Tập giới hạn, tập bất biến và tập hút toàn cục của hệ phương trình vi phân cấp 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Vũ Thị Luyến TẬP GIỚI HẠN, TẬP BẤT BIẾN VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Vũ Thị Luyến TẬP GIỚI HẠN, TẬP BẤT BIẾN VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Văn Bằng Hà Nội – Năm 2016 Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn TS Trần Văn Bằng tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn Thầy, Cô tổ giải tích - khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho em trình thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Vũ Thị Luyến i Lời cam đoan Em xin cam đoan, hướng dẫn TS Trần Văn Bằng, khóa luận "Tập giới hạn, tập bất biến tập hút toàn cục hệ phương trình vi phân cấp 1" hoàn thành không trùng với đề tài khác Trong trình hoàn thành khóa luận, em thừa kế thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Vũ Thị Luyến ii Mục lục Lời mở đầu iii KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập hợp Rn 1.2 Hệ phương trình vi phân cấp 1 1.3 Nửa nhóm liên tục Hệ động lực 1.4 Lí thuyết ổn định 1.4.1 Khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov 1.4.2 Tính ổn định hệ tuyến tính 1.4.3 Tính ổn định hệ phi tuyến: Phương pháp tuyến tính hóa 1.4.4 Tính ổn định hệ phi tuyến: Phương pháp hàm Lyapunov 10 TẬP GIỚI HẠN, TẬP BẤT BIẾN VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 13 2.1 Tập giới hạn, tập bất biến 13 2.1.1 Một số khái niệm 13 2.1.2 Nguyên lí bất biến LaSalle 18 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Luyến 2.2 Tập hút toàn cục 22 2.2.1 Các khái niệm 22 2.2.2 Sự tồn tập hút toàn cục 23 2.2.3 Cấu trúc tập hút toàn cục 28 2.2.4 Xác định dáng điệu tiệm cận tập hút toàn cục 29 2.3 Ví dụ áp dụng 34 Tài liệu tham khảo 38 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Luyến Lời mở đầu Các phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân phi tuyến xuất nhiều trình vật lí, hóa học sinh học Việc nghiên cứu phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học công nghệ Chính vậy, thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Các vấn đề lí thuyết đặt nghiên cứu tính đặt toán tính chất định tính nghiệm, chẳng hạn dáng điệu tiệm cận nghiệm Sau nghiên cứu tính đặt toán, việc nghiên cứu dáng điệu nghiệm thời gian t → ∞ quan trọng cho phép ta hiểu dự đoán xu phát triển hệ tương lai Về mặt toán học, điều làm nảy sinh hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ hai thập kỉ gần lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều Một khái niệm xây dựng tập giới hạn, tập bất biến tập hút toàn cục Dưới định hướng thầy hướng dẫn, chọn đề tài "Tập giới hạn, tập bất biến tập hút toàn cục hệ phương trình vi phân cấp 1" để làm khóa luận tốt nghiệp Khóa luận gồm hai chương: Chương "Kiến thức chuẩn bị" trình bày số khái niệm kết cần thiết cho nghiên cứu chương Chương "Tập giới hạn, tập bất biến tập hút toàn cục hệ phương trình vi phân cấp 1" thảo luận nội dung khóa luận iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Luyến Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Vũ Thị Luyến iv Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập hợp Rn Định nghĩa 1.1 Cho không gian metric M = (X, d), tập A ⊂ X Tập A gọi tập mở không gian M điểm thuộc A điểm A, hay nói cách khác, điểm x ∈ A, tồn lân cận x bao hàm A Định nghĩa 1.2 Tập A gọi tập đóng không gian M, điểm không thuộc A điểm A, hay nói cách khác, điểm x ∈ / A tồn lân cận x không chứa điểm thuộc tập A Định nghĩa 1.3 Cho không gian metric M = (X, d) Tập K ⊂ X gọi tập compact không gian M, dãy vô hạn phần tử thuộc K chứa dãy hội tụ tới phần tử thuộc tập K Định nghĩa 1.4 Không gian M gọi không gian compact, tập X tập compact M Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Luyến Định nghĩa 1.5 Cho hàm f : Rn −→ Rn i) Hàm f gọi liên tục Lipschitz tập U ⊂ Rn tồn k > cho với x, y ∈ U ta có f (x) − f (y) ≤ k x − y ii) Hàm f gọi liên tục Lipschitz địa phương với x0 ∈ Rn , tồn lân cận U = U (x0) x0 cho f liên tục Lipschitz U 1.2 Hệ phương trình vi phân cấp Định nghĩa 1.6 Hệ n phương trình vi phân cấp dạng chuẩn tắc hệ phương trình có dạng: Trong đó:  dx1    = f1(t, x1, x2, , xn)   dt      dx2 = f2(t, x1, x2, , xn) dt           dxn = fn (t, x1, x2, , xn) dt (1.1) • t biến số độc lập; • x1 = x1(t), x2 = x2(t), ,xn = xn (t) hàm phải tìm; • Các hàm fi (i = 1, n) xác định miền G không gian n + chiều Rn+1 Định nghĩa 1.7 Hệ n hàm khả vi x1 = ϕ1 (t), x2 = ϕ2(t), ,xn = ϕn (t) xác định khoảng (a, b) gọi nghiệm hệ (1.1) với Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Luyến Giả thiết phản chứng ω(B0) không hút B0 Khi dist(S(t)B0, ω(B0)) → t → +∞ cho dist(S(tn)B0, ω(B0)) ≥ 2δ Theo tồn yn ∈ B0 cho dist(S(tn)yn , ω(B0)) ≥ δ Do B0 tập hấp thụ compact nên tồn dãy {S(tnk )ynk } mà S(tnk )ynk → z Suy z ∈ ω(B0 ) (Mâu thuẫn) Vậy ω(B0) hút B0 hay ω(B0 ) hút tập bị chặn e) A = ω(B0) liên thông Giả sử A không liên thông Khi tồn hai tập mở U1, U2 cho Ui ∩ A = ∅, i = 1, 2, A ⊂ U1 ∪ U2 , U1 ∩ U2 = ∅ Kí hiệu Ac = conv(A) bao lồi đóng A Dễ thấy Ac tập liên thông bị chặn A ⊂ Ac Do S(t) liên tục nên S(t)Ac tập liên thông Mặt khác, A = S(t)A ⊂ S(t)Ac nên Ui ∩ S(t)Ac = ∅, i = 1, Suy với t > 0, U1 ∩ U2 phủ S(t)Ac Do tồn dãy điểm {xn}, với xn = S(n)yn ∈ S(n)Ac cho xn ∈ / U1 ∪ U2 Vì B0 tập hấp thụ compact nên tồn dãy {xnk }k với xnk = S(nk )ynk → y Khi rõ ràng y ∈ / U1 ∪ U2 y ∈ ω(Ac ) Mà ω(Ac ) ⊂ ω(B0) = A ⊂ U1 ∪ U2 Suy mâu thuẫn Vậy A tập liên thông 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Luyến Ví dụ 2.2.1 Xét hệ Lorenz  dx   = −ax + ay     dt dy = bx − y − xz  dt      dz = xy − cz dt a, b, c số dương Dễ thấy hàm f1 (x, y, z) = −ax+ay, f2(x, y, z) = bx−y−xz, f3(x, y, z) = xy − cz hàm liên tục R3 đạo hàm chúng liên tục R3 nên theo định lí Cauchy-Peano, hệ Lorenz có nghiệm với (x0, y0, z0) ∈ R3 Với t ≥ 0, dựng họ ánh xạ S(t) : R3 → R3 V0 → S(t)V0 := V (t) = V (x(t), y(t), z(t)) = x2 + y + (z − a − b)2 V0 = (x0, y0, z0) điều kiện ban đầu toán Khi họ {S(t)}t≥0 lập thành nửa nhóm liên tục R3 Thật vậy: i, S(0) = I; ii, Do phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện ban đầu nên với V0 ∈ R3 t, s ≥ ta có S(t + s)V0 = V (t + s) = V (x(t + s), y(t + s), z(t + s)) = V (x(t) ◦ x(s), y(t) ◦ y(s), z(t) ◦ z(s)) = (S(t) ◦ S(s))V0 Vậy S(t + s) = S(t)S(s), với t, s ≥ 0; iii, Với V0 ∈ R3 , ánh xạ t → S(t)V0 liên tục [0, +∞); 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Luyến iv, Với t ≥ 0, ánh xạ V0 → S(t)V0 liên tục R3 Vậy S(t) nửa nhóm liên tục R3 sinh hệ Lorenz Ta biết tập đóng bị chặn R3 compact nên ta cần tồn tập hấp thụ bị chặn Ta tồn hình cầu đủ lớn tập hấp thụ hệ Xét hàm V (x, y, z) = x2 + y + (z − a − b)2 Đạo hàm dọc theo quỹ đạo, ta có dx dy dz dz dV = 2x + 2y + 2z − 2(a + b) dt dt dt dt dt = 2x(−ax + ay) + 2y(bx − y − xz) + 2(z − a − b)(xy − cz) = −2ax2 − 2y − 2cz + 2c(a + b)z = −2ax2 − 2y − c(z − a − b)2 − cz + c(a + b)2 ≤ −αx2 − αy − α(z − a − b)2 + c(a + b)2 ≤ −α(x2 + y + (z − a − b)2) + c(a + b)2 ≤ −αV + c(a + b)2 dV ⇔ + αV ≤ c(a + b)2 dt Trong α = min{2a, 2, c} Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta −αt V (t) ≤ e Khi t → +∞, ta có c(a + b)2 V0 + α c(a + b)2 V (t) ≤ α 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Luyến 2c(a + b)2 Đặt R(t) = ta có α V (t) ≤ R(t), ∀t ≥ t0 với t0 Suy S(t)V0 ∈ B(0, R(t)) t ≥ t0 Hình cầu B(0, R(t)) tập hấp thụ bị chặn hệ Lorenz Từ suy hệ Lorenz có tập hút toàn cục compact liên thông không gian R3 2.2.3 Cấu trúc tập hút toàn cục Ta có định lí sau mô tả cấu trúc tập hút toàn cục: Định lý 2.5 Giả sử nửa nhóm S(t) có tập hút toàn cục A Khi A hợp tất quỹ đạo đầy đủ bị chặn S(t): A= {x(t) : x(t) quỹ đạo đầy đủ bị chặn Chứng minh Gọi N (A, ε) ε-lân cận A Giả sử tồn quỹ đạo đầy đủ bị chặn θ không nằm A Khi đó, với ε > cho trước, tồn x ∈ θ cho x∈ / N (A, ε) Vì A hút tập bị chặn nên với t đủ lớn ta có dist(S(t)z, A) < ε, ∀z ∈ θ Mặt khác, θ quỹ đạo đầy đủ nên x = S(t)¯ x, với x¯ ∈ θ hay dist(S(t)¯ x, A) > ε, với x¯ ∈ θ 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Luyến Suy mâu thuẫn Vậy tồn quỹ đạo đầy đủ bị chặn nằm A Mà A tập hút toàn cục nên A bất biến Khi đó, x ∈ A quỹ đạo qua x xác định với t ∈ R nằm A Vậy A hợp tất quỹ đạo đầy đủ bị chặn Trong phần ta thấy ý nghĩa quan trọng tập hút toàn cục Định lí sau quỹ đạo tập hút toàn cục định dáng điệu tiệm cận có quỹ đạo riêng lẻ, nghĩa sau thời điểm đủ lớn, quỹ đạo phương trình gốc trông giống quỹ đạo tập hút toàn cục khoảng thời gian đủ dài 2.2.4 Xác định dáng điệu tiệm cận tập hút toàn cục Định lý 2.6 Giả sử nửa nhóm S(t) có tập hút toàn cục A Cho trước quỹ đạo u(t) = S(t)u0, sai số ε > khoảng thời gian T > Khi tồn thời điểm τ = τ (ε, T ) phần tử v0 ∈ A cho u(τ + t) − S(t)v0 ≤ ε, ∀0 ≤ t ≤ T Chứng minh Do quỹ đạo phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu nên với ε, T > cho trước, tồn δ(ε, T ) cho u0 ∈ Av u0 − v0 ≤ δ(ε, T ) ⇒ u(t) − v(t) ≤ ε, t ∈ [0, T ] 29 (2.3) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Luyến Ta xét quỹ đạo v(t) A với v(0) = v0 Khi u(t) (coi quỹ đạo xuất phát từ u(τ ) ) v(t) = S(t)v0 thỏa mãn, (2.3), u(τ + t) − S(t)v0 ≤ ε Định lí để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình vi phân cấp 1, ta cần nghiên cứu điểm thuộc tập hút toàn cục hệ phương trình Một điều quan trọng áp dụng tìm cách giảm số chiều không gian pha Nguyên lí sau giúp thực điều Định lý 2.7 (Nguyên lí rút gọn số chiều) Giả sử nửa nhóm tiêu hao S(t) tồn tập compact địa phương bất biến dương M có tính chất hút đều, tức với tập bị chặn B ⊂ Rn ta có lim sup dist(S(t)y, M) = t→+∞ y∈B Nếu A tập hút toàn cục nửa nhóm S(t)|M A tập hút toàn cục nửa nhóm S(t) Chứng minh Với tập bị chặn B ⊂ Rn , ta cần chứng minh lim sup dist(S(t)y, A) = t→+∞ y∈B (2.4) Giả thiết phản chứng tồn tập B cho(2.4) không thỏa mãn 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Luyến Khi đó, tồn dãy {yn } {tn } với tn → ∞ cho: (2.5) dist(S(tn)yn , A) ≥ δ, với ε Vì A tập hút toàn cục S(t)|M , chọn thời điểm t0 cho sup{dist(S(t0)y, A) : y ∈ M ∩ B0} ≤ δ (2.6) Từ (2.4) suy dist(S(tn − t0 )yn , M) → tn → ∞ Khi n đủ lớn suy S(tn − t0 )yn ∈ B0 (Do tính tiêu hao S(t) ) Do M tập compact địa phương Suy ∃z ∈ M ∩ B0 dãy {nk } cho z = lim S(tnk − t0 )ynk k→∞ ⇒ S(tnk )ynk → S(t0)z Từ (2.5) suy dist(S(t0)z, A) ≥ δ ⇒ sup{dist(S(t0)z, A) : z ∈ M ∩ B0} ≥ δ Suy mâu thuẫn với (2.6) Vậy lim sup dist(S(t)y, M) = t→+∞ y∈B 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Luyến Ví dụ 2.2.2 Xét hệ phương trình vi phân   y + y − y = yz ,  z + z(1 + y ) = 0, y|t=0 = y0 (2.7) z|t=0 = z0 Nhân phương trình với y, phương trình thứ hai z, ta Cộng vế với vế ta   yy + y − y = y z  zz + z (1 + y ) = yy + zz + y − y + z + z y = z y ⇔ yy + zz + y − y + z = d ⇔ (y + z ) + y − y + z = 0, t ∈ [0,t∗ (y0, z0)] 2dt Xét hàm V (y, z) = y + z ta có d V (y(t), z(t)) = 2yy + 2zz dt 2V (y(t), z(t)) = 2y + 2z d ⇒ V (y(t), z(t)) + 2V (y(t), z(t)) = 2(yy + zz + y + z ) ≤ 2, dt với t ∈ [0,t∗(y0 , z0)] Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta V (y(t), z(t)) ≤ V (y0, z0 ).e−2t + 1, t ∈ [0,t∗ (y0, z0)] Suy nghiệm toán (2.7) thác triển toàn nửa 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Luyến trục R+ nửa nhóm S(t) R2 sinh toán (2.7) tiêu hao Và tập hợp M = {(y, 0) : y ∈ R} bất biến dương Từ phương trình z + z(1 + y ) = suy zz + z (1 + y ) = 1d z + z ≤ 0, ⇒ dt với t > Suy |z(t)|2 ≤ z02 e−2t Vậy tập M hút mũ tập bị chặn R2 Theo nguyên lí rút gọn số chiều, tập hút nửa nhóm S(t)|M tập hút nửa nhóm S(t) Mà tập M, hệ (2.7) trở thành y + y − y = 0, y|t=0 = y0 (2.8) Suy tập hút toàn cục nửa nhóm sinh (2.7) (2.8) trùng Dễ thấy tập hút toàn cục nửa nhóm sinh (2.8) A1 = [ − 1, 1] Nên tập hút toàn cục nửa nhóm sinh (2.7) A = {(y, 0) : −1 ≤ y ≤ 1} 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 Vũ Thị Luyến Ví dụ áp dụng Xét hệ vi phân ôtônôm x˙ = −F (x), t > (2.9) Định nghĩa 2.8 Rn+ = {x = (x1, , xn)|xi ≥ 0, i = 1, n} miền bất biến hệ (2.9) Ta nói nón dương Rn+ bất biến dương nửa nhóm S(t) S(t)Rn+ ⊂ Rn+ , với t ≥ Một tiêu chuẩn đơn giản để nhận biết nón bất biến dương đưa định lí sau Định lý 2.8 Nón Rn+ bất biến dương nửa nhóm S(t) sinh hệ (2.9) hàm −F (x) tựa dương, tức với i = 1, n, ta có −Fi(x1, , 0, , xn) ≥ 0, vị trí thứ i xj ≥ 0, với j = i Ví dụ 2.3.1 Xét hệ (2.9) với điều kiện ban đầu x(0) = x0, x = (x1, , xn) ∈ Rn , x0 ∈ Rn , F (x) = (F1(x), , Fn(x)) (2.10) Giả sử F : Rn → Rn hàm liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Luyến phương F (x) − F (y) ≤ K(R) x − y , với x, y ∈ Rn x , y ≤ R Với x0 ∈ Rn , toán Cauchy (2.9) − (2.10) có nghiệm xác định khoảng tồn cực đại [0, T (x0)) Khi đó, T (x0) hữu hạn x(t) → +∞ t → T (x0)− Giả sử F (x) thỏa mãn điều kiện tiêu hao kiểu Lyapunov, tức tồn hàm dương V : Rn → R+ , V ∈ C cho n ∇V (x).F (x) = i=1 Vxi (x)Fi(x) ≥ −c + δV (x), ∀x ∈ Rn (2.11) lim V (x) = +∞ x →+∞ (2.12) Khi n đủ lớn, hàm V (x) hàm Lyapunov hệ (2.9) Tức c bên miền D = {x ∈ Rn : V (x) < }, hàm V (x(t)) giảm dọc theo δ c quỹ đạo (2.9) V (x(t)) ≥ Và miền D bị chặn (2.12) δ Lấy tích vô hướng phương trình (2.9) với ∇V (x(t)) Rn ta có x.∇V ˙ (x) = −F (x).∇V (x) Áp dụng (2.11) suy V˙ (x) = −∇V (x).F (x) ≤ c − δV (x) 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Luyến Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta V (x(t)) ≤ e−δt V (x(0)) + c δ (2.13) Suy nghiệm x(t) tồn với t ≥ tập hấp thụ S(t) B0 = {x ∈ Rn : V (x) ≤ 2c } δ Suy B0 bị chặn (do điều kiện (2.12)) Vậy B0 tập compact Rn Từ đó, nửa nhóm S(t) có tập hút toàn cục A ⊂ B0 Nếu c = từ (2.13) ta có lim V (x(t)) = x→+∞ ⇒ A ⊂ {x ∈ Rn |V (x) = 0} Mặt khác, V (x) = x = x∗, (trong x∗ điểm dừng V hàm Lyapunov) Khi A = {x∗} Trong trường hợp này, tập hút toàn cục tầm thường Ví dụ 2.3.2 Xét phương trình x˙ = −x4 sin π = f (x) Dễ thấy phương trình có số đếm điểm dừng ± với n = 1, 2, n Suy đoạn [−1, 1] tập hút toàn cục 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Luyến Ta có π π f (x) = −4x3 sin + πx2 cos x x π π π ⇒ f ( ± ) = (−4x sin + πx2 cos )| = cos(nπ) n x x x=± n n Suy đoạn [−1, 1] tập hút toàn cục chứa tập đếm điểm cân đẩy ± , với n = 1, 2, điểm cân 2n , với n = 1, 2, hút ± 2n − Tuy nhiên điểm cân x = điểm hút điểm đẩy 37 Kết luận Khóa luận trình bày vấn đề sau: 1) Định nghĩa tập giới hạn, tập bất biến hệ phương trình vi phân cấp số định nghĩa liên quan Nguyên lí bất biến LaSalle, nguyên lí quan trọng góp phần xét tính ổn định điểm cân hệ vi phân cấp 3) Các khái niệm tập hút toàn cục hệ phương trình vi phân cấp Cùng với tồn tại, cấu trúc dáng điệu tiệm cận tập hút toàn cục Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Trân trọng cảm ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2016 38 Tài liệu tham khảo [1] Cung Thế Anh (2015), Cơ sở lí thuyết phương trình vi phân, NXB đại học sư phạm [2] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Thu (2010), Cơ sở phương trình vi phân, NXB giáo dục [3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giáo trình giải tích hàm, NXB khoa học kỹ thuật Hà Nội 39 ... nghim nh ngha 1. 14 Mt hm Lyapunov i vi h (1. 9) l hm V C 1( D) tha V (0) = 0, V (x) > vi x = 0, v V D nh lý 1. 7 (nh lớ n nh Lyapunov) Gi s f C(D) vi f (0) = v tn ti mt hm V i vi h (1. 10) Khi ú a,... compact khỏc rng ri K1, K2 cho L+ = K1 K2 v dist(K1, K2) = > Gi s di(t) = dist(x(t), Ki) vi i = 1, 2 .Vi mi k = 1, 2, , tn ti cỏc im t1k , t2k cho d1(t1k ) = v d2 (t2k ) = Do d1 (t) + d2(t) v... nghim ca h (1. 10) n nh; b, Nu V < D{0} thỡ nghim ca h (1. 10) n nh tim cn; c, Nu V V v V (x) b x D vi , , b > thỡ nghim ca h (1. 10) n nh m 11 Khúa lun tt nghip i hc V Th Luyn nh lý 1. 8 (nh lớ