) mà u(x;y) được xác định bởi (2) hoặc (3)

Phương trình P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0

Þ nghiệm tổng quát của (1) là u(x;y) = x được xác định bởi (2) hoặc (3)

Thật vậy: (1) Û du = 0 Þ u = u(x;y) = x

Ví dụ 11: 1) Giải phương trình 2x.y dx + x2dy = 0 (1)

Ta có: P = 2x.y, Q = x2 liên tục cùng với các đạo hàm riển của trong R2

Þ = 2x; = 2x Þ = = 2x Þ (1) là PTVP toàn phần

Þ nghiệm tổng quát của (1) là: u(x;y) = C trong đó u xác định bởi (2) hoặc (3)

cho x0 = 0; y0 = 0

Þ u(x;y) = + + x = x2y + x2y + x = x2y + x Þ x2y = x 2) Giải phương trình: (2 + 2x – y2)dx – 2y dy = 0 (2)

P = (2 + 2x – y2) , Q = - 2y

Þ = - 2y ; = -2y Þ = = -2y "(x;y)

Þ (2) là phương trình vi phân toàn phần

Þ nghiệm tổng quát của (1) là: u = (x;y) = C trong đó (x;y) được xác định bởi:

u(x;y) =

Gọi x0 = 0; y0 = 0 Þ u(x;y) = +

Þ u(x;y) = 2 - 2 Þ u(x;y) = 2x - y2 + x

Þ 2x - y2 = x